数学经典易错题会诊与高考试题预测12

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数学经典易错题会诊与高考试题预测12

高考数学经典易错题会诊(十二)‎ 考点12‎ 排列、组合、二项式定理 ‎►正确运用两个基本原理 ‎►排列组合 ‎►二项式定理 ‎►在等可能性事件的概率中考查排列、组合 ‎►利用二项式定理解决三项以上的展开式问题 ‎►利用二项式定理证明不等式 经典易错题会诊 命题角度1‎ 正确运用两个基本原理 ‎1.(典型例题)已知集合A=B={1,2,3,4,5,6,7},映射f:A→B满足f(1)2n-3(n2+3n+8)(n<2,n∈N)‎ 答案:解:证明:3n=(2+1)n=2n+·2n-1+·2n-2+2n-3+…+·2+>2n+n·2n-1+‎ ‎2n-2=2n-3[8+4n+n2-n]=2n-3(n2+3n+8).‎ 探究开放题预测 预测角度 1‎ 在等可能性事件的概率中考查排列、组合 ‎1 A、B、C、D、E五人站成一圈传球,每人只能把球传给他的邻人,A传出(算第一次)后经10次传球又回到A的概率为 ( )‎ ‎[解题思路] 本题的概率是一个等可能性事件的概率,基本事件总数为210,(因为每一次传球都有两种可能),经10次传球又回到A这个事件,应考虑传球的方向。‎ ‎[解答] 因为每一次传球都有两种可能,∴传球10次的可能结果为210,即基本事件总数为210,传球10次又回到A应分两种情况:(1)一直是顺时针或逆时针传球,有2种可能;(2)有逆时针又有顺时针传,则应是顺时针、逆时针各传次,问题即为10次传球中,哪5次是逆时针传,共有C510种可能,由于上述两种情况互斥。‎ ‎∴传球10次又回到A的可能有C510+2=254。‎ ‎∴所求事件的概率为 ‎∴选C。‎ 12‎ ‎2 某校高三年级举行一次演讲比赛共有10位同学参赛,其中一班有3位,二班有2位,其他班有5位,若采用抽签方式确定他们的演讲顺序,则一班有3位同学恰好被排在一起,而二班的2位同学没有被排在一起的概率为 ( )‎ ‎[解题思路] 基本事件总数为A1010,而事件A包括的可能实际上就是排列中的相邻与不相邻问题,按“捆绑法”与“插空法”求解。‎ ‎[解答] 10个人的演讲顺序有A1010种可能,即基本事件总数为A1010,一班同学被排在一起,二班的同学没有被排在一起这样来考虑:将一班的3位同学当作一个元素与其他班的5位同学一起排列有A66种,考虑这3位同学之间的顺序,∴不同的排法有A66·A33·A27种。∴所求概率为。∴选B。‎ ‎3 9支足球队参加一地区性足球预选赛,将这9支球队任意地均分为3组,则A、B两个“冤家队”恰好分在同一组的概率为 ( )‎ ‎ ‎ ‎[解题思路] 可以选将3组取名为甲、乙、丙加以区分,后用排列、组合、概率的知识解之,也可以先锋将A安排好,再安排B来解。‎ ‎[解答] 解法一 将9支球队任意地均分为甲、乙、丙3组有C39C36·C33种分法,而A、B两队可在3组之一,选定某组后再从其它7队中任选1队到该组,剩下的两组还有C36·C33种配合法,故A、B同组的可能有3C17C36C33。‎ ‎∴所求事件的概率为∴选B。‎ 解法二 9支球队可分为3组,每组3队,视作3个空位,A队先占其中一组的一个空位,现在让B队在余下的8个位置任选其一,有8种选法,而其中只有2种选法属于A、B同组。‎ ‎∴选求概率为∴选B。‎ 预测角度 2‎ 利用二项式定理解决三项以上的展开式问题 ‎1.(1-3x+2y)n的展开式中不含y的项的系数和为 ( )‎ A.2n B.-2n C.(-2)n D.1‎ ‎[解题思路] 将(1-3x+2y)看作(1-3x)+2y两项,利用二项式定理的有关知识解之。‎ ‎[解答] (1-3x+3y)n=[(1-3x)+2y]n,而[(1-3x)+2y]n的展开式中不含y的项为C0n(1-3x)n=(1-3x)n,而(1-3x)n的展开式中各项的系数和为(-2)n(令x=1即可)。∴选C。‎ ‎2.(1+2x-3x2)6展开式中的x5项的系数为 ( )‎ A.86 B.168 C.-168 D.-8748‎ ‎[解题思路] 可以将其中两项当作一项,再利用二项式定理求解。但若注意1+2x-3x2可以分解因式,将(1+2x-3x2)6分成两个项式的乘积来求解将会更方便简捷。‎ ‎[解答] ∵(1+2x-3x2)6=(1+3x)6(1-x)6, ∴展开式中的x5项的系数由6部分组成:(1)前5次方,后0次方法[将(1+3x)6称为“前”,(1-x)6称为“后”]。