- 2021-04-20 发布 |
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文档介绍
中考动点问题汇编含答案
2010年中考动点问题汇编 （供中考复习选用） 一、选择题 1．（2010重庆市潼南县）如图，四边形ABCD是边长为1 的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F→H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与 x之间函数关系的图象是（ ） 【答案】B 2．（2010江苏宿迁）如图，在矩形ABCD中， AB=4，BC=6，当直角三角板MPN 的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．BP=x，CQ=y，那么y与x之间的函数图象大致是 M Q D C B P N A (第8题) x y O 4 6 3 A x y O 2.25 6 3 D x y O 3 6 4 C 2.25 x y O 6 3 B 【答案】D 3．（2010湖北鄂州）如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上， 点Ｄ在OA上，且Ｄ点的坐标为（2，0），P是OB上的一个动点，试求 PD+PA和的最小值是（ ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 二、填空题 1．（2010 浙江义乌）（1）将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到抛物线y2的图象，则y2= ▲ ； （2）如图，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝ ▲ ． P y x · 【答案】（1）2(x－2)2 或 （2）3、1、、 2．（2010浙江金华）如图在边长为2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点， 以O为圆心，以OE为半径画弧EF.P是上的一个动点，连 结OP，并延长OP交线段BC于点K，过点P作⊙O 的切线，分别交射线AB于点M，交直线BC于点G. 若，则BK﹦ ▲ . A O D B F K E (第16题图) G M CK 【答案】, 3．（2010江西）如图所示，半圆AB平移到半圆CD的位置时所扫过的面积为 ． （14题） 【答案】6 4．（2010 四川成都）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么 经过_____________秒，四边形的面积最小． 【答案】3 5．（2010 四川成都）如图，内接于⊙O，，是⊙O上与点关于圆心成中心对称的点，是边上一点，连结．已知，，是线段上一动点，连结并延长交四边形的一边于点，且满足，则 的值为_______________． 【答案】1和 6．（2010广西柳州）如图8，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的 中点，∠ABC=60°．若动点E以2cm/s的速度从A点 出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)， 连结EF，当t值为________s时，△BEF是直角三角形． F E O A C B 【答案】1或1.75或2.25 三、解答题 1．(2010江苏苏州) (本题满分9分)刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4 cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)． (1)在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐 ▲ ． (填“不变”、“变大”或“变小”) (2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题： 问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行? 问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形? 问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°?如果存在， 求出AD的长度；如果不存在，请说明理由． 请你分别完成上述三个问题的解答过程． 【答案】 2．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E． （1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式； （2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由. C D B A E O 【答案】（1）由题意得B（3，1）． 若直线经过点A（3，0）时，则b＝ 若直线经过点B（3，1）时，则b＝ 若直线经过点C（0，1）时，则b＝1 ①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a， 图1 此时E（2b，0） ∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b ②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2 图2 此时E（3，），D（2b－2，1） ∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE ) ＝ 3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]＝ ∴ （2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。 本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！ 图3 由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知，∠MED＝∠NED 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形． 过点D作DH⊥OA，垂足为H， 由题易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2， 设菱形DNEM 的边长为a， 则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴ ∴S四边形DNEM＝NE·DH＝ ∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为． 