2020高考文科数学二轮分层特训卷：模拟仿真专练（一）
五 仿真模拟专练
专练(一)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．[2019·甘肃兰州诊断]已知集合A＝{x∈N|－1
0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1)∪(2，＋∞) B．(0,1)∪[2，＋∞)
C．(0,1) D．(1,2)
答案：D
解析：由于p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p与q中有且只有一个真命题．因为－2<－a，则a<2，所以命题q：2∈A为假命题，所以命题p为真，可得a>1，所以10)的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则该双曲线的离心率为( )
A. B．2
C．4 D.
答案：B
解析：由题意，知双曲线的右焦点(c,0)与抛物线的焦点(2,0)重合，所以c＝2，所以该双曲线的离心率为e＝2，故选B.
12．[2019·陕西西安远东一中检测]已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＋sin B＝2sin C，b＝3，当内角C最大时，△ABC的面积等于( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：∵sin A＋sin B＝2sin C，∴a＋b＝2c，∵b＝3，∴c＝，由余弦定理得cos C＝＝＝＝＋－≥2－＝，当且仅当＝，即a＝时取等号，∴内角C最大时，a＝，sin C＝，∴△ABC的面积为absin C＝，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．)
13．[2019·广东七校第二次联考]已知f(x)＝x3(ex＋e－x)＋6，f(a)＝10，则f(－a)＝________.
答案：2
解析：令g(x)＝x3(ex＋e－x)，则f(x)＝g(x)＋6，因为函数y＝x3是奇函数，y＝ex＋e－x是偶函数，所以g(x)是奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝g(x)＋6＋g(－x)＋6＝12，所以f(a)＋f(－a)＝12，又f(a)＝10，所以f(－a)＝2.
14．[2019·江苏常州期中]在平面直角坐标系中，劣弧，，， 是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段弧上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan αn>0)相交于A，B两点，若弦AB中点的横坐标为－，则双曲线－＝1的两条渐近线夹角的正切值是________．
答案：
解析：把直线方程与椭圆方程联立，得消去y得(m＋n)x2＋2nx＋n－1＝0，∴xA＋xB＝－＝－，∴＝，∴双曲线－
＝1的两条渐近线夹角的正切值为＝.
16．[2019·安徽合肥二检]已知半径为4的球面上有两点A，B，AB＝4，球心为O，若球面上的动点C满足二面角C－AB－O的大小为60°，则四面体OABC的外接球的半径为________．
答案：
解析：如图所示，设△ABC的外接圆的圆心为O1，取AB的中点D，连接OD，O1D，O1O，则OD⊥AB，O1D⊥AB，所以∠ODO1为二面角C－AB－O的平面角，所以∠ODO1＝60°.由题意，知OA＝OB＝4，AB＝4，满足OA2＋OB2＝AB2，所以∠AOB为直角，所以OD＝2.四面体OABC外接球的球心在过△ABC的外心O1且与平面ABC垂直的直线OO1上，同时在过Rt△OAB的外心D且与平面OAB垂直的直线上，如图中的点E就是四面体OABC外接球的球心，EO为四面体OABC外接球的半径．在Rt△ODE中，∠DOE＝90°－∠ODO1＝30°，则EO＝＝＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(12分)[2019·郑州高三质检]已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x－2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值，最小值．
解析：(1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)∵x∈，∴≤2x＋≤，
∴－1≤sin≤，∴－≤f(x)≤1，
∴当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.
18．(12分)[2019·广东肇庆实验中学月考]如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体．
(1)求B1C1D1－ABCD的体积；
(2)求证：平面AB1D1∥平面C1BD.
解析：(1)设正方体的体积为V1，
则由题图可知B1C1D1－ABCD的体积V＝V1－VA－A1B1D1＝2×2×2－××2×2×2＝8－＝.
(2)∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1，
又AB∥A1B1，AB＝A1B1，
∴D1C1∥AB，D1C1＝AB，
∴四边形D1C1BA为平行四边形，
∴D1A∥C1B，又D1A⊄平面C1BD，C1B⊂平面C1BD，
∴D1A∥平面C1BD.
同理，D1B1∥平面C1BD，
又D1A∩D1B1＝D1，
∴平面AB1D1∥平面C1BD.
