高三数学同步测试《数列与极限》

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高三数学同步测试《数列与极限》

高三数学同步测试—《数列与极限》 一、选择题(本题每小题 5 分,共 60 分) 1.在等比数列 }{ na 中,a1+a2=2,a3+a4=50,则公比 q 的值为 ( ) A.25 B.5 C.-5 D.±5 2.已知等差数列{an}中,a6=a3+a8=5,则 a9 的值是 ( ) A.5 B. 15 C.20 D.25 3.给定正数 p,q,a,b,c,其中 pq,若 p,a,q 成等比数列,p,b,c,q 成等差数列, 则一元二次方程 bx2_2ax+c=0 ( ) A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个同号的相异的实数根 D.有两个异号的相异的实数根 4.等差数列 }{ na 的前 n 项和记为 nS ,若 1062 aaa  为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是 ( ) A. 6S B. 11S C. 12S D. 13S 5.设数列 na 为等差数列,且 658674 2 4 ,20042 aaaaaaa 则 等于 ( ) A.501 B.±501 C. 2004 D.± 6.已知等差数列 na 的前 n 项和为 Sn,若 m>1,且 38,0 12 2 11   mmmm Saaa ,则 m 等于 ( ) A.38 B.20 C.10 D.9 7.设等比数列 的前 n 项和为 Sn,若 2:1: 36 SS ,则 39 : SS ( ) A.1:2 B.2:3 C.3:4 D.1:3 8.某人为了观看 2008 年奥运会,从 2001 年起,每年 5 月 10 日到银行存入 a 元定期储蓄,若年利率为 p 且保持不变, 并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到 2008 年将所有的存款及利息全部取回,则可取回的钱的总数 (元)为 ( ) A. 7)1( pa  B. 8)1( pa  C. )]1()1[( 7 ppp a  D.     ppp a  11 8 9 .已知   1bxxf 为 x 的 一 次 函 数 , b 为 不 等 于 1 的 常 量 , 且   ng      )1()],1([ )0(1 nngf n , 设      Nnngngan 1 ,则数列 na 为 ( ) A.等差数列 B.等比数列 C.递增数列 D.递减数列 10.已知 02log2log  ab ,则 nn nn n ba ba    lim 的值为 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.不存在 11.北京市为成功举办 2008 年奥运会,决定从 2003 年到 2007 年 5 年间更新市内现有全部出租车,若每年更新的车 辆数比前一年递增 10%,则 2003 年底更新车辆数约为现有总车辆数的(参考数据 1.14=1.46 1.15=1.61) ( ) A.10% B.16.4% C.16.8% D.20% 12.已知 3 )(32lim,2)3(,2)3( 3    x xfxff x 则 的值为 ( ) A.-4 B.8 C.0 D.不存在 二、填空题(本题每小题 4 分,共 16 分) 13.已知等比数列 }{ na 及等差数列 }{ nb ,其中 01 b ,公差 d≠0.将这两个数列的对应项相加,得一新数列 1,1, 2,…,则这个新数列的前 10 项之和为_________________. 14.设数列{an}满足 a1=6,a2=4,a3=3,且数列{an+1 -an}(n∈N* ) 是等差数列,求数列{an}的通项公式 __________________. 15.设   24 4  x x xf ,利用课本中推导等差数列前 n 项和方法,求          11 2 11 1 ff …      11 10f 的值为______ ___. 16.(文)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案: 则第 n 个图案中有白色地面砖____________块. (理)已知 n na      3 12 ,把数列 na 的各项排成三角形状; 记 A(m,n)表示第 m 行,第 n 列的项,则 A(10,8)= . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤): 17.(本小题满分 12 分)已知一个数列{an}的各项是 1 或 3.首项为 1,且在第 k 个 1 和第 k+1 个 1 之间有 2k-1 个 3, 即 1,3,1,3,3,3,1,3,3,3,3,3,1,….记数列的前 n 项的和为 Sn. (1)试问第 2004 个 1 为该数列的第几项? (2)求 a2004; (3)S2004; (4)是否存在正整数 m,使得 Sm=2004?如果存在,求出 m 的值;如果不存在,说明理由. 18.(本小题满分 12 分)如图,曲线 2 ( 0)y x y上的点 iP 与 x 轴的正半轴上的点 iQ 及原点O 构成一系列正三角形 △OP1Q1,△Q1P2Q2,…△Qn-1PnQn…设正三角形 1n n nQ P Q 的边长为 na ,n∈N﹡(记 0Q 为 ),  ,0nnQS . (1)求 1a 的值; (2)求数列{ }的通项公式 ; (3)求证:当 2n 时, 有 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 3 2n n n na a a a      . 19.(本小题满分 12 分)假设你正在某公司打工,根据表现,老板给你两个加薪的方案: (Ⅰ)每年年末....加 1000 元; (Ⅱ)每半年...结束时加 300 元。请你选择。 (1)如果在该公司干 10 年,问两种方案各加薪多少元? (2)对于你而言,你会选择其中的哪一种? 