高考文科数学试题汇编解析几何教师用

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解析几何 ‎1. （天津文）18．（本小题满分13分）‎ ‎ 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2。点满足 ‎ （Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎ （Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆相交于M，N两点，且，求椭圆的方程。‎ ‎【解析】（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分13分。‎ ‎ （Ⅰ）解：设，因为，‎ ‎ 所以，整理得（舍）‎ ‎ 或 ‎ （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，可得椭圆方程为，直线FF2的方程为 ‎ A，B两点的坐标满足方程组消去并整理，得。解得，得方程组的解 ‎ 不妨设，，‎ ‎ 所以 ‎ 于是 ‎ 圆心到直线PF2的距离 ‎ 因为，所以 ‎ 整理得，得（舍），或 ‎ 所以椭圆方程为 ‎2. （北京文）19．（本小题共14分）‎ ‎ 已知椭圆的离心率为，右焦点为（,0），斜率为I的直线与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.‎ ‎ （I）求椭圆G的方程；‎ ‎ （II）求的面积.‎ ‎【解析】（19）（共14分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）由已知得 ‎ 解得 ‎ 又 所以椭圆G的方程为 ‎（Ⅱ）设直线l的方程为 由得 设A、B的坐标分别为AB中点为E，‎ 则 因为AB是等腰△PAB的底边，‎ 所以PE⊥AB.‎ 所以PE的斜率 解得m=2。‎ 此时方程①为 解得 所以 所以|AB|=.‎ 此时，点P（—3，2）到直线AB：的距离 所以△PAB的面积S=‎ ‎3. (全国大纲文)22．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足 ‎（Ⅰ）证明：点P在C上；‎ ‎ （II）设点P关于O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上。‎ ‎【解析】22．解：（I）F（0，1），的方程为，‎ 代入并化简得 ‎ …………2分 设 则 由题意得 所以点P的坐标为 经验证，点P的坐标为满足方程 故点P在椭圆C上。 …………6分 ‎ （II）由和题设知， ‎ PQ的垂直一部分线的方程为 ‎ ①‎ 设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线为的方程为 ‎ ②‎ 由①、②得的交点为。 …………9分 故|NP|=|NA|。‎ 又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，‎ 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，‎ 由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上 …………12分 ‎4. （全国新文）20．（本小题满分12分）‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上．‎ ‎ （I）求圆C的方程；‎ ‎ （II）若圆C与直线交于A，B两点，且求a的值．‎ ‎【解析】(20）解：‎ ‎ （Ⅰ）曲线与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（‎ 故可设C的圆心为（3，t），则有解得t=1.‎ 则圆C的半径为 所以圆C的方程为 ‎（Ⅱ）设A（），B（），其坐标满足方程组：‎ ‎ 消去y，得到方程 ‎ 由已知可得，判别式 因此，从而 ‎ ①‎ 由于OA⊥OB，可得 又所以 ‎ ②‎ 由①，②得，满足故 ‎5. （辽宁文）21．（本小题满分12分）‎ 如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．‎ ‎（I）设，求与的比值；‎ ‎（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．‎ ‎【解析】21．解：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设 设直线，分别与C1，C2的方程联立，求得 ‎ ………………4分 当表示A，B的纵坐标，可知 ‎ ………………6分 ‎ （II）t=0时的l不符合题意.时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即 ‎ 解得 因为 所以当时，不存在直线l，使得BO//AN；‎ 当时，存在直线l使得BO//AN. ………………12分 ‎6. （江西文）19．（本小题满分12分）‎ 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于和 两点，且,‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．‎ ‎【解析】19．（本小题满分12分）‎ ‎ （1）直线AB的方程是，‎ 与联立，从而有 所以： 由抛物线定义得：‎ 所以p=4，从而抛物线方程是 ‎ （2）由可简化为 ‎ ‎ 从而 设 又 即 解得 ‎7. （山东文）22．（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，已知椭圆．如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段 的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点．‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若∙，‎ ‎（i）求证：直线过定点；‎ ‎（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由．‎ ‎【解析】22．