数学经典易错题会诊与高考试题预测5

数学经典易错题会诊与高考试题预测5

高考数学经典易错题会诊(五)‎ 考点5 三角函数 ‎ 经典易错题会诊 ‎ 命题角度1 三角函数的图象和性质 ‎ 命题角度2 三角函数的恒等变形 ‎ 命题角度3 三角函数的综合应用探究开放题预测 ‎ 预测角度1 三角函数的图象和性质 ‎ 预测角度2 运用三角恒等变形求值 ‎ 预测角度3 向量与三角函数的综合 命题角度1 三角函数的图象和性质 ‎1．（典型例题）函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈（0，2π）的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则众的取值范围是 .‎ ‎ [考场错解] 填[0，3]‎ ‎ ∵f(x)=‎ ‎ ∴f(x)的值域为(0，3)，∵f(x)与y=k有交点，‎ ‎ ∴k∈[0，3]． ‎ ‎ [专家把脉] 上面解答求出k的范围只能保证y= f(x)的图像与y=k有交点，但不能保证y=f(x)的图像与y=k有两个交点，如k=1，两图像有三个交点．因此，正确的解答要作出了y=f(x)的图像，运用数形结合的思想求解． ‎ ‎[对症下药] 填(1，3)‎ ‎∵f(x) 作出其图像如图 从图5-1中可看出：当10，cot x>0，∴f(x)≥‎ ‎4 化简f(x)=cos(+2x)+cos(π-2x)+ 2(x∈R，k∈Z)求函数f(x)的值域和最小正周期．‎ 答案：解析：∵f(x)=cos(2kπ++2x)+cos(2kπ--2x)+2sin(+2x)=2cos(+2x)+2sin(+2x)=4sin(+ +2x)=4sin(+x)=4cos2x．‎ 24‎ ‎ ∴f(x)的值域为[-4，4]；最小正周期为T：=π.‎ 命题角度2‎ 三角函数的恒等变形 ‎ ‎1．(典型例题Ⅱ)设α为第四象限的角，若，则tan2α= . ‎ ‎[考场错解] 填± ∵‎ ‎∴‎ ‎[专家把脉] 上面解答错在由cos2α=得sin2α=±时没有考虑角α是第四象限角．2α是第三、四象限角sin2α只能取负值．因而tan2α也只能为负值．‎ ‎ [对症下药] 填-=cos2α+2cos2α=2cos2α+1=∴cos2α=．又∵α为第四象限角，即2kπ+<α< 2kπ+2π，k∈Z，∴4kπ+3π<2α<4kπ+4π，k∈Z 即2α为第三、四象限角．∴sin2α=- ‎ ‎2．(典型例题)已知-0，sinx-cosx<0．‎ ‎ ∴sinx-cosx=-‎ 24‎ ‎(2)=cosx·sinx(2+cosx-sinx)=‎ ‎[专家把脉] 以上解答在利用三角恒等变形化简时出现了错误．即由 =sinxcosx(2-sinx -cosx)变形时认为2sin2 =1+cosx，用错了公式，因为 2sin2 =1-cosx．因此原式化简结果是错误的．‎ ‎ [对症下药] 解法1 (1)由sinx+cosx=，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=即2sinxcosx=-．‎ ‎∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+ .‎ 又∵- 0，sinx-cosx<0．∴sinx-cosx=． ‎ ‎(2)‎ ‎①‎ ‎②‎ 解法2 (1)联立方程 由①得slnx=-cosx，将其代入②，整理得25cos2x- 5cosx-12=0，∴cosx=-或(cosx=)‎ ‎∵- 0，cosβ>0，∴．tan(α=1．‎ ‎4 已知函数f(x)=-sin2x+sinxcosx ‎ (1)求f()的值；‎ 答案：∵sin ‎∴‎ ‎(2)设α∈(0，π),f()=，求sinα的值． ‎ 24‎ 答案：‎ ‎∴‎ ‎ 16sin2α-4sinα-11=0，解得sinα=‎ ‎∵α∈(0，π)，∴sinα>0，则sinα=‎ 5 已知函数f(x)=2sin2x+sin2x，x∈(0，2π)求使f(x)为正值的x的集合． ‎ 答案：解：∵f(x)=1-cos 2x+sin 2x=1+sin(2x-)，‎ ‎ ∴f(x)>01+sin(2x-)>0．