【数学】2020届一轮复习苏教版专题三第四讲专题提能——“解析几何”专题提能课学案
第四讲 专题提能——“解析几何”专题提能课
失误1
因忽视方程的标准形式而失误
[例1] 已知抛物线的方程为y=2ax2(a<0),则它的焦点坐标为________.
[解析] y=2ax2(a<0)可化为x2=y,则焦点坐标为.
[答案]
[点评] 本题易错如下:由抛物线方程为y=2ax2,知抛物线的对称轴为y轴,2p=-2a,所以p=-a,=-,所以它的焦点坐标为.求解此类问题的关键是:首先要准确理解概念,正确识记抛物线的标准方程:y2=2px、y2=-2px、x2=2py、x2=-2py,对于抛物线方程有关的题目要首先将方程变为标准形式,然后在此基础上正确求出抛物线的焦参数p.在求焦参数时要注意p>0,标准方程中一次项系数的绝对值为2p,求出p后再研究抛物线的几何性质,结合图形去考虑.
失误2
因忽视圆方程本身的限制条件而失误
[例2] 过定点(1,2)作两直线与圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切,则k的取值范围是________________.
[解析] 把圆的方程化为标准方程得,2+(y+1)2=16-k2,所以16-k2>0,解得-
0,即(k-2)(k+3)>0,解得k<-3或k>2.综上,k的取值范围是∪.
[答案] ∪
[点评] 本题易错在于忽略题中方程必须是圆的方程,有些学生不考虑D2+E2-4F>0.本例应把圆的方程化为标准方程后,根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0,列出关于k的不等式,求出不等式的解集,然后由过已知点总可以作圆的两条切线,得到点在圆外,故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关于k的关系式,求出不等式的解集,综上,求出两解集的交集即为实数k的取值范围.
失误3
因忽视斜率不存在的情况而失分
[例3] 已知过点(1,2)的直线l与圆x2+y2=4交于A,B两点,弦长AB=2,求直线l的方程.
[解] 当过点(1,2)的直线l斜率不存在时,满足要求,所以方程x=1满足题意;当过点(1,2)的直线l存在斜率时,记l的方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,由弦长为2可得圆心到直线的距离为1,则d==1,解得k=,所以直线l的方程为y-2=(x-1),即3x-4y+5=0.所以所求直线l的方程为x=1和3x-4y+5=0.
[点评] 本题学生易错在于忽略了斜率不存在的情况,在用斜率研究直线方程首先考虑斜率不存在的情况.给定弦长,一般都有两解,除非弦长值就是直径的值,此时只有一解.
策略1
利用对称性解决椭圆中焦点三角形问题
[例1] 如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率为________.
[解析] 法一:由可得B,
C.由F(c,0),得=,=.又∠BFC=90°,所以·=0,化简可得2a2=3c2,即e2==,故e=.
法二:由可得B,C,所以BC=a,由椭圆的焦半径公式得BF=a-exB=a+e·a,CF=a-exC=a-e·a,
又∠BFC=90°,所以BF2+CF2=BC2,
即2+2=(a)2,
式子两边同除以a2可得e2=,即e=.
[答案]
[点评] 本题中B,C两点是关于y轴对称,对称性的运用对线段的求解和坐标求解有很大帮助.
策略2
利用有界性处理圆锥曲线中的存在性问题
[例2] 若双曲线-=1(a>0,b>0)右支上存在一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍,则该双曲线离心率的取值范围为______________.
[解析] 记双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,设点P到右准线的距离为d,则由题意得点P到左焦点的距离为PF1=6d,由于PF1-PF2=2a,所以PF2=6d-2a,所以=,所以d=,又因为d≥a-,所以
解之得此双曲线的离心率e的取值范围是(1,2]∪[3,6).
[答案] (1,2]∪[3,6)
[点评] 一般地,根据“存在一点…”这样的条件求解离心率的取值范围问题,主要是先利用几何条件建立关于a,b,c的方程,再根据椭圆、双曲线和抛物线上点的坐标的有界性来求解.
函数方程思想——解决平面几何中的最值问题
[典例] 在平面直角坐标系xOy中,设曲线C1:+=1(a>b>0)所围成的封闭图形的面积为4,曲线C1上的点到原点O的最短距离为.以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2.
(1)求椭圆C2的标准方程;
(2)设AB是过椭圆C2中心O的任意弦,l是线段AB的垂直平分线.若M是l与椭圆C2的交点,求△AMB的面积的最小值.
[解] (1) 由题意得
解得a2=8,b2=1.
所以所求椭圆C2的标准方程为+y2=1.
