河北省石家庄市2020届高三下学期5月阶段性训练数学（文）试题 Word版含解析

河北省石家庄市2020届高三下学期5月阶段性训练数学（文）试题 Word版含解析

石家庄市2020届高三年级阶段性训练题 数学（文科）‎ ‎（时间120分钟，满分150分）‎ 一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，则集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合，按交集的定义，即可求解.‎ ‎【详解】由题意知，故.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查集合间的运算，注意对数函数的定义域，属于基础题.‎ ‎2.命题：“”的否定形式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定形式，即可得出结论.‎ ‎【详解】命题：“”的否定形式 ‎，.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查命题的否定，要注意量词间的相互转化，属于基础题,‎ - 23 -‎ ‎3.已知是虚数单位，且，则的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数除法的运算法则求出，得出，即可得结论.‎ ‎【详解】，‎ 则，所以对应点在第二象限.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查复数的代数运算、共轭复数以及复数的几何意义，属于基础题.‎ ‎4.已知条件：①是奇函数；②值域为；③函数图象经过第一象限．则下列函数中满足条件的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据选项分别讨论函数的定义域，奇偶性，值域，判断选项.‎ ‎【详解】A定义域不关于原点对称，不符合题意：B选项虽然为奇函数，但是，故，不符合题意：C选项，，不符合题意：D．选项，故为奇函数，值域为，图象也经过第一象限，符合题意．‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查判断函数的性质，属于基础题型，需熟练掌握学习过的函数性质.‎ ‎5.在中，角的对边分别为，若，则的面积为（ ）‎ - 23 -‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理边角互化，得到，再根据余弦定理求角，最后代入三角形面积公式求解.‎ ‎【详解】根据正弦定理知化为为，即，故，故，则．因为，的面积．‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查正余弦定理，三角形面积解三角形，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型.‎ ‎6.已知实数x，y满足不等式，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据约束条件画出可行域，目标函数转化为点与连线的斜率，从而求出其最大值.‎ ‎【详解】根据约束条件画出可行域，‎ 图中阴影部分为可行域，‎ - 23 -‎ 目标函数，‎ 表示可行域中点与连线的斜率，‎ 由图可知点与连线的斜率最大，‎ 故的最大值为，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查线性规划求分式型目标函数的最大值，属于中档题.‎ ‎7.在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的定义求出，，再利用三角函数变换展开求值.‎ ‎【详解】由题意知，则．‎ - 23 -‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查三角函数的定义，三角函数给值求值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型，本题的关键是三角变换.‎ ‎8.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数分别记为，则满足的概率为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由题意抽象出阳数和阴数包含哪些数字，并通过列举的方法列举的基本事件的个数，并求对立事件的概率.‎ ‎【详解】因为阳数：1，3，5，7，9，阴数：2，4，6，8，10，所以从阳数和阴数中各取一数共有：种情况．‎ 满足有，共9种情况，故满足的情况有16种，故根据古典概型得满足的概率为．‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查数学文化，古典概型，属于基础题型，本题的关键读懂题意，并转化为典型的古典概型.‎ ‎9.某高校组织若干名学生参加自主招生考试（满分150‎ - 23 -‎ 分），学生成绩的频率分布直方图如图所示，分组区间为：，其中成等差数列且．该高校拟以成绩的中位数作为分数线来确定进人面试阶段学生名单，根据频率分布直方图进人该校面试的分数线为（ ）‎ A. 117 B. ‎118 ‎C. 119 D. 120‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由频率和为1，以及已知条件，求得的值，再根据中位数左边的矩形面积和为0.5，计算中位数.‎ ‎【详解】由于，解得，前三个组的频率之和为，第四个组的频率为0.2，故中位数为（分）．‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，重点考查中位数，频率，属于基础题型.‎ ‎10.如图，在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值是（ ）‎ A. B. ‎5 ‎C. D. ‎ - 23 -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知先求出圆的半径，由，结合向量数量积运算律，的最大值转化为求的最大值，再由向量的数量积公式，即可求出结论.‎ ‎【详解】由题意知，设到的距离为，‎ 则有，‎ 故，‎ 其中，‎ 设的夹角为，‎ ‎，‎ 当且仅当与同向时，等号成立；‎ 所以的最大值为.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查向量的线性关系的几何表示、向量数量积及其最值，考查计算求解能力，属于中档题.‎ ‎11.函数相邻两条对称轴间的距离为的图象与轴交点坐标为，则下列说法不正确的是（ ）‎ A. 是的一条对称轴 B. ‎ C. 在上单调递增 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据二倍角公式化简函数，由周期求，以及根据求 - 23 -‎ 的值，求得，并根据函数性质，依次判断选项.‎ ‎【详解】由题意知，由周期为，知；‎ 又因为，‎ 即，．‎ 所以，‎ 所以BD正确 当时，，是函数的对称轴，所以A正确；‎ 当时， ‎ 此时当时，函数单调递增，当时函数单调递减，‎ 所以C不正确.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查三角恒等变换，根据函数性质求函数的解析式，以及判断三角函数的性质，属于中档题型，本题的关键是正确求得函数的解析式，并会根据选项判断函数性质.‎ ‎12.