高考数学难点突破29__排列、组合的应用问题

高考数学难点突破29__排列、组合的应用问题

高中数学难点 29 排列、组合的应用问题 排列、组合是每年高考必定考查的内容之一，纵观全国高考数学题，每年都有 1～2 道 排列组合题，考查排列组合的基础知识、思维能力. ●难点磁场 (★★★★★)有五张卡片，它们的正、反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与 9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ ●案例探究 ［例 1］在∠AOB 的 OA 边上取 m 个点，在 OB 边上取 n 个点(均除 O 点外)，连同 O 点 共 m+n+1 个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( ) 12 1 2 1 1112121 212121 1 21 1 CCC D.C CCCCCC.C CCC.C B CCCA.C nmnmnmmnnm mnnmmnnm     命题意图：考查组合的概念及加法原理，属★★★★★级题目. 知识依托：法一分成三类方法；法二，间接法，去掉三点共线的组合. 错解分析：A 中含有构不成三角形的组合，如：C 1 1m C 2 n 中，包括 O、Bi、Bj;C 1 1n C 2 m 中， 包含 O、Ap、Aq，其中 Ap、Aq,Bi、Bj 分别表示 OA、OB 边上不同于 O 的点；B 漏掉△AiOBj； D 有重复的三角形.如 C 1 m C 2 1n 中有△AiOBj,C 2 1m C 1 n 中也有△AiOBj. 技巧与方法：分类讨论思想及间接法. 解法一：第一类办法：从 OA 边上(不包括 O)中任取一点与从 OB 边上(不包括 O)中任取 两点，可构造一个三角形，有 C 1 m C 2 n 个；第二类办法：从 OA 边上(不包括 O)中任取两点与 OB 边上(不包括 O)中任取一点，与 O 点可构造一个三角形，有 C 2 m C 1 n 个；第三类办法：从 OA 边上(不包括 O)任取一点与 OB 边上(不包括 O)中任取一点，与 O 点可构造一个三角形， 有 C C 个.由加法原理共有 N=C C +C C +C C 个三角形. 解法二：从 m+n+1 中任取三点共有 C 3 1nm 个，其中三点均在射线 OA(包括 O 点)，有 C 3 1m 个，三点均在射线 OB(包括 O 点)，有 C 3 1n 个.所以，个数为 N=C －C 3 1m －C 3 1n 个. 答案：C ［例 2］四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总 数是_________. 命题意图：本题主要考查排列、组合、乘法原理概念，以及灵活应用上述概念处理数学 问题的能力，属★★★★级题目. 知识依托：排列、组合、乘法原理的概念. 错解分析：根据题目要求每所学校至少接纳一位优等生，常采用先安排每学校一人，而 后将剩的一人送到一所学校，故有 3A 3 4 种.忽略此种办法是：将同在一所学校的两名学生按 进入学校的前后顺序，分为两种方案，而实际题目中对进入同一所学校的两名学生是无顺序 要求的. 技巧与方法：解法一，采用处理分堆问题的方法.解法二，分两次安排优等生，但是进 入同一所学校的两名优等生是不考虑顺序的. 解法一：分两步：先将四名优等生分成 2，1，1 三组，共有 C 2 4 种；而后，对三组学生 安排三所学校，即进行全排列，有 A3 3 种.依乘法原理，共有 N=C 2 4 3 3A =36(种). 解法二：分两步：从每个学校至少有一名学生，每人进一所学校，共有 A 3 4 种；而后， 再将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校，有 3 种.值得注意的是：同在一所学校的 两名学生是不考虑进入的前后顺序的.因此，共有 N= 2 1 A ·3=36(种). 答案：36 ●锦囊妙记 排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这 类问题通常有三种途径：(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以 位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出 排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.前两种方式叫直接解法，后一种方式 叫间接解法. 在求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答. 解排列与组合应用题常用的方法有：直接计算法与间接计算法；分类法与分步法；元素 分析法和位置分析法；插空法和捆绑法等八种. 经常运用的数学思想是： ①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想. ●歼灭难点训练 一、填空题 1.(★★★★)从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax+By+C=0 中的 A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条(用数值表示). 2.(★★★★★)圆周上有 2n 个等分点(n＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数 为_________. 二、解答题 3.(★★★★★)某人手中有 5 张扑克牌，其中 2 张为不同花色的 2，3 张为不同花色的 A， 有 5 次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？ 4.(★★★★)二次函数 y=ax2+bx+c 的系数 a、b、c，在集合{－3，－2，－1，0，1，2， 3，4}中选取 3 个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条？ 5.