(2)法一:设M(x,y),则A(λy,-λx)(λ∈R,λ≠0).
因为点A在椭圆C2上,所以λ2(y2+8x2)=8,即y2+8x2=.①
又x2+8y2=8.②
①+②得x2+y2=.
所以S△AMB=OM·OA=|λ|(x2+y2)
=≥.
当且仅当λ=±1,即kAB=±1时,(S△AMB)min=.
法二:假设AB所在的直线斜率存在且不为零,设AB所在直线的方程为y=kx(k≠0).
解方程组得x=,y=,
所以OA2=x+y=+=,AB2=4OA2=.
又由解得x=,y=,所以OM2=.
由于S=AB2·OM2=··=≥==,
当且仅当1+8k2=k2+8时等号成立,即k=±1时等号成立,此时△AMB面积的最小值是S△AMB=.
当k=0时,S△AMB=×4×1=2>;
当k不存在时,S△AMB=×2×2=2>.
综上所述,△AMB面积的最小值为.
[点评] 第(2)问中有关三角形面积的计算一般用以下几种方式:(1)以弦长为底,点到弦所在直线距离为高;(2)正弦定理;(3)如果弦所在直线过定点且顶点也为定点,可以将面积进行分割.一般地,如果建立关于k的函数,可以用导数的方法或换元处理后用基本不等式方法;如果建立的关于(x,y)的函数可以直接用基本不等式或消元后转化成二次函数.
1.多角度几何条件求解离心率
[例1] 如图,已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),离心率为e,设A,B是椭圆上关于原点对称的两点,AF的中点为M,BF的中点为N,原点O在以线段MN为直径的圆上,设直线AB的斜率为k,若0b,∴a2=b2+c2<2c2,
∴e=>.
设A(x,y),由⇒
∵00,且x1+x2=,x1x2=.
由AM⊥AN,得·=-1,
即(k2+1)x1x2+(km+2)(x1+x2)+m2+4=0,
(k2+1)+(km+2)+m2+4=0,
化简得5m2-16km+12k2=0,
∵k≠0,∴52-16+12=0,
解得=或=2(舍去),
直线MN:y=k,过定点.
法二:设直线AM:y=k(x+2)(k≠0),则直线AN:y=-(x+2).
联立消去y,得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,
则-2xM=,∴xM=,yM=.
所以点M,
同理点N,
所以kMN==,所以直线MN的方程为y-=,
令y=0,得x=-==-,
所以直线MN过定点.
法三:(考查极端位置、特殊位置确定出定点,从而转化为一般性证明题)
同法二知,xM=,xN=,
令=⇒k2=1,此时=-,
∴直线MN过定点C.
当k2≠1,kCM==,
kCN==.
∴kCM=kCN,∴M,N,C三点共线,即直线MN过定点.
[点评] 直线过定点问题,可以设出直线方程y=kx+m,得出k与m的关系,从而得到过定点;也可以直接用k表示出新直线的方程,再求过定点;也可以先特殊得出定点,再用三点共线来论证一般情形.
[课时达标训练]
A组——易错清零练
1.过点P(2,-1)且倾斜角的正弦值为的直线方程为________________________.
解析:设所求直线的倾斜角为α,则由题设知sin α=,因为0≤α<π,
所以cos α=±=±,所以tan α==±,则所求直线方程为y+1=±(x-2),即5x-12y-22=0或5x+12y+2=0.
答案:5x-12y-22=0或5x+12y+2=0
2.若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则椭圆的中心到其准线的距离是________.
解析:因为短轴长为2,即b=1,所以a=2,则椭圆的中心到其准线的距离是.
答案:
3.设双曲线的渐近线为y=±x,则其离心率为________.
解析:由题意可得=或=,从而e===或.
答案:或
4.若关于x的方程 =a(x-1)+1有两个不相等的实数根,那么实数a的取值范围是________.
解析:作出函数y=的图象,它是单位圆的上半部分,作出直线y=a(x-1)+1,它是过点A(1,1)的直线,由图象可知,实数a的取值范围是.
答案:
B组——方法技巧练
1.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|=________.
解析:由直线l:mx+y+3m-=0知其过定点(-3,),圆心O到直线l的距离为d=.
由|AB|=2得2+()2=12,解得m=-.又直线l 的斜率为-m=,所以直线l的倾斜角α=.
画出符合题意的图形如图所示,过点C作CE⊥BD,则∠DCE=.在Rt△CDE中,可得|CD|==2×=4.
答案:4
2.如图,设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为________.
