【数学】2020届一轮复习人教版（理）第5章第2讲等差数列及其前n项和作业
A组 基础关
1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，则n＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 D
解析 ∵an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，∴Sn＋2－Sn＝36⇒an＋2＋an＋1＝36⇒2n＋3＋2n＋1＝36⇒n＝8，故选D.
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S7＝49，则a2，a6的等差中项是( )
A. B．7 C．±7 D.
答案 B
解析 由已知得S7＝＝7a4＝49，所以a4＝7.所以a2，a6的等差中项为＝a4＝7.
3．(2018·西安质检)已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，则正整数k＝( )
A．21 B．22 C．23 D．24
答案 C
解析 因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以数列{an}是等差数列，首项a1＝15，公差为－.所以an＝15－(n－1)＝.
因为ak·ak＋1<0，所以·<0.
可化为(2k－45)(2k－47)<0，
解得
9)，若Sn＝336，则n的值为( )
A．18 B．19 C．20 D．21
答案 D
解析 由题意得S9＝9a5＝18，解得a5＝2，根据等差数列的性质得Sn＝＝＝×(2＋30)＝336，解得n＝21.
7．等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由题意得，＝＝＝＝＝＝.
8．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．
答案 8
解析 根据题意知a7＋a8＋a9＝3a8>0，即a8>0.又a8＋a9＝a7＋a10<0，∴a9<0，∴当n＝8时，{an}的前n项和最大．
9．在等差数列{an}中，公差d＝，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋
…＋a99＝________.
答案 10
解析 因为S100＝(a1＋a100)＝45，所以a1＋a100＝，a1＋a99＝a1＋a100－d＝，
则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝(a1＋a99)＝×＝10.
10．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2014，－＝6，则S2018＝________.
答案 6054
解析 由等差数列的性质可得也为等差数列．
设其公差为d，
则－＝6d＝6，
∴d＝1.
故＝＋2017d＝－2014＋2017＝3，
∴S2018＝3×2018＝6054.
B组 能力关
1．设{an}是等差数列，则以下三个命题：
①若a2016＋a2017<0，则a2017＋a2018<0；
②若a2016＋a2018>0，则a2016＋a2017>0；
③若0.
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 由①②不能判断数列{an}是递增数列还是递减数列，所以命题①②错误；由00，由等差数列的性质和均值不等式可知a2017＝>＝.故选B.
2．(2018·银川模拟)在等差数列{an}中，已知a3＝7，a6＝16，依次将等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵，则此数阵中，第10行从左到右的第5个数是________．
答案 148
解析 设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝3，an＝7＋(n－3)d＝3n－2.第10行从左到右第5个数是等差数列{an}中第1＋2＋…＋9＋5＝50项，即a50＝3×50－2＝148.
3．(2019·合肥三模)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若数列{}也是公差为d的等差数列，则an＝________.
答案 －1或n－
解析 由题意得，Sn＝na1＋n(n－1)
＝n2＋n.
Sn＋n＝n2＋n.
因为数列{}也是公差为d的等差数列．
所以设 ＝dn＋B.
于是n2＋n＝(dn＋B)2(n∈N*)．
因此解得或
所以an＝－1或an＝n－.
4．(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
解 (1)设{an}的公差为d，由题意，得3a1＋3d＝－15.
由a1＝－7，得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
(2)由(1)，得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
解 (1)证明：由题设，得anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1.
两式相减，得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.
由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.
由(1)知，a3＝λ＋1.
令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.
故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.
因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．
6．已知数列{an}满足，an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)．
(1)若数列{an}是等差数列，求a1的值；
(2)当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn.
解 (1)解法一：∵数列{an}是等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd.
由an＋1＋an＝4n－3，得a1＋nd＋a1＋(n－1)d＝4n－3，
∴2dn＋(2a1－d)＝4n－3，
即2d＝4,2a1－d＝－3，
解得d＝2，a1＝－.
解法二：在等差数列{an}中，
由an＋1＋an＝4n－3，得
an＋2＋an＋1＝4(n＋1)－3＝4n＋1，
∴2d＝an＋2－an＝4n＋1－(4n－3)＝4，
∴d＝2.
又∵a1＋a2＝2a1＋d＝2a1＋2＝1，∴a1＝－.
(2)由题意知，①当n为奇数时，
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)
＝2＋4[2＋4＋…＋(n－1)]－3×
＝.
②当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)
＝1＋9＋…＋(4n－7)＝.
综上，Sn＝