(★★★★★)有 3 名男生，4 名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数. (1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置. (2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边. (3)全体排成一行，其中男生必须排在一起. (4)全体排成一行，男、女各不相邻. (5)全体排成一行，男生不能排在一起. (6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变. (7)排成前后二排，前排 3 人，后排 4 人. (8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有 3 人. 6.(★★★★★)20 个不加区别的小球放入编号为 1、2、3 的三个盒子中，要求每个盒内 的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数. 7.(★★★★)用五种不同的颜色，给图中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色，每部分涂一色，相 邻部分涂不同色，则涂色的方法共有几种？ 8.(★★★★)甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，若甲不值周一、乙不 值周六，则可排出不同的值班表数为多少？ 参考答案 难点磁场 解：(间接法)：任取三张卡片可以组成不同三位数 C 3 5 ·23·A 3 3 (个)，其中 0 在百位的 有 C 2 4 ·22·A 2 2 (个)，这是不合题意的，故共有不同三位数：C ·23·A －C ·22·A =432(个）. 歼灭难点训练 一、1.解析：因为直线过原点，所以 C=0，从 1，2，3，5，7，11 这 6 个数中任取 2 个 作为 A、B 两数的顺序不同，表示的直线不同，所以直线的条数为 A 2 6 =30. 答案：30 2.解析：2n 个等分点可作出 n 条直径，从中任选一条直径共有 C 1 n 种方法；再从以下的 (2n－2)个等分点中任选一个点，共有 C 1 22 n 种方法，根据乘法原理：直角三角形的个数为： C ·C =2n(n－1)个. 答案：2n(n－1) 二、3.解：出牌的方法可分为以下几类： (1)5 张牌全部分开出，有 A 5 5 种方法； (2)2 张 2 一起出，3 张 A 一起出，有 A 2 5 种方法； (3)2 张 2 一起出，3 张 A 一起出，有 A 4 5 种方法； (4)2 张 2 一起出，3 张 A 分两次出，有 C 2 3 A 3 5 种方法； (5)2 张 2 分开出，3 张 A 一起出，有 A 种方法； (6)2 张 2 分开出，3 张 A 分两次出，有 C A 种方法. 因此，共有不同的出牌方法 A +A +A +A A +A +C A =860 种. 4.解：由图形特征分析，a＞0,开口向上，坐标原点在内部 f(0)=c＜0;a＜0,开口向下， 原点在内部  f(0)=c＞0,所以对于抛物线 y=ax2+bx+c 来讲，原点在其内部 af(0)=ac＜0, 则确定抛物线时，可先定一正一负的 a 和 c，再确定 b,故满足题设的抛物线共有 C 1 3 C 1 4 A 2 2 A 1 6 =144 条. 5.解：(1)利用元素分析法，甲为特殊元素，故先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选 择.有 A 1 3 种，其余 6 人全排列，有 A 6 6 种.由乘法原理得 A A =2160 种. (2)位置分析法.先排最右边，除去甲外，有 A 种，余下的 6 个位置全排有 A 种，但应 剔除乙在最右边的排法数 A 1 5 A 5 5 种.则符合条件的排法共有 A 1 6 A －A 1 5 A =3720 种. (3)捆绑法.将男生看成一个整体，进行全排列.再与其他元素进行全排列.共有 A 3 3 A 5 5 =720 种. (4)插空法.先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有 A 3 3 A 4 4 =144 种. (5)插空法.先排女生，然后在空位中插入男生，共有 A A 3 5 =1440 种. (6)定序排列.第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为 N，第二步，对甲、 乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此 A 7 7 =N×A 3 3 ，∴N= 3 3 7 7 A A = 840 种. (7)与无任何限制的排列相同，有 A =5040 种. (8)从除甲、乙以外的 5 人中选 3 人排在甲、乙中间的排法有 A 种，甲、乙和其余 2 人 排成一排且甲、乙相邻的排法有 A 2 3 A 3 3 .最后再把选出的 3 人的排列插入到甲、乙之间即可. 共有 A 3 5 ×A 2 2 ×A =720 种. 6.解：首先按每个盒子的编号放入 1 个、2 个、3 个小球，然后将剩余的 14 个小球排成 一排，如图，|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|，有 15 个空档，其中“O”表示小球，“|”表示 空档.将求小球装入盒中的方案数，可转化为将三个小盒插入 15 个空档的排列数.对应关系 是：以插入两个空档的小盒之间的“O”个数，表示右侧空档上的小盒所装有小球数.最左侧 的空档可以同时插入两个小盒.而其余空档只可插入一个小盒，最右侧空档必插入小盒，于 是，若有两个小盒插入最左侧空档，有 C 2 3 种；若恰有一个小盒插入最左侧空档，有 1 3 1 3CC 种； 若没有小盒插入最左侧空档，有 C 2 13种.由加法原理，有 N= 2 13 1 13 1 3 2 3 CCCC  =120 种排列方 案，即有 120 种放法. 7.解：按排列中相邻问题处理.(1)(4)或(2)(4).可以涂相同的颜色.分类：若(1)(4)同色，有 A 3 5 种，若(2)(4)同色，有 A 3 5 种，若(1)(2)(3)(4)均不同色，有 A 4 5 种.由加法原理，共有 N=2A +A =240 种. 8.解：每人随意值两天，共有 C 2 6 C 2 4 C 2 2 个；甲必值周一，有 C 1 5 C C 个；乙必值周六， 有 C 1 5 C C 个；甲必值周一且乙必值周六，有 C 1 4 C 1 3 C 个.所以每人值两天，且甲必不值 周一、乙必不值周六的值班表数，有 N=C C C －2C C C + C C C =90－2×5× 6+12=42 个.