浙江省台州市中考数学试卷解析

浙江省台州市中考数学试卷解析

浙江省台州市2014年中考数学试卷(解析版)‎ ‎　‎ 一、选择题（本题有10个小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选，多选，错选，均不得分）‎ ‎1．（4分）（2014•台州）计算﹣4×（﹣2）的结果是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎8‎ B．‎ ‎﹣8‎ C．‎ ‎6‎ D．‎ ‎﹣2‎ 考点：‎ 有理数的乘法．‎ 分析：‎ 根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：﹣4×（﹣2），‎ ‎=4×2，‎ ‎=8．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了有理数的乘法，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）（2014•台州）如图，由相同的小正方体搭成的几何体的主视图是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单组合体的三视图．‎ 分析：‎ 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．‎ 解答：‎ 解；从正面看第一层是三个正方形，第二层是中间一个正方形，‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）（2014•台州）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直与地面BC，垂足为D，OD=50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎25cm B．‎ ‎50cm C．‎ ‎75cm D．‎ ‎100cm 考点：‎ 三角形中位线定理 专题：‎ 应用题．‎ 分析：‎ 判断出OD是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AC=2OD．‎ 解答：‎ 解：∵O是AB的中点，OD垂直于地面，AC垂直于地面，‎ ‎∴OD是△ABC的中位线，‎ ‎∴AC=2OD=2×50=100cm．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）（2014•台州）下列整数中，与最接近的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4‎ B．‎ ‎5‎ C．‎ ‎6‎ D．‎ ‎7‎ 考点：‎ 估算无理数的大小 分析：‎ 根据5，25 与30的距离小于36与30的距离，可得答案．‎ 解答：‎ 解：与最接近的是5，‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题考查了估算无理数的大小，两个被开方数的差小，算术平方根的差也小是解题关键．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）（2014•台州）从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 圆周角定理．‎ 分析：‎ 根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：∵直径所对的圆周角等于直角，‎ ‎∴从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）（2014•台州）某品牌电插座抽样检查的合格率为99%，则下列说法总正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 购买100个该品牌的电插座，一定有99个合格 ‎　‎ B．‎ 购买1000个该品牌的电插座，一定有10个不合格 ‎　‎ C．‎ 购买20个该品牌的电插座，一定都合格 ‎　‎ D．‎ 即使购买一个该品牌的电插座，也可能不合格 考点：‎ 概率的意义．‎ 分析：‎ 根据概率的意义，可得答案．‎ 解答：‎ 解；A、B、C、说法都非常绝对，故A、B、C错误；‎ D、即使购买一个该品牌的电插座，也可能不合格，说法合理，故D正确；‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查了概率的意义，本题解决的关键是理解概率的意义以及必然事件的概念．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）（2014•台州）将分式方程1﹣=去分母，得到正确的整式方程是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1﹣2x=3‎ B．‎ x﹣1﹣2x=3‎ C．‎ ‎1+2x=3‎ D．‎ x﹣1+2x=3‎ 考点：‎ 解分式方程．‎ 专题 计算题．