3．（2010甘肃兰州）（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0） （1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？ （2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）. ① 当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由； ② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由． 图1 图2 【答案】解：（1）因抛物线经过坐标原点O（0,0）和点E（4,0） 故可得c=0,b=4 所以抛物线的解析式为…………………………………………1分 由 得当x=2时，该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分 （2）① 点P不在直线ME上. 已知M点的坐标为(2,4)，E点的坐标为(4,0)， 设直线ME的关系式为y=kx+b. 于是得 ，解得 所以直线ME的关系式为y=-2x+8. …………………………………………3分 由已知条件易得，当时，OA=AP=，…………………4分 ∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8. [来源:Zxxk.Com] ∴ 当时，点P不在直线ME上. ……………………………………5分 ②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5 ∵ 点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， ∴ OA=AP=t. ∴ 点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) …………………………………6分 ∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) , ∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t …………………………………………………………………………………7分 （ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴ S=DC·AD=×3×2=3. （ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形 ∵ PN∥CD，AD⊥CD， ∴ S=(CD+PN)·AD=[3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3…………………8分 当-t 2+3 t+3=5时，解得t=1、2…………………………………………………9分 而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5 综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5， 当t=1时，此时N点的坐标（1,3）………………………………………10分 当t=2时，此时N点的坐标（2,4）………………………………………11分 说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ ），只有（ⅱ）也可以,不扣分） 4．（2010山东济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）. （1）求此抛物线的解析式； （2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明； (第23题) （3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积. 【答案】 （1）解：设抛物线为. ∵抛物线经过点（0，3），∴.∴. ∴抛物线为. ……………………………3分 (2) 答：与⊙相交. …………………………………………………………………4分 证明：当时，，. ∴为（2，0），为（6，0）.∴. 设⊙与相切于点，连接，则. ∵，∴. 又∵，∴.∴∽. ∴.∴.∴.…………………………6分 ∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2. ∴抛物线的对称轴与⊙相交. ……………………………………………7分 (3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点. 可求出的解析式为.…………………………………………8分 设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）. ∴. ∵, ∴当时，的面积最大为. 此时，点的坐标为（3，）. …………………………………………10分 (第23题) 5．（2010 浙江台州市）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y． （1）求证：△DHQ∽△ABC； （2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值； （3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？ （第24题） H 【答案】 （1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB， ∴=90°，HD=HA， ∴， （图1） （图2） ∴△DHQ∽△ABC． （2）①如图1，当时， ED=，QH=， 此时． 当时，最大值． ②如图2，当时， ED=，QH=， 此时． 当时，最大值． ∴y与x之间的函数解析式为 y的最大值是． （3）①如图1，当时， 若DE=DH，∵DH=AH=， DE=， ∴=，． 显然ED=EH，HD=HE不可能； ②如图2，当时， 若DE=DH，=，； 若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，； 若ED=EH，则△EDH∽△HDA， ∴，，． ∴当x的值为时，△HDE是等腰三角形. 6．（2010 浙江义乌）如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F. （1）如图2，当BP=BA时，∠EBF= ▲ °，猜想∠QFC= ▲ °； （2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明； 图2 A B E Q P F C 图1 A C B E Q F P （3）已知线段AB=，设BP=，点Q到射线BC的距离为y，求y关于的函数关系式． 