2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案：第四章三角函数解三角形第6节解三角形第1课时正弦定理和余弦定理
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第6节 解三角形
考试要求 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
知 识 梳 理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
常见
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A
b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
4.测量中的几个术语
(1)仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
(2)方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
[常用结论与微点提醒]
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos Asin B，则A>B.( )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.( )
解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
(3)已知三角时，不可求三边.
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC不一定为锐角三角形.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(新教材必修第二册P44例6改编)在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则cos B＝( )
A. B. C. D.
解析 由余弦定理知cos B＝＝.
答案 A
3.(老教材必修5P11例1改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )
A.50 m B.50 m C.25 m D. m
解析 在△ABC中，由正弦定理得＝，
又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，
∴AB＝＝＝50(m).
答案 A
4.(2019·安庆二模)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin 2A＝asin
B，且c＝2b，则等于( )
A. B. C. D.
解析 由bsin 2A＝asin B，及正弦定理得2sin Bsin Acos A＝sin Asin B，得cos A＝.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.故选D.
答案 D
5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A.4 B. C. D.2
解析 由题意得cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－.
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，所以AB＝4.
答案 A
6.(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________.
解析 作出单位圆的内接正六边形，如图，则OA＝OB＝AB＝1，S6＝6××12×sin 60°＝.
答案
第一课时 正弦定理和余弦定理
考点一 利用正、余弦定理解三角形
【例1】 (1)(2019·郑州二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2
－cos 2C＝1，4sin B＝3sin A，a－b＝1，则c的值为( )
A. B. C. D.6
(2)(2020·衡水模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝1，sin Acos C＋(sin C＋b)cos A＝0，则A＝________.
解析 (1)由2cos2－cos 2C＝1，
可得2cos2－1－cos 2C＝0，
则有cos 2C＋cos C＝0，即2cos2C＋cos C－1＝0，
解得cos C＝或cos C＝－1(舍)，
由4sin B＝3sin A，得4b＝3a，①
又a－b＝1，②
联立①，②得a＝4，b＝3，
所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋9－12＝13，则c＝.
(2)由sin Acos C＋(sin C＋b)cos A＝0，
得sin Acos C＋sin Ccos A＝－bcos A，
所以sin(A＋C)＝－bcos A，即sin B＝－bcos A，
又＝，所以＝＝－，
从而＝－⇒tan A＝－，
又因为00，∴sin A＝1，即A＝，
∴△ABC为直角三角形.
答案 (1)C (2)B
规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
【训练2】 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若0，
所以sin C0，所以cos B<0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.
(2)∵＝，∴＝，∴b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝，
∴△ABC是等边三角形.
答案 (1)A (2)C
考点三 和三角形面积有关的问题
【例3】 (2019·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin ＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.
解 (1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sin＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，
故cos＝2sincos.
因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由(1)知A＋C＝120°，
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°c2，故2b＝a，故选A.
[应用示范]由正弦定理及sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C得b＋2bcos C＝2acos C＋ccos A＝acos C＋(acos C＋ccos A)＝acos C＋b，即2bcos C＝acos C，又因为△ABC为锐角三角形，所以cos C≠0，则2b＝a.
答案 A
【例2】 (2017·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________.
[通性通法]依题意得2b×＝a×＋c×，即a2＋c2－b2＝ac，所以2accos B＝ac>0，cos B＝.又0a，B>A，0°
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