‎ ‎：‎ 分析：‎ 分式方程两边乘以最简公分母x﹣1，即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：分式方程去分母得：x﹣1﹣2x=3，‎ 故选B 点评：‎ 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）（2014•台州）如图，把一个小球垂直向上抛出，则下列描述该小球的运动速度v（单位：m/s）与运动时间（单位：s）关系的函数图象中，正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 动点问题的函数图象 分析：‎ 一个小球垂直向上抛出，小球的运动速度v越来越小，到达最高点是为0，小球下落时速度逐渐增加，据此选择即可．‎ 解：根据分析知，运动速度v先减小后增大，‎ 解答：‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题主要考查了动点问题的函数图象．分析小球的运动过程是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）（2014•台州）如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF的度数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎45°‎ B．‎ ‎50°‎ C．‎ ‎60°‎ D．‎ 不确定 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；正方形的性质．‎ 分析：‎ 证明Rt△BHE≌Rt△EIF，可得∠IEF+∠HEB=90°，再根据BE=EF即可解题．‎ 解答：‎ 解：如图所示，过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，则∠BHE=∠EIF=90°，‎ ‎∵E是BF的垂直平分线EM上的点，‎ ‎∴EF=EB，‎ ‎∵E是∠BCD角平分线上一点，‎ ‎∴E到BC和CD的距离相等，即BH=EI，‎ Rt△BHE和Rt△EIF中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△BHE≌Rt△EIF（HL），‎ ‎∴∠HBE=∠IEF，‎ ‎∵∠HBE+∠HEB=90°，‎ ‎∴∠IEF+∠HEB=90°，‎ ‎∴∠BEF=90°，‎ ‎∵BE=EF，‎ ‎∴∠EBF=∠EFB=45°，‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质，考查了直角三角形全等的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）（2014•台州）如图，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4：3‎ B．‎ ‎3：2‎ C．‎ ‎14：9‎ D．‎ ‎17：9‎ 考点：‎ 菱形的性质；平移的性质 分析：‎ 首先得出△MEC∽△DAC，则=，进而得出=，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵ME∥AD，‎ ‎∴△MEC∽△DAC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，‎ ‎∴AE=1cm，EC=3cm，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为：=．‎ 故选：C．‎ 此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出 点评：‎ ‎=是解题关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎11．（5分）（2014•台州）计算x•2x2的结果是　2x3　．‎ 考点：‎ 单项式乘单项式．‎ 分析：‎ 根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．‎ 解答：‎ 解：x•2x2=2x3．‎ 故答案是：2x3．‎ 点评：‎ 本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2014•台州）如图折叠一张矩形纸片，已知∠1=70°，则∠2的度数是　55°　．‎ 考点 平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．‎ ‎：‎ 分析：‎ 根据折叠性质得出∠2=∠EFG，求出∠BEF，根据平行线性质求出∠CFE，即可求出答案．‎ 解答：‎ 解：‎ 根据折叠得出∠EFG=∠2，‎ ‎∵∠1=70°，‎ ‎∴∠BEF=∠1=70°，‎ ‎∵AB∥DC，‎ ‎∴∠EFC=180°﹣∠BEF=110°，‎ ‎∴∠2=∠EFG=∠EFC=55°，‎ 故答案为：55°．‎ 点评：‎ 本题考查了平行线的性质，折叠的性质，对顶角相等的应用，解此题的关键是能根据平行线性质求出∠CFE的度数．!‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2014•台州）因式分解a3﹣4a的结果是　a（a+2）（a﹣2）　．‎ 考点：‎ 提公因式法与公式法的综合运用 专题 计算题．‎ ‎：‎ 分析：‎ 原式提取a后，利用平方差公式分解即可．‎ 解答：‎ 解：原式=a（a2﹣4）‎ ‎=a（a+2）（a﹣2）．‎ 故答案为：a（a+2）（a﹣2）．