解析:设F1(-c,0),F2(c,0),其中c=,
则可设A(c,b2),B(x0,y0),由|AF1|=3|F1B|,
可得=3,故
即代入椭圆方程可得+b2=1,解得b2=,故椭圆方程为x2+=1.
答案:x2+y2=1
3.椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是________.
解析:法一:设椭圆的另一个焦点F1(-c,0),如图,连结QF1,QF,设QF与直线y=x交于点M,又题意知M为线段QF的中点,且OM⊥FQ,O为线段F1F的中点,
∴F1Q∥OM,∴F1Q⊥QF,F1Q=2OM.
在Rt△MOF中,tan∠MOF==,OF=c.
解得OM=,MF=,故QF=2MF=,QF1=2OM=.
由椭圆的定义QF+QF1=+=2a,整理得b=c,∴a==c,
故e=.
法二:设Q(x0,y0),则FQ的中点坐标为,kFQ=.
依题意得
解得
又因为(x0,y0)在椭圆上,所以+=1.
令e=,则4e6+e2=1,故离心率e=.
答案:
4.若椭圆+=1(a>b>0)上存在一点M,它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍,则椭圆离心率的最小值为________.
解析:由题意,设点M的横坐标为x,根据焦半径公式得,a+ex=2,x=,有-a≤≤a,不等式各边同除以a,得-1≤≤1,则-1≤e+2,即e2+3e-2≥0,又0b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E
.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为________.
解析:如图所示,由题意得
A(-a,0),B(a,0),F(-c,0).
设E(0,m),
由PF∥OE,得=,
则|MF|=.①
又由OE∥MF,得=,
则|MF|=.②
由①②得a-c=(a+c),即a=3c,∴e==.
答案:
3.设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是________.
解析:依题意,直线MN与圆O有公共点即可,即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可,过O作OA⊥MN,垂足为A,在Rt△OMA中,因为∠OMA=45°,故|OA|=|OM|sin 45°=|OM|≤1,所以|OM|≤,则≤,解得-1≤x1≤1.
答案:[-1,1]
4.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2c,若椭圆上存在点M使得=,则该椭圆离心率的取值范围为________.
解析:在△MF1F2中,=,
而=,
∴==.①
又M是椭圆+=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,
∴|MF1|+|MF2|=2a.②
由①②得,|MF1|=,|MF2|=.
显然|MF2|>|MF1|,
∴a-c<|MF2|0,∴e2+2e-1>0,又0b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.
解:(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,
故由题设知椭圆C经过P3,P4两点.
又由+>+知,椭圆C不经过点P1,
所以点P2在椭圆C上.
因此解得
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明:设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.
如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐标分别为,.
则k1+k2=-=-1,得t=2,不符合题设.
从而可设l:y=kx+m(m≠1).
将y=kx+m代入+y2=1得
(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.
由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=.
而k1+k2=+
=+
=.
由题设k1+k2=-1,
故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.
即(2k+1)·+(m-1)·=0.
解得k=-.
当且仅当m>-1时,Δ>0,于是l:y=-x+m,即y+1=-(x-2),所以l过定点(2,-1).
6.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的中心在原点O,右焦点F在x轴上,椭圆与y轴交于A,B两点,其右准线l与x轴交于T点,直线BF交椭圆于C点,P为椭圆上弧AC上的一点.
(1)求证:A,C,T三点共线;
(2)如果=3,四边形APCB的面积最大值为,求此时椭圆的方程和P点坐标.
解:(1)证明:设椭圆方程为+=1(a>b>0),①
则A(0,b),B(0,-b),T,
AT:+=1,②
BF:+=1,③
联立②③,解得交点C,代入①得:
+==1.
满足①式,则C点在椭圆上,A,C,T三点共线.
(2)过C作CE⊥x轴,垂足为E(图略),则△OBF∽△ECF.
∵=3,CE=b,EF=c,则C,代入①得:
+=1,∴a2=2c2,b2=c2.
设P(x0,y0),则x0+2y=2c2,
此时C,AC=c,S△ABC=·2c·=c2,
直线AC的方程为x+2y-2c=0,
点P到直线AC的距离为d==,
S△APC=d·AC=··c=·c.
只需求x0+2y0的最大值.
∵(x0+2y0)2=x+4y+2·2x0y0≤x+4y+2(x+y)=3(x+2y)=6c2,
∴x0+2y0≤c,
当且仅当x0=y0=c时,(x0+2y0)max=c.
∴四边形的面积最大值为c2+c2=c2=,
∴c2=1,a2=2,b2=1,
此时椭圆方程为+y2=1,P点坐标.