2015高考数学一轮方法测评练方法强化练——不等式

2015高考数学一轮方法测评练方法强化练——不等式

方法强化练——不等式　‎ ‎(建议用时：75分钟)‎ 一、填空题 ‎1．“|x|＜2”是“x2－x－6＜0”的________条件．‎ 解析　不等式|x|＜2的解集是(－2,2)，而不等式x2－x－6＜0的解集是(－2,3)，于是当x∈(－2,2)时，可得x∈(－2,3)，反之则不成立．‎ 答案　充分不必要 ‎2．(2014·青岛一模)若a，b是任意实数，且a＞b，则下列不等式①a2＞b2；②＜1；③lg(a－b)＞0；④a＜b成立的是________．‎ 解析　∵0＜＜1，∴y＝x是减函数，又a＞b，‎ ‎∴a＜b.经验证①②③均错误，∴④对．‎ 答案　④‎ ‎3．(2013·郑州调研)不等式≤0的解集为________．‎ 解析　原不等式等价为(x－1)(3x＋1)≤0且3x＋1≠0，解得－≤x≤1且x≠－，所以原不等式的解集为，即.‎ 答案　 ‎4．若x，y是正数，则2＋2的最小值是________．‎ 解析　由2＋2≥x2＋＋y2＋＋2≥2 ＋2 ＋2＝4.当且仅当x＝y＝时取等号．‎ 答案　4‎ ‎5．(2014·长沙诊断)已知实数x，y满足不等式组则2x＋y的最大值是________．‎ 解析　设z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，作出不等式对应的区域，平移直线y＝－2x＋z，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，由解得即B(1,2)，代入z＝2x＋y，得z＝2x＋y＝4.‎ 答案　4‎ ‎6．(2013·北京海淀一模)设x，y∈R＋，且x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是_____．‎ 解析　∵x，y∈R＋，∴40＝x＋4y≥2＝4，当x＝4y＝20时取等号， ∴xy≤100，lg x＋lg y＝lg xy≤lg 100＝2.‎ 答案　2‎ ‎7．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，则这种生产设备最多使用________年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)．‎ 解析　设使用x年的年平均费用为y万元．‎ 由已知，得y＝，即y＝1＋＋(x∈N*)．‎ 由基本不等式知y≥1＋2＝3，当且仅当＝，即x＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．‎ 答案　10‎ ‎8．(2014·天水一模)实数x，y满足若目标函数z＝x＋y取得最大值4，则实数a的值为________．‎ 解析　作出可行域，由题意可知可行域为△ABC内部及边界，y＝－x＋z，则z的几何意义为直线在y轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点 A时，目标函数取得最大值4，此时A点坐标为(a，a)，代入得4＝a＋a＝2a，所以a＝2.‎ 答案　2‎ ‎9．(2014·湖州模拟)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则＋的最小值为________．‎ 解析　不等式表示的平面区域如图所示阴影部分．当直线ax＋by＝z(a＞0，b＞0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时，目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值12，即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6.‎ 所以＋＝· ‎＝＋ ‎≥＋2＝.‎ 答案　 ‎10．(2014·金丽衢十二校联考)已知任意非零实数x，y满足3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)恒成立，则实数λ的最小值为________．‎ 解析　依题意，得3x2＋4xy≤3x2＋[x2＋(2y)2]＝4(x2＋y2)，因此有≤4，当且仅当x＝2y时取等号，即的最大值是4，结合题意得λ≥，故λ≥4，即λ的最小值是4.‎ 答案　4‎ ‎11．(2013·烟台模拟)已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为________．‎ 解析　由ax2＋2x＋c>0的解集为知a<0，且－，为方程ax2＋2x＋c＝0的两个根，由根与系数的关系得－＋＝－，×＝，解得a＝－12，c＝2，∴－cx2＋2x－a>0，即2x2－2x－12<0，其解集为(－2,3)．‎ 答案　(－2,3)‎ ‎12．(2014·武汉质检)已知f(x)＝则不等式f(x)＜9的解集是_____．‎ 解析　当x≥0时，由3x＜9得0≤x＜2.‎ 当x＜0时，由x＜9得－2＜x＜0.‎ 故f(x)＜9的解集为(－2,2)．‎ 答案　(－2,2)‎ ‎13．(2013·湖南卷)若变量x，y满足约束条件则x＋y的最大值为 _____．‎ 解析　设z＝x＋y，则y＝－x＋z.作出可行域如图．‎ 平移直线y＝－x＋z，由图象可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z的截距最大，此时z最大．由得即A(4,2)，代入z＝x＋y，得z＝4＋2＝6.‎ 答案　6‎ ‎14．(2013·湘潭诊断)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为________．‎ 解析　由a⊥b得：a·b＝4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.所以，9x＋3y≥2＝2＝6.‎ 答案　6‎ ‎15．(2013·上海卷)设常数a＞0，若9x＋ ≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围为________．‎ 解析　当x＞0时，f(x)＝9x＋≥2＝6a≥a＋1，解得a≥.‎ 答案　 二、解答题 ‎16．(2014·镇江模拟)已知f(x)＝.‎ ‎(1)若f(x)>k的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；‎ ‎(2)若对任意x>0，f(x)≤t恒成立，求实数t的范围．‎ 解　(1)f(x)>k⇔kx2－2x＋6k<0，‎ 由已知其解集为{x|x<－3或x>－2}，‎ 得x1＝－3，x2＝－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，‎ 所以－2－3＝，即k＝－.‎ ‎(2)∵x>0，f(x)＝＝≤，‎ 由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立，故实数t的取值范围是.‎ ‎17．(2013·广州诊断)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？‎ 解　设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积S＝xy，依题设，得40x＋2×45y＋20xy＝3 200，由基本不等式，得3 200≥2＋20xy＝120 ＋20xy＝120＋20S，则S＋6－160≤0，即(－10)(＋16)≤0，故0＜≤10，从而0＜S≤100，所以S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，解得x＝15，即铁栅的长应设计为15米．‎ ‎18．(2014·泉州调研)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.‎ ‎(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝－时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋1.‎ f′(x)＝3x2－6x＋3.‎ 令f′(x)＝0，得x＝－1或＋1.‎ 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，－1)上是增函数；‎ 当x∈(－1，＋1)时，f′(x)＜0，f(x)在(－1，＋1)上是减函数；‎ 当x∈(＋1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(＋1，＋∞)上是增函数．‎ ‎(2)法一　∵当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，‎ ‎∴3ax2≥－x3－3x－1，∴a≥－－－，‎ 设g(x)＝－－－，∴求g(x)的最大值即可，则g′(x)＝－＋＋＝，‎ 设h(x)＝－x3＋3x＋2，‎ 则h′(x)＝－3x2＋3，当x≥2时，h′(x)＜0，‎ ‎∴h(x)在[2，＋∞)上单调递减，‎ ‎∴g′(x)在[2，＋∞)上单调递减，‎ ‎∴g′(x)≤g′(2)＝0，∴g(x)在(2，＋∞)上单调递减，‎ ‎∴g(x)max＝g(2)＝－，‎ ‎∴a≥－.‎ 法二　因为x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，所以由f(2)≥0，得a≥－.‎ 当a≥－，x∈(2，＋∞)时，f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥‎ ‎3＝3(x－2)＞0，‎ 所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.‎ 综上，a的取值范围是.‎