‎ 点评：‎ 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2014•台州）抽屉里放着黑白两种颜色的袜子各1双（除颜色外其余都相同），在看不见的情况下随机摸出两只袜子，它们恰好同色的概率是　　．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法 分析：‎ 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与它们恰好同色的情况，再利用概率公式即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：画树状图得：‎ ‎∵共有12种等可能的结果，它们恰好同色的有4种情况，‎ ‎∴它们恰好同色的概率是：=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2014•台州）如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，做CD⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径为　50　cm．‎ ‎ ‎ 考点：‎ 垂径定理的应用；勾股定理 分析：‎ 设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，根据CD=10cm，AB=60cm，设设半径为r，则OD=r﹣10，根据垂径定理得：r2=（r﹣10）2+302，求得r的值即可．‎ 解答：‎ 解：如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，‎ ‎∵CD=10cm，AB=60cm，‎ ‎∴设半径为r，则OD=r﹣10，‎ 根据题意得：r2=（r﹣10）2+302，‎ 解得：r=50，‎ 故答案为50．‎ 点评：‎ 本题考查了垂径定理的应用，解题的关键是正确构造直角三角形．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2014•台州）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：‎ 则第n次运算的结果yn=　　（用含字母x和n的代数式表示）．‎ 考点：‎ 分式的混合运算．‎ 专题：‎ 图表型；规律型．‎ 将y1代入y2计算表示出y2，将y2代入y3计算表示出y3‎ 分析：‎ ‎，归纳总结得到一般性规律即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：将y1=代入得：y2==；‎ 将y2=代入得：y3==，‎ 依此类推，第n次运算的结果yn=．‎ 故答案为：‎ 点评：‎ 此题考查了分式的混合运算，找出题中的规律是解本题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分）‎ ‎17．（8分）（2014•台州）计算：|2﹣1|+（﹣1）0﹣（）﹣1．‎ 考点：‎ 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．‎ 分析：‎ 分别根据0指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；‎ 解答：‎ 解：原式=2﹣1+1﹣‎ ‎=．‎ 点评：‎ 本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（8分）（2014•台州）解不等式组：，并把解集在如图数轴上表示出来．‎ 考点：‎ 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．‎ 分析：‎ 先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．‎ 解答：‎ 解：‎ ‎∵解不等式①得：x＞2，‎ 解不等式②得：x＜3，‎ ‎∴不等式组的解集为2＜x＜3，‎ 在数轴上表示为：‎ ‎．‎ 点评：‎ 本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）（2014•台州）已知反比函数y=，当x=2时，y=3．‎ ‎（1）求m的值； ‎ ‎（2）当3≤x≤6时，求函数值y的取值范围．‎ 考点：‎ 待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质 分析：‎ ‎（1）把x、y的值代入反比例函数解析式，通过方程来求m的值；‎ ‎（2）根据反比例函数图象的性质进行解答．‎ 解答：‎ 解：（1）把x=2时，y=3代入y=，得 ‎3=，‎ 解得：m=﹣1；‎ ‎（2）由m=﹣1知，该反比例函数的解析式为：y=．‎ 当x=3时，y=2；‎ 当x=6时，y=1．‎ ‎∴当3≤x≤6时，函数值y的取值范围是：1≤y≤2．‎ 点评：‎ 本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式．（1）题，实际上是把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程 ‎　‎ ‎20．（8分）（2014•台州）如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2．雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB=CD且AD=BC，这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结论．‎ 考点：‎ 平行四边形的判定与性质 专题：‎ 应用题．‎ 分析：‎ 首先证明四边形ABCD是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可判断．‎ 解答：‎ 证明：∵AB=CD、AD=BC，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ 又∵EF⊥AD，‎ ‎∴EF⊥BC．‎ 点评：‎ 本题考查了平行四边形的判定与性质，正确理解平行四边形的判定方法是关键．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）（2014•台州）如图，某翼装飞行员从离水平地面高AC=500m的A处出发，沿这俯角为15°的方向，直线滑行1600米到达D点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点．求他飞行的水平距离BC（结果精确到1m）．‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ 分析：‎ 首先过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，进而里锐角三角函数关系得出DE、AE的长，即可得出DF的长，求出BC即可．‎ 解答：‎ 解：过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，‎ 由题意可得：∠ADE=15°，∠BDF=15°，AD=1600m，AC=500m，‎ ‎∴cos∠ADE=cos15°=≈0.97，‎ ‎∴≈0.97，‎ 解得：DE=1552（m），‎ sin15°=≈0.26，‎ ‎∴≈0.26，‎ 解得；AE=416（m），‎ ‎∴DF=500﹣416=84（m），‎ ‎∴tan∠BDF=tan15°=≈0.27，‎ ‎∴≈0.27，‎ 解得：BF=22.68（m），‎ ‎∴BC=CF+BF=1552+22.68=1574.68≈1575（m），‎ 答：他飞行的水平距离为1575m．‎ 点评：‎ 此题主要考查了解直角三角形的应用，正确构造直角三角形得出CF，BF的长是解题关键．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2014•台州）为了估计鱼塘中成品鱼（个体质量在0.5kg及以上，下同）的总质量，先从鱼塘中捕捞50条成品鱼，称得它们的质量如表：‎ 质量/kg ‎0.5‎ ‎0.6‎ ‎0.7‎ ‎1.0‎ ‎1.2‎ ‎1.6‎ ‎1.9‎ 数量/条 ‎1‎ ‎8‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ 然后做上记号再放回水库中，过几天又捕捞了100条成品鱼，发现其中2条带有记号．‎ ‎（1）请根据表中数据补全如图的直方图（各组中数据包括左端点不包括右端点）．‎ ‎（2）根据图中数据分组，估计从鱼塘中随机捕一条成品鱼，其质量落在哪一组的可能性最大？‎ ‎（3）根据图中数据分组，估计鱼塘里质量中等的成品鱼，其质量落在哪一组内？‎ ‎（4）请你用适当的方法估计鱼塘中成品鱼的总质量（精确到1kg）．‎ 考点：‎ 频数（率）分布直方图；用样本估计总体．‎ 分析：‎ ‎（1）由函数图象可以得出1.1﹣1.4的有5条，就可以补全直方图；‎ ‎（2）分别求出各组的频率，就可以得出结论；‎ ‎（3）由这组数据的个数为50，就可以得出第25个和第26个数的平均数就可以得出结论；‎ ‎（4）设鱼塘中成品鱼的总质量为x，根据作记号的鱼50：x=2：100建立方程求出其解即可．‎ 解答：‎ 解：（1）由函数图象可以得出1.1﹣1.4的有5条，补全图形，得：‎ ‎（2）由题意，得 ‎0.5﹣0.8的频率为：24÷50=0.48，‎ ‎0.8﹣1.1的频率为：18÷50=0.36，‎ ‎1.1﹣1.4的频率为：5÷50=0.1，‎ ‎1.4﹣1.7的频率为：1÷50=0.02，‎ ‎1.7﹣2.0的频率为：2÷50=0.04．‎ ‎∵0.48＞0.36＞0.1＞0.04＞0.02．‎ ‎∴估计从鱼塘中随机捕一条成品鱼，其质量落在0.5﹣0.8的可能性最大；‎ ‎（3）这组数据的个数为50，就可以得出第25个和第26个数分别是1.0，1.0，‎ ‎∴（1.0+1.0）÷2=1.0‎ 鱼塘里质量中等的成品鱼，其质量落在0.8﹣1.1内；‎ ‎（4）设鱼塘中成品鱼的总质量为x，由题意，得 ‎50：x=2：100，‎ 解得：x=2500．‎ ‎2500×=2260kg．‎ 点评：‎ 本题考查了频数分布直方图的运用，比较频率大小的运用，中位数的运用，平均数的运用，由样本数据估计总体数据的运用，解答时认真分析统计表和统计图的数据是关键．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）（2014•台州）某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．