已知函数对于任意，均满足，当时，，（其中为自然对数的底数），若存在实数满足，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件判断函数关于对称，并根据函数的解析式画出函数的图象，根据对称性可判断 - 23 -‎ ‎，即，并且，所以，并由函数图象计算求得，利用导数求得函数的取值范围.‎ ‎【详解】由知关于对称，如图，因此，所以，又因为，所以，因此，由题意知，令，，令得，故在上单调递减，在上单调递增，故，由，则，故， ‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查导数，函数性质，函数图象的综合应用，重点考查导数研究函数的单调性，最值，数形结合分析问题的能力，函数与方程思想的应用，属于中档偏难题型，本题的关键是转化，并根据数形结合得到条件.‎ 二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知函数的图象在和处的切线互相垂直，则________.‎ ‎【答案】‎ - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，则可得．‎ ‎【详解】，由，即，解得.‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线垂直的条件．属于简单题．‎ ‎14.已知双曲线：的焦点关于一条渐近线的对称点在轴上，则该双曲线的离心率为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意列方程得双曲线是等轴双曲线，进而可得离心率.‎ ‎【详解】设焦点坐标是， 其中一条渐近线方程是，设焦点关于渐近线的对称点是， ‎ 则 ，得：，解得：，‎ 所以，，‎ 所以双曲线的离心率是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的几何性质，重点考查等轴双曲线的几何性质，属于基础题型.‎ ‎15.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，则_________；四棱锥的外接球的表面积为___________．‎ - 23 -‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可知点在底面的射影是正方形对角线的交点，这样可求得，并判断点是四棱锥外接球的球心，根据半径计算外接球的表面积.‎ ‎【详解】由条件可知和是等边三角形，则，所以点在底面的射影到点的距离相等，即，因为四边形是正方形，所以点是正方形对角线的交点，所以.‎ 又因为，，所以是等腰直角三角形，即；‎ 所以，‎ 所以点是四棱锥外接球的球心，，‎ 所以四棱锥的外接球的表面积.‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题考查四棱锥外接球表面积，重点考查空间想象能力，逻辑推理，计算能力，属于中档题型，本题的关键是确定球心的位置.‎ ‎16.已知抛物线的焦点为，为抛物线上的三个动点，其中且若为的重心，记三边的中点到抛物线的准线的距离分别为且满足，则____；‎ - 23 -‎ 所在直线的方程为____．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据焦半径公式和中位线定理可知，代入已知得到，根据重点坐标公式可知，公式结合后可得，代入抛物线方程求，并求得的中点坐标，并代入斜率公式化简求值，最后代入点斜式方程求直线.‎ ‎【详解】由题意知，代入得，即．由为的重心，则有，即，即，所以，因此有．故的中点坐标为，所在直线的斜率，故所在直线的方程为．‎ 故答案为：-4；‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的几何性质，三角形重心的性质，以及直线与抛物线的综合应用，意在考查转化与化归的思想，计算，变形，化简能力，属于中档题型.‎ 三､解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22､23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.2019年末，武汉出现新型冠状病毒（‎ - 23 -‎ ‎）肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快．因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，目前没有特异治疗方法，防控难度很大．武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从‎2月7日起举全市之力人户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，某社区将本社区的排查工作人员分为，两个小组，排查工作期间社区随机抽取了100户已排查户，进行了对排查工作态度是否满意的电话调查，根据调查结果统计后，得到如下的列联表．‎ ‎ 是否满意 组别 不满意 满意 合计 组 ‎16‎ ‎34‎ ‎50‎ 组 ‎5‎ ‎45‎ ‎50‎ 合计 ‎21‎ ‎79‎ ‎100‎ ‎（Ⅰ）分别估计社区居民对组、组两个排查组的工作态度满意的概率；‎ ‎（Ⅱ）根据列联表的数据，能否有99%的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”有关?‎ 附表：‎ ‎0.100‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附：‎ ‎【答案】（Ⅰ）0.68；0.9（Ⅱ）有99%的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”有关．‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据列联表，分别计算两组对社区工作态度满意的频率即可；‎ ‎（Ⅱ）根据列联表，利用公式，直接代入求解，并且和比较.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由样本数据，组排查对象对社区排查工作态度满意的频率为，因此社区居民对组排查工作态度满意的概率估计值为0.68．‎ 组排查对象对社区排查工作态度满意的频率为，因此社区居民对组排查工作态度满意的概率估计值为0.9．‎ ‎（Ⅱ）假设“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”无关，根据列联表中的数据，得到 因此有99%的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”有关．‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验，重点考查读懂题意，熟练掌握的计算公式，属于基础题型.‎ ‎18.已知等差数列的前项和为且．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设等差数列的公差为，将已知条件转化为的关系，求解即可求出数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）由（1）结合已知可得，用错位相减法求其和.‎ ‎【详解】（Ⅰ）设数列的公差为，‎ 由得：，所以，‎ - 23 -‎ 又因为，所以．‎ 于是，故．‎ ‎（Ⅱ）设的前项和为，因为，所以，‎ 依题，‎ 则 于 即 故：．