【数学】2018届一轮复习苏教版8-4直线、平面垂直的判定与性质教案（江苏专用）

【数学】2018届一轮复习苏教版8-4直线、平面垂直的判定与性质教案（江苏专用）

‎8.4 直线、平面垂直的判定与性质 ‎1.直线与平面垂直 ‎(1)定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直.‎ ‎(2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ⇒l⊥α 性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 ⇒a∥b ‎2.平面与平面垂直 ‎(1)平面和平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.‎ ‎(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β 性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 ⇒l⊥α ‎【知识拓展】‎ 重要结论 ‎(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.‎ ‎(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).‎ ‎(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.‎ ‎(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　×　)‎ ‎(2)垂直于同一个平面的两平面平行.(　×　)‎ ‎(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(　√　)‎ ‎(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.(　×　)‎ ‎(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直.(　√　)‎ ‎1.(教材改编)下列命题中正确的是________.‎ ‎①如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β；‎ ‎②如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；‎ ‎③如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；‎ ‎④如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ.‎ 答案　②③④‎ 解析　根据面面垂直的性质，知①不正确，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内，②③④正确.‎ ‎2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的_________条件.‎ 答案　充分不必要 解析　若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α ‎，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.‎ ‎3.(2016·连云港模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是________.‎ ‎①若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；‎ ‎②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；‎ ‎③若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β；‎ ‎④若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β.‎ 答案　④‎ 解析　①中，m与n可垂直、可异面、可平行；②中，m与n可平行、可异面；③中，若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故③错误；④中，m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴存在l⊂β，l∥n，∴l⊥α，∴α⊥β.‎ ‎4.(2016·徐州模拟)α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及平面β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：‎ ‎_________________________________________________________.‎ 答案　可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个 ‎5.(教材改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.‎ ‎(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.‎ ‎(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心.‎ 答案　(1)外　(2)垂 解析　(1)如图1，连结OA，OB，OC，OP，‎ 在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，‎ 所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.‎ ‎(2)如图2，延长AO，BO，CO，分别交BC，AC，AB于H，D，G.‎ ‎∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，‎ ‎∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，‎ 又AB⊥PO，PO∩PC＝P，‎ ‎∴AB⊥平面PGC，‎ 又CG⊂平面PGC，‎ ‎∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高.‎ 同理可证BD，AH为△ABC底边上的高，‎ 即O为△ABC的垂心.‎ 题型一　直线与平面垂直的判定与性质 例1　如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.‎ OD′＝.‎ 证明：D′H⊥平面ABCD.‎ 证明　由已知得AC⊥BD，AD＝CD.‎ 又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.‎ 因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.‎ 由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.‎ 由EF∥AC得＝＝.‎ 所以OH＝1，D′H＝DH＝3.‎ 于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.‎ 又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF⊂平面ABCD，‎ 所以D′H⊥平面ABCD.‎ 思维升华　证明线面垂直的常用方法及关键 ‎(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.‎ ‎(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.‎ ‎　(2015·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.‎ 求证：(1)DE∥平面AA1C1C；‎ ‎(2)BC1⊥AB1.‎ 证明　(1)由题意知，E为B1C的中点，‎ 又D为AB1的中点，因此DE∥AC.‎ 又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，‎ 所以DE∥平面AA1C1C.‎ ‎(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，‎ 所以CC1⊥平面ABC.‎ 因为AC⊂平面ABC，‎ 所以AC⊥CC1.‎ 又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，‎ BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，‎ 所以AC⊥平面BCC1B1.‎ 又因为BC1⊂平面BCC1B1，‎ 所以BC1⊥AC.‎ 因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，‎ 因此BC1⊥B1C.‎ 因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，‎ 所以BC1⊥平面B1AC.‎ 又因为AB1⊂平面B1AC，‎ 所以BC1⊥AB1.‎ 题型二　平面与平面垂直的判定与性质 例2　如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点.‎ ‎(1)求证：CE∥平面PAD；‎ ‎(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.‎ 证明　(1)方法一　取PA的中点H，连结EH，DH.‎ 又E为PB的中点，‎ 所以EH綊AB.‎ 又CD綊AB，‎ 所以EH綊CD.‎ 所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.‎ 又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD.‎ 所以CE∥平面PAD.‎ 方法二　连结CF.‎ 因为F为AB的中点，‎ 所以AF＝AB.‎ 又CD＝AB，‎ 所以AF＝CD.‎ 又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形.‎ 因此CF∥AD，又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，‎ 所以CF∥平面PAD.‎ 因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.‎ 又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，‎ 所以EF∥平面PAD.‎ 因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.