‎ ‎ sin(2x-)>--+2kπ<2x-<+2kπkπx>0．‎ ‎ (Ⅰ)将十字形的面积表示为θ的函数；‎ ‎ (Ⅱ)θ为何值时，十字形的面积最大?最大面积是多少?‎ ‎ [考场错解] 设S为十字形的面积，则S=2xy=2sinθ· cosθ=sin2θ(≤θ<)．‎ ‎ (2)当sin2θ=1即θ= 时，S最大，S的最大值为1．‎ ‎ [专家把脉]‎ 24‎ ‎ 上面解答错在面积S的计算上，因为十字形面积等于两个矩形面积和还需减去中间一个边长为 x的正方形面积．‎ ‎ [对症下药] (1)设S为十字形的面积，则S=2xy-x2=2sinθcosθ-cos2θ(<θ< )‎ ‎ (2)解法1 S=2sinθcosθ-cos2θ=sin2θ-cos2θ,其中=1，即2θ-=时，S最大．‎ ‎ ∴当θ=时，S最大，S的最大值为．‎ ‎ 解法2 ∵S=2sinθcosθ-cos2θ，‎ ‎∴S′=2cos2θ- 2sin2θ+2sinθ·cosθ=2cos2θ+sin2θ．‎ ‎ 令S′=0．即2cos2θ+sin2θ=0，‎ ‎ 可解得θ=arctan(-2)．‎ ‎∴当θ=arctan(-2)时，S最大，S的最大值为． ‎ ‎2．(典型例题)若03sinx B．2x<3sinx ‎ C．2x=3sinx D．与x的取值有关 ‎[考场错解] 选A 设f(x)=2x-3sinx，∴f(x)= 2-3cosx，∵00．‎ ‎ ∴f(x)在(0，)上是增函数 ‎ ∴f(x)>f(0)=0．‎ 即2x>3sinx，选A ‎ ‎[专家把脉]∵f′(x)=3(-cosx)．当00．当x∈(0，arcccos)时，y′<0．‎ 即当x∈(arccos，)时，f(x)>0．口P2x>3sinx当x∈(0，arccoss)时，f(x)<0．即2x<3sinx．故选D． ‎ ‎3．(典型例题)设函数f(x)=xsinx(x∈R)‎ ‎(1)证明f(x+2kπ)f(x)=2kπsinx．其中k∈Z；‎ 24‎ ‎ (2)设x0是f(x)的一个极值点．证明[f(x0)]2=；‎ ‎ (3)设f(x)在(0，+∞)的全部极值点按从小到大的顺序a1,a2，…，an，…，证明：0是f′，(x0)=0的任意正实根即x0 =-tax0，则存在一个非负整数k，使x0∈(+kπ，π+ kπ)．即x0在第二或第四象限内．‎ ‎ 由题设条件，a1，a2，…，an为方程x=-tanx的全部正实根,且满足a10，由②式知tan(an-1，-an)< 0．由此可知an+1-an必在第二象限 ‎ ∴0是f′(x)=0的任意正实根，即x0-tanx0，则存在一个非负整数k，使x0∈(+kπ，π+kπ)，即x0在第二或第四象限内．由①式f′(x)=cosx(tanx+x)在第二象限或第四象限中的符号可列表如下：‎ X ‎()‎ 24‎ f′(x)的符号 K为奇数 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ K为偶数 ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 所以满足f′(x)=0的正根x0都为f(x)的极值点．‎ 由题设条件，a1,a2，…，an…为方程x=-tanx的全部正实根且满足a10，由②式知tan(an+1-an)<．0由此可知an+1-an必在第二象限，即an+1-an<π.综上，sinα1cosα2,sinα1b>c B．O0)的图像与直线y=3在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，且|P3P5|=，则w等于( ) ‎ A．4 B．1 C．2 D.