中考数学压轴题精选二次函数题和详细解答

中考数学压轴题精选二次函数题和详细解答

‎1、（08广东茂名25题）（本题满分10分）‎ ‎（第25题图）‎ A x y B C O 如图，在平面直角坐标系中，抛物线=－++经过A（0，－4）、B（，0）、 C（，0）三点，且-=5．‎ ‎（1）求、的值；（4分）‎ ‎（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对 角线的菱形；（3分）‎ ‎（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）‎ 解： ‎ ‎（08广东茂名25题解析）解：（1）解法一：‎ ‎∵抛物线=－++经过点A（0，－4），‎ ‎ ∴=－4 ……1分 又由题意可知，、是方程－++=0的两个根，‎ ‎∴+=， =－=6 2分 由已知得（-）=25‎ 又（-）=（+）－4=－24‎ ‎∴ －24=25 ‎ 解得=± 3分 当=时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去．‎ ‎∴=－． 4分 解法二：∵、是方程－++c=0的两个根，‎ ‎ 即方程2－3+12=0的两个根．‎ ‎∴=， 2分 ‎∴－==5，‎ ‎ 解得 =± 3分 ‎ （以下与解法一相同．） ‎ ‎ （2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上， 5分 ‎ 又∵=－－－4=－（+）+ 6分 ‎ ∴抛物线的顶点（－，）即为所求的点D． 7分 ‎ （3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（－6，0），‎ 根据菱形的性质，点P必是直线=-3与 抛物线=－--4的交点， 8分 ‎ ∴当=－3时，=－×（－3）－×（－3）－4=4， ‎ ‎ ∴在抛物线上存在一点P（－3，4），使得四边形BPOH为菱形． 9分 ‎ 四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． 10分 ‎2、（08广东肇庆25题）（本小题满分10分）‎ 已知点A（a，）、B（‎2a，y）、C（‎3a，y）都在抛物线上.‎ ‎（1）求抛物线与x轴的交点坐标；‎ ‎（2）当a=1时，求△ABC的面积；‎ ‎（3）是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.‎ ‎（08广东肇庆25题解析）（本小题满分10分）‎ 解：（1）由5=0， （1分）‎ 得，． （2分）‎ ‎∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）． （3分）‎ ‎（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81）， （4分）‎ 分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则有 ‎=S - - （5分）‎ ‎ =-- （6分）‎ ‎=5（个单位面积） （7分）‎ ‎（3）如：． （8分）‎ 事实上， =‎45a2+‎36a． ‎ ‎ 3（）=3[5×（‎2a）2+12×‎2a-（‎5a2+‎12a）] =‎45a2+‎36a． （9分）‎ ‎∴． （10分）‎ y x O 第26题图 D E C F A B ‎3、（08辽宁沈阳26题）（本题14分）26．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点．‎ ‎（1）判断点是否在轴上，并说明理由；‎ ‎（2）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（08辽宁沈阳26题解析）解：（1）点在轴上 1分 理由如下：‎ 连接，如图所示，在中，，，‎ ‎，‎ 由题意可知：‎ 点在轴上，点在轴上． 3分 ‎（2）过点作轴于点 ‎，‎ 在中，，‎ 点在第一象限，‎ 点的坐标为 5分 由（1）知，点在轴的正半轴上 点的坐标为 点的坐标为 6分 抛物线经过点，‎ 由题意，将，代入中得 ‎ 解得 所求抛物线表达式为： 9分 ‎（3）存在符合条件的点，点． 10分 理由如下：矩形的面积 以为顶点的平行四边形面积为．‎ 由题意可知为此平行四边形一边，‎ 又 边上的高为2 11分 依题意设点的坐标为 点在抛物线上 解得，，‎ ‎，‎ 以为顶点的四边形是平行四边形，‎ y x O D E C F A B M ‎，，‎ 当点的坐标为时，‎ 点的坐标分别为，；‎ 当点的坐标为时，‎ 点的坐标分别为，． 14分 A O x y B F C 图16‎ ‎4、（08辽宁12市26题）（本题14分）26．如图16，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点．‎ ‎（1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；‎ ‎（2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（08辽宁12市26题解析）‎ 解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点．‎ ‎， 1分 点都在抛物线上，‎ ‎ ‎ 抛物线的解析式为 3分 顶点 4分 ‎（2）存在 5分 ‎ 7分 ‎ 9分 ‎（3）存在 10分 理由：‎ 解法一：‎ 延长到点，使，连接交直线于点，则点就是所求的点．‎ ‎ 11分 A O x y B F C 图9‎ H B M 过点作于点．‎ 点在抛物线上，‎ 在中，，‎ ‎，，‎ 在中，，‎ ‎，， 12分 设直线的解析式为 ‎ 解得 ‎ 13分 ‎ 解得 ‎ 在直线上存在点，使得的周长最小，此时． 14分 ‎5、（08青海西宁28题）如图14，已知半径为1的与轴交于两点，为的切线，切点为，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ 图14‎ y x O A B M O1‎ ‎（2）求切线的函数解析式；‎ ‎（3）线段上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（08青海西宁28题解析）解：（1）圆心的坐标为，半径为1，，……1分 二次函数的图象经过点，‎ 可得方程组 2分 解得：二次函数解析式为 3分 ‎（2）过点作轴，垂足为． 