高考数学解题方法攻略函数与方程理

高考数学解题方法攻略函数与方程理

专题四：函数与方程思想 【考情分析】 纵观近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学 思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一。在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例 始终在 20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题。函 数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应 用技巧多。在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。 在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应 用可分为逐步提高的四个层次：（1）解方程；（2）含参数方程讨论；（3）转化为对方程的研 究，如直线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系；（4）构造方程求解。 预测 2012 年高考对本讲考查趋势：函数的零点问题、二次函数、二次方程、二次不等式 间的关系；特别注意客观形题目，大题一般难度略大。 【知识交汇】 函数与方程（不等式）的思想贯穿于高中学习的各个内容，求值的问题就要涉及到方程， 求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程（不等式） 思想的运用使我们解决问题的重要手段。 函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程 f(x)＝0 的解就是函 数 y＝f(x)的图像与 x 轴的交点的横坐标，函数 y＝f(x)也可以看作二元方程 f(x)－y＝0 通 过方程进行研究。就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借 助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问 题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨 论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。许多有关方程的问题可以用函数的方 法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的 基本思想，也是历年高考的重点。 1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系 或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思 想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和 解决问题； 2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造 方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方 程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处 理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系； 3．函数的思想与方程的思想的关系 在中学数学中，很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持，很多方程的问题需要 用函数的知识和方法去解决．对于函数 y＝f(x)，当 y＝0 时，就转化为方程 f(x)＝0，也可 以把函数 y＝f(x)看作二元方程 y－f(x)＝0，函数与方程可相互转化。 4．函数方程思想的几种重要形式 （1）函数和方程是密切相关的，对于函数 y＝f(x)，当 y＝0 时，就转化为方程 f(x)＝0， 也可以把函数式 y＝f(x)看做二元方程 y－f(x)＝0。函数问题（例如求反函数，求函数的值 域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程 f(x) ＝0，就是求函数 y＝f(x)的零点； （2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数 y＝f(x)，当 y>0 时，就转化为不等式 f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式； （3）数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分 重要； （4）函数 f(x)＝ nbax )(  （n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值 法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题； （5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方 程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论； （6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数 表达式的方法加以解决。 【思想方法】 题型 1：函数思想在方程中应用 例 1．已知 15 5  a cb （a、b、c∈R），则有（ ） (A) acb 42  (B) acb 42  (C) acb 42  (D) acb 42  解析： 法一：依题设有 a·5－b· 5 ＋c＝0， ∴ 5 是实系数一元二次方程 02  cbxax 的一个实根； ∴△＝ acb 42  ≥0 ∴ acb 42  故选(B)； 法二：去分母，移项，两边平方得： 222 10255 cacab  ≥10ac＋2·5a·c＝20ac， ∴ acb 42  故选(B) 题型 2：函数思想在不等式中的应用 例 2．若 a、b 是正数，且满足 ab＝a＋b＋3，求 ab 的取值范围。 方法一 (看成函数的值域)∵ab＝a＋b＋3，∴a≠1，∴b＝a＋3 a－1 ，而 b>0，∴a＋3 a－1 >0，即 a>1 或 a<－3，又 a>0，∴a>1，故 a－1>0.∴ab＝a·a＋3 a－1 ＝(a－1)2＋5(a－1)＋4 a－1 ＝(a－1)＋ 4 a－1 ＋5≥9. 当且仅当 a－1＝ 4 a－1 ，即 a＝3 时取等号．又 a>3 时，(a－1)＋ 4 a－1 ＋5 是关于 a 的单调 增函数． ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． 方法二 (看成不等式的解集)∵a，b 为正数，∴a＋b≥2 ab，又 ab＝a＋b＋3，∴ab≥2 ab ＋3. 即( ab)2－2 ab－3≥0，解得 ab≥3 或 ab≤－1(舍去)，∴ab≥9.∴ab 的取值范围是[9， ＋∞)． 方法三 若设 ab＝t，则 a＋b＝t－3，∴a，b 可看成方程 x2－(t－3)x＋t＝0 的两个正 根． 从而有 Δ＝(t－3)2－4t≥0 a＋b＝t－3>0 ab＝t>0 ，即 t≤1 或 t≥9 t>3 t>0 ， 解得 t≥9，即 ab≥9.∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． 点评：当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程 后再利用方程知识可使问题巧妙解决。当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减 少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究 函数的方法将问题解决。 题型 3：函数思想在实际问题中的应用 例 3．（2011 陕西理 14) ．植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵， 相邻两棵树相距 10 米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出 发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）． 【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题； 【解】（方法一）设树苗放在第i 个树坑旁边（如图）， 1 2 … i … 19 20 那么各个树坑到第 i 个树坑距离的和是： ( 1) 10 ( 2) 10 ( ) 10 [( 1) ] 10 (20 ) 10s i i i i i i i                   ( 1) (20 )( 1 20)10 [ (20 ) ]2 2 i i i ii i i i           210( 21 210)i i   。 所以当 10i  或11时， s 的值最小，最小值是 1000，所以往返路程的最小值是 2000 米。 （方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一 个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第 10 个和第 11 个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放在第一 个树坑旁，则有路程总和是 19(1 19)10 (1 2 19) 2 10 2 38002          ；树苗放在第 10 个（或第 11 个）树坑旁边时，路程总和是： 10 (1 2 9) 10 (1 2 10) 2           9 (1 9) 10 (1 10)10 2 10 2 900 1100 20002 2             ， 所以路程总和最小为 2000 米. 点评：构造的二次函数形式在解题过程中起到了关键作用，函数是解决具体问题的有效 工具。该题通过分析实际模型建立了函数解析式，研究函数的性质，解释问题。 题型 4：函数思想在数列中的应用 例 4．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 123 a ， 12S >0， 13S <0， （1）求公差 d 的取值范围； （2）指出 1S 、 2S 、 3S …， 12S 中哪一个最大，并说明理由。 解析：（1）由 123 a 得： da 2121  ， ∵ 12S ＝ dda 421444412 1  >0， 13S ＝ dda 521567813 1  <0， ∴ 7 24

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