高中人教a版数学必修4：第18课时 向量加法运算及其几何意义 word版含解析

高中人教a版数学必修4：第18课时 向量加法运算及其几何意义 word版含解析

第 18 课时 向量加法运算及其几何意义 课时目标 1.理解向量加法定义，掌握加法运算的三角形、平行四边形法则． 2．理解向量加法运算及其几何意义． 识记强化 1．已知非零向量 a、b，在平面内任取一点 A，作AB→＝a，BC→ ＝b，则向量AC→ 叫 a 与 b 的和向量，记作AC→＝a＋b，如图．(三角形法则) 2．以 A 为起点，作向量AB→＝a，AD→ ＝b，以AB→、AD→ 为邻边作▱ABCD，以 A 为起点的对 角线AC→就是 a 与 b 的和，记 a＋b＝AC→.(平行四边形法则) 3．向量加法满足：(1)a＋b＝b＋a；(2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 课时作业 一、选择题 1．设 P 是△ABC 所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则( ) A.PA→＋PB→＝0 B.PC→＋PA→＝0 C.PB→＋PC→＝0 D.PA→＋PB→＋PC→＝0 答案：B 解析：因为BC→＋BA→＝2BP→，所以点 P 为线段 AC 的中点，则PC→＋PA→＝0. 2．在四边形 ABCD 中，AC→＝AB→＋AD→ ，则( ) A．四边形 ABCD 一定是矩形 B．四边形 ABCD 一定是菱形 C．四边形 ABCD 一定是正方形 D．四边形 ABCD 一定是平行四边形 答案：D 解析：由向量加法的平行四边形法则可知，四边形 ABCD 必为平行四边形． 3．如图，正六边形 ABCDEF 中，BA→＋CD→ ＋EF→＝( ) A．0 B.BE→ C.AD→ D.CF→ 答案：D 解析：BA→＋CD→ ＋EF→＝BA→＋AF→＋CB→＝BF→＋CB→＝CF→，所以选 D. 4．在平行四边形 ABCD 中，AB→＝a，AD→ ＝b，则AC→＋BA→等于( ) A．a B．b C．0 D．a＋b 答案：B 5．已知平行四边形 ABCD，设AB→＋CD→ ＋BC→ ＋DA→ ＝a，且 b 是一非零向量，则下列结 论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|.其中正确的是( ) A．①③ B．②③ C．②④ D．①② 答案：A 解析：∵在平行四边形 ABCD 中，AB→＋CD→ ＝0，BC→ ＋DA→ ＝0，∴a 为零向量，∵零向 量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误． 6．若向量 a，b 为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，( ) A．a∥b 且 a 与 b 方向相同 B．a，b 是共线向量，且方向相反 C．a＋b＝0 D．无论什么关系都可以 答案：A 解析：因为|a＋b|＝|a|＋|b|，所以由向量加法的三角形法则知，a∥b 且 a 与 b 方向相同． 二、填空题 7．已知|OA→ |＝3，|OB→ |＝3，∠AOB＝90°，则|OA→ ＋OB→ |＝________. 答案：3 2 解析：∵|OA→ |＝|OB→ |，且∠AOB＝90°，∴|OA→ ＋OB→ |是以OA→ ，OB→ 为两邻边的正方形的对 角线长，∴|OA→ ＋OB→ |＝3 2. 8．若 a＝“向东走 8 公里”，b＝“向北走 8 公里”，则|a＋b|＝________，a＋b 的方 向是________． 答案：8 2 北偏东 45°(或东北方向) 解析：由题意知，|a|＝|b|＝8，且 a⊥b，所以|a＋b|是以 a，b 为邻边的正方形的对角线 长，所以|a＋b|＝8 2，a＋b 与 b 的夹角为 45°，所以 a＋b 的方向是北偏东 45°. 9．若 G 为△ABC 的重心，则GA→ ＋GB→ ＋GC→ ＝________. 答案：0 解析：延长 AG 至 E 交 BC 于 D 使得 AG＝GE，则由重心性质知 D 为 GE 中点，又为 BC 中点，故四边形 BGCE 为平行四边形． ∴GE→ ＝GB→ ＋GC→ .又GA→ ＝－GE→ ，∴GA→ ＋GB→ ＋GC→ ＝0. 三、解答题 10. 已知图中电线 AO 与天花板的夹角为 60°，电线 AO 所受拉力|F1|＝24N；绳 BO 与墙壁 垂直，所受拉力|F2|＝12N，求 F1 和 F2 的合力． 解： 如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力 F＝F1＋F2＝OC→ . 在△OCA 中，|F1|＝24，|AC→|＝12， ∠OAC＝60°， ∴∠OCA＝90°. ∴|OC→ |＝12 3. ∴F1 与 F2 的合力为 12 3N，与 F2 成 90°角竖直向上． 11. 如图所示，P，Q 是△ABC 的边 BC 上两点，且 BP＝QC. 求证：AB→＋AC→＝AP→＋AQ→ . 证明：AB→＝AP→＋PB→， AC→＝AQ→ ＋QC→ ， ∴AB→＋AC→＝AP→＋PB→＋AQ→ ＋QC→ . 因为PB→和QC→ 大小相等、方向相反， 所以PB→＋QC→ ＝0， 故AB→＋AC→＝AP→＋AQ→ ＋0＝AP→＋AQ→ . 能力提升 12．向量(AB→＋MB→ )＋(BO→ ＋BC→)＋OM→ 化简后等于( ) A.CB→ B.AB→ C.AC→ D.AM→ 答案：C 解析：(AB→＋MB→ )＋(BO→ ＋BC→)＋OM→ ＝(AB→＋BO→ )＋OM→ ＋MB→ ＋BC→＝AO→ ＋OM→ ＋MB→ ＋BC→ ＝AM→ ＋MB→ ＋BC→＝AB→＋BC→＝AC→.故选 C. 13．一条渔船距对岸 4 km，以 2 km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时， 船的实际航程为 8 km，求河水的流速． 解：设AB→表示垂直于对岸的速度，BC→表示水流速度，则AC→为实际速度． 航行时间为 4 km÷2 km/h＝2 h. 在△ABC 中，|AB→|＝2，|AC→|＝4，|BC→|＝2 3，因此河水的速度为 2 3 km/h.