【答案】 解: 图1 A C B E Q F P （1） 30° = 60 H 不妨设BP＞, 如图1所示 ∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP 图2 A B E Q P F C ∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP ∴∠BAP=∠EAQ 在△ABP和△AEQ中 AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ ∴△ABP≌△AEQ ∴∠AEQ=∠ABP=90° ∴∠BEF ∴=60° (事实上当BP≤时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分） (3)在图1中，过点F作FG⊥BE于点G ∵△ABE是等边三角形 ∴BE=AB=，由（1）得30° 在Rt△BGF中， ∴BF= ∴EF=2 ∵△ABP≌△AEQ ∴QE=BP= ∴QF=QE＋EF 过点Q作QH⊥BC，垂足为H 在Rt△QHF中，（x＞0） 即y关于x的函数关系式是： 7．（2010 重庆）已知：如图（1），在直角坐标系xOy中，边长为2的等边△的顶点在第一象限，顶点在轴的正半轴上. 另一等腰△的顶点在第四象限，，．现有两动点，分别从，两点同时出发，点以每秒1个单位的速度沿向点运动，点以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止． （1）求在运动过程中形成的△的面积与运动的时 间之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （2）在等边△的边上（点除外）存在点，使 得△为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的 点D的坐标； （3）如图(2)，现有，其两边分别与， 交于点，，连接．将绕着 点旋转（旋转角），使得，始 终在边和边上．试判断在这一过程中， △的周长是否发生变化？若没变化，请求出 其周长；若发生变化，请说明理由． 【答案】解：（1）过点作于点．（如图①） 26题答图① ∵，， ∴． ∵，， ∴． 在Rt中，． （1分） （ⅰ）当时，,,； 过点作于点．（如图①） 在Rt中，∵，∴， ∴． 26题答图② 即 ． （3分） （ⅱ）当时，（如图②） ，． ∵，，∴． ∴． 即． 故当时，，当时，． （5分） 26题答图③ （2）或或或． （9分） （3）的周长不发生变化． 延长至点，使，连结．（如图③） ∵， ∴≌． ∴，． （10分） ∴． ∴． 又∵． ∴≌．∴． （11分） ∴． ∴的周长不变，其周长为4． （12分） 8．（2010 福建德化）（12分）如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3. （1）求该抛物线的函数关系式； （2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）. ① 当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由； ② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 图2 B C O A D E M y x P N · 图1 B C O (A) D E M y x 【答案】解：（1） （2）①点P不在直线ME上 ②依题意可知：P（,），N（，） 当时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD，依题意可得： =+=+= = ∵抛物线的开口方向：向下，∴当=，且时，= 当时,点P、N都重合，此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形 依题意可得，==3 综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值． 9. （2010 福建晋江）（13分）如图，在等边中，线段为边上的中线. 动点在直线上时，以为一边且在的下方作等边，连结. (1) 填空：度； (2) 当点在线段上(点不运动到点)时，试求出的值； (3)若，以点为圆心，以5为半径作⊙与直线相交于点、两点，在点运动的过程中(点与点重合除外)，试求的长. A B C 备用图(1) A B C 备用图(2) 【答案】26.（本小题13分） (1)60；…………………………………………（3分） (2)∵与都是等边三角形 ∴，， ∴ ∴……………………………（5分） ∴≌ ∴，∴.………………………（7分） (3)①当点在线段上（不与点重合）时，由(2)可知≌，则，作于点，则，连结，则. 在中，，，则. 在中，由勾股定理得：，则.………………………（9分） ②当点在线段的延长线上时，∵与都是等边三角形 ∴，， ∴ ∴ ∴≌ ∴，同理可得： .…………………………（11分） ③当点在线段的延长线上时， ∵与都是等边三角形 ∴，， ∴ ∴ ∴≌ ∴ ∵ ∴ ∴. 同理可得：. 综上，的长是6. ………………………（13分） 10．（2010湖南长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒． （1）用t的式子表示△OPQ的面积S； （2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值； （3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比． 【答案】解：（1）由题意知，OQ＝8－t,OP＝t, ∴． （2）由题意知，AB＝OC＝8,CQ＝ t, CB＝OA＝8,PA＝8－t, ; ; ∴ ． ∴四边形OPBQ的面积是一个定值，这个定值为32． （3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，应满足． 整理，得， 解得，（不合题意）． 此时P(,0),B(,8) ． 因抛物线经过B、P两点，所以将B、P两点的坐标代入，得 解得 所以经过B、P两点的抛物线为． 设过B、P两点的直线为y＝kx+b, 将B、P两点的坐标代入，得 解得 所以过B、P两点的直线为y＝x－8． 依题得，动点M的坐标（x, x－8），N的坐标（x, ） MN＝（x－8）－（）＝ 当时，MN的长最大，此时直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比3：1． 11．（2010浙江金华如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，3）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB， BA上运动的 面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查，速度分别为1，，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 (长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB， AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动． 