2015高考数学(理)(第九章 平面解析几何)一轮复习题

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2015高考数学(理)(第九章 平面解析几何)一轮复习题

压轴题目突破练——平面解析几何 A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1. 已知两条直线 l1:y=x,l2:ax-y=0,其中 a 为实数,当这两条直线的夹角在(0, π 12)内变动时,a 的取值范围是 (  ) A.(0,1) B.( 3 3 , 3) C.( 3 3 ,1)∪(1, 3) D.(1, 3) 答案 C 解析 直线 l1 的倾斜角为π 4,依题意 l2 的倾斜角的取值范围为( π 4- π 12,π 4)∪( π 4,π 4+ π 12), 即( π 6,π 4 )∪( π 4,π 3 ),从而 l2 的斜率 a 的取值范围为( 3 3 ,1)∪(1, 3). 2. 若圆(x-3)2+(y+5)2=r2 上有且只有两个点到直线 4x-3y-2=0 的距离等于 1,则半径 r 的取值范围是 (  ) A.(4,6) B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6] 答案 A 解析 因为圆心(3,-5)到直线 4x-3y-2=0 的距离为|4 × 3-3 × (-5)-2| 42+32 =5,所 以当半径 r=4 时,圆上有 1 个点到直线 4x-3y-2=0 的距离等于 1,当半径 r=6 时, 圆上有 3 个点到直线 4x-3y-2=0 的距离等于 1,所以圆上有且只有两个点到直线 4x -3y-2=0 的距离等于 1 时,40,b>0)与抛物线 y2=8x 有一个公共的焦点 F,且两曲线的一 个交点为 P,若|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为 (  ) A.y=± 3x B.y=± 3 3 x C.y=± 2x D.y=± 2 2 x 答案 A 解析 设点 P(x0,y0).依题意得,焦点 F(2,0), Error!于是有 x0=3,y20=24; Error!由此解得 a2=1,b2=3, 因此该双曲线的渐近线方程是 y=±b ax=± 3x. 4. 已知抛物线 y2=8x 的焦点 F 到双曲线 C:y2 a2-x2 b2=1(a>0,b>0)渐近线的距离为4 5 5 , 点 P 是抛物线 y2=8x 上的一动点,P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x= -2 的距离之和的最小值为 3,则该双曲线的方程为 (  ) A.y2 2-x2 3=1 B.y2-x2 4=1 C.y2 4-x2=1 D.y2 3-x2 2=1 答案 C 解析 由题意得,抛物线 y2=8x 的焦点 F(2,0), 双曲线 C:y2 a2-x2 b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为 ax-by=0, ∵抛物线 y2=8x 的焦点 F 到双曲线 C:y2 a2-x2 b2=1(a>0,b>0)渐近线的距离为4 5 5 ,∴ 2a a2+b2=4 5 5 ,∴a=2b. ∵P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=-2 的距离之和的最小值为 3, ∴|FF1|=3,∴c2+4=9,∴c= 5, ∵c2=a2+b2,a=2b,∴a=2,b=1. ∴双曲线的方程为y2 4-x2=1,故选 C. 5. 已知椭圆 E 的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 且斜率为 2 的直线交椭圆 E 于 P、Q 两 点,若△PF1F2 为直角三角形,则椭圆 E 的离心率为 (  ) A. 5 3 B.2 3 C. 2 3 D.1 3 答案 A 解析 由题意可知,∠F1PF2 是直角,且 tan∠PF1F2=2,∴|PF2| |PF1|=2, 又|PF1|+|PF2|=2a, ∴|PF1|=2a 3 ,|PF2|=4a 3 . 根据勾股定理得 ( 2a 3 )2+( 4a 3 )2=(2c)2, 所以离心率 e=c a= 5 3 . 二、填空题 6. 如果 x2 k-2+ y2 1-k=-1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,那么它的半焦距 c 的取值范围是 ________. 答案 (1,+∞) 解析 将原方程化成标准方程为 y2 k-1- x2 k-2=1. 由题意知 k-1>0 且 k-2>0,解得 k>2. 又 a2=k-1,b2=k-2,所以 c2=a2+b2=2k-3>1, 所以 c>1,故半焦距 c 的取值范围是(1,+∞). 7. 若点(3,1)是抛物线 y2=2px 一条弦的中点,且这条弦所在直线的斜率为 2,则 p=________. 答案 2 解析 设弦两端点为 P1(x1,y1),P2(x2,y2), 则Error!,两式相减得,y1-y2 x1-x2= 2p y1+y2=2. 又∵y1+y2=2,∴p=2. 8. 已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F,经过 F 的直线与抛物线相交于 A,B 两点,则以 AB 为 直径的圆在 x 轴上所截得的弦长的最小值是________. 答案 2 3 解析 由抛物线定义得以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切,利用直角三角形中勾股 定理得到弦长的解析式,再求弦长的最小值.设以 AB 为直径的圆的半径为 r,则|AB|= 2r≥4,r≥2,且圆心到 x 轴的距离是 r-1,所以在 x 轴上所截得的弦长为 2 r2-(r-1)2 =2 2r-1≥2 3,即弦长的最小值是 2 3. 三、解答题 9. 已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,一个长轴顶点为(0,2),它的两个短轴顶点和焦点所 组成的四边形为正方形,直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于异于椭圆顶点的 两点 A,B,且AP → =2PB → . (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围. 