‎ ‎（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；‎ ‎（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润=销售总收入﹣经营总成本）．‎ ‎①求w关于x的函数关系式；‎ ‎②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？‎ ‎（3）第二次，该公司准备投入132万元，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．‎ 考点：‎ 二次函数的应用 分析：‎ ‎（1）这是一个分段函数，分别求出其函数关系式；‎ ‎（2）①当2≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w=销售总收入﹣经营总成本=wA+wB﹣3×20；‎ ‎②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类杨梅的数量；‎ ‎（3）本问是方案设计问题，总投入为132万元，这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本．共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，分别求出当2≤x＜8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值．‎ 解答：‎ 解：（1）①当2≤x＜8时，如图，‎ 设直线AB解析式为：y=kx+b，将A（2，12）、B（8，6）代入得：‎ ‎，解得，‎ ‎∴y=﹣x+14；‎ ‎②当x≥8时，y=6．‎ ‎∴A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：‎ y=．‎ ‎（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨．‎ ‎①当2≤x＜8时，‎ wA=x（﹣x+14）﹣x=﹣x2+13x；‎ wB=9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]=108﹣6x ‎∴w=wA+wB﹣3×20‎ ‎=（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60‎ ‎=﹣x2+7x+48；‎ 当x≥8时，‎ wA=6x﹣x=5x；‎ wB=9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]=108﹣6x ‎∴w=wA+wB﹣3×20‎ ‎=（5x）+（108﹣6x）﹣60‎ ‎=﹣x+48．‎ ‎∴w关于x的函数关系式为：‎ w=．‎ ‎②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48=30，解得x1=9，x2=﹣2，均不合题意；‎ 当x≥8时，﹣x+48=30，解得x=18．‎ ‎∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．‎ ‎（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，‎ 则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]万元，‎ ‎∴3m+x+[12+3（m﹣x）]=132，化简得：x=3m﹣60．‎ ‎①当2≤x＜8时，‎ wA=x（﹣x+14）﹣x=﹣x2+13x；‎ wB=9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]=6m﹣6x﹣12‎ ‎∴w=wA+wB﹣3×m ‎=（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m ‎=﹣x2+7x+3m﹣12．‎ 将3m=x+60代入得：w=﹣x2+8x+48=﹣（x﹣4）2+64‎ ‎∴当x=4时，有最大毛利润64万元，‎ 此时m=，m﹣x=；‎ ‎②当x＞8时，‎ wA=6x﹣x=5x；‎ wB=9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]=6m﹣6x﹣12‎ ‎∴w=wA+wB﹣3×m ‎=（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m ‎=﹣x+3m﹣12．‎ 将3m=x+60代入得：w=48‎ ‎∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．‎ 综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．‎ 点评：‎ 本问是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论．‎ ‎　‎ ‎24．（14分）（2014•台州）研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定．‎ 定义：六个内角相等的六边形叫等角六边形．