中考数学总复习 专题基础知识回顾二 代数式

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中考数学总复习 专题基础知识回顾二 代数式

中考数学总复习 专题基础知识回顾二 代数式 ‎ 一、单元知识网络:              二、考试目标要求: 1.代数式   ①在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义;   ②能分析简单问题的数量关系,并用代数式表示;   ③能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义;   ④会求代数式的值;能根据特定的问题查阅资料,找到所需要的公式,并会代入具体的值进行计算. 2.整式与分式   ①了解整数指数幂的意义和基本性质;   ②了解整式的概念,会进行简单的整式加、减运算;会进行简单的整式乘法运算(其中的多项式相乘仅    指一次式相乘);   ③会推导乘法公式:,了解公式的几何背景,并能    进行简单计算;   ④会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数);   ⑤了解分式的概念,会利用分式的基本性质进行约分和通分,会进行简单的分式加、减、乘、除运算. 3.二次根式   了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化). ‎ 三、知识考点梳理 1.代数式   (1)用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子,我们把它们称为代数式.单个的数字或字母也可     以看作代数式.   (2)列代数式就是把问题中的表示数量关系的语言用代数式表示出来.   (3)用数值代替代数式里的字母,按照代数式指明的运算,计算出的结果,叫做代数式的值. 2.整式 (1)单项式:   数与字母的积的形式的代数式叫做单项式.单项式是代数式的一种特殊形式,它的特点是对字母来说只含有乘法的运算,不含有加减运算.在含有除法运算时,除数(分母)只能是一个具体的数,可以看成分数因数.单独一个数或一个字母也是单项式.   单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数;一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. (2)多项式:   几个单项式的代数和叫做多项式.也就是说,多项式是由单项式相加或相减组成的.其中,每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项;多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数. (3)整式:   单项式和多项式统称整式. (4)同类项:   所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项,叫做同类项. (5)整式的加减:‎ ‎   整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用.   把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母部分不变.   如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.   整式加减的运算法则:一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项. (6)整式的乘除   ①幂的运算性质:       ②单项式相乘:两个单项式相乘,把系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则    连同它的指数作为积的一个因式.   ③单项式与多项式相乘:单项式与多项式相乘,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.用    式子表达:   ④多项式与多项式相乘:一般地,多项式乘以多项式,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式    的每一项,再把所得的积相加.用式子表达:    平方差公式:    完全平方公式:    在运用乘法公式计算时,有时要在式子中添括号,添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各    项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.   ⑤单项式相除:两个单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的    字母,则连同它的指数作为商的一个因式.   ⑥‎ 多项式除以单项式:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相    加. (7)因式分解:   把一个多项式化成几个整式的积的形式,这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解.   因式分解的两种基本方法:   ①提公因式法:   ②运用公式法:    平方差公式:    完全平方公式: 3.分式 (1)分式的意义:   一般地,如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式.其中   分式无意义;分式有意义.   分式的值为‎0‎A=0且这两个条件缺一不可. (2)最简分式:   如果一个分式的分子、分母没有公因式,那么这样的分式叫做最简分式(也叫既约分式).如果一个分式的分子、分母有公因式,那么可根据分式的基本性质,用分子、分母的公因式去除分子和分母,将分式化成最简分式,或者化成整式,这就是约分. (3)分式的基本性质:    (4)分式的运算:‎ ‎   ①分式的加减: ,.   ②分式的乘除:,.   ③分式的乘方:. 4.二次根式: (1)二次根式的概念:   式子叫做二次根式.是一个非负数. (2)二次根式的性质:    (3)最简二次根式:   ①被开方数不含分母;   ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式. (4)二次根式的运算:   ①二次根式的乘除:       ②二次根式的加减:    二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并. 四、规律方法指导 ‎   对于整式、分式、二次根式等内容,中考重点考查对基础知识的理解运用能力.热点是化简、求值与分情况讨论的数学思想方法的考查,旨在让我们探索灵活、简捷的解法,提高分析问题的能力.因此,在复习中我们要掌握分类讨论与数形结合思想,提高运算能力、观察能力、解决实际问题的能力和探索知识、发现规律的能力.‎ 经典例题透析 类型一、整式的有关概念及运算 1.同类项   1.(1)(2010湖南衡阳)若3sm+5y2与x3yn的和是单项式,则nm______________.   考点:同类项定义结合求解二元一次方程组,负整数指数幂的计算.   思路点拨:同类项的概念为:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的单项式.   解:由3sm+5y2与x3yn的和是单项式得3sm+5y2与x3yn是同类项,     ∴ 解得 nm=2-2=   (2)若单项式是同类项,则的值是(  )   A、-3    B、-1    C、    D、3   解:由题意单项式是同类项,     所以,解得 ,,应选C.   总结升华:判断两个单项式是否同类项或已知两个单项式是同类项,需满足:(1)所含字母相同;(2)相同字母的指数也相同. 2.整式的运算及整式乘法公式的运用   2.(1) (2010湖北咸宁)下列运算正确的是 ( )   A.    B.    C.    D.   分析:A.2-3 =8 B. C. 正确 D.   答案:C   (2)下列各式中正确的是(  )   A.    B.a2·a3=a6    C.(-‎3a2)3=-‎‎9a ‎6    D.a5+a3=a8   考点:整数指数幂运算.   分析:选项B为同底数幂乘法,底数不变,指数相加,a2·a3=a5,所以B错;选项C为积的乘方,应把每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,(-‎3a2)3=-‎27a6,所以C错;选项D为两个单项式的和,此两项不是同类项,不能合并,所以D错;选项A为负指数幂运算,一个数的负指数幂等于它的正指数幂的倒数,A正确.答案选A.   3.计算:(a2+3)(a-2)-a(a2‎-2a-2)   解:(a2+3)(a-2)-a(a2‎-2a-2)     =a3‎-2a2+‎3a-6-a3+‎2a2+‎2a     =‎5a-6   4.利用乘法公式计算:   (1)(a+b+c)2 (2)(‎2a2-3b2+2)(2‎-2a2+3b2)   思路点拨:利用乘法公式去计算时,要特别注意公式的形式及符号特点,灵活地进行各种变形.   解:(1)(a+b+c)2可以利用完全平方公式,将a+b看成一项,则       (a+b+c)2=       =a2+2ab+b2+‎2ac+2bc+c2       =a2+b2+c2+2ab+‎2ac+2bc.   (2)(‎2a2-3b2+2)(2‎-2a2+3b2)两个多项式中,每一项都只有符号的区别,所以,我们考虑用平方差公式,将符号相同的看作公式中的a,将符号相反的项,看成公式中的b,   原式=     =4-(‎2a2-3b2)2=4‎-4a4+‎12a2b2-9b4.   举一反三   【变式1】如果a2+ma+9是一个完全平方式,那么m=______.   解析:   解法一:利用完全平方公式:(a±3)2=a2±‎‎6a ‎+9.   解法二:利用一元二次方程根的判别式,若a2+ma+9是一个完全平方式,       则关于a的一元二次方程a2+ma+9=0有两个相等的实数根,       ∴Δ=0,即m2-36=0, m=±6.   解法三:利用配方法,       a2+ma+9=a2+ma          ,       ∵ 是一个完全平方式,       ∴, ∴m2=36, m=±6.   【变式2】设,则=__________.   思路点拨:本题利用乘法公式恒等变形,及互为倒数的运算性质.   解:∵,两边平方得, ,     ∴ ,   【变式3】用相同的方法可以求, 等的值.   总结升华:此题是反复运用完全平方公式,把,变形为关于的代数式,从而使问题得到解决.这是利用条件求值问题的一个基本思路.   【变式4】若a2+‎3a+1=0,求的值.   思路点拨:有上题做铺垫,我们可以想到将a2+‎3a+1=0变形为的形式,   ∵a≠0,将等式两边同时除以a,   得, ∴‎ ‎,   ∴. 类型二、因式分解   5.因式分解:   (1)(2010四川眉山)把代数式分解因式,下列结果中正确的是( )   A.    B.    C.    D.   考点:运用提取公因式法和公式法因式分解.   思路点拨:提公因式法、公式法分解因式   答案:D      (2)①‎3a3‎-6a2+‎12a; ②(a+b)2-1; ③x2-12x+36; ④(a2+b2)2‎-4a2b2   思路点拨:把一个多项式进行因式分解,首先要看多项式是否有公因式,有公因式就要先提取公因式,再看是否还可以继续进行分解,是否可以利用公式法进行分解,直到不能进行分解为止.   解:① ‎3a3‎-6a2+‎12a=‎3a(a2‎-2a+4)     ② (a+b)2-1=(a+b)2-12==(a+b+1)(a+b-1)     ③ x2-12x+36=(x-6)2     ④思路点拨:‎4a2b2可写成(2ab)2,可先用平方差公式进行因式分解为(a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab),            两个括号里又符合完全平方公式,还应继续分解直到不能分解为止.            (a2+b2)2‎-4a2b2=(a2+b2-2ab)(a2+b2+2ab)=(a-b)2(a+b)2   举一反三   【变式1】因式分解:   (1);(2);(3).   解:(1)            (2)‎ ‎           (3)         总结升华:在解题前应先观察题目特征,灵活选取分解方法,往往一题有几种解法或一题需要综合运用几种方法.分解因式一定要分解到不能分解为止. 类型三、分式的意义及运算 1.分式的意义及分式值为零   6.(1)(2010湖北荆州)分式 的值为0,则( )   A.x=-1    B.x=1    C.x=±1    D.x=0   思路点拨:当分母等于零时,分式没有意义,此外分式都有意义;当分子等于零时,并且分母不等于零时,分式的值等于零.   答案:B   (2)(2010山东聊城)使分式无意义的x的值是( )   A.x=    B.x=    C.   D.   答案:B   (3)当x取何值时,分式有意义?分式的值等于零?   解:当分母,即且时,分式 有意义.     根据题意,得     由<1>解得:x=1或x=2     由<2>解得且     所以,当x=2时,分式的值等于零.   总结升华:(1)讨论分式有无意义时,一定对原分式进行讨论,而不能先化简,再对化简后的分式讨论;(2)讨论分式的值何时为零必须在分式有意义的前提下进行;(3)在解分式的有关问题时,应特别注意分母不为零这个隐含条件.   举一反三   【变式1】已知x=-2时,分式无意义;当x=4时,分式值为0,则a+b=______________.   考点:分式无意义及分式值为0的条件.   解:当x=-2时,分式为;分式无意义,可得:-2+a=0,即a=2.当x=4时,分式为;     分式值为0,可得:,即b=4.所以a+b=6. 2.分式的运算   7.(1)(2010 重庆)先化简,再求值: ,其中.   考点:分式的混合运算.   解:原式              .     当时,‎ ‎.   (2)计算.   思路点拨:此题是加减乘除混合运算,有两种运算顺序,其一是规定顺序,先将括号内的两分式通分相减得:,再将分式的分子、分母颠倒与之相乘.