【数学】2019届一轮复习北师大版不等式与线性规划学案

【数学】2019届一轮复习北师大版不等式与线性规划学案

‎【考向解读】 ‎ 不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划求最值；(2)不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档；在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围或在解决导数问题时经常利用不等式进行求解，但难度偏高.‎ ‎【命题热点突破一】不等式的解法 ‎1．一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．‎ ‎2．简单分式不等式的解法 ‎(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；‎ ‎(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.‎ ‎3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．‎ 例1、【2016高考新课标1卷】若,则( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【感悟提升】(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤 第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．‎ ‎【变式探究】 ‎ ‎(1)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝________.‎ ‎(2)已知f(x)是R上的减函数，A(3，－1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式|f(1＋lnx)|<1的解集是________________．‎ ‎【答案】(1)　(2)(，e2)‎ ‎【解析】(1)由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)·(x－4a)<0，因为a>0，所以不等式的解集为(－2a,4a)，即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，得4a－(－2a)＝15，解得a＝.学 ‎ ‎【命题热点突破二】基本不等式的应用 ‎1.利用基本不等式求最值的注意点 ‎(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键.‎ ‎(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错.‎ ‎2.结构调整与应用基本不等式 基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式.常见的转化方法有 ‎(1)x＋＝x－a＋＋a (x>a).‎ ‎(2)若＋＝1，则mx＋ny＝(mx＋ny)×1＝(mx＋ny)·≥ma＋nb＋2(字母均为正数).‎ 例2、【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，且，所以 ‎ ‎ ，所以选B.‎ ‎【变式探究】【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）‎ ‎（A） （B）6 （C）10 （D）17‎ ‎【答案】B ‎【感悟提升】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．‎ ‎【变式探究】‎ ‎(1)定义运算“⊗” x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________.‎ ‎(2)函数y＝的最大值为________.‎ ‎【答案】(1)　(2) ‎【解析】(1)由题意，得x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝，当且仅当 x＝y时取等号.‎ ‎(2)令t＝≥0，则x＝t2＋1，‎ 所以y＝＝.‎ 当t＝0，即x＝1时，y＝0；‎ 当t>0，即x>1时，y＝，‎ 因为t＋≥2＝4(当且仅当t＝2时取等号)，‎ 所以y＝≤，‎ 即y的最大值为(当t＝2，即x＝5时y取得最大值). 学 ‎ ‎【点评】求条件最值问题一般有两种思路 ‎ 一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值.等号能够取得.‎ ‎【命题热点突破三】简单的线性规划问题 解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．‎ 例3、【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎ ‎【变式探究】【2016年高考北京理数】若，满足，则的最大值为（ ）‎ A.0 B.3 C.4 D.5 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴所求最大值为4，故选C. ‎ ‎【感悟提升】(1)线性规划问题一般有三种题型 一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．‎ ‎【变式探究】‎ 若x，y满足约束条件则的最大值为________.‎ ‎【答案】3 ‎ ‎【高考真题解读】‎ ‎1.【2017北京，理4】若x，y满足 则x + 2y的最大值为 ‎（A）1 （B）3‎ ‎（C）5 （D）9‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图，画出可行域，‎ ‎ ‎ 表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D. 学 ‎ ‎2.【2017浙江，4】若，满足约束条件，则的取值范围是 A．[0，6] B．[0，4] C．[6， D．[4，‎ ‎【答案】D ‎3.【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎4.【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】x、y满足约束条件的可行域如图 ‎ ‎ =2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，‎ 由 解得A(−6,−3)，‎ 则 =2x+y的最小值是 −15.