2015高考数学(理)(第九章 平面解析几何)一轮复习题
压轴题目突破练——平面解析几何
A 组 专项基础训练
(时间:40 分钟)
一、选择题
1. 已知两条直线 l1:y=x,l2:ax-y=0,其中 a 为实数,当这两条直线的夹角在(0, π
12)内变动时,a 的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(
3
3 , 3)
C.(
3
3 ,1)∪(1, 3) D.(1, 3)
答案 C
解析 直线 l1 的倾斜角为π
4,依题意 l2 的倾斜角的取值范围为(
π
4- π
12,π
4)∪(
π
4,π
4+ π
12),
即(
π
6,π
4 )∪(
π
4,π
3 ),从而 l2 的斜率 a 的取值范围为(
3
3 ,1)∪(1, 3).
2. 若圆(x-3)2+(y+5)2=r2 上有且只有两个点到直线 4x-3y-2=0 的距离等于 1,则半径
r 的取值范围是 ( )
A.(4,6) B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6]
答案 A
解析 因为圆心(3,-5)到直线 4x-3y-2=0 的距离为|4 × 3-3 × (-5)-2|
42+32 =5,所
以当半径 r=4 时,圆上有 1 个点到直线 4x-3y-2=0 的距离等于 1,当半径 r=6 时,
圆上有 3 个点到直线 4x-3y-2=0 的距离等于 1,所以圆上有且只有两个点到直线 4x
-3y-2=0 的距离等于 1 时,4
0,b>0)与抛物线 y2=8x 有一个公共的焦点 F,且两曲线的一
个交点为 P,若|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为 ( )
A.y=± 3x B.y=±
3
3 x
C.y=± 2x D.y=±
2
2 x
答案 A
解析 设点 P(x0,y0).依题意得,焦点 F(2,0),
Error!于是有 x0=3,y20=24;
Error!由此解得 a2=1,b2=3,
因此该双曲线的渐近线方程是 y=±b
ax=± 3x.
4. 已知抛物线 y2=8x 的焦点 F 到双曲线 C:y2
a2-x2
b2=1(a>0,b>0)渐近线的距离为4 5
5 ,
点 P 是抛物线 y2=8x 上的一动点,P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=
-2 的距离之和的最小值为 3,则该双曲线的方程为
( )
A.y2
2-x2
3=1 B.y2-x2
4=1
C.y2
4-x2=1 D.y2
3-x2
2=1
答案 C
解析 由题意得,抛物线 y2=8x 的焦点 F(2,0),
双曲线 C:y2
a2-x2
b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为 ax-by=0,
∵抛物线 y2=8x 的焦点 F 到双曲线 C:y2
a2-x2
b2=1(a>0,b>0)渐近线的距离为4 5
5 ,∴
2a
a2+b2=4 5
5 ,∴a=2b.
∵P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=-2 的距离之和的最小值为 3,
∴|FF1|=3,∴c2+4=9,∴c= 5,
∵c2=a2+b2,a=2b,∴a=2,b=1.
∴双曲线的方程为y2
4-x2=1,故选 C.
5. 已知椭圆 E 的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 且斜率为 2 的直线交椭圆 E 于 P、Q 两
点,若△PF1F2 为直角三角形,则椭圆 E 的离心率为 ( )
A.
5
3 B.2
3 C.
2
3 D.1
3
答案 A
解析 由题意可知,∠F1PF2 是直角,且 tan∠PF1F2=2,∴|PF2|
|PF1|=2,
又|PF1|+|PF2|=2a,
∴|PF1|=2a
3 ,|PF2|=4a
3 .
根据勾股定理得 (
2a
3 )2+(
4a
3 )2=(2c)2,
所以离心率 e=c
a= 5
3 .
二、填空题
6. 如果 x2
k-2+ y2
1-k=-1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,那么它的半焦距 c 的取值范围是
________.
答案 (1,+∞)
解析 将原方程化成标准方程为 y2
k-1- x2
k-2=1.
由题意知 k-1>0 且 k-2>0,解得 k>2.
又 a2=k-1,b2=k-2,所以 c2=a2+b2=2k-3>1,
所以 c>1,故半焦距 c 的取值范围是(1,+∞).
7. 若点(3,1)是抛物线 y2=2px 一条弦的中点,且这条弦所在直线的斜率为 2,则 p=________.
答案 2
解析 设弦两端点为 P1(x1,y1),P2(x2,y2),
则Error!,两式相减得,y1-y2
x1-x2= 2p
y1+y2=2.
又∵y1+y2=2,∴p=2.
8. 已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F,经过 F 的直线与抛物线相交于 A,B 两点,则以 AB 为
直径的圆在 x 轴上所截得的弦长的最小值是________.
答案 2 3
解析 由抛物线定义得以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切,利用直角三角形中勾股
定理得到弦长的解析式,再求弦长的最小值.设以 AB 为直径的圆的半径为 r,则|AB|=
2r≥4,r≥2,且圆心到 x 轴的距离是 r-1,所以在 x 轴上所截得的弦长为 2 r2-(r-1)2
=2 2r-1≥2 3,即弦长的最小值是 2 3.
三、解答题
9. 已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,一个长轴顶点为(0,2),它的两个短轴顶点和焦点所
组成的四边形为正方形,直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于异于椭圆顶点的
两点 A,B,且AP
→
=2PB
→
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求 m 的取值范围.
解 (1)由题意,知椭圆的焦点在 y 轴上,
设椭圆方程为y2
a2+x2
b2=1(a>b>0),
由题意,知 a=2,b=c,又 a2=b2+c2,则 b= 2,
所以椭圆方程为y2
4+x2
2=1.