4分 是的切线，为切点，（圆的切线垂直于经过切点的半径）．‎ y A H F M O P1‎ P2‎ O1‎ x B 在中，‎ 为锐角， 5分 ‎，‎ 在中，．‎ ‎．‎ 点坐标为 6分 设切线的函数解析式为，由题意可知， 7分 切线的函数解析式为 8分 ‎（3）存在． 9分 ‎①过点作轴，与交于点．可得（两角对应相等两三角形相似）‎ ‎， 10分 ‎②过点作，垂足为，过点作，垂足为．‎ 可得（两角对应相等两三角开相似）‎ 在中，，，‎ 在中，，‎ ‎， 11分 符合条件的点坐标有， 12分 ‎6、（08山东济宁26题）（12分）‎ 中，，，cm．长为‎1cm的线段在的边上沿方向以‎1cm/s的速度向点运动（运动前点与点重合）．过分别作的垂线交直角边于 两点，线段运动的时间为s．‎ ‎（1）若的面积为，写出与的函数关系式（写出自变量的取值范围）；‎ ‎（2）线段运动过程中，四边形有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时的值；若不可能，说明理由；‎ ‎（3）为何值时，以为顶点的三角形与相似？‎ ‎（08山东济宁26题解析）解：（1）当点在上时，，．‎ ‎． 2分 当点在上时，．‎ ‎． 4分 ‎（2），．．‎ ‎． 6分 由条件知，若四边形为矩形，需，即，‎ ‎．‎ 当s时，四边形为矩形． 8分 ‎（3）由（2）知，当s时，四边形为矩形，此时，‎ ‎． 9分 除此之外，当时，，此时．‎ ‎，．． 10分 ‎，．‎ 又，． 11分 ‎，．‎ 当s或s时，以为顶点的三角形与相似． 12分 ‎7、（08四川巴中30题）（12分）30．已知：如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点．‎ ‎（1）写出直线的解析式．‎ ‎（2）求的面积．‎ ‎（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动．设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？‎ x y A B C E M D P N O ‎（08四川巴中30题解析）解：（1）在中，令 ‎，‎ ‎， 1分 又点在上 的解析式为 2分 ‎（2）由，得 4分 ‎，‎ ‎， 5分 ‎ 6分 ‎（3）过点作于点 ‎ 7分 ‎ 8分 由直线可得：‎ 在中，，，则 ‎， 9分 ‎ 10分 ‎ 11分 此抛物线开口向下，当时，‎ 当点运动2秒时，的面积达到最大，最大为． 12分 ‎8、（08新疆自治区24题）（10分）某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为‎12m，抛物线拱高为‎5.6m．‎ ‎（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．‎ ‎（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽 ‎1.5m‎，高‎1.6m，相邻窗户之间的间距均为‎0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为‎0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？‎ ‎（08新疆自治区24题解析）24．（10分）解：（1）设抛物线的表达式为 1分 点在抛物线的图象上．‎ ‎∴‎ ‎ 3分 ‎∴抛物线的表达式为 4分 ‎（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C、D两点，D点坐标为（k，t）‎ 已知窗户高‎1.6m，∴ 5分 ‎（舍去） 6分 ‎∴（m） 7分 又设最多可安装n扇窗户 ‎∴ 9分 ‎．‎ 答：最多可安装4扇窗户． 10分 ‎（本题不要求学生画出4个表示窗户的小矩形）‎ ‎9、（08广东梅州23题）23．本题满分11分．‎ 如图11所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD， AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系．‎ ‎（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；‎ ‎（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．‎ ‎（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由）‎ ‎ ‎ ‎（08广东梅州23题解答）解： （1） DC∥AB，AD=DC=CB， ‎ ‎ ∠CDB=∠CBD=∠DBA， 0.5分 ‎ ∠DAB=∠CBA， ∠DAB=2∠DBA， 1分 ‎∠DAB+∠DBA=90， ∠DAB=60， 1.5分 ‎ ∠DBA=30，AB=4， DC=AD=2， 2分 RtAOD，OA=1，OD=， 2.5分 A（-1，0），D（0， ），C（2， ）． 4分 ‎（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（－1，0），B（3，0），‎ 故可设所求为 = （+1）（ -3） 6分 将点D（0， ）的坐标代入上式得， =．‎ 所求抛物线的解析式为 = 7分 其对称轴L为直线=1． 8分 ‎（3） PDB为等腰三角形，有以下三种情况：‎ ‎①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1，P1D=P1B， ‎ P1DB为等腰三角形； 9分 ‎②因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DB=DP2，DB=DP3， P2DB， P3DB为等腰三角形；‎ ‎③与②同理，L上也有两个点P4、P5，使得 BD=BP4，BD=BP5． 10分 由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个．‎ ‎10、（08广东中山22题）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边 AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．