其二是按乘法对加法的分配律,先把的分子、分母颠倒与被减数,减数相乘,再相减.两种顺序哪一种简单,要看题目中式子特点确定.解题过程如下:   解法1:原式         ;   解法2:原式         .   举一反三   【变式1】先化简,再求值:   ,其中满足.   解:=      或     当时,分式无意义.原式的值为2.   总结升华:此题需注意所求得的x值需满足分式有意义,此处经常会被同学们忽视,要引起注意.   【变式2】先化简,再求值:()÷‎ ‎,其中x=2005   解:原式=·=     当x=2005时,原式=.   【变式3】有这样一道题:“计算:的值,其中.”甲同学把“”错抄成“”,但他的计算结果也是正确的.你说这是怎么回事?   解:∵ ===0     结果恒为0,与的取值无关.     ∴错抄成不影响结果.   【变式4】已知x、y是方程组的解,求代数式的值.   考点:一元二次方程组解法、分式的化简求值.   思路点拨:一般地,在求代数式的值的问题中,可以先化简,再代入求值;也可以先代入,直接进行数的计算求值.两种方法哪一种简单要看代数式化简及数的计算的繁简程度而定.具体计算时,要选择简捷方法.此题所给分式运算,化简难度较大,应该求出方程组的解,直接把解代入,进行数的运算.解题过程如下:   解:解方程组: 得     ∴原式        . 类型四、二次根式的有关概念及运算   8.(1)(2010湖北襄樊)下列说法错误的是( )   A.的平方根是±2    B.‎ 是无理数   C.是有理数      D.是分数   考点:二次根式的有关概念   思路点拨:A、B、C答案都对,D.是无理数而不是分数.   答案:D   (2)下列二次根式中属于最简二次根式的是( )   A.   B.   C.   D.   考点:最简二次根式的定义.   思路点拨:依据最简二次根式的定义来判别.最简二次根式所满足的条件:(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;二者缺一不可.   解:对于选项B,,不满足条件(2);选项C,中被开方数含有分母,且分母中含有字母,不是整式,不满足条件(1);选项D,,也不满足条件(2);只有选项A满足条件(1)(2),故选A.   9.化简:(1); (2); (3).   思路点拨:二次根式的化简即利用二次根式的基本性质进行化简,要注意使二次根式有意义的条件,在允许的取值范围内进行化简.   (1)解:∵b>0,,∴ a≤0.       ∴.   (2)     解法一:∵0<x<1, ∴x>0, ‎ x-1<0,             解法二:∵0<x<1, ∴, ,           (3)解:化简二次根式的隐含条件是,且a≠0.       ∵a2>0, ∴ -(a+1)≥0, ∴ a≤-1,       ∴       或 .   举一反三   【变式1】化简:,其中.   解:          因为     所以,原式.   总结升华:化简二次根式,往往把被开方数化为完全平方式,根据二次根式性质化去根号,转化为绝对值问题,然后再根据绝对值定义化去绝对值符号. 类型五、代数式的综合应用   10.(1)(2010 四川自贡)已知n是一个正整数,是整数,则n的最小值是( )。   A.3    B.5    C.15   ‎ ‎ D.25   思路点拨:∵ 是整数,∴n的最小值为15.   答案:C   (2)若代数式2x2+3x+7的值为8,则代数式4x2+6x-9的值是( )   A.2    B.-17    C.-7    D.7   思路点拨:此题考查的是整体代换的思想.   解:∵ 4x2+6x=2(2x2+3x),     ∴ 由已知2x2+3x+7=8, 得2x2+3x=1,     ∴ 4x2+6x-9=2(2x2+3x)-9=2×1-9=-7,选C.   11.已知:a,b为实数,下列各式中一定为正值的是( )   A.a2‎-2a+2    B.    C.a2+b2    D.(a-1)2+|b+2|   解析:此小题四个选项虽然都是非负数,但B、C、D三个都有可能得0,不能保证一定为正数,只有A选项a2‎-2a+2=(a-1)2+1, ∵ (a-1)2≥0, ∴(a-1)2+1>0,无论a取何值,a2‎-2a+2的值都为正数,所以选A.   12.现规定一种运算:,其中、为实数,则等于( )   A.    B.    C.    D.   解析:选B.             探索规律   13.观察下列顺序排列的等式:   9×0+1=1   9×1+2=11   9×‎ ‎2+3=21   9×3+4=31   9×4+5=41   ……   猜想第n个等式(n为正整数)应为_______.   