【数学】2021届一轮复习北师大版(文)第六章 第5讲 数列的综合应用作业

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【数学】2021届一轮复习北师大版(文)第六章 第5讲 数列的综合应用作业

第5讲 数列的综合应用 ‎[基础题组练]‎ ‎1.(2020·开封市定位考试)等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3+4S2=0,则公比q=(  )‎ A.-1          B.1‎ C.-2 D.2‎ 解析:选C.法一:因为a3+4S2=0,所以a1q2+4a1+4a1q=0,因为a1≠0,所以q2+4q+4=0,所以q=-2,故选C.‎ 法二:因为a3+4S2=0,所以a2q++4a2=0,因为a2≠0,所以q++4=0,即(q+2)2=0,所以q=-2,故选C.‎ ‎2.(2020·宁夏银川一中一模)已知等比数列{an}中,有a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,其前n项和为Sn,且b7=a7,则S13=(  )‎ A.26 B.52‎ C.78 D.104‎ 解析:选B.设等比数列{an}的公比为q,因为a3a11=4a7,所以a=4a7≠0,解得a7=4,‎ 因为数列{bn}是等差数列,且b7=a7,‎ 所以S13==13b7=13a7=52.故选B.‎ ‎3.(2020·吉林长春5月联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d>0,a6和a8是函数f(x)=ln x+x2-8x的极值点,则S8=(  )‎ A.-38 B.38‎ C.-17 D.17‎ 解析:选A.因为f(x)=ln x+x2-8x,所以f′(x)=+x-8==,‎ 令f′(x)=0,解得x=或x=.‎ 又a6和a8是函数f(x)的极值点,且公差d>0,‎ 所以a6=,a8=,所以解得 所以S8=8a1+×d=-38,故选A.‎ ‎4.设y=f(x)是一次函数,若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+…+f(2n)等于(  )‎ A.n(2n+3) B.n(n+4)‎ C.2n(2n+3) D.2n(n+4)‎ 解析:选A.由题意可设f(x)=kx+1(k≠0),则(4k+1)2=(k+1)×(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+…+f(2n)=(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2×2n+1)=n(2n+3).‎ ‎5.(2020·江西南昌模拟)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…即F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3,n∈N+).此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列{an},则数列{an}的前2 019项的和为(  )‎ A.672 B.673‎ C.1 346 D.2 019‎ 解析:选C.由于{an}是数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…各项除以2的余数,‎ 故{an}为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,…,‎ 所以{an}是周期为3的周期数列,‎ 且一个周期中的三项之和为1+1+0=2.‎ 因为2 019=673×3,‎ 所以数列{an}的前2 019项的和为673×2=1 346.故选C.‎ ‎6.(2019·高考北京卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5= ,Sn的最小值为 .‎ 解析:设等差数列{an}的公差为d,因为即所以可得所以a5=a1+4d=0,因为Sn=na1+d=(n2-9n),所以当n=4或n=5时,Sn取得最小值,最小值为-10.‎ 答案:0 -10‎ ‎7.若数列{an}满足-=0,则称{an}为“梦想数列”.已知正项数列{}为“梦想数列”,且b1+b2+b3=1,则b6+b7+b8= .‎ 解析:由-=0可得an+1=an,故{an}是公比为的等比数列,故{}是公比为的等比数列,则{bn}是公比为2的等比数列,b6+b7+b8=(b1+b2+b3)25=32.‎ 答案:32‎ ‎8.(2020·河北石家庄4月模拟)数列{an}的前n项和为Sn,定义{an}的“优值”为Hn=,现已知{an}的“优值”Hn=2n,则Sn= .‎ 解析:由Hn==2n,‎ 得a1+2a2+…+2n-1an=n·2n, ①‎ 当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)2n-1, ②‎ 由①-②得2n-1an=n·2n-(n-1)2n-1=(n+1)2n-1,即an=n+1(n≥2),‎ 当n=1时,a1=2也满足式子an=n+1,‎ 所以数列{an}的通项公式为an=n+1,所以Sn==.‎ 答案: ‎9.