‎ 答案： C 解析：∵y=4sin(wx+)cos(wx-)‎ ‎ =4cos2(-wx)=2+2cos(-2cosx)‎ ‎ =2+2sin2wx，y=3时，sin2wx=，‎ ‎ |P3P5|=T=，w=2．‎ ‎5 已知f(α)=,则f(α)取得最大值时α的值是 ( ) ‎ A． B．‎ C． D．‎ 答案： B 解析：∵f(x)=‎ ‎∴当sin2a=1，即α=时f(x)有最大值．‎ ‎6 若sinα+cosα=tanα(0<α<)，则α∈( ) ‎ 24‎ 答案： C 解析：∵0<α+<α+π，∴sin(α+)∈(，1)∴sina+cosα=sin(α+)∈(1，)，即tanα∈(，)‎ 故α∈()．‎ ‎7的值是 . ‎ 答案：解析：1+tan10°=‎ ‎ 原式=‎ ‎8 函数y=(sin-2x)的单调减区间是 . ‎ 答案：[](k)解析：函数变形为 即函数单调减区间为[]（k）‎ ‎9 求函数f(x)=的最小正周期、最大值和最小值． ‎ 答案：解析：f(x)=所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值是，最小值是.‎ ‎10 已知函数y=Asin(w+)(x∈R)(其中A>O,w>0)的图像在y轴右侧的第一个最高点为M(2，2)，与x轴在原点右侧的第一个交点为N(0,0) ‎ ‎(1)求这个函数的解析式；‎ 答案：解：（1）根据题意可知，A=2=6-2=4，∴T=16，于是w=所以y=2将点M的坐标代入y=2‎ 即sin.‎ ‎∴满足为最小正数解，即.故所求的解析工为y=2‎ 24‎ ‎(2)此函数可以由y=sinx经过怎样的变换得到?(写出每一个具体变换)． ‎ y=2sin()‎ ‎11 已知三点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(0，3)C(cosα，sinα)，α≠，k∈Z，若=-1，求的值． ‎ 答案：解：由=（cosα-3,sinα）,=(cosα,sinα-3)‎ 得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1‎ ‎∴sinα+cosα= ①‎ 又 由①式两边平方得1+2sinαcosα=,2sinαcosα=-‎ ‎∴‎ ‎12 已知向量a=‎ ‎ (1)若f(x)=(a+b)2，求f(x)的解析式；‎ 答案： f(x)=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=2+‎ ‎(2)求函数f(x)的最大值和最小值； ‎ 答案：由x∈[-]得x+∈[π]‎ ‎ 当x+=，即x=-时，函数f(x)取最大值+2；‎ 当x+=π，即x=时，函数f(x)取最小值为0‎ ‎13 已知α为第二象限的角，sinα=，β为第一象限的角，cosβ=，求tan(2α-β)的值． ‎ 答案：解：∵α为第二象限的角，sinα=，cosα=-.‎ ‎∴tanα=-，又∵ β为第一象限的角，cosβ=，sinβ 24‎ ‎14如图所示，有一农民在自留地建造一个长10 m，深0．5 m，横截面为等腰梯形的封闭式引水槽侧面材料每平方米造价50元，顶盖材料每平方米造价10元．‎ ‎ (1)把建立引水槽的费用y(元)表示为引水槽的侧面与地面所成的角∠DAE=θ的函数；‎ 答案：作AH⊥CD，垂足为H，则AH=,‎ ‎∠ADH=θ ‎∴=AH(AB+CD).‎ 即 ‎(2)引水槽的侧面与地面所成的角θ多大时，其材料费最低?最低材料费是多少?(精确到0．01，≈1．732)‎ 答案：‎ 等号当且仅当 3tan=cot即tan=． ∴θ=60°．即当引槽的侧面与地面所成角为60°材料费最低为646．4元．‎ ‎(3)按照题没条件，在引水槽的深度和横截面积及所在的材料不改变的情况下，将引水槽的横截面形状改变为正方形时的材料费与(2)中所求得的材料费相比较，哪一种设计所用材料费更省?省多少?‎ 答案：截面为正方形时，材料费为×10=700元．‎ ‎ 所以横截面为等腰梯形时比横截面为正方形时，材料费用较省，省53．6元．‎ ‎ ‎ 24‎