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的前项和与通项公式的基本量的计算，以及用错位相减法求数列的前项和，考查计算求解能力，属于基础题.‎ ‎19.如图1，在中，分别是边上的中点，将沿折起到的位置，使如图2．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ ‎（Ⅰ）要证明线线垂直，需证明线面垂直，易证明平面；‎ ‎（Ⅱ）利用等体积转化，求点到平面的距离.‎ ‎【详解】证明：（Ⅰ）在图1中，，为边中点，所以．‎ 又所以．‎ 在图2中，且则平面．‎ 又因为平面所以．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面且平面，‎ 所以平面平面 且平面平面，‎ 在正中，过作，垂足为，‎ 所以平面．‎ 即为三棱锥底面上的高，‎ 在中，．‎ 在中，，，所以．‎ 在梯形中．‎ 设点到平面的距离为，‎ 因为，‎ 所以，解得．‎ 即点到平面的距离为．‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查线线，线面垂直关系，以及点到平面的距离，重点考查空间想象能力，转化能力，属于基础题型.‎ ‎20.已知点，椭圆：的离心率为和分别是椭圆的左焦点和上顶点，且的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与相交于，两点，当时，求直线的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由的面积为，得出关系，再由离心率结合关系，求解即可得出椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）设，由已知可得，设直线方程为，与椭圆方程联立，得到的关系式，进而得出的关系式，建立的方程，求解即可得出结论.‎ ‎【详解】（Ⅰ）设，由条件知，‎ 所以的面积为，①‎ 由得，从而，化简得，②‎ ‎①②联立解得，‎ 从而，所以椭圆的方程为；‎ - 23 -‎ ‎（Ⅱ）当轴时，不合题意，故设，‎ 将代入得．‎ 由题得，‎ 设，则 因为，‎ 所以，‎ 从而，‎ 整理得，，‎ 所以直线的方程为或．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要掌握根与系数关系设而不求方法在相交弦中的应用，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.‎ ‎21.已知函数，其中为自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）讨论单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，设函数存在两个零点，求证：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ），分和两种情况讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）解法一：由题意可知，两式相减可得 - 23 -‎ ‎，再利用分析法转化为证明要证，只需证，再通过变形，构造，证明只需证即可，，构造函数，利用导数证明.‎ 解法二：由题意可知，再换元令，即，两式相减得，要证，即只需证，即证，再通过变形，构造得到，，，利用导数证明.‎ ‎【详解】解：（1），‎ 当时，，在上单调递增；‎ 当时，令得，在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎（Ⅱ）解法一：由题意知，由得，‎ 两式相减得，因为，故，‎ 要证，只需证，‎ 两边同除以得，‎ 令，故只需证即可．‎ 令，，‎ 令，‎ 当时，，故在上单调递减，‎ - 23 -‎ 故，故在上单调递增，故，故原命题得证．‎ ‎【解法二】由题意知，由得，‎ 令，即，两式相减得，‎ 要证，即只需证，即证，即，即，‎ 令，只需证即可．‎ 令，，‎ 当时，，故在上单调递增，故，因此原不等式成立．‎ ‎【点睛】本题考查导数的综合应用 ，重点考查利用导数研究函数的单调性，最值，本题的难点是根据方程组转化，变形为可利用的式子，再利用分析法将所证明不等式等价转化，最后根据换元构造函数，本题属于难题.‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生从第22､23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂､多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．‎ ‎[选修4--4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 - 23 -‎ 的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），曲线、交于､两点．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点的直角坐标为，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（Ⅰ）将曲线参数消去，得出普通方程，再将代入普通方程，即可得到曲线的极坐标方程；曲线参数方程先化为，然后平方相减，即可消去参数，求出曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）在曲线上，将曲线的直线标准参数方程代入曲线的普通方程，利用根与系数关系和曲线参数的几何意义，即可求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）曲线的参数方程为（为参数）．‎ 消去得，将，‎ 代入上式得曲线的极坐标方程，‎ 整理得；‎ - 23 -‎ 因为，‎ 所以曲线的普通方程为．‎ ‎（Ⅱ）因为在曲线上，‎ 所以将的参数方程（为参数）．‎ 代入到的直角坐标方程，得，‎ 设分别为点对应的参数，则有，‎ 由参数的几何意义得．‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐标方程与极坐标方程互化，利用直线的标准参数方程的几何意义求距离，考查计算求解能力，属于中档题.‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23.函数 ‎（Ⅰ）求函数的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若的最小值为，，求证：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）对分类讨论去绝对值化简，求出各段函数的范围，即可求出的最小值；‎ - 23 -‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，将所求的不等式化为，利用基本不等式，即可证明结论.‎ ‎【详解】（1）‎ 当时，；当时，；‎ 当时，．所以的最小值为．‎ ‎（2）由（1）知，即，‎ 又因为，‎ 所以 ‎．‎ 当且仅当，即时，等号成立，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查分类讨论求绝对值不等式的最值，以及利用基本不等式证明不等式，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.‎ - 23 -‎