‎ 又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.‎ ‎(2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA.‎ 又因为AB⊥PA，‎ 所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.‎ 又因为EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG.‎ 所以AB⊥平面EFG.‎ 又因为M，N分别为PD，PC的中点，‎ 所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，‎ 所以MN⊥平面EFG.‎ 又因为MN⊂平面EMN，‎ 所以平面EFG⊥平面EMN.‎ 引申探究 ‎1.在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面PAC.‎ 证明　因为AB⊥PA，AB⊥AC，‎ 且PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，‎ 所以AB⊥平面PAC.‎ 又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，‎ 所以MN⊥平面PAC.‎ 又MN⊂平面EMN，‎ 所以平面EMN⊥平面PAC.‎ ‎2.在本例条件下，证明：平面EFG∥平面PAC.‎ 证明　因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，‎ 所以EF∥PA，FG∥AC，‎ 又EF⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，‎ 所以EF∥平面PAC.‎ 同理，FG∥平面PAC.‎ 又EF∩FG＝F，‎ 所以平面EFG∥平面PAC.‎ 思维升华　(1)判定面面垂直的方法 ‎①面面垂直的定义；‎ ‎②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).‎ ‎(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.‎ 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.‎ ‎　(2016·江苏)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.‎ 求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ 证明　(1)由已知，DE为△ABC的中位线，‎ ‎∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，‎ ‎∴DE∥A1C1，‎ 又∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，‎ ‎∴DE∥平面A1C1F.‎ ‎(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，‎ ‎∴AA1⊥A1C1，‎ 又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，‎ A1B1，AA1⊂平面ABB1A1，‎ ‎∴A1C1⊥平面ABB1A1，‎ ‎∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，‎ 又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，‎ A1F，A1C1⊂平面A1C1F，‎ ‎∴B1D⊥平面A1C1F，‎ 又∵B1D⊂平面B1DE，‎ ‎∴平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ 题型三　直线、平面垂直的综合应用 例3　如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4.‎ ‎(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；‎ ‎(2)求四棱锥P—ABCD的体积.‎ ‎(1)证明　在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝4，‎ ‎∴AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD.‎ 又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴BD⊥平面PAD.‎ 又BD⊂平面MBD，‎ ‎∴平面MBD⊥平面PAD.‎ ‎(2)解　过P作PO⊥AD，‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，‎ ‎∴PO⊥平面ABCD，‎ 即PO为四棱锥P—ABCD的高.‎ 又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝2.‎ 在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，‎ ‎∴四边形ABCD为梯形.‎ 在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为＝，‎ 此即为梯形的高.‎ ‎∴S四边形ABCD＝×＝24.‎ ‎∴VP—ABCD＝×24×2＝16.‎ 思维升华　垂直关系综合题的类型及解法 ‎(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.‎ ‎(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.‎ ‎(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.‎ ‎　如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，M是AE的中点.‎ ‎(1)若N是PA的中点，求证：平面CMN⊥平面PAC；‎ ‎(2)若MN∥平面ABC，求证：N是PA的中点.‎ 证明　(1)因为平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，AC⊥BC，BC⊂平面ABC，‎ 所以BC⊥平面PAC，‎ 又M，N分别为AE，AP的中点，所以MN∥PE，‎ 又PE∥CB，所以MN∥BC，‎ 即MN⊥平面PAC，又MN⊂平面CMN，‎ 所以平面CMN⊥平面PAC.‎ ‎(2)因为PE∥CB，BC⊂平面ABC，PE⊄平面ABC，‎ 所以PE∥平面ABC，‎ 设平面PAE∩平面ABC＝l，则PE∥l.‎ 又MN∥平面ABC，MN⊂平面PAE，所以MN∥l.‎ 所以MN∥PE，‎ 因为M是AE的中点，所以N是PA的中点.‎ ‎17.立体几何证明问题中的转化思想 典例　(14分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点.‎ 求证：(1)AN∥平面A1MK；‎ ‎(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.‎ 思想方法指导　(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；‎ ‎(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；‎ ‎(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.‎ 规范解答 证明　(1)如图所示，连结NK.‎ 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，‎ ‎∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，‎ ‎∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，‎ C1D1∥CD，C1D1＝CD. [2分]‎ ‎∵N，K分别为CD，C1D1的中点，‎ ‎∴DN∥D1K，DN＝D1K，‎ ‎∴四边形DD1KN为平行四边形， [3分]‎ ‎∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，‎ ‎∴四边形AA1KN为平行四边形，∴AN∥A1K. [4分]‎ ‎∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，‎ ‎∴AN∥平面A1MK. [6分]‎ ‎(2)如图所示，连结BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.‎ ‎∵M，K分别为AB，C1D1的中点，‎ ‎∴BM∥C1K，BM＝C1K，‎ ‎∴四边形BC1KM为平行四边形，∴MK∥BC1. [8分]‎ 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，‎ BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.‎ ‎∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.‎ ‎∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.‎ ‎∴MK⊥B1C. [12分]‎ ‎∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.‎ 又∵MK⊂平面A1MK，‎ ‎∴平面A1B1C⊥平面A1MK. [14分]‎ ‎1.(2016·扬州模拟)给出下列四个命题：‎ ‎①垂直于同一平面的两条直线相互平行；‎ ‎②垂直于同一平面的两个平面相互平行；‎ ‎③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面.‎ 其中真命题的个数是________.‎ 答案　2‎ 解析　由直线与平面垂直的性质，可知①正确；正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面，而不平行，故②错；由直线与平面垂直的定义知④正确，而③错.‎ ‎2.(2016·常州模拟)设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是________.‎ ‎①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；‎ ‎②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；‎ ‎③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；‎ ‎④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.