分析:此题观察规律并不难,但要注意n的取值,n为正整数,为了便于观察,我们可以象以下写法:   第1行 9×0+1=1   第2行9×1+2=11   第3行 9×2+3=21   第4行9×3+4=31   第5行9×4+5=41   ……   第n行 9×(n-1)+n=10(n-1)+1=10n-9.   综合应用   14.已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a,b,c,d,且a2+ab-ac-bc=0, b2+bc-bd-cd=0,那么四边形ABCD是( ).   A.平行四边形    B.矩形    C.菱形    D.梯形   解析:由a2+ab-ac-bc=0,可以得到      a(a+b)-c(a+b)=0, (a+b)(a-c)=0,      ∵a,b,c,d是四边形ABCD的四条边长,      ∴ a>0, b>0, c>0, d>0,∴a+b≠0,      ∴‎ a=c,同理由b2+bc-bd-cd=0,可推出b=d,      由平行四边形的定义可判定四边形ABCD为平行四边形,选A.   举一反三   【变式1】用4块相同的地砖可拼成上图,每块地砖的长、宽分别为a、b,则图中阴影部分的面积为___. (结果要求化简)                         考点:乘法公式的实际背景和几何意义.   解析:从图形可知阴影部分图形为正方形,其边长为a-b,所以其面积为(a-b)2=a2-2ab+b2.   15.(扬州)为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》,某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会,其中一部分作为奖金发给了n所民办学校.奖金分配方案如下:首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩(假设工作业绩均不相同)从高到低,由1到n排序,第1所民办学校得奖金元,然后再将余额除以n发给第2所民办学校,按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校.   (1)请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金;   (2)设第k所民办学校所得到的奖金为元(1),试用k、n和b表示(不必证明);   (3)比较和的大小(k=1,2 ,……,),并解释此结果.   解:第二所学校的奖金为;     第三所学校的奖金为          由此可以推断:.     ∵>0,     ∴‎ ‎,说明排序靠前的奖金多于后者.     或者按下列比较说明:     ∵,     ∴.即奖金分配原则从排序高到低逐渐按的比例递减,符合奖优实际.‎ 中考题萃 考点一:幂的运算、整式运算   1. (2010山西).下列运算正确的是( )   A.(a-b)2=a2-b2     B.(-a2)3=-a6    C.x2+x2=x4    D.‎3a3·‎2a2=‎6a6      2. (2010黄冈)下列运算正确的是( )   A.  B.    C.    D.      3.(成都市)下列运算正确的是( )   A.    B.    C.    D.   4.(湖北咸宁)化简的结果为( )   A.    B.    C.    D.   5.(东莞市)下列式子中是完全平方式的是( )   A.   B.    C.    D.   6.(河北省)计算:=_________.   7.(河北省)(3分)若,则的值为__________.   8.(北京)(5分)已知,求代数式 的值.   9.(南昌市)先化简,再求值:   , 其中. 考点二:因式分解   1. (2010四川眉山)把代数式分解因式,下列结果中正确的是   A.    B.    C.    D.   2.(北京)把代数式分解因式,下列结果中正确的是( )   A.    B.    C.    D.   3.(龙岩市)分解因式:______________.   4.(贵阳市)分解因式:_______________.   5.(福州)因式分解:_____________.   6.(上海市)分解因式:___________.   7.(2010广东广州)因式分解:3ab2+a2b=_______. 考点三:分式的意义及运算   1.(宜宾市)若分式的值为0,则x的值为(  )   A. 1    B. -1    C. ±1    D.2   2. (2010 黄冈)化简:‎ 的结果是(  )   A.2  B.  C.  D.      3.(巴中市)当__________时,分式无意义.   4.(上海市)化简:__________.   5.(北京)计算:.   6.(2010四川凉山)若,则__________。 考点四:二次根式   1.