2012年高考立体几何专题复习

2012年高考立体几何专题复习

立体几何 重点知识回顾 ‎1、空间几何体的结构特征 ‎（1）棱柱、棱锥、棱台和多面体 棱柱是由满足下列三个条件的面围成的几何体：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行；棱柱按底面边数可分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等．棱柱性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等； ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.‎ ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.‎ 棱锥是由一个底面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体．棱锥具有以下性质：①底面是多边形；②侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形；③平行于底面的截面和底面是相似多边形，相似比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的比．截面面积和底面面积的比等于上述相似比的平方．‎ 棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分．由棱台定义可知，所有侧棱的延长线交于一点，继而将棱台还原成棱锥．‎ 多面体是由若干个多边形围成的几何体．多面体有几个面就称为几面体，如三棱锥是四面体．‎ ‎　（2）圆柱、圆锥、圆台、球 ‎　 分别以矩形的一边，直角三角形的一直角边，直角梯形垂直于底边的腰所在的直线，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周而形成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台、球 圆柱、圆锥和圆台的性质主要有：①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形；③圆台的上底变大到与下底相同时，可以得到圆柱；圆台的上底变小为一点时，可以得到圆锥．‎ ‎2、空间几何体的侧面积、表面积 ‎　（1）棱柱侧面展开图的面积就是棱柱的侧面积，棱柱的表面积就是它的侧面积与两底面面积的和．‎ ‎　 因为直棱柱的各个侧面都是等高的矩形，所以它的展开图是以棱柱的底面周长与高分别为长和宽的矩形．如果设直棱柱底面周长为，高为，则侧面积．‎ ‎　　若长方体的长、宽、高分别是a、b、c，则其表面积．‎ ‎　　（2）圆柱的侧面展开图是一个矩形．矩形的宽是圆柱母线的长，矩形的长为圆柱底面周长．如果设圆柱母线的长为，底面半径为r，那么圆柱的侧面积，此时圆柱底面面积.所以圆柱的表面积．‎ ‎　　（3）圆锥的侧面展开图是以其母线为半径的扇形．如果设圆锥底面半径为r，母线长为，则侧面积，那么圆锥的表面积是由其侧面积与底面面积的和构成，即为．‎ ‎　　（4）正棱锥的侧面展开图是个全等的等腰三角形．如果正棱锥的周长为，斜高为 ‎，则它的侧面积．‎ ‎　　（5）正棱台的侧面积就是它各个侧面积的和．如果设正棱台的上、下底面的周长是，斜高是，那么它的侧面积是．‎ ‎　　（6）圆台侧面展开图是以截得该圆台的圆锥母线为大圆半径，圆锥与圆台的母线之差为小圆半径的一个扇环．如果设圆台的上、下底面半径分别为，母线长为，那么它的侧面积是．‎ 圆台的表面积等于它的侧面积与上、下底面积的和，‎ 即．‎ ‎　　（7）球的表面积，即球的表面积等于其大圆面积的四倍．‎ ‎3、空间几何体的体积 ‎　　（1）柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积和高的积，即．其中底面半径是，高是的圆柱的体积是．‎ ‎　　（2）如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是，高是，那么它的体积是．其中底面半径是，高是的圆锥的体积是，就是说，锥体的体积是与其同底等高柱体体积的．‎ ‎　　（3）如果台体（棱台、圆台）的上、下底面积分别是，高是，那么它的体积是．其中上、下底半径分别是，高是的圆台的体积是．‎ ‎（4）球的体积公式：.‎ ‎4、中心投影和平行投影 ‎（1）中心投影：投射线均通过投影中心的投影。‎ ‎（2）平行投影：投射线相互平行的投影。‎ ‎（3）三视图的位置关系与投影规律 三视图的位置关系为：俯视图在主视图的下方、左视图在主视图的右方．‎ 三视图之间的投影规律为：‎ 主、俯视图———长对正；主、左视图———高平齐；俯、左视图———宽相等．‎ ‎5、直观图画法 斜二测画法的规则：‎ ‎（1）在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使90°，且90°．‎ ‎　　（2）画直观图时把它们画成对应的轴、轴和轴，它们相交于，并使45°， 90°。‎ ‎　　（3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴和轴的线段．‎ ‎　　（4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中长度相等；平行于y轴的线段，长度取一半．‎ ‎　　6．平面 ‎（1）对平面的理解 平面是一个不加定义、只须理解的最基本的原始概念．‎ 立体几何中的平面是理想的、绝对平且无限延展的模型，平面是无大小、厚薄之分的．类似于我们以前学的直线，它可以无限延伸，它是不可度量的．‎ ‎（2）对公理的剖析 ‎1）公理1的内容反映了直线与平面的位置关系，公理1的条件“线上不重合的两点在平面内”是公理的必要条件，结论是“线上所有点都在面内”．这个结论阐述了两个观点：一是整条直线在平面内；二是直线上所有点在平面内．‎ 其作用是：可判定直线是否在平面内、点是否在平面内．‎ ‎2）公理2中的“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两方面．这个术语今后也会常常出现，要理解好．‎ 其作用是：一是确定平面；二是证明点、线共面．‎ ‎3）公理3的内容反映了平面与平面的位置关系,它的条件简而言之是“两面共一点”，结论是“两面共一线，且过这一点，线唯一”．对于本公理应强调对于不重合的两个平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线．‎ 其作用是：其一它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；其二它可以判定点在直线上，点是两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上．‎ ‎7. 空间直线.‎ ‎（1）空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内。‎ ‎（2）异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）‎ ‎（3）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.‎ ‎（4）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 ‎ 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.‎ ‎8. 直线与平面平行、直线与平面垂直.‎ ‎（1）空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.