‎ 答案　③‎ 解析　①中，由m⊥n, n∥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；②中，由m∥β，β⊥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；③中，由m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α，则m⊥α，正确；④中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α，可得m与α相交或m⊂α或m∥α，错误.‎ ‎3.(2016·无锡模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线________上.‎ 答案　AB 解析　由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.‎ 又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.‎ ‎∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上.‎ ‎4.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是________.‎ ‎①CC1与B1E是异面直线；‎ ‎②AC⊥平面ABB1A1；‎ ‎③AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；‎ ‎④A1C1∥平面AB1E.‎ 答案　③‎ 解析　①不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；②不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；③正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；④不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确.‎ ‎5.正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则与直线CE垂直的有______.‎ ‎①A′C′ ②BD ‎③A′D′ ④AA′‎ 答案　②‎ 解析　连结B′D′，‎ ‎∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，‎ ‎∴B′D′⊥平面CC′E.‎ 而CE⊂平面CC′E，‎ ‎∴B′D′⊥CE.‎ 又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.‎ ‎6.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M 为线段PB的中点.现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是________.‎ 答案　①②③‎ 解析　对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，‎ 又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；‎ 对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，‎ ‎∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，‎ ‎∴OM∥平面PAC；‎ 对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确.‎ ‎7.(2016·镇江模拟)已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：‎ ‎①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；‎ ‎②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；‎ ‎③若α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α；‎ ‎④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.‎ 其中正确命题的序号是________.‎ 答案　②③‎ 解析　在三棱柱中，三条侧棱互相平行，但三个侧面所在平面两两相交，故①错误；因为a、b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α，同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确；由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知③正确；当且仅当a、b相交时结论正确，④错误.‎ ‎8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)‎ 答案　DM⊥PC(或BM⊥PC等)‎ 解析　由定理可知，BD⊥PC.‎ ‎∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，‎ 而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.‎ ‎9.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：‎ ‎①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.‎ 其中正确结论的序号是________.‎ 答案　①②③‎ 解析　由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.‎ 又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，‎ ‎∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.‎ ‎∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，‎ ‎∴AF⊥平面PBC，‎ ‎∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，‎ ‎∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.‎ 故①②③正确.‎ ‎10.已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个.‎ 答案　2‎ 解析　若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ ‎”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题.‎ ‎11.(2016·连云港模拟)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点.‎ ‎(1)求证：AM∥平面BDE；‎ ‎(2)求证：DM⊥平面BEF.‎ 证明　(1)连结BD，BD∩AC＝O，连结EO.‎ ‎∵O，M分别为AC，EF的中点，且四边形ACEF为矩形，∴EM∥OA，EM＝OA，‎ ‎∴四边形EOAM为平行四边形，∴AM∥EO，‎ ‎∵EO⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，‎ ‎∴AM∥平面BDE.‎ ‎(2)由AB＝，AF＝1，得DF＝DE＝.‎ ‎∵M是线段EF的中点，∴DM⊥EF，‎ 连结BM，得BM＝DM＝，‎ 又BD＝2，∴DM⊥BM，‎ 又BM∩EF＝M，∴DM⊥平面BEF.‎ ‎12.(2016·北京)如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.‎ ‎(1)求证：DC⊥平面PAC；‎ ‎(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；‎ ‎(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由.‎ ‎(1)证明　∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，‎ ‎∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴DC⊥平面PAC.‎ ‎(2)证明　∵AB∥CD，CD⊥平面PAC，‎ ‎∴AB⊥平面PAC，又AB⊂平面PAB，‎ ‎∴平面PAB⊥平面PAC.‎ ‎(3)解　棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.‎ 证明如下：‎ 取PB的中点F，连结EF，CE，CF，又∵E为AB的中点，∴EF为△PAB的中位线，∴EF∥PA.又PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF.‎ ‎13.(2016·山东)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.‎ ‎(1)已知AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB；‎ ‎(2)已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.‎ 证明　(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，‎ 如图，连结DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，‎ 所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.‎ 又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.‎ 因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.‎ ‎(2)设FC的中点为I，连结GI，HI.‎ 在△CEF中，因为G是CE的中点，‎ 所以GI∥EF.‎ 又EF∥DB，‎ 所以GI∥DB.‎ 在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.‎ 又HI∩GI＝I，DB∩BC＝B，‎ 所以平面GHI∥平面ABC，‎ 因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.‎