系数为C56·(3)5;(2)前4次方,后1次方,系数为C46·(3)4·(-C16);(3)前3次方,后2次方,系数为C36·33·C26‎ ‎;(4)前2次方,后3次方,系数为C26·(3)2·(-C36‎ 12‎ ‎);(5)前1次方,后4次方,系数为C16·3·C46;(6)前0次方,后5次方,系数为-C56。∴展开式中x5项的系数为C56·35+C46·34·(-C16)+C36·33·C26+C26·32·(-C36)+C16·3·C46-C56=-168。∴选C。‎ 预测角度 3‎ 利用二项式定理证明不等式 ‎1 过点P(1,0)作曲线C:y=xk,[x∈(0,+∞),k∈N*,k>1]的切线,切点为Q1,设Q1在x轴上的投影是点P1;又过点P1作曲线C的切线,切点为Q2,设Q2在x轴上投影为点P2,…如此继续下去得到一系列点Q1,Q2,…,Qn,…,设点Qn的横坐标为an.‎ ‎(1)求证:‎ ‎(2)求证:‎ ‎(3)求证:‎ ‎[解题思路] 利用已知条件,找到an的递推式,再求通项;第(2)问的证明可用二项式定理;第(3)问可用错位相减法。‎ ‎[解答] (1)y’=kxk-1,过点Qn(an,akn)的切线方程为y-akn=kak-1n(x-an),当n=1时,切线过点p(1,0),‎ ‎∴0-ak1=kak-11(1-a1),得a1=;当n>1时,切线过点Pn-1(an-1,0),即有0-akn=kak-1n(an-1-an)得∴数列{an}是首项为,公比为的等比数列。∴an=()n;‎ ‎(2)由(1)知an=()n=(1+)n=C0n+C1n·+C2n·()2+…+Cnn()n≥C0n+C1n·=1+;‎ ‎(3)记 则,‎ 两式相减得 ‎(第(2)问也可以用数学归纳法加以证明)‎ 考点高分解题综合训练 ‎1 将1,2,3…,9这9个数字填在3×3的正方形方格中,要求每一列从上到下的依次增大,每一行从左到右均依次增大,当4固定在中心位置时,则填写空茖的方法有 ( )‎ A.6种 B.12种 C.18种 D.24种 答案: B 解析:首先确定1、9分别在左上角和右下角,2、3‎ 12‎ ‎ 只能在4的上方和左方,有2种填方,5,6,7,8填在其它位置有=6种方法.依分步计数原理有2=12种填法,所以选B. ‎ ‎2 某重点中学要把9台相同的电脑送给农村三所希望小学,每个小学到少2台电脑,不同的送法种数为( )‎ A.10种 B.9种 C.8种 D.6种 答案: A 解析:先每所学校送1台电脑,剩下6台电脑分给三所学校,每校至少1台,用隔板法,有=10种.∴选A. 3.B 解析:基本事件总数为+++=15,而倒出奇数粒的可能是+=8,∴倒出奇数粒玻璃球的概率为,倒出偶数粒玻璃球的概率为,∴选B.‎ ‎3 从装有4粒大小、形状相同,颜色不同的玻璃球的的瓶中,随意一次倒出若干粒玻璃球茎(至少一粒),则倒出奇数粒玻璃球的概率比例出偶数粒玻璃球的概率 ( )‎ A.小 B.大 C.相等 D.大小不能确定 ‎4 将二项式()n的展开式按x降幂排列,若前三项系数成等数列,则该展开式中x的幂指数是整数的项共有 ( )‎ A.1项 B.3项 C.5项 D.7项 答案: B 解析:()n的展开式按x的降幂排列,前三项的系数为·,由已知有==,解得n=8或1,舍去n=1.∴n=8,()8的展开式的通项为·x·()r·x-=()r·x,当r=0,4,8时为整数,∴x的幂指数是整数的项共有3项,∴选B. ‎ ‎5 已知f(n)=3n-C1n3n-1+C2n·3n-2-…+(-1)n+log2n(n∈N*),当n=________时,|f(n)-2005|取得最小值。‎ 答案:11 解析f(n)=3n-3n-1+…+(-1)n+log2n=(3-1)n+log2n=2n+log2n,∴ |f(n)-2005|=|2n+log2n-2005|当n=11时,|2n+log2n-2005|取最小值.∴填11. ‎ ‎6 用五个数字0,1,1,2,2组成的五位数总共有____________。‎ 答案: B 解析:将0放在不是首位的其它4个位置上有种方法,再在剩下的4个位置选2个位置放1,剩下2个位置放2,有种方法,依分步计数原理,共有这样的五位数共有=24个.∴选B. ‎ 12‎ ‎7 在(4x2+3x+2)5的展开式中,分别求:(1)x的系数;‎ 答案:(4x2+3x+2)5=[4x2+2]+3x]5,∴Tr+1=(4x2+2)5-r·(3x)r,求x的系数,只有r=1,x的系数为·3·24=240.