‎ ‎(1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形.‎ ‎(2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.‎ ‎(3)如图10，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.‎ E D C H F G B A P y x 图10‎ ‎10‎ D C B A E 图9‎ ‎（08广东中山22题解析）解：（1），，…………………………1分 等腰；…………………………2分 ‎ （2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）‎ ‎ 　①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5对)‎ ‎②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2对)‎ ‎③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2对)‎ 所以，一共有9对相似三角形.…………………………………………5分 K ‎（3）由题意知，FP∥AE，‎ ‎ ∴ ∠1＝∠PFB，‎ 又∵ ∠1＝∠2＝30°，‎ ‎ ∴ ∠PFB＝∠2＝30°,‎ ‎∴ FP＝BP.…………………………6分 过点P作PK⊥FB于点K，则.‎ ‎∵ AF＝t，AB＝8，‎ ‎∴ FB＝8－t，.‎ 在Rt△BPK中，. ……………………7分 ‎∴ △FBP的面积，‎ ‎∴ S与t之间的函数关系式为：‎ ‎ ，或. …………………………………8分 t的取值范围为：. …………………………………………………………9分 ‎11、（08湖北十堰25题）已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．‎ ‎⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；‎ ‎⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；‎ ‎⑶坐标平面内是否存在点，使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（08湖北十堰25题解析）解：⑴对称轴是直线：，点B的坐标是(3,0)． ……2分 说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．‎ ‎⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)，‎ ‎∴AB＝4．∴‎ 在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，‎ ‎∴‎ ‎∴b＝ ………………………………3分 当时，‎ ‎∴　 ………………………………4分 ‎∴ ………………5分 ‎⑶存在．……………………………6分 理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为．‎ ‎①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB．‎ 由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，．‎ ‎∴x＝±4．∴点M的坐标为．…9分 说明：少求一个点的坐标扣1分．‎ ‎②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．‎ 过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°．‎ ‎∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB．‎ ‎∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝．‎ ‎∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．‎ ‎∴点M的坐标为． ……………………………12分 说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，‎ 然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分．‎ 综上所述，坐标平面内存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为．‎ 说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分。‎ ‎12、（08四川达州23题）如图，将置于平面直角坐标系中，其中点为坐标原点，点的坐标为，．‎ ‎（1）若的外接圆与轴交于点，求点坐标．‎ D C O A B x y ‎（2）若点的坐标为，试猜想过的直线与的外接圆的位置关系，并加以说明．‎ ‎（3）二次函数的图象经过点和且顶点在圆上，‎ 求此函数的解析式．‎ F E ‎（08四川达州23题解析）解：（1）连结AD，则∠ADO＝∠B＝600‎ 在Rt△ADO中，∠ADO＝600‎ 所以OD＝OA÷＝3÷＝‎ D C O A B x y F 所以D点的坐标是（0，）‎ ‎（2）猜想是CD与圆相切 ‎　　　∵　∠AOD是直角，所以AD是圆的直径 E 又∵　Tan∠CDO=CO/OD=1/=, ∠CDO＝300‎ ‎ ∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=Rt∠ 即CD⊥AD ‎　∴　CD切外接圆于点D ‎（3）依题意可设二次函数的解析式为 ： ‎ y=α（x－0）(x－3)‎ 由此得顶点坐标的横坐标为：x==;‎ 即顶点在OA的垂直平分线上，作OA的垂直平分线EF，则得∠EFA＝∠B＝300‎ 得到EF＝EA＝　　　可得一个顶点坐标为（，）‎ 同理可得另一个顶点坐标为（，）‎ 分别将两顶点代入y=α（x－0）(x－3)可解得α的值分别为，‎ 则得到二次函数的解析式是y=x(x－3)或y= x(x－3)‎ ‎13、（08湖北仙桃等4市25题）如图，直角梯形中，∥,为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点坐标为（2，2），∠= 60°，于点.