（I）解：设直线，‎ 由题意，‎ 由方程组得 ‎， 由题意， 所以 设，‎ 由韦达定理得所以 由于E为线段AB的中点，因此 此时所以OE所在直线方程为 又由题设知D（-3，m），令x=-3，得，即mk=1，‎ 所以当且仅当m=k=1时上式等号成立，‎ 此时 由得因此 当时，‎ 取最小值2。‎ ‎ （II）（i）由（I）知OD所在直线的方程为 将其代入椭圆C的方程，并由 解得，又，‎ 由距离公式及得 由 因此，直线的方程为 所以，直线 ‎（ii）由（i）得 若B，G关于x轴对称，‎ 则 代入 即， 解得（舍去）或 所以k=1，‎ 此时关于x轴对称。 又由（I）得所以A（0，1）。‎ 由于的外接圆的圆心在x轴上，可设的外接圆的圆心为（d，0），‎ 因此 故的外接圆的半径为，‎ 所以的外接圆方程为 ‎8. （陕西文）17．（本小题满分12分）‎ 设椭圆C: 过点（0，4），离心率为 ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标。‎ ‎【解析】17．解（Ⅰ）将（0，4）代入C的方程得  ∴b=4‎ 又 得 即，  ∴a=5  ∴C的方程为 ‎（ Ⅱ）过点且斜率为的直线方程为，‎ 设直线与Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，‎ 将直线方程代入Ｃ的方程，得 ，‎ 即，解得 ，，‎ ‎ AB的中点坐标， ，‎ ‎ 即中点为。‎ ‎ 注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。‎ ‎9. （上海文）22．（16分）已知椭圆（常数），点是上的动点，是右顶点，定点的坐标为。‎ ‎（1）若与重合，求的焦点坐标；‎ ‎（2）若，求的最大值与最小值；‎ ‎（3）若的最小值为，求的取值范围。‎ ‎【解析】22．解：⑴ ，椭圆方程为，‎ ‎∴ 左．右焦点坐标为。‎ ‎⑵ ，椭圆方程为，设，则 ‎∴ 时； 时。‎ ‎⑶ 设动点，则 ‎∵ 当时，取最小值，且，∴ 且 解得。‎ ‎10. （四川文）21．（本小题共l2分）‎ 过点C(0，1)的椭圆的离心率为，椭圆与x轴交于两点、，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．‎ ‎（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；‎ ‎（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：为定值．‎ 本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．‎ 解：（Ⅰ）由已知得，解得，所以椭圆方程为．‎ 椭圆的右焦点为，此时直线的方程为 ，代入椭圆方程得 ‎，解得，代入直线的方程得 ，所以，‎ 故．‎ ‎（Ⅱ）当直线与轴垂直时与题意不符．‎ 设直线的方程为．代入椭圆方程得．‎ 解得，代入直线的方程得，‎ 所以D点的坐标为．‎ 又直线AC的方程为，又直线BD的方程为，联立得 因此，又．‎ 所以．‎ 故为定值．‎ ‎11. （浙江文）（22）（本小题满分15分）如图，设P是抛物线：上的动点。过点做圆的两条切线，交直线：于两点。‎ ‎ （Ⅰ）求的圆心到抛物线 准线的距离。‎ ‎（Ⅱ）是否存在点，使线段被抛物线在点处得切线平分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎【解析】（22）本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、直线与圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。‎ ‎ （Ⅰ）解：因为抛物线C1的准线方程为：‎ ‎ 所以圆心M到抛物线C1准线的距离为：‎ ‎ （Ⅱ）解：设点P的坐标为，抛物线C1在点P处的切线交直线于点D。‎ ‎ 再设A，B，D的横坐标分别为 ‎ 过点的抛物线C1的切线方程为：‎ ‎ （1）‎ ‎ 当时，过点P（1，1）与圆C2的切线PA为：‎ ‎ 可得 ‎ 当时，过点P（—1，1）与圆C2的切线PA为：‎ ‎ 可得 ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 设切线PA，PB的斜率为，则 ‎ （2）‎ ‎ （3）‎ ‎ 将分别代入（1），（2），（3）得 ‎ ‎ ‎ 从而 ‎ 又 ‎ 即 ‎ 同理，‎ ‎ 所以是方程的两个不相等的根，从而 ‎ 因为 ‎ 所以 ‎ 从而 ‎ 进而得 ‎ 综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为 ‎12. （重庆文）21．（本小题满分12分。（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）‎ 如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一条准线的方程是 ‎ （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；‎ ‎ （Ⅱ）设动点P满足：，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点F，使得与点P到直线l：的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。‎ ‎【解析】21．（本题12分）‎ 解：（I）由 解得，故椭圆的标准方程为 ‎ （II）设，则由 得 因为点M，N在椭圆上，所以 ‎，‎ 故 ‎ ‎ 设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知 因此 所以 所以P点是椭圆上的点，该椭圆的右焦点为，离心率是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点，使得|PF|与P点到直线l的距离之比为定值。‎ ‎13. （安徽文）（17）（本小题满分13分）‎ 设直线 ‎（I）证明与相交；‎ ‎（II）证明与的交点在椭圆 ‎【解析】（17）（本小题满分13分）本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力.‎ ‎ 证明：（I）反证法，假设是l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1=k2，代入k1k2+2=0，得 ‎ ‎ ‎ 此与k1为实数的事实相矛盾. 