20.(本小题满分 12 分)已知数列 na 的前 n 项的“均倒数”为 12 1 n , (1)求 的通项公式; (2)设 12  n ac n n ,试判断并说明  Nncc nn 1 的符号; (3)(理)设函数 124)( 2  n axxxf n ,是否存在最大的实数 ,当 x 时,对 于一切自然数 ,都有 0)( xf 。 (文)已知  0 ttb na n ,数列 nb 的前 项为 nS ,求 n n n S S 1lim   的值。 y O x Q 1 Q2 P1 P2 P3 21.(本小题满分 12 分)若 Sn 和 Tn 分别表示数列{ }na 和 }{ nb 的前 n 项和,对任意正整数 )1(2.  nan n , Tn-3Sn=4 . (Ⅰ)求数列 的通项公式; (Ⅱ)在平面直角坐标系内,直线 nl 的斜率为 nb .且与曲线 2xy  有且仅一个交点,与 y 轴交于 Dn,记 )72(||3 1 1   nDDd nnn 求 nd ; (Ⅲ)若 .1)(lim:)(2 21 1 22 1    nxxxNndd ddx nnnn nn n 求证 22.(本小题满分 14 分)已知数列 na 中, ,11 a 且点     NnaaP nn 1, 在直线 01 yx 上. (1)求数列 na 的通项公式; (2)若函数  ,2,321)( 321  nNnan n ananannf n 且 求函数 )(nf 的最小值; (3)设 n n n Sab ,1 表示数列 nb 的前项和。试问:是否存在关于 n 的整式  ng ,使得    ngSSSSS nn   11321  对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立?若 存在,写出  ng 的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由。 参 考 答 案 ( 二 ) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分): (1).D (2). C (3).A (4).B (5). A (6). C (7).C (8). D (9).B (10).B (11). B (12).B 提示(9)B         111111,1  ngbngngban n               bngbbbbngbbngbb  131211121      22 31 bngbb ……       nnnn bbbbgbb   1101 111 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) (13). 978; (14). 2 1872  nnan (n∈N*); (15).5;(16).(文)4 2n (理)2· 89)3 1( 提示 13。设 }{ na 的公比为 q,由题知:       , , , 22 1 10 2 1 1 1 dqa dqa a 解得       .1 2 11 d q a , , 则 12  n na , nbn 1 .这个新数列的 前 10 项之和为 )()()( 10102211 bababa   21( aa  9782 )]9(0[10 21 21)() 10 102110   bbba  14. 由已知 a2-a1= -2,a3-a2= -1,-1-(-2)=1 ∴an+1-an=( a2-a1)+(n-1)·1=n-3 n≥2 时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1 =(n-4)+(n-5) +…+(-1)+(-2)+6= 2 1872  nn n=1 也合适 ∴ (n∈N*) 15.     1224 4 24 4 24 41 1 1    x x x x x x xfxf 设          11 2 11 1 ffSn …… 1011 10 11 11011 10                  fff 5 nS 三、解答题(共 74 分,按步骤得分) 17. 解:将第 k 个 1 与第 k+1 个 1 前的 3 记为第 k 对,即(1,3)为第 1 对,共 1+1=2 项;(1,3,3,3)为第 2 对,共 1+(2×2-1)=4 项; )3,,3,3,3,1( 312   个共 k 为第 k 对,共 1+(2k-1) =2k 项;….故前 k 对共有项数为 2+4+6+…+2k=k(k+1). …………2 分 (Ⅰ)第 2004 个 1 所在的项为前 2003 对所在全部项的后 1 项, 即为 2003(2003+1)+1=4014013(项). …………4 分 (Ⅱ)因 44×45=1980,45×46=2070,故第 2004 项在第 45 对内,从而 a2004=3.…7 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,前 2004 项中共有 45 个 1 ,其余 1959 个数均为 3 ,于是 S2004=45+3 × 1959=5922. …………9 分 (Ⅳ)前 k 对所在全部项的和为 Sk(k+1)=k+3[k(k+1)-k]=3k2+k. 易得,S25(25+1)=3×252+25=1900,S26(26+1)=3×262+26=2054,S651=1901,且自第 652 项到第 702 项均为 3,而 2004-1901=103 不能被 3 整除,故不存在 m,使 Sm=2004.…………12 分 18. 