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,知直线 l 的斜率存在,
设其方程为 y=kx+m,与椭圆方程联立,
即Error!消去 y,得
(2+k2)x2+2mkx+m2-4=0,
Δ=(2mk)2-4(2+k2)(m2-4)>0,
由根与系数的关系,知Error!
又AP
→
=2PB
→
,即有(-x1,m-y1)=2(x2,y2-m),
所以-x1=2x2.
则Error!
所以m2-4
2+k2 =-2(
2mk
2+k2 )2.
整理,得(9m2-4)k2=8-2m2,
又 9m2-4=0 时等式不成立,
所以 k2=8-2m2
9m2-4>0,得4
90.
所以 m 的取值范围为(-2,-2
3)∪(
2
3,2 ).
10.已知中心在原点的椭圆 C:x2
a2+y2
b2=1 的一个焦点为 F1(0,3),M(x,4)(x>0)为椭圆 C 上一
点,△MOF1 的面积为3
2.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)是否存在平行于 OM 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且以线段 AB
为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.
解 (1)因为椭圆 C 的一个焦点为 F1(0,3),
所以 c=3,b2=a2+9,则椭圆 C 的方程为x2
a2+ y2
a2+9=1,
因为 x>0,所以 S△OMF1=1
2×3×x=3
2,解得 x=1.
故点 M 的坐标为(1,4).因为点 M(1,4)在椭圆上,所以 1
a2+ 16
a2+9=1,得 a4-8a2-9=0,
解得 a2=9 或 a2=-1(不合题意,舍去),
则 b2=9+9=18,所以椭圆 C 的方程为x2
9+y2
18=1.
(2)假设存在符合题意的直线 l 与椭圆 C 相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其方程为 y=
4x+m(因为直线 OM 的斜率 k=4),
由Error!消去 y 化简,得 18x2+8mx+m2-18=0.
进而得到 x1+x2=-8m
18,x1·x2=m2-18
18 .
因为直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,
所以 Δ=(8m)2-4×18×(m2-18)>0,
化简得 m2<162,解得-9 2b>0)的左顶点 A 且斜率为 1 的直线与椭圆的另一个交点为 M,与 y
轴的交点为 B,若|AM|=|MB|,则该椭圆的离心率为________.
答案 6
3
解析 由题意知 A 点的坐标为(-a,0),
设直线的方程为 y=x+a,
∴B 点的坐标为(0,a),故 M 点的坐标为(-a
2,a
2),
代入椭圆方程得 a2=3b2,∴2a2=3c2,∴e= 6
3 .
4. 设抛物线 y2=2x 的焦点为 F,过 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,则|AF|+4|BF|的最
小值为________.
答案 9
2
解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线定义可得|AF|+4|BF|=x1+p
2+4(x2+p
2)=x1+
1
2+4(x2+1
2)=x1+4x2+5
2,设直线 AB 的方程为 ky=x- 1
2,联立抛物线方程得方程组
Error!消元整理得 y2-2ky-1=0,由根与系数的关系可得 y1y2=-1,又 A,B 在抛物线
上,代入方程得 y21y22=2x1·2x2=4x1x2=1,即 x1x2=1
4,因此根据基本不等式|AF|+4|BF|=x1
+4x2+5
2≥2 x1 × 4x2+5
2=2+5
2=9
2,当且仅当 x1=4x2 时取得最小值9
2.
5. 已知抛物线 Ω 的顶点是坐标原点 O,焦点 F 在 y 轴正半轴上,过点 F 的直线 l 与抛物
线交于 M,N 两点,且满足OM
→
·ON
→
=-3.
(1)求抛物线 Ω 的方程;
(2)若直线 y=x 与抛物线 Ω 交于 A,B 两点,在抛物线 Ω 上是否存在异于 A,B 的点 C,
使得经过 A,B,C 三点的圆和抛物线 Ω 在点 C 处有相同的切线?若存在,求出点 C 的
坐标;若不存在,请说明理由.
解 (1)依题意,设抛物线 Ω 的方程为 x2=2py(p>0),
则 F(0,p
2),
由直线 l 的斜率存在,设为 k,
得 l 的方程为 y=kx+p
2,
联立方程Error!消去 y 并整理,
得 x2-2pkx-p2=0.
设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=2pk,x1x2=-p2,
又 y1y2=(kx1+p
2)(kx2+p
2)
=k2x1x2+1
2kp(x1+x2)+p2
4
=k2·(-p2)+1
2kp·2kp+p2
4 =p2
4 .
所以OM
→
·ON
→
=x1x2+y1y2=-p2+p2
4 =-3,
因为 p>0,解得 p=2,
故所求抛物线 Ω 的方程为 x2=4y.
(2)联立方程Error!可求得 A(0,0),B(4,4),
假设抛物线 Ω 上存在异于 A,B 的点 C,且设 C 的坐标为(t,t2
4)(t≠0,t≠4),使得经过
A,B,C 三点的圆和抛物线 Ω 在点 C 处有相同的切线,
令圆心为 E(a,b),则由Error!
得Error!
即Error!解得Error! ①
因为抛物线 Ω 在点 C 处的切线斜率 k′=y′|x=t=t
2(t≠0,t≠4),
又该切线与 EC 垂直,所以
b-t2
4
a-t · t
2=-1,
即 2a+bt-2t-t3
4=0. ②
将①代入②得,2(-t2+4t
8 )+t·t2+4t+32
8 -2t-t3
4=0,
即 t3-2t2-8t=0,因为 t≠0,t≠4,解得 t=-2.
故存在点 C 且坐标为(-2,1).