从而相交.‎ ‎ （II）（方法一）由方程组 ‎ 解得交点P的坐标为 ‎ 而 ‎ ‎ ‎ 此即表明交点 ‎ （方法二）交点P的坐标满足 ‎ ‎ ‎ 整理后，得 ‎ 所以交点P在椭圆 ‎14. （福建文）18．（本小题满分12分）‎ 如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A。‎ ‎（I）求实数b的值；‎ ‎（11）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．‎ ‎。【解析】18．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，满分12分。‎ 解：（I）由，（*）‎ 因为直线与抛物线C相切，所以 解得b=-1。‎ ‎（II）由（I）可知，‎ 解得x=2，代入 故点A（2，1），‎ 因为圆A与抛物线C的准线相切，‎ 所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，‎ 即 所以圆A的方程为 ‎15. （湖北文）21．（本小题满分14分）平面内与两定点、（‎ ‎）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线。‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；‎ ‎（Ⅱ）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点。试问：在上，是否存在点，使得△的面积。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎【解析】21．本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分14分）‎ ‎ 解：（I）设动点为M，其坐标为，‎ ‎ 当时，由条件可得 即，‎ 又的坐标满足 故依题意，曲线C的方程为 当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆；‎ 当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；‎ 当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；‎ 当时，曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线。‎ ‎（II）由（I）知，当m=-1时，C1的方程为 当时，‎ C2的两个焦点分别为 对于给定的，‎ C1上存在点使得的充要条件是 ‎②‎ ‎①‎ 由①得由②得 当 或时，‎ 存在点N，使S=|m|a2；‎ 当 或时，‎ 不存在满足条件的点N，‎ 当时，‎ 由，‎ 可得 令，‎ 则由，‎ 从而，‎ 于是由，‎ 可得 综上可得：‎ 当时，在C1上，存在点N，使得 当时，在C1上，存在点N，使得 当时，在C1上，不存在满足条件的点N。‎ ‎16. （湖南文）21．（本小题满分13分）‎ 已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1．‎ ‎ （Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎ （Ⅱ）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值.‎ ‎【解析】21．解析：（I）设动点的坐标为，‎ 由题意为 化简得 当、‎ 所以动点P的轨迹C的方程为 ‎ （II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．‎ 由，得 设则是上述方程的两个实根，于是 ‎ ．‎ 因为，所以的斜率为．‎ 设则同理可得 故 当且仅当即时，取最小值16．‎ ‎17. （广东文）21．（本小题满分14分）‎ ‎ 在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP ‎（1）当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；‎ ‎（2）已知T（1，-1），设H是E 上动点,求+的最小值，并给出此时点H的坐标；‎ ‎（3）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围。‎ ‎【解析】21．（本小题满分14分）‎ ‎ 解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，‎ ‎ ‎ ‎ 因此即 ‎ ①‎ ‎ 另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。‎ ‎ MQ为线段OP的垂直平分线，‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 因此M在轴上，此时，记M的坐标为 ‎ 为分析的变化范围，设为上任意点 ‎ 由 ‎ （即）得，‎ ‎ ‎ ‎ 故的轨迹方程为 ‎ ②‎ ‎ 综合①和②得，点M轨迹E的方程为 ‎ ‎ ‎18. （江苏）18．如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k ‎（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；‎ ‎（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；‎ ‎（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB ‎【解析】18．本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分.‎ 解：（1）由题设知，所以线段MN中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以 ‎ ‎（2）直线PA的方程 解得 于是直线AC的斜率为 ‎（3）解法一：‎ 将直线PA的方程代入 则 故直线AB的斜率为 其方程为 解得.‎ 于是直线PB的斜率 因此 解法二：‎ 设.‎ 设直线PB，AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以 从而 因此 www.zxsx.com