动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点运动的时间为秒.‎ （1） 求的长；‎ （2） 若的面积为（平方单位）. 求与之间的函数关系式.并求为何值时，的面积最大，最大值是多少？‎ （3） 设与交于点.①当△为等腰三角形时，求（2）中的值.‎ ‎ ②探究线段长度的最大值是多少，直接写出结论.‎ ‎（08湖北仙桃等4市25题解析） 解：（1）∵∥‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 在中， ,‎ ‎ ∴， ‎ ‎∴ 而 ‎ ∴为等边三角形 ‎ ∴…（3分）‎ ‎（2）∵‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎= （）…………………………（6分）‎ 即 ‎∴当时，………………………………………（7分）‎ ‎（3）①若为等腰三角形，则：‎ ‎（i）若， ‎ ‎ ∴∥ ‎ ‎∴ 即 解得：‎ 此时………………………………（8分）‎ ‎（ii）若，‎ ‎ ∴‎ 过点作，垂足为，则有：‎ 即 解得：‎ 此时……………………………………（9分）‎ ‎（iii）若，‎ ‎∴∥‎ 此时在上，不满足题意.……………………………………………（10分）‎ ‎ ②线段长的最大值为……………………………………………………(12分)‎ ‎14、（08甘肃兰州28题）（本题满分12分）如图19-1，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，．‎ ‎（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求两点的坐标；‎ ‎（2）如图19-2，若上有一动点（不与重合）自点沿方向向点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒（），过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．求四边形的面积与时间之间的函数关系式；当取何值时，有最大值？最大值是多少？‎ ‎（3）在（2）的条件下，当为何值时，以为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点的坐标．‎ y x B C O A D E 图19-1‎ y x B C O A D E 图19-2‎ P M N ‎（08甘肃兰州28题解析）（本题满分12分）‎ 解：（1）依题意可知，折痕是四边形的对称轴，‎ 在中，，．‎ ‎．．‎ 点坐标为（2，4）． 2分 在中，， 又．‎ ‎ ． 解得：．‎ 点坐标为 3分 ‎（2）如图①，．‎ ‎，又知，，‎ ‎， 又．‎ 而显然四边形为矩形．‎ ‎ 5分 ‎，又 当时，有最大值． 6分 ‎（3）（i）若以为等腰三角形的底，则（如图①）‎ 在中，，，为的中点，‎ y x B C O A D E 图①‎ P M N F ‎．‎ 又，为的中点．‎ 过点作，垂足为，则是的中位线，‎ ‎，，‎ 当时，，为等腰三角形．‎ 此时点坐标为． 8分 ‎（ii）若以为等腰三角形的腰，则（如图②）‎ y x B C O A D E 图②‎ P M N F 在中，．‎ 过点作，垂足为．‎ ‎，．‎ ‎．‎ ‎，．‎ ‎，，‎ 当时，（），此时点坐标为． 11分 综合（i）（ii）可知，或时，以为顶点的三角形为等腰三角形，相应点的坐标为或． 12分 ‎15、（08天津市卷26题）（本小题10分）‎ 已知抛物线，‎ ‎（Ⅰ）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．‎ ‎（08天津市卷26题解析）解（Ⅰ）当，时，抛物线为，‎ 方程的两个根为，． ‎ ‎∴该抛物线与轴公共点的坐标是和． 2分 ‎（Ⅱ）当时，抛物线为，且与轴有公共点．‎ 对于方程，判别式≥0，有≤． 3分 ‎①当时，由方程，解得．‎ 此时抛物线为与轴只有一个公共点． 4分 ‎②当时， ‎ 时，，‎ 时，．‎ 由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，‎ 应有 即 解得．‎ 综上，或． 6分 ‎（Ⅲ）对于二次函数，‎ 由已知时，；时，，‎ 又，∴．‎ 于是．而，∴，即．‎ ‎∴． 7分 ‎∵关于的一元二次方程的判别式 ‎， ‎ ‎∴抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方． 8分 又该抛物线的对称轴，‎ x 由，，，‎ 得，‎ ‎∴．‎ 又由已知时，；时，，观察图象，‎ 可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点． 10分 ‎16、（08江苏镇江28题）（本小题满分8分）探索研究 x l Q C P A O B H R y 如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于．‎ ‎（1）求证：点为线段的中点；‎ ‎（2）求证：①四边形为平行四边形；‎ ‎②平行四边形为菱形；‎ ‎（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由．‎ ‎（08江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知．‎ ‎，，‎ ‎． （1分）‎ ‎，即为的中点． （2分）‎ 法二：，，． （1分）‎ 又轴，． （2分）‎ ‎（2）①由（1）可知，，‎ ‎，，‎ ‎． （3分）‎ ‎，‎ 又，四边形为平行四边形． （4分）‎ ‎②设，轴，则，则．‎ 过作轴，垂足为，在中，‎ ‎．‎ 平行四边形为菱形． （6分）‎ ‎（3）设直线为，由，得，代入得：‎ ‎ 直线为． （7分）‎ 设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：‎ ‎，，解得．得公共点为．‎ 所以直线与抛物线只有一个公共点． （8分）‎