解 (1)由条件可得 1 1 1 13,22P a a  ,代入曲线 2 ( 0)y x y得 2 1 1 1 1 3 1 2, 0,4 2 3a a a a    ; …………5 分 (2) 12nnS a a a    ∴点 1 1 1 13( , )22n n n nP S a a   代入曲线 并整理得 2 11 31 42n n nS a a, 于是当 *2,n n N时, 22 1 1 1 3 1 3 1( ) ( )4 2 4 2n n n n n n na S S a a a a        即 1 1 1 13( ) ( ) ( )24n n n n n na a a a a a       * 11 20, ( 2, )3n n n na a a a n n N       …………10 分 又当 2 1 2 2 2 3 1 4 21 , , (4 2 3 3n S a a a     时 舍去) 21 2 3aa   ,故 * 1 2 ()3nna a n N    所以数列{ na }是首项为 2 3 、公差为 2 3 的等差数列, 2 3nan ;…………12 分 19.解:设方案一第 n 年年末加薪 an,因为每年末加薪 1000 元,则 an=1000n; 设方案二第 n 个半年加薪 bn,因为每半年加薪 300 元,则 bn=300n; (1)在该公司干 10 年(20 个半年),方案 1 共加薪 S10=a1+a2+……+a10=55000 元。 方案 2 共加薪 T20=b1+b2+……+b20=20×300+ 3002 )120(20  =63000 元;……6 分 (2)设在该公司干 n 年,两种方案共加薪分别为: Sn=a1+a2+……+an=1000×n+ 10002 )1( nn =500n2+500n T2n=b1+b2+……+b2n=2n×300+ 3002 )12(2  nn =600n2+300n …………10 分 令 T2n≥Sn 即:600n2+300n>500n2+500n,解得:n≥2,当 n=2 时等号成立。 ∴如果干 3 年以上(包括 3 年)应选择第二方案;如果只干 2 年,随便选;如果只干 1 年,当然选择第一方 案。 …………12 分 20. 解:( 1)  12121   nnaaaa nn ,  12)1(121   nnaaa n 两式相减,得  214  nnan ,  Nnnaa n  14,31 ……4 分 (2) 32 32,12 3212 14 12 1    ncnn n n ac n n n , nnnn ccnncc   11 ,032 3 12 3 即 。 …………8 分 (3)(理)由(2)知 11 c 是数列 nc 中的最小项, ∵ x 时,对于一切自然数 n ,都有 0)( xf ,即 n n cn axx  1242 , ∴ 14 1 2  cxx ,即 0142  xx ,解之,得 3232  xx 或 , ∴取 32  。 ………………12 分 (文) 147314 ,   n n n n tttStb  ,  0t 当 1t 时, nSn  , 1lim 1   n n n S S ;当 1t 时, 4 4 44 1 1 1limlim t t t S S n n nn n n        ; 当 10  t 时, 1lim 1   n n n S S 。综上得,          1, 10,1lim 4 1 tt t S S n n n ………………12 分 21.解:( I) nnSdana nn 324)1(2 2 1  nnnST nn 5343 2  ……2 分 当 853,1 11  bTn 时 当 .2626,2 1   nbnTTbn nnnn时 ……4 分 (II)设 :nl .mxby n  由 02 2       mxbx xy mxby n n 得 由于仅有一个公共点. 分 得令 分 824)72(||3 1 56])13()43[(3 1||3 1 ))4(3,0())1(3,0()13(0 6.)13()26(: )13(4 )26( 4.04 1 22 1 2 1 22 2 2 22 2           nnDDd nnnDD nDnDnyx nxnyl nnbmmb nnn nn nn n n n (III) )12 1 12 1(11)12)(12( 212 )( 2 1 2 1 1 22 1      nnnndd dd dd ddx nn nn nn nn n …10 分 分12.1)(lim 12 11)12 1 12 1()5 1 3 1()3 11( 21 21      nxxx nnnnxxx nn n 22.(本小题满分 14 分)   , 1 1 1 1 1 ( ) 1 0 1, 1 11 1 ( 1) 1 ( 2), 1 . 3 n n n n n nn P a a x y a a a a a n n n a a n                  解:() 点 在直线 上,即 且 数列 是以 为首项,为公差的等差数列。 也满足 分 1 1 12 ( ) ,1 2 2 1 1 1 1 1 1( 1) 2 3 4 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1( 1) ( ) 0, 62 1 2 2 1 2 2 2 2 1 7( ) ( ) (2) 812 fn n n n fn n n n n n n f n f n n n n n n n f n f n f                                 ( ) , 分 是单调递增的,故 的最小值是 。 分 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 13 1 , ( 2), 1023 ( 1) 1, ( 1) ( 2) 1, 1 1 ( 1) ( 2) ( ) . 13 n n n n n n n n n n nn n n n b S S S nn n n nS n S S n S n S S S S S nS S S S S n S S S nS n S n n g n n                                                     ( ) 分 即 , , , 分 故存在 ( ) 2 14n g n n n关于 的整式 ,使等式对于一切不小于 的自然数 恒成立 分
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