19．(12分)[2019·湖南五市十校联考]2019年国际篮联篮球世界杯于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行．为了宣传国际篮联篮球世界杯，某大学从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事的情况进行了问卷调查，统计数据如下：
会收看
不会收看
男生
60
20
女生
20
20
(1)根据上表说明，能否有99%的把握认为是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事与性别有关？
(2)现从参与问卷调查且会收看该国际篮联篮球世界杯赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取4人参加2019年国际篮联篮球世界杯志愿者宣传活动．
(ⅰ)求男、女生各选取多少人；
(ⅱ)若从这4人中随机选取2人到校广播站开展2019年国际篮联篮球世界杯宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
解析：(1)由表中数据可得K2的观测值k＝＝7.5>6.635，
所以有99%的把握认为是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事与性别有关．
(2)(ⅰ)根据分层抽样方法得，选取男生×4＝3(人)，女生×4＝1(人)，
所以选取的4人中，男生有3人，女生有1人．
(ⅱ)设抽取的3名男生分别为A，B，C,1名女生为甲．
从4人中抽取2人，所有可能出现的结果为(A，B)，(A，C)，(A，甲)，(B，C)，(B，甲)，(C，甲)，共6种，
其中恰好选到2名男生的情况有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种．
所以所求概率P＝＝.
20．(12分)[2019·广东百校联考]已知F为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，点P(2,3)在C上，且PF⊥x轴．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l交C于A，B两点，交直线x＝8于点M.直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．
解析：(1)因为点P(2,3)在C上，且PF⊥x轴，所以
c＝2.
由得
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，令x＝8，得M的坐标为(8,6k)．
由得(4k2＋3)x2－16k2x＋16(k2－3)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝，x1x2＝.①
设直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－.
因为直线AB的方程为y＝k(x－2)，所以y1＝k(x1－2)，y2＝
k(x2－2)，
所以k1＋k2＝＋
＝＋－3
＝2k－3×.②
把①代入②，得
k1＋k2＝2k－3×＝2k－1.
又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3.
故直线PA，PM，PB的斜率依次构成等差数列．
21．(12分)[2019·安徽淮北一中期中]已知函数f(x)＝ex＋x2－x，g(x)＝x2＋ax＋b，a，b∈R.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求a＋b的最大值．
解析：(1)因为f′(x)＝ex＋2x－1，所以f′(0)＝0.又f(0)＝1，所以该切线方程为y＝1.
(2)设h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－(a＋1)x－b，则h(x)≥0恒成立．
易得h′(x)＝ex－(a＋1)．
(ⅰ)当a＋1≤0时，
h′(x)>0，此时h(x)在R上单调递增．
①若a＋1＝0，则当b≤0时满足h(x)≥0恒成立，此时a＋b≤－1；
②若a＋1<0，取x0<0且x0<，
此时h(x0)＝ex0－(a＋1)x0－b<1－(a＋1)－b＝0，所以h(x)≥0不恒成立，不满足条件．
(ⅱ)当a＋1>0时，
令h′(x)＝0，得x＝ln(a＋1)．由h′(x)>0，得x>ln(a＋1)；
由h′(x)<0，得x0，则G′(x)＝1－ln x.
令G′(x)＝0，得x＝e.由G′(x)>0，得0e.所以G(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
所以当x＝e时，G(x)的值最大，G(x)max＝e－1.
从而，当a＝e－1，b＝0时，a＋b的值最大，为e－1.综上，a＋b的最大值为e－1.
选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．)
22．(10分)[2019·安徽六校教育研究会第二次联考][选修4－4：坐标系与参数方程]
已知曲线C的参数方程为(α为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)若直线l的极坐标方程为sin θ－2cos θ＝，求曲线C上的点到直线l的最大距离．
解析：(1)由消去α得(x－3)2＋(y－1)2＝4，
将代入得(ρcos θ－3)2＋(ρsin θ－1)2＝4，
化简得ρ2－6ρcos θ－2ρsin θ＋6＝0.
故曲线C的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ－2ρsin θ＋6＝0.
(2)由sin θ－2cos θ＝，得ρsin θ－2ρcos θ＝1，即2x－y＋1＝0.
由 (1)知曲线C的圆心为C(3,1)，半径r＝2，点C(3,1)到直线2x－y＋1＝0的距离d＝＝，
所以曲线C上的点到直线l的最大距离为d＋r＝＋2.
23．(10分)[2019·山西太原五中测评][选修4－5：不等式选讲]
已知f(x)＝|2x－3|＋ax－6(a∈R)．
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)如果函数y＝f(x)恰有两个不同的零点，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝1时，f(x)＝|2x－3|＋x－6＝
则原不等式等价于或解得
x≥3或x≤－3，
则原不等式的解集为{x|x≤－3或x≥3}．
(2)由f(x)＝0，得|2x－3|＝－ax＋6，
令y＝|2x－3|，y＝－ax＋6，作出它们的图象，如图所示，
可以知道，当－2
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