高中数学第二章数列2-4-1等比数列的定义及通项公式课时作业含解析新人教A版必修

高中数学第二章数列2-4-1等比数列的定义及通项公式课时作业含解析新人教A版必修

课时作业13　等比数列的定义及通项公式 时间：45分钟 ‎　——基础巩固类——‎ 一、选择题 ‎1．若a，b，c成等差数列，则a，b，c一定(　B　)‎ A．是等差数列 B．是等比数列 C．既是等差数列也是等比数列 D．既不是等差数列也不是等比数列 解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，于是2＝2b＝a＋c＝a·c，所以a，b，c一定是等比数列．‎ ‎2．在等比数列{an}中，a2 017＝－‎8a2 014，则公比q等于(　B　)‎ A．2 B．－2‎ C．±2 D. 解析：由a2 017＝－‎8a2 014，得a1q2 016＝－‎8a1q2 013，所以q3＝－8，故q＝－2.‎ ‎3．各项均为正数的等比数列{an}中，‎2a1＋a2＝a3，则的值为(　D　)‎ A．－1 B．－1或2‎ C．3 D．2‎ 解析：设{an}的公比为q(q>0)，则‎2a1＋a1q＝a1q2，‎ 所以q2－q－2＝0，所以q＝2或q＝－1(舍去)，‎ 所以＝＝q＝2.故选D.‎ ‎4．数列{an}为等差数列，a1，a2，a3成等比数列，a5＝1，则a10等于(　D　)‎ A．5 B．－1‎ C．0 D．1‎ 解析：设公差为d，由已知得 解得所以a10＝a1＋9d＝1，故选D.‎ ‎5．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　B　)‎ A．21 B．42‎ C．63 D．84‎ 解析：∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，‎ ‎∴3＋3q2＋3q4＝21.‎ ‎∴1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．‎ 5‎ ‎∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.‎ ‎6．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　B　)‎ A．2n－1 B.n－1‎ C.n－1 D. 解析：由Sn＝2an＋1，得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，＝.又S1＝a1＝1，所以Sn＝n－1，故选B.‎ 二、填空题 ‎7．若x,2x＋2,3x＋3是一个等比数列的连续三项，则x的值为－4.‎ 解析：由于x,2x＋2,3x＋3成等比数列，‎ 所以＝＝，且x≠－1,0.‎ 所以2(2x＋2)＝3x，所以x＝－4.‎ ‎8．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且‎2a1＋a2＝1，则a1＝，d＝－1.‎ 解析：∵a2，a3，a7成等比数列，∴a＝a‎2a7，‎ ‎∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋‎3a1＝0.①‎ 又∵‎2a1＋a2＝1，∴‎3a1＋d＝1.②‎ 由①②解得a1＝，d＝－1.‎ ‎9．已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则＝－1.‎ 解析：由题意，得a2－a1＝＝2，b＝(－4)×(－1)＝4.又b2是等比数列中的第3项，所以b2与第1项同号，即b2＝－2，所以＝＝－1.‎ 三、解答题 ‎10．已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？‎ 解：(1)设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a4－a3＝2，所以d＝2.‎ 又因为a1＋a2＝10，‎ 所以‎2a1＋d＝10，故a1＝4.‎ 所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1,2，…)．‎ ‎(2)设等比数列{bn}的公比为q.‎ 因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，‎ 5‎ 所以q＝2，b1＝4.‎ 所以b6＝4×26－1＝128.‎ 由128＝2n＋2得n＝63，‎ 所以b6与数列{an}的第63项相等．‎ ‎11．已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝an＋(n∈N*)．‎ ‎(1)求证：是等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ 解：(1)证明：∵an＋1＝an＋，‎ ‎∴an＋1－＝an＋－＝.‎ ‎∴＝.‎ a1－＝－＝，‎ ‎∴是首项为，公比为的等比数列．‎ ‎(2)∵an－＝×n－1，‎ ‎∴an＝×n－1＋.‎ ‎——能力提升类——‎ ‎12．已知等比数列{an}，各项都是正数，且a1，a3,‎2a2成等差数列，则＝(　A　)‎ A．3＋2 B．1－ C．1＋ D．3－2 解析：由a1，a3,‎2a2成等差数列，得a3＝a1＋‎2a2.在等比数列{an}中，有a1q2＝a1＋‎2a1q，即q2＝1＋2q，得q＝1＋或1－(舍去)，所以＝q2＝(1＋)2＝3＋2.‎ ‎13．已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋‎2a5，若存在两项am、an，使得＝‎4a1，则m＋n的值为(　B　)‎ A．10 B．6‎ C．4 D．不存在 解析：因为a7＝a6＋‎2a5，所以a5q2＝a5q＋‎2a5，‎ 又a5≠0，所以q2＝q＋2，所以q＝2或q＝－1，‎ 又an>0，所以q＝2.‎ 5‎ 又 ＝‎4a1，所以aman＝‎16a，‎ 所以aqm－1·qn－1＝‎16a，‎ 所以qm＋n－2＝16，即‎2m＋n－2＝24，‎ 所以m＋n－2＝4，所以m＋n＝6.故选B.‎ ‎14．已知a，b，c成等比数列，m，n分别是a，b和b，c的等差中项，则＋＝2.‎ 解析：∵m＝，n＝，b2＝ac，‎ ‎∴＋＝＋ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝2.‎ ‎15．设数列{an}的前n项和Sn＝2an－2n.‎ ‎(1)求a3，a4；‎ ‎(2)证明：{an＋1－2an}是等比数列；‎ ‎(3)求{an}的通项公式．‎ 解：(1)∵a1＝S1,‎2a1＝S1＋2，∴a1＝2，S1＝2.‎ 由2an＝Sn＋2n知 ‎2an＋1＝Sn＋1＋2n＋1＝an＋1＋Sn＋2n＋1，‎ ‎∴an＋1＝Sn＋2n＋1.①‎ ‎∴a2＝S1＋22＝2＋22＝6，S2＝8，‎ a3＝S2＋23＝8＋23＝16，S3＝24，‎ a4＝S3＋24＝40.‎ ‎(2)证法一：由题设和①式知 an＋1－2an＝(Sn＋2n＋1)－(Sn＋2n)＝2n＋1－2n＝2n.‎ ‎∴数列{an＋1－2an}是首项为2，公比为2的等比数列．‎ 证法二：由Sn＝2an－2n，②‎ 得Sn＋1＝2an＋1－2n＋1.③‎ ‎③－②得an＋1＝2an＋1－2n＋1－2an＋2n，即an＋1－2an＝2n.‎ ‎∴数列{an＋1－2an}是首项为2，公比为2的等比数列．‎ ‎(3)由(2)知an＋1－2an＝2n，‎ 等号两端同时除以2n＋1，得－＝，‎ ‎∴数列是以＝1为首项，以为公差的等差数列，‎ ‎∴＝1＋(n－1)，‎ 即an＝(n＋1)·2n－1.‎ 5‎ 5‎