‎ ‎（2）直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）‎ ‎（3）直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）‎ ‎（4）直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. ‎ 直线与平面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。‎ 推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.‎ ‎9. 平面平行与平面垂直.‎ ‎（1）空间两个平面的位置关系：相交、平行.‎ ‎（2）平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）‎ 推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.‎ ‎（3）两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）‎ ‎（4）两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.‎ 两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）‎ ‎（5）两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.‎ ‎10. 空间向量.‎ ‎（1）a.共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.‎ ‎（2）空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使.‎ 推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z使 (这里隐含x+y+z≠1).‎ ‎（3）a.空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.‎ ‎①令=(a1,a2,a3),，则 ‎，， ，‎ ‎∥ 。‎ ‎。 ‎ ‎(用到常用的向量模与向量之间的转化：‎ ‎)‎ 空间两个向量的夹角公式 ‎（a＝，b＝）。‎ ②空间两点的距离公式：.‎ b.法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果那么向量叫做平面的法向量. ‎ c.用向量的常用方法：‎ ①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为.‎ ②.异面直线间的距离 (是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).‎ ③.点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.‎ ④直线与平面所成角(为平面的法向量).‎ ⑤利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（方向相同，则为补角，反方，则为其夹角）.‎ 二面角的平面角或（，为平面，的法向量）.‎ 考点剖析 考点一：空间几何体的结构、三视图、直观图 例１、（2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）‎ E F D I A H G B C E F D A B C 侧视 图1‎ 图2‎ B E A．‎ B E B．‎ B E C．‎ B E D．‎ 俯视图 例2、（2008江苏模拟）由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是 ．‎ 左视图 主视图 考点二：空间几何体的表面积和体积 例3、（2007广东）已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主 视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视 图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．‎ ‎ (1)求该几何体的体积V；‎ ‎ (2)求该几何体的侧面积S 例4、（2008山东）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 例5、（湖北卷3）用与球心距离为的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 考点三：点、线、面的位置关系 图1‎ 例6、如图1，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝，则（　　）‎ ‎（A）EF与GH互相平行 ‎（B）EF与GH异面 ‎（C）EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 ‎（D）EF与GH的交点M一定在直线AC上 例7、（2008全国二10）已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ 　 ）‎ A． B． C． D．‎ 考点四：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质 例8、（2008安徽）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点 ‎（Ⅰ）证明：直线；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小； ‎ ‎（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。‎ 例9、（2008江苏模拟）一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP//平面FMC,并给出证明. ‎ 考点五：直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质 例10、（2008广东五校联考）正方体ABCD—A1B‎1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：‎ ‎ （1）D1O//平面A1BC1;‎ ‎（2）D1O⊥平面MAC.‎ A B C D E P F 例11、（2008广东中山模拟）如图，四棱锥P—ABCD中，‎ ‎ PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，‎ CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点．‎ ‎ (I) 求证：平面PDC平面PAD；‎ ‎ (II) 求证：BE//平面PAD． ‎ 例12、（2008广东深圳模拟）如图，四棱锥的底面是正方形，底面，是上一点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）设，，求点到平面的距离；‎ 考点六：空间向量 例１３、如图1，直三棱柱中，，‎ ‎，棱分别是的中点．‎ 求的长；‎ 求的值．‎ 例１４、如图2，在四棱锥，底面为矩形，底面，是上一点，．已知．‎ 求：（1）异面直线与的距离；‎ ‎（2）二面角的大小．‎ 例１５、　如图，已知正三棱柱，是的中点，求证：平面．‎ 例１、解：在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A 例2、 解：以俯视图为主，因为主视图左边有两层，表示俯视图中左边最多有两个木块，再看左视图，可得木块数如右图所示，因此这个几何体的正方体木块数的个数为5个。