‎ ‎(2)x2的系数;‎ ‎(4x2+3x+2)5=[4x2+(3x+2)]5,∴Tr+1= (4x2)5-r(3x+2)r,要求x2的系数,r=4或r=5才有可能,当r=4时,x2的系数为 ·4·24=320,当r=5时,x2的系数为·32×23=720.当r=4时x2的系数为320∴展开式中x2的系数为320+720=1040.‎ ‎(3)常数项 答案:常数项为25=32.‎ ‎8 若n∈N*,n<100,且二项式(x3+)n的展开式中存在常数项,求所有满足条件的n的值的和。‎ 答案:解:(x3+)n的展开式的通项为Tr+1=·x3(n-r)× x-2r=x3n-5r,∵存在常数项,∴3n-5r=0 r=n,∴n为5的倍数,∴满足条件的n的值的和为950. ‎ ‎9 一条走廊宽2m,长6m,现用6种不同颜色,大小均为1×1m2的整块单色地板砖来铺设,要求相邻的两块地砖颜色不同,假定每种颜色的地砖都足够多,那么不同的铺设方法有多少?‎ 答案:解析:将走廊看作6列1×2m2的图案,先铺第一列,有=30种方法,再铺第二列,分三类:(1)与第一列两块颜色均不相同,有=12种(2)与第一列仅有一块相同,有2=8种;(3)与第一列两块颜色均相同,仅有1种,故铺第二列共有12+8+1=21种方法,同理以后各列均有21种方法,故不同的铺设方法共有 30×215种. ‎ ‎10 若(x+1)+(x+1)2+…+(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+an(x-1)n,求a0+a1+…+an.‎ 答案:解:令x=2,得a0+a1+…+an=3+32+…+3n= ‎ ‎11 从集合{1,2,3,…,20}中选3不同的数使这3个数成递增的等差数列,则这样的数列共有多少个?‎ 答案:解:(解法一)公差为1的等差数列有18个;公差为2的等差数列有16个;依此类推,公差为9的等差数列有2个.∴这样的等差数列共有2+4+…+16+18=90个.‎ ‎ (解法2)取出三个数a、b、c要构成等差数列,则2b=a+c,因此a+c必须为偶数,则a与c同为奇数或同为偶数.∴这样的等差数列共有=90个.‎ ‎12 ‎ 12‎ ‎ 将一个四棱锥的每个顶点染上颜色,使同一条棱上的两端点异色,如果有5种颜色或供使用,那么不同的染色方法总数有多少种?‎ 答案:解:将四棱锥记为S--ABCD,先染S、A、B由于颜色各不相同,∴有=60种方法;再染C、D,若C的颜色与A相同,则D的染色方法数为3种,若C的颜色与 A不相同,则C的染色方法有2种,D的染色方法为2种,依两个基本原理,不同的染色方法数为×(3+2×2)=420种. ‎ ‎13 两条异面直线称为“一对”,连结正方体的八个顶点的所有直线中,异面直线共有多少对?‎ 答案:解:一对异面直线需要4个不共面的点,而4个点每两点连线中可得3对异面直线,现在只要求出从这8个点中选4个不共面的点方法数,用间接解法,总数 有种,其中共面的四个点有两类,一类是共于表面的有6种,另一类为共面于对角面的有6种,∴选4个不共面的点方法数为-6-6=58种.用此可得异面直线的对数为3×58=174. ‎ ‎14 已知函数f(x)=f(2)=2f(3)<3,且f(x)的图像按向量e=(-1,0)平移后得到的图像关于原点成中心对称图形。‎ ‎(1)求a、b、c的值;‎ 答案: f(x)的图象按向量e=(-1,0)平移后得到函数y=,由已知该函数为奇函数,∴c=0,又f(2)=2,∴a+1=2b,f(3)<3,∴4a+1<6b.得a<2,又a∈N,∴a=0或a=1,若a=0,此时b=与b∈N矛盾,∴a=1,b=1,‎ f(x)=‎ ‎(2)设0<|x|<1,0<|t|≤1,求证:|t+x|+|t-x|<|f(tx+1);‎ 答案:|t+x|+|t-x|= ‎ 而|f(tx+1)|= ‎ ‎(∵tx≠±1). ‎ ‎|t+x|+|t-x|<2,∴原不等式成立.‎ ‎(3)设x是正实数,求证[f(x+1)]n-f(xn+1)≥2n-2.]‎ 答案:[f(x+1)]n=(x+)n=xn+x2-n,f(xn+1)=xn+;‎ 记Tn=[f(x+1)]n-f(xn+1)=‎ ‎∴Tn≥2n -2.∴原不等式成立. ‎ ‎(第(3)问可以用数学归纳法加以证明) .‎ 12‎
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