【数学】2019届一轮复习北师大版导数与函数、不等式综合问题学案

【数学】2019届一轮复习北师大版导数与函数、不等式综合问题学案

‎2018年高考数学专题复习难点突破名师讲练：导数与函数、不等式综合问题 一、考点突破 ‎ 函数与不等式解答题是高考命题的重要题型，解答这类题需要用到导数的相关知识。其命题热点经常是与导数知识的综合考查，出现频率较高的题型是最值、范围问题，单调性或方程根的讨论等综合问题。‎ 二、重难点提示 重点：导数的定义和几何意义；和差积商的导数；复合函数的导数。‎ 难点：导数与函数单调性、极值、最值的关系；利用导数解决不等式、函数零点等问题。‎ 一、知识脉络图 二、知识点拨 ‎1. 导数的定义：‎ ‎2. 导数的几何意义：‎ ‎（1）函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率；‎ ‎（2）函数在点处的导数，就是物体的运动方程在时刻时的瞬时速度；‎ ‎3. 要熟记求导公式、导数的运算法则、复合函数的导数等。尤其注意：‎ 和。‎ ‎4. 求函数单调区间的步骤：‎ ‎（1）确定f（x）的定义域 ‎（2）求f（x）的导数 ‎（3）令y′>0（y′<0），解出相应的x的范围。当y′>0时，f（x）在相应区间上是增函数；当y′<0时，f（x）在相应区间上是减函数 ‎5. 求极值常按如下步骤：‎ ‎①确定函数的定义域；‎ ‎②求导数；‎ ‎③求方程＝0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；‎ ‎④通过列表法，检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。‎ ‎6. 设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，求f（x）在[a，b]上的最大（小）值的步骤如下：‎ ‎（1）求f（x）在（a，b）内的极值；‎ ‎（2）将f（x）的各极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。‎ ‎7. 最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。‎ 能力提升类 例1 已知函数其中 ‎（Ⅰ）当时，求曲线处的切线的斜率；‎ ‎（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。 ‎ 一点通：‎ ‎（Ⅰ）把a＝0代入f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f '（x），因为曲线的切点为（1，f（1）），所以把x＝1代入f '（x）中求出切线的斜率，把x＝1代入f（x）中求出f（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；‎ ‎（Ⅱ）令f '（x）＝0求出x的值为x＝－‎2a和x＝a－2，分两种情况讨论：①当－‎2a＜a－2时和②当－‎2a＞a－2时，讨论f '（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最值。‎ 答案：（I）‎ ‎（II） ‎ 以下分两种情况讨论。‎ ‎（1）＞，则＜。当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ‎ ‎（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ‎ 点评：本题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。‎ 综合运用类 例2 已知函数（），其中。‎ ‎（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。‎ 一点通：‎ ‎（Ⅰ）将a的值代入后对函数f（x）进行求导，当导函数大于0时求原函数的单调递增区间，当导函数小于0时求原函数的单调递减区间。‎ ‎（Ⅱ）根据函数f（x）仅在x＝0处有极值说明f '（x）＝0仅有x＝0一个根，从而得到答案。‎ ‎（Ⅲ）根据函数f（x）的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立，从而求出b的取值范围。‎ 答案：‎ ‎（Ⅰ）。‎ 当时，。‎ 令，解得，，。‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在，内是增函数，在，内是减函数。‎ ‎（Ⅱ），显然不是方程的根。‎ 为使仅在处有极值，必须成立，即有。‎ 解此不等式，得。这时，是唯一的极值。‎ 因此满足条件的的取值范围是。‎ ‎（Ⅲ）由条件，可知，从而恒成立。‎ 当时，；当时，。‎ 因此函数在上的最大值是与两者中的较大者。‎ 为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立。‎ 所以，因此满足条件的的取值范围是。‎ 点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力。‎ 例3 已知函数 ‎（I）求在区间上的最大值 ‎（II）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。‎ 一点通：‎ ‎（I）本题考查的是定函数与动区间的问题，是一元二次函数中一动一定的问题，解题时要针对二次函数的对称轴与区间的关系进行讨论，即对称轴在区间上，或是在区间的左边或右边。‎ ‎（II）遇到关于两个函数的图象的交点个数的问题时，一般是构造新函数，将题目转化为研究函数的零点问题，通过导数得到函数的最值，把函数的最值同0进行比较，得到结果。 ‎ 答案：‎ ‎（I）‎ ‎ 当即时，在上单调递增，‎ ‎ ‎ ‎ 当即时，‎ ‎ 当时，在上单调递减，‎ ‎ 综上，‎ ‎ （II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。‎ 因为 ‎ 所以，‎ ‎ 当时，是增函数；‎ ‎ 当时，是减函数；‎ ‎ 当时，是增函数；‎ ‎ 当或时，‎ ‎ 于是，‎ ‎ 当充分接近0时，当充分大时，‎ ‎ 因此，要使的图象与轴的正半轴有三个不同的交点，必须且只须 ‎ 即 ‎ 所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为 点评：本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。‎ 思维拓展类 例4 设函数，，其中，a、b为常数，已知曲线与在点（2，0）处有相同的切线。‎ ‎（I）求a、b的值，并写出切线的方程；‎ ‎（II）若方程有三个互不相同的实根0、、，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围。‎ 一点通：‎ ‎（I）利用曲线y＝f（x）与y＝g（x）在点（2，0）处有相同的切线l，可得f（2）＝g（2）＝0，f '（2）＝g '（2）＝1。即为关于a、b的方程，解方程即可。‎ ‎（II）把方程f（x）＋g（x）＝mx有三个互不相同的实根转化为、是的两相异实根。求出实数m的取值范围以及、与实数m的关系，再把f（x）＋g（x）＜m（x－1）恒成立问题转化为求函数f（x）＋g（x）－mx在x∈[、]上的最大值问题，综合在一起即可求出实数m的取值范围。‎ 答案：‎ ‎ （I），由于曲线与在点（2，0）处有相同的切线l，故有，由此解得：；‎ 切线的方程：‎ ‎（II）由（I）得，依题意得：方程有三个互不相等的根，故是方程的两个相异实根，所以；‎ 又对任意的，恒成立，特别地，取时，‎ 成立，即，由韦达定理知：‎ ‎，故，对任意的，有 ‎，则：‎ ‎；又 所以函数在上的最大值为0，于是当时对任意的，恒成立；综上：的取值范围是。‎ 点评：本题主要考查函数，导数，不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想。‎ 利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式。‎ 利用导数解决不等式恒成立问题 不等式恒成立问题，一般都会涉及求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m>f（x） （或m0）。‎ ‎（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在内的单调性并求极值；‎ ‎（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－‎2a ln x＋1。‎ ‎2. 已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在＝－1处取得最小值m－1（m）。设函数 ‎（1）若曲线上的点P到点Q（0，2）的距离的最小值为，求m的值；‎ ‎（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点。‎ ‎3. 已知是函数的一个极值点。‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若直线与函数的图像有3个交点，求的取值范围。‎ 一、选择题 ‎1. D 因为为定义在R上的奇函数，所以有，解得，所以 当时，，即，故选D ‎2. A 由题意得：所求封闭图形的面积为，故选A。‎ ‎3. B 因为，，所以选B ‎4. A ‎ ‎，所以，故切线方程为。‎ ‎5. A 二、解答题：‎ ‎1. （Ⅰ）解：根据求导法则有，‎ 故，‎ 于是，‎ 列表如下：‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值。‎ ‎（Ⅱ）证明：由知，的极小值。‎ 于是由上表知，对一切，恒有。‎ 从而当时，恒有，故在内单调增加。‎ 所以当时，，即。‎ 故当时，恒有。‎ ‎2. 解：（1）设，则； ‎ ‎ 又的图像与直线平行 ，‎ ‎ 又在处取得极小值，，‎ ‎ ，；‎ ‎ ，设 ‎ 则 ‎ ， ‎ ‎ （2）由，‎ ‎ 得 ‎ ‎ 当时，方程有一解，函数有一零点；‎ ‎ 当时，方程有两解，若，，‎ ‎ 函数有两个零点：；若，‎ ‎ ，函数有两个零点：；‎ ‎ 当时，方程有一解，，函数有一零点 ‎ ‎3. 解：（Ⅰ）因为，‎ 所以。因此。‎ 当时，，‎ 由此可知，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，当时，是函数的一个极值点。‎ 于是，。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎，，‎ ‎。‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以的单调增区间是，的单调减区间是。‎ ‎（Ⅲ）与的图象有个交点；等价于有个实数根；即有个实数根；此时，函数的图象与轴有个不同交点，‎ 令，‎ 则，‎ 令，解得或，，随的变化情况列表如下：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 为极大值，为极小值。‎ 由表可得的示意图：‎ 为使的图象与轴有3个不同交点，必须的极大值大于零，极小值小于零。即可化为 解得 ‎∴。‎