请解答下列问题： （1）过A，B两点的直线解析式是 ▲ ； （2）当t﹦4时，点P的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P与点E重合； （3）① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为 菱形，则t的值是多少？ B F A P E O x y (第11题图) ② 当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】 解：（1）； （2）（0,），； （3）①当点在线段上时，过作⊥轴，为垂足（如图1） B F A P E O x y G P′ P′ (图1) ∵,,∠∠90° ∴△≌△，∴﹒ 又∵,∠60°,∴ 而，∴, B F A P E O x y M P′ H （图2) 由得 ； 当点P在线段上时，形成的是三角形，不存在菱形； 当点P在线段上时， 过P作⊥，⊥，、分别为垂足（如图2） ∵,∴,∴ ∴， 又∵ 在Rt△中， 即，解得． y ②存在﹒理由如下： ∵，∴,， B F A P E O x Q′ B′ Q C C1 D1 (图3) 将△绕点顺时针方向旋转90°，得到 △（如图3） ∵⊥，∴点在直线上， C点坐标为（，－1） 过作∥，交于点Q, 则△∽△ 由，可得Q的坐标为（－，） 根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点（－，）也符合条件。 12．（2010江苏无锡）如图，已知点，经过A、B的直线以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为秒． （1）用含的代数式表示点P的坐标； （2）过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥轴于D，问：为何值时，以P为圆心、1为 半径的圆与直线OC相切？并说明此时与直线CD的位置关系． 【答案】解：⑴作PH⊥OB于H ﹙如图1﹚，∵OB＝6，OA＝，∴∠OAB＝30° ∵PB＝t，∠BPH＝30°，∴BH＝，HP＝ ; ∴OH＝，∴P﹙，﹚ 图1 图2 图3 ⑵当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图2﹚， ∵OB＝，∠BOC＝30° ∴BC＝ ∴PC 由，得 ﹙s﹚，此时⊙P与直线CD相割． 当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图3﹚， PC 由，得﹙s﹚，此时⊙P与直线CD相割． 综上，当或时，⊙P与直线OC相切，⊙P与直线CD相割． 13．（2010重庆綦江县）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12,0）和C（0，－6），对称轴为x＝2． （1）求该抛物线的解析式； （2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M使，△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）方法一：∵抛物线过点C（0，－6） ∴c＝－6，即y＝ax2 ＋bx－6 由解得：， ∴该抛物线的解析式为 方法二：∵A、B关于x＝2对称 ∴A（－8，0） 设 C在抛物线上，∴－6＝a×8×，即a＝ ∴该抛物线解析式为： （2）存在，设直线CD垂直平分PQ， 在Rt△AOC中，AC＝＝10＝AD ∴点D在抛物线的对称轴上，连结DQ，如图： 显然∠PDC＝∠QDC， 由已知∠PDC＝∠ACD ∴∠QDC＝∠ACD，∴DQ∥AC DB＝AB－AD＝20－10＝10 ∴DQ为△ABC的中位线 ∴DQ＝AC＝5 AP＝AD－PD＝AD－DQ＝10－5＝5 ∴t＝5÷1＝5（秒） ∴存在t＝5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分 在Rt△BOC中，BC＝＝ ∴CQ＝ ∴点Q的运动速度为每秒单位长度． （3）存在．如图， 过点Q作QH⊥x轴于H，则QH＝3，PH＝9 在Rt△PQH中，PQ＝＝ ①当MP＝MQ，即M为顶点， 设直线CD的直线方程为y＝kx＋b（k≠0），则： ，解得： ∴y＝3x－6 当x＝1时，y＝－3 ∴M1(1，－3) ②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点， 设直线x＝1上存在点M（1，y），由勾股定理得： 42＋y2＝90，即y＝± ∴M2（1，）；M3（1，－） ③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点． 过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x＝1于F，则F（1，－3） 设直线x＝1存在点M（1，y）由勾股定理得： ，即y＝－3± ∴M4（1，－3＋）；M5（1，－3－） 综上所述，存在这样的五个点：M1(1，－3)；M2（1，）；M3（1，－）；M4（1，－3＋）；M5（1，－3－） 14．（2010湖南衡阳）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点与点重合，点N到达点时运动终止），过点M、N分别作边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为秒． （1）线段MN在运动的过程中，为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形mnqp的面积S随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． C P Q B A M N C P Q B A M N C P Q B A M N 【答案】(1)若要四边形MNQP为矩形，则有MP=QN，此时由于∠PMA=∠QNB=90°，∠A=∠B=60°，所以Rt△PMA≌Rt△QNB，因此AM=BN.移动了t秒之后有AM=t，BN=3-t，由AM=BN，t=3-t 即得 t=1.5. 此时Rt△AMP中，AM=1.5，∠A=60°，所以MP=，又MN=1，所以矩形面积为. (2)仍按上题的思路，如果M，N分列三角形底边AB中线两端，由于AM=t，所以MP=t，由于BN=4-t-1=3-t，所以NQ= (3-t)，因为MN=1，所以梯形MNQP的面积为 ·MN·(MP+QN)= ×(t+ (3-t))= 为定值（即不随时间变化而变化）。这时要求 1查看更多