解 (1)由题意,知椭圆的焦点在 y 轴上, 设椭圆方程为y2 a2+x2 b2=1(a>b>0), 由题意,知 a=2,b=c,又 a2=b2+c2,则 b= 2, 所以椭圆方程为y2 4+x2 2=1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,知直线 l 的斜率存在, 设其方程为 y=kx+m,与椭圆方程联立, 即Error!消去 y,得 (2+k2)x2+2mkx+m2-4=0, Δ=(2mk)2-4(2+k2)(m2-4)>0, 由根与系数的关系,知Error! 又AP → =2PB → ,即有(-x1,m-y1)=2(x2,y2-m), 所以-x1=2x2. 则Error! 所以m2-4 2+k2 =-2( 2mk 2+k2 )2. 整理,得(9m2-4)k2=8-2m2, 又 9m2-4=0 时等式不成立, 所以 k2=8-2m2 9m2-4>0,得4 90. 所以 m 的取值范围为(-2,-2 3)∪( 2 3,2 ). 10.已知中心在原点的椭圆 C:x2 a2+y2 b2=1 的一个焦点为 F1(0,3),M(x,4)(x>0)为椭圆 C 上一 点,△MOF1 的面积为3 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OM 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且以线段 AB 为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 解 (1)因为椭圆 C 的一个焦点为 F1(0,3), 所以 c=3,b2=a2+9,则椭圆 C 的方程为x2 a2+ y2 a2+9=1, 因为 x>0,所以 S△OMF1=1 2×3×x=3 2,解得 x=1. 故点 M 的坐标为(1,4).因为点 M(1,4)在椭圆上,所以 1 a2+ 16 a2+9=1,得 a4-8a2-9=0, 解得 a2=9 或 a2=-1(不合题意,舍去), 则 b2=9+9=18,所以椭圆 C 的方程为x2 9+y2 18=1. (2)假设存在符合题意的直线 l 与椭圆 C 相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其方程为 y= 4x+m(因为直线 OM 的斜率 k=4), 由Error!消去 y 化简,得 18x2+8mx+m2-18=0. 进而得到 x1+x2=-8m 18,x1·x2=m2-18 18 . 因为直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点, 所以 Δ=(8m)2-4×18×(m2-18)>0, 化简得 m2<162,解得-9 2b>0)的左顶点 A 且斜率为 1 的直线与椭圆的另一个交点为 M,与 y 轴的交点为 B,若|AM|=|MB|,则该椭圆的离心率为________. 答案  6 3 解析 由题意知 A 点的坐标为(-a,0), 设直线的方程为 y=x+a, ∴B 点的坐标为(0,a),故 M 点的坐标为(-a 2,a 2), 代入椭圆方程得 a2=3b2,∴2a2=3c2,∴e= 6 3 . 4. 设抛物线 y2=2x 的焦点为 F,过 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,则|AF|+4|BF|的最 小值为________. 答案 9 2 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线定义可得|AF|+4|BF|=x1+p 2+4(x2+p 2)=x1+ 1 2+4(x2+1 2)=x1+4x2+5 2,设直线 AB 的方程为 ky=x- 1 2,联立抛物线方程得方程组 Error!消元整理得 y2-2ky-1=0,由根与系数的关系可得 y1y2=-1,又 A,B 在抛物线 上,代入方程得 y21y22=2x1·2x2=4x1x2=1,即 x1x2=1 4,因此根据基本不等式|AF|+4|BF|=x1 +4x2+5 2≥2 x1 × 4x2+5 2=2+5 2=9 2,当且仅当 x1=4x2 时取得最小值9 2. 5. 已知抛物线 Ω 的顶点是坐标原点 O,焦点 F 在 y 轴正半轴上,过点 F 的直线 l 与抛物 线交于 M,N 两点,且满足OM → ·ON → =-3. (1)求抛物线 Ω 的方程; (2)若直线 y=x 与抛物线 Ω 交于 A,B 两点,在抛物线 Ω 上是否存在异于 A,B 的点 C, 使得经过 A,B,C 三点的圆和抛物线 Ω 在点 C 处有相同的切线?若存在,求出点 C 的 坐标;若不存在,请说明理由. 解 (1)依题意,设抛物线 Ω 的方程为 x2=2py(p>0), 则 F(0,p 2), 由直线 l 的斜率存在,设为 k, 得 l 的方程为 y=kx+p 2, 联立方程Error!消去 y 并整理, 得 x2-2pkx-p2=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=2pk,x1x2=-p2, 又 y1y2=(kx1+p 2)(kx2+p 2) =k2x1x2+1 2kp(x1+x2)+p2 4 =k2·(-p2)+1 2kp·2kp+p2 4 =p2 4 . 所以OM → ·ON → =x1x2+y1y2=-p2+p2 4 =-3, 因为 p>0,解得 p=2, 故所求抛物线 Ω 的方程为 x2=4y. (2)联立方程Error!可求得 A(0,0),B(4,4), 假设抛物线 Ω 上存在异于 A,B 的点 C,且设 C 的坐标为(t,t2 4)(t≠0,t≠4),使得经过 A,B,C 三点的圆和抛物线 Ω 在点 C 处有相同的切线, 令圆心为 E(a,b),则由Error! 得Error! 即Error!解得Error! ① 因为抛物线 Ω 在点 C 处的切线斜率 k′=y′|x=t=t 2(t≠0,t≠4), 又该切线与 EC 垂直,所以 b-t2 4 a-t · t 2=-1, 即 2a+bt-2t-t3 4=0. ② 将①代入②得,2(-t2+4t 8 )+t·t2+4t+32 8 -2t-t3 4=0, 即 t3-2t2-8t=0,因为 t≠0,t≠4,解得 t=-2. 故存在点 C 且坐标为(-2,1).
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