(2020·武汉市部分学校调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=3.‎ ‎(1)若a3+b3=7,求{bn}的通项公式;‎ ‎(2)若T3=13,求Sn.‎ 解:(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,‎ 则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.‎ 由a2+b2=3,得d+q=4,①‎ 由a3+b3=7,得2d+q2=8,②‎ 联立①②,解得q=2或q=0(舍去),因此{bn}的通项公式为bn=2n-1.‎ ‎(2)因为T3=b1(1+q+q2),‎ 所以1+q+q2=13,‎ 解得q=3或q=-4,‎ 由a2+b2=3得d=4-q,‎ 所以d=1或d=8.‎ 由Sn=na1+n(n-1)d,得Sn=n2-n或Sn=4n2-5n.‎ ‎10.(2020·湖南省湘东六校联考)已知数列{an}的前n项和Sn满足=+1(n≥2,n∈N),且a1=1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an;‎ ‎(2)记bn=,Tn为{bn}的前n项和,求使Tn≥成立的n的最小值.‎ 解:(1)由已知有-=1(n≥2,n∈N),所以数列{}为等差数列,又==1,所以=n,即Sn=n2.‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.‎ 又a1=1也满足上式,所以an=2n-1.‎ ‎(2)由(1)知,bn==,‎ 所以Tn===.‎ 由Tn≥得n2≥4n+2,即(n-2)2≥6,所以n≥5,‎ 所以n的最小值为5.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.(2020·北京市石景山区3月模拟)九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏,它用九个圆环相连成串,以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载:“两环互相贯为一,得其关捩,解之为二,又合而为一.”在某种玩法中,用an表示解下n(n≤9,n∈N+)个圆环所需的最少移动次数,数列{an}满足a1=1,且an=则解下4个环所需的最少移动次数a4为(  )‎ A.7 B.10‎ C.12 D.22‎ 解析:选A.因为数列{an}满足a1=1,且an= 所以a2=2a1-1=2-1=1,所以a3=2a2+2=2×1+2=4,‎ 所以a4=2a3-1=2×4-1=7.故选A.‎ ‎2.已知an=3n(n∈N+),记数列{an}的前n项和为Tn,若对任意的n∈N+,k≥3n-6恒成立,则实数k的取值范围是 .‎ 解析:Tn==-+,‎ 所以Tn+=,‎ 则原不等式可以转化为k≥=恒成立,‎ 令f(n)=,‎ 当n=1时,f(n)=-,当n=2时,f(n)=0,‎ 当n=3时,f(n)=,当n=4时,f(n)=,即f(n)是先增加后减少,当n=3时,取得最大值,所以k≥.‎ 答案:k≥ ‎3.(2019·高考江苏卷节选)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.‎ ‎(1)已知等比数列{an}(n∈N+)满足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求证:数列{an}为“M-数列”;‎ ‎(2)已知数列{bn}(n∈N+)满足:b1=1,=-,其中Sn为数列{bn}的前n项和.求数列{bn}的通项公式.‎ 解:(1)证明:设等比数列{an}的公比为q,所以a1≠0,q≠0.‎ 由得 解得 因此数列{an}为“M-数列”.‎ ‎(2)因为=-,所以bn≠0.‎ 由b1=1,S1=b1,得=-,则b2=2.‎ 由=-,得Sn=,‎ 当n≥2时,由bn=Sn-Sn-1,‎ 得bn=-,‎ 整理得bn+1+bn-1=2bn.‎ 所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.‎ 因此,数列{bn}的通项公式为bn=n(n∈N+).‎ ‎4.(2020·陕西宝鸡二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足:a1=1,Sn+1-1=Sn+an,数列{bn}为等比数列,满足b1=4b3,b2=<b1,n∈N+.‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(2)若数列的前n项和为Wn,数列{bn}的前n项和为Tn,试比较Wn与的大小.‎ 解:(1)由Sn+1-1=Sn+an,‎ 可得an+1=an+1,又a1=1,‎ 所以数列{an}是首项和公差均为1的等差数列,‎ 可得an=n.‎ 因为数列{bn}为等比数列,满足b1=4b3,b2=<b1,n∈N+,‎ 所以设公比为q,可得b1=4b1q2,所以q=±,‎ 当q=时,b1=,可得b1=>.‎ 当q=-时,-b1=,得b1=-,不满足b2<b1,舍去,‎ 所以bn=.‎ ‎(2)==-,‎ Wn=1-+-+…+-=1-=<1.‎ Tn==1-∈,则1<≤2,故Wn<.‎
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