‎ 例3、解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD。‎ ‎(1) ‎ ‎(2) 该四棱锥有两个侧面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为 ‎ , 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,‎ AB边上的高为 ‎ 因此 ‎ 例4、解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的简单几何体，‎ 其表面及为：‎ ‎，故选D。‎ 例5、解：截面面积为截面圆半径为1，又与球心距离为球的半径是，‎ 所以根据球的体积公式知，故B为正确答案． ‎ 例6、解：依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，由公理2可知，E、F、G、H共面，因为EH＝BD，＝，故EH≠FG，所以，EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M，因为点M在EF上，故点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，由公理3可知，点M一定在平面ACB与平面ACD的交线AC上。选（D）。‎ 例7、解：连接AC、BD交于O，连接OE，因OE∥SD.所以∠AEO为异面直线SD与AE所成的角。设侧棱长与底面边长都等于2，则在⊿AEO中，OE＝1,AO＝，AE=，‎ 于是，故选C。‎ 例8、方法一：（1）证明：取OB中点E，连接ME，NE 又 ‎ ‎ ‎ （2）‎ ‎ 为异面直线与所成的角（或其补角）‎ ‎ 作连接 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 所以 与所成角的大小为 ‎ （3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作 ‎ 于点Q，‎ ‎ 又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离 ‎ ，‎ ‎ ，所以点B到平面OCD的距离为 方法二(向量法)‎ 作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系 ‎,‎ ‎(1)‎ 设平面OCD的法向量为,则 即 ‎ 取,解得 ‎(2)设与所成的角为,‎ ‎ , 与所成角的大小为 ‎(3)设点B到平面OCD的交流为,则为在向量上的投影的绝对值,‎ ‎ 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为 例9、证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC ‎ (1)连接DB，可知B、N、D共线，且AC⊥DN ‎ 又FD⊥AD FD⊥CD，‎ FD⊥面ABCD FD⊥AC AC⊥面FDN GN⊥AC ‎ （2）点P在A点处 证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA ‎ G是DF的中点，GS//FC,AS//CM ‎ 面GSA//面FMC ‎ ‎ ‎ GA//面FMC 即GP//面FMC 例10、 证明: (1)连结分别交于 ‎ ‎ 在正方体中,对角面为矩形 分别是的中点 ‎ 四边形为平行四边形 ‎ 平面,平面平面 ‎ ‎（2）连结,设正方体的棱长为,‎ ‎ 在正方体中,对角面为矩形且 ‎ ‎ 分别是的中点 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在中， ，即 在正方体中 ‎ 平面 ‎ ‎ 又， 平面 ‎ 平面 ‎ ‎ 又 平面 点评：证明线面垂直，关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直，由线线垂直推出线面垂直，证明线线垂直有时要用勾股定理的逆定理．‎ 例11、 ‎ 证明：（1）由PA平面ABCD ‎ ‎ ‎ 平面PDC平面PAD；‎ ‎（2）取PD中点为F，连结EF、AF，由E为PC中点，得EF为△PDC的中位线，则EF//CD，CD=2EF．又CD=2AB，则EF=AB．由AB//CD，则EF∥AB．所以四边形ABEF为平行四边形，则EF//AF． 由AF面PAD，则EF//面PAD．‎ 点评：证明面面垂直，先证明线面垂直，要证线面垂直，先证明线线垂直．‎ 例12、‎ ‎(1)证明：底面 且 ‎ 平面平面 ‎(2)解：因为，且，‎ ‎ 可求得点到平面的距离为 采用等体积法 例１３、解：如图1，建立空间直角坐标系．‎ ‎（1）依题意，‎ 得，．‎ ‎（2）依题意，得，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ 例１４.解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，‎ 并设，则．‎ ‎　　（1），，解得．‎ ‎　　，即，‎ ‎　　又，故是异面直线与的公垂线．‎ ‎　　而，即异面直线与的距离为1．‎ ‎　　（2）作，并设，‎ ‎　　，且，‎ ‎　　则，可取．‎ ‎　　再作于，并设，‎ ‎　　，且，则，‎ ‎　　又取．‎ ‎　　由，，可知与的夹角就是所求二面角的大小，‎ ‎　　，即所求二面角为．‎ 例１５、　证明：建立如图所示的空间直角坐标系．设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则，‎ ‎，．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则所以 不妨令，则．‎ 由于，得．‎ 又平面，平面．‎ ‎（一）方法总结 ‎1．位置关系：‎ ‎（1）两条异面直线相互垂直 ‎ 证明方法：①证明两条异面直线所成角为90º；②证明线面垂直，得到线线垂直；③证明两条异面直线的方向量相互垂直。‎ ‎（2）直线和平面相互平行 证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。‎ ‎（3）直线和平面垂直 证明方法：①证明直线和平面内两条相交直线都垂直，②证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；③证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。‎ ‎（4）平面和平面相互垂直 证明方法：①证明这两个平面所成二面角的平面角为90º；②证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；③证明两个平面的法向量相互垂直。‎ ‎2．求距离：‎ 求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。‎ ‎（1）两条异面直线的距离 求法：利用公式法。‎ ‎（2）点到平面的距离 求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。②等体积法。③向量法。 ‎ ‎3．求角 ‎（1）两条异面直线所成的角 求法：①先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。‎ ‎（2）直线和平面所成的角 求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。②向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为或。‎ ‎（3）平面与平面所成的角 求法：①“一找二证三求”‎ ‎，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。②向量法，先求两个平面的法向量所成的角为α，那么这两个平面所成的二面角的平面角为α或π－α。‎