‎ ‎（1）研究性质 ‎①如图1，等角六边形ABCDEF中，三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么位置关系？证明你的结论 ‎②如图2，等角六边形ABCDEF中，如果有AB=DE，则其余两组正对边BC与EF，CD与AF相等吗？证明你的结论 ‎③如图3，等角六边形ABCDEF中，如果三条正对角线AD，BE，CF相交于一点O，那么三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么数量关系？证明你的结论．‎ ‎（2）探索判定 三组正对边分别平行的六边形，至少需要几个内角为120°，才能保证六边形一定是等角六边形？‎ 考点：‎ 四边形综合题；全等三角形的判定与性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质 专题：‎ 证明题；新定义；探究型．‎ 分析：‎ ‎（1）通过验证容易得到猜想：三组正对边分别平行．要证明两条线段平行，只需证明同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，要证AB∥DE，只需连接AD，证明∠ADE=∠DAB即可，其它两组同理可得．‎ ‎（2）要证BC=EF，CD=AF，只需连接AE、BD，证明△AFE≌△DCB即可．‎ ‎（3）由条件“三条正对角线AD，BE，CF相交于一点O“及（1）中的结论可证到=，将等角六边形ABCDEF补成等边三角形后，可以证到AB+AF=DE+DC，从而得到三组正对边分别相等．‎ ‎（4）若只有1个内角为120°或有2个内角为120°，可以通过举反例说明该六边形不一定是等角六边形；若有3个内角为120°，可以通过分类讨论证明该六边形一定是等角六边形．‎ 解答：‎ 解：（1）①结论：AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF．‎ 证明：连接AD，如图1，‎ ‎∵六边形ABCDEF是等角六边形，∴∠BAF=∠F=∠E=∠EDC=∠C=∠B==120°．‎ ‎∵∠DAF+∠F+∠E+∠EDA=360°，∴∠DAF+∠EDA=360°﹣120°﹣120°=120°．‎ ‎∵∠DAF+∠DAB=120°，∴∠DAB=∠EDA．∴AB∥DE．‎ 同理BC∥EF，CD∥AF．‎ ‎②结论：EF=BC，AF=DC．‎ 证明：连接AE、DB，如图2，‎ ‎∵AB∥DE，AB=DE，∴四边形ABDE是平行四边形．‎ ‎∴AE=DB，∠EAB=∠BDE．‎ ‎∵∠BAF=∠EDC．∴∠FAE=∠CDB．‎ 在△AFE和△DCB中，‎ ‎．‎ ‎∴△AFE≌△DCB．‎ ‎∴EF=BC，AF=DC．‎ ‎③结论：AB=DE，AF=DC，EF=BC．‎ 延长FE、CD相交于点P，延长EF、BA相交于点Q，延长DC、AB相交于点S，如图3．‎ ‎∵六边形ABCDEF是等角六边形，∴∠BAF=∠AFE=120°．∴∠QAF=∠QFA=60°．‎ ‎∴△QAF是等边三角形．∴∠Q=60°，QA=QF=AF．‎ 同理：∠S=60°，SB=SC=BC；∠P=60°，PE=PD=ED．‎ ‎∵∠S=∠P=60°，∴△PSQ是等边三角形．∴PQ=QS=SP．‎ ‎∴QB=QS﹣BS=PS﹣CS=PC．∴AB+AF=AB+QA=QB=PC=PD+DC=ED+DC．‎ ‎∵AB∥ED，∴△AOB～△DOE．∴．‎ 同理：，．‎ ‎∴．‎ ‎∴==1．‎ ‎∴AB=ED，AF=DC，EF=BC．‎ ‎（2）连接BF，如图4，‎ ‎∵BC∥EF，∴∠CBF+∠EFB=180°．‎ ‎∵∠A+∠ABF+∠AFB=180°，∴∠ABC+∠A+∠AFE=360°．‎ 同理：∠A+∠ABC+∠C=360°．‎ ‎∴∠AFE=∠C．‎ 同理：∠A=∠D，∠ABC=∠E．‎ Ⅰ．若只有1个内角等于120°，不能保证该六边形一定是等角六边形．‎ 反例：当∠A=120°，∠ABC=150°时，∠D=∠A∠=120°，∠E=∠ABC=150°．‎ ‎∵六边形的内角和为720°，∴∠AFE=∠C=（720°﹣120°﹣120°﹣150°﹣150°）=90°．‎ 此时该六边形不是等角六边形．‎ Ⅱ．若有2个内角等于120°，也不能保证该六边形一定是等角六边形．‎ 反例：当∠A=∠D=120°，∠ABC=150°时，∠E=∠ABC=150°．‎ ‎∵六边形的内角和为720°，∴∠AFE=∠C=（720°﹣120°﹣120°﹣150°﹣150°）=90°．‎ 此时该六边形不是等角六边形．‎ Ⅲ．若有3个内角等于120°，能保证该六边形一定是等角六边形．‎ 设∠A=∠D=α，∠ABC=∠E=β，∠AFE=∠C=γ．则2α+2β+2γ=720°．∴α+β+γ=360°．‎ ‎∵有3个内角等于120°，∴α、β、γ中至少有两个为120°．‎ 若α、β、γ都等于120°，则六个内角都等于120°；‎ 若α、β、γ中有两个为120°，根据α+β+γ=360°可得第三个也等于120°，则六个内角都等于120°．‎ 综上所述：至少有3个内角等于120°，能保证该六边形一定是等角六边形．‎ 点评：‎ 本题引导学生对几何图形进行科学探究（从 定义到性质到判定），考查了相似三角形、全等三角形以及平行四边形的性质与判定、多边形的内角和定理等知识，考查了分类讨论的思想，培养了学生的批判意识（举反例说明一个命题是假命题），是一道非常难得的好题．‎