(湖北省荆州市)下列根式中属最简二次根式的是(  )   A.    B.    C.    D.   2. (2010广东茂名)若代数式有意义,则的取值范围是   A.    B.   C.        D.      3.(芜湖市)估计的运算结果应在(  )   A.6到7之间    B.7到8之间    C.8到9之间    D.9到10之间   4. (2010 四川成都)若为实数,且,则 的值为___________.   5.(安徽省)化简=_________.   6.(宁夏回族自治区)计算:=________. 考点五:代数式的综合运用   1.(茂名)任意给定一个非零数,按下列程序计算,最后输出的结果是(  )      A.    B.    C.    D.   2.(北京)(4分)若,则m+2n的值为(  )   A.-4    B.-1    C.0    D.4   3.(山东淮坊)代数式的值为9,则的值为(  )   A.7    B.18    C.12    D.9   4.(宁夏回族自治区)某市对一段全长‎1500米的道路进行改造.原计划每天修米,为了尽量减少施工对    城市交通所造成的影响,实际施工时,每天修路比原计划的2倍还多‎35米,那么修这条路实际用了___    天.   5.(成都市)(3分)已知,那么的值为__________.   6.(南宁市)计算:‎ ‎   7.(沈阳市)计算:.   8.(泰州市)先化简,再求值:,其中.   9.(山东烟台)有意道题:“先化简,再求值:,其中“”.小亮同学做题时把“”错抄成了“”,但他的计算结果也是正确的,请你解释这是怎么回事.   10.(2010四川达州)如图2,在边长为a的正方形中,剪去一个边长为b的小正方形(a>b),将余下部分拼成一个梯形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于a、b的恒等式为( )   A.     B.   C.     D.               考点六:探究归纳   1.(安徽省)探索n×‎ n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数),连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数:        当n=2时,钉子板上所连不同线段的长度值只有1与,所以不同长度值的线段只有2种,若用S表示不同长度值的线段种数,则S=2;   当n=3时,钉子板上所连不同线段的长度值只有1,,2,,2五种,比n=2时增加了3种,即S=2+3=5.   (1)观察图形,填写下表:‎ 钉子数(n×n)‎ S值 ‎2×2‎ ‎2‎ ‎3×3‎ ‎2+3‎ ‎4×4‎ ‎2+3+( )‎ ‎5×5‎ ‎( )‎ ‎  (2)写出(n-1)×(n-1)和n×n的两个钉子板上,不同长度值的线段种数之间的关系;(用式子或语言表述     均可)   (3)对n×n的钉子板,写出用n表示S的代数式.   2. (2010广东茂名)用棋子摆出下列一组“口”字,按照这种方法摆下去,则摆第n个“口”字需用棋子 ( )        A.4n枚   B.(4n-4)枚   C.(4n+4)枚   D. n2枚 ‎ 答案与解析: 考点一:幂的运算、整式运算   1.B  2.C  3.D  4.C  5.D  6.a3   7.解:   8.解:            .      当x2=4时,原式=-3.   9.解:      当时,原式. 考点二:因式分解   1.D  2.A  3.a(a+b)  4.(x+2)(x-2)  5.  6. 7. ab (3b+a) 考点三:分式运算   1.D  2.B  3.3   4.   5. 解:             ‎ ‎             .   6. 解: 考点四:二次根式   1.A  2.D   3.C   解析:      ,故选C.   4.1  5.4  6. 考点五:代数式的综合运用   1.C   2.C   3.A   4.   5. -3   6.解:         7.解:‎ ‎         8.解:            当时,原式.   9. 解:原式,       不论 或,x2+9都是2016.   10. 【答案】C 考点六:探究归纳   1. 解:(1)4,2+3+4+5(或14);       (2)类似以下答案均给满分:        (i)n×n的钉子板比(n-1)×(n-1)的钉子板中不同长度的线段种数增加了n种;        (ii)分别用a,b表示n×n与(n-1)×(n-1)的钉子板中不同长度的线段种数,则a=b+n.       (3)S=2+3+4+…+n.   2. 【答案】A
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