‎ 故选 A. ‎ ‎5.【2017山东，理4】已知x,y满足，则 =x+2y的最大值是 ‎（A）0 （B） 2 （C） 5 （D）6‎ ‎【答案】C ‎【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发现， ‎ 当其经过直线与的交点时，最大为，选C.‎ ‎6.【2017天津，理2】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为 ‎（A） （B）1（C） （D）3‎ ‎【答案】D ‎ ‎1. 【2016高考新课标1卷】若,则( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误，，选项C正确，，选项D错误，故选C．‎ ‎2.【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）‎ ‎（A） （B）6 （C）10 （D）17‎ ‎【答案】B ‎【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.‎ ‎3.【2016高考山东理数】若变量x，y满足则的最大值是（ ）‎ ‎（A）4 （B）9 （C）10 （D）12‎ ‎【答案】C ‎4.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域 ‎ 中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（ ）‎ A．2 B．‎4 ‎‎ C．3 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图为线性区域，区域内的点在直线上的投影构成了线段，即，而，由得，由得，．故选C．学 ‎ ‎5.【2016年高考北京理数】若，满足，则的最大值为（ ）‎ A.0 B.3 C.4 D.5‎ ‎【答案】C ‎6.【2016年高考四川理数】设p 实数x，y满足，q 实数x，y满足 则p是q的( )‎ ‎（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，故选A.‎ ‎7.【2016高考新课标3理数】若满足约束条件 则的最大值为_____________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎8.【2016高考新课标1卷】某高 技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 g,乙材料1 g,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 g,乙材料0.3 g,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 g,乙材料90 g,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么 ‎ ①‎ 目标函数.‎ 二元一次不等式组①等价于 ‎ ②‎ 作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域. 学 ‎ ‎9.【2016高考江苏卷】 已知实数满足 ，则的取值范围是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由图知原点到直线距离平方为最小值，为，原点到点距离平方为最大值，为，因此取值范围为 ‎1.(2015·重庆卷)“x＞1”是“log (x＋2)＜0”的(　　)‎ A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【解析】由x＞1x＋2＞3 log (x＋2)＜0，log (x＋2)＜0x＋2＞1x＞－1，故“x＞1”是“log(x＋2)＜0”成立的充分不必要条件.因此选B.‎ ‎【答案】B ‎2.(2015·北京卷)若x，y满足则 ＝x＋2y的最大值为(　　)‎ A.0 B.1 C. D.2‎ ‎【解析】可行域如图所示.目标函数化为y＝－x＋ ，当直线y＝－x＋ 过点A(0，1)时， 取得最大值2.‎ ‎【答案】D ‎3.(2015·陕西卷)设f(x)＝ln ，0＜a＜b，若p＝f ()，q＝f ，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是(　　)‎ A.q＝r＜p B.q＝r＞p C.p＝r＜q D.p＝r＞q ‎【答案】C ‎4.(2015·全国Ⅰ卷)若x，y满足约束条件则的最大值为________.‎ ‎【解析】约束条件的可行域如图，由＝，则最大值为3. 学 ‎ ‎【答案】3‎ ‎5.(2015·四川卷)如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为(　　)‎ A.16 B.18 C.25 D. ‎【答案】B ‎6.(2015·山东卷)已知x，y满足约束条件若 ＝ax＋y的最大值为4，则a＝(　　)‎ A.3 B.2 C.－2 D.－3‎ ‎【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A(2，0)，由得B(1，1).‎ 由 ＝ax＋y，得y＝－ax＋ .‎ ‎∴当a＝－2或a＝－3时， ＝ax＋y在O(0，0)处取得最大值，最大值为 max＝0，不满足题意，排除C，D选项；当a＝2或3时， ＝ax＋y在A(2，0)处取得最大值，∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故选B. 学 . [ 学 ]‎ ‎【答案】B ‎7.(2015·天津卷)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的(　　)‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎8.(2015·广东卷)若变量x，y满足约束条件则 ＝3x＋2y的最小值为(　　)‎ A. B.6 C. D.4‎ ‎【解析】不等式组所表示的可行域如下图所示，‎ 由 ＝3x＋2y得y＝－x＋，依题意当目标函数直线l y＝－x＋经过A时， 取得最小值，即 min＝3×1＋2×＝，故选C.‎ ‎【答案】C ‎9.(2015·浙江卷)已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.‎ ‎【答案】0　2－3‎