【数学】2021届一轮复习人教A版抽象函数题型汇编学案

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【数学】2021届一轮复习人教A版抽象函数题型汇编学案

抽象函数常见题型汇编 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下:‎ 一、 定义域问题 (一) 已知的定义域,求的定义域,‎ 解法:若的定义域为,则中,从中解得的取值范围即为的定义域。‎ 例题1: 设函数的定义域为,则 ‎(1)函数的定义域为______;(2)函数的定义域为_______‎ 解析:(1)由已知有,解得,故的定义域为 ‎(2)由已知,得,解得,故的定义域为 (二) 已知的定义域,求的定义域。‎ 解法:若的定义域为,则由确定的范围即为的定义域。‎ 例题2: 函数的定义域为,则的定义域为_____。‎ 解析:由,得,所以,故填 (一) 已知的定义域,求的定义域。‎ 解法:先由定义域求定义域,再由定义域求得定义域。‎ 例题1: 函数定义域是,则的定义域是_______‎ 解析:先求的定义域,的定义域是,‎ ‎,即的定义域是 再求的定义域,,‎ 的定义域是 (二) 运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域,解法是:先求出各个函数的定义域,再求交集。‎ 例题2: 函数的定义域是,求的定义域。‎ 解析:由已知,有,即 函数的定义域由确定 函数的定义域是 【巩固1】 已知函数的定义域是[1,2],求f(x)的定义域。‎ 解析:的定义域是[1,2],是指,‎ 所以中的满足 从而函数f(x)的定义域是[1,4]‎ 【巩固1】 已知函数的定义域是,求函数的定义域。‎ 解析:的定义域是,意思是凡被f作用的对象都在中,由此可得 所以函数的定义域是 【巩固2】 定义域为,则定义域是__。‎ 解析:因为及均相当于中的x,所以 ‎(1)当时,则; (2)当时,则 一、 解析式问题 1. 换元法:即用中间变量表示原自变量的代数式,从而求出,这也是证某些公式或等式常用的方法,此法解培养学生的灵活性及变形能力。‎ 例题1: 已知 ,求.‎ 解析:设,则∴∴‎ 2. 凑合法:在已知的条件下,把并凑成以表示的代数式,再利用代换即可求.此解法简洁,还能进一步复习代换法。 ‎ 例题2: 已知,求 解析:∵‎ 又∵,∴,(||≥1)‎ 1. 待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条件,定出关系式中的未知系数。‎ 例题1: 已知二次实函数,且+2+4,求.‎ 解析:设=,则 ‎=比较系数得∴‎ 2. 利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.‎ 例题2: 已知=为奇函数,当 >0时,,求 解析:∵为奇函数,∴的定义域关于原点对称,故先求<0时的表达式。‎ ‎∵->0,∴,‎ ‎∵为奇函数,∴‎ ‎∴当<0时∴‎ 例题3: 为偶函数,为奇函数,且有+, 求,.‎ 解析:∵为偶函数,为奇函数,∴,,‎ 不妨用-代换+= ………①中的,‎ ‎∴即-……②‎ 显见①+②即可消去,求出函数再代入①求出 1. 赋值法:给自变量取特殊值,从而发现规律,求出的表达式 例题1: 设的定义域为自然数集,且满足条件,及=1,求 解析:∵的定义域为N,取=1,则有 ‎∵=1,∴=+2,……‎ 以上各式相加,有=1+2+3+……+=∴‎ 【巩固1】 设函数存在反函数,与的图象关于直线对称,则函数 ‎ A. B. C. D. ‎ 解析:要求的解析式,‎ 实质上就是求图象上任一点的横、纵坐标之间的关系。‎ 点关于直线的对称点适合,‎ 即。又,‎ ‎,即,选B。‎ 【巩固1】 设对满足的所有实数x,函数满足,求f(x)的解析式。‎ 解析:在中以代换其中x,得:‎ 再在(1)中以代换x,得 化简得:‎ 评析:如果把x和分别看作两个变量,怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下,给某些变量适当赋值,使之在关系中“消失”,进而保留一个变量,是实现这种转化的重要策略。‎ 一、 求值问题 这类抽象函数一般给出定义域,某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”,即在其定义域内令变量取某特殊值而获解,关键是抽象问题具体化。或紧扣已知条件进行迭代变换,经有限次迭代可直接求出结果,或者在迭代过程中发现函数具有周期性,利用周期性使问题巧妙获解。‎ 例题1: 已知定义域为的函数f(x),同时满足下列条件:①;②,求f(3),f(9)的值。‎ 解析:取,得 因为,所以 又取,得 例题1: 定义在R上的函数满足:且,求的值。‎ 解析:由,以代入,有,‎ 为奇函数且有,又由 是周期为8的周期函数, ‎ 【巩固1】 已知的定义域为,且对一切正实数x,y都成立,若,则_______。‎ 解析:在条件中,令,得 ‎,‎ 又令,得,‎ 【巩固2】 已知是定义在R上的函数,且满足:,‎ ‎,求的值。‎ 解析:紧扣已知条件,并多次使用,发现是周期函数,显然,于是 ‎,‎ 所以,故是以8为周期的周期函数,‎ 从而 一、 值域问题 例题1: 设函数f(x)定义于实数集上,对于任意实数x、y,总成立,且存在,使得,求函数的值域。‎ 解析:令,得,即有或。‎ 若,则,对任意均成立,这与存在实数,使得成立矛盾,故,必有。‎ 由于对任意均成立,因此,对任意,有 下面来证明,对任意 设存在,使得,则 这与上面已证的矛盾,因此,对任意 所以 评析:在处理抽象函数的问题时,往往需要对某些变量进行适当的赋值,这是一般向特殊转化的必要手段。‎ 【巩固1】 已知函数对任意实数有,且当时 ‎,求在上的值域。‎ 解析:设,且,则,‎ 由条件当时, ,‎ 又,为增函数,‎ 令,则 又令 ,得 ,,故为奇函数,‎ ‎,‎ 上的值域为 一、 求参数范围或解不等式 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中,关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性,去掉“”符号,转化为代数不等式组求解,但要特别注意函数定义域的作用。‎ 例题1: 已知是定义在()上的偶函数,且在(0,1)上为增函数,满足,试确定的取值范围。‎ 解析:是偶函数,且在(0,1)上是增函数,在上是减函数,‎ 由得。‎ ‎(1)当时,,不等式不成立。‎ ‎(2)当时,‎ ‎(3)当时,‎ 综上所述,所求的取值范围是。‎ 例题2: 是定义在上的减函数,若对恒成立,求实数的取值范围。‎ 解析::‎ 对恒成立 ‎ 对恒成立 对恒成立, ‎ 【巩固1】 已知函数是定义在上的减函数,且对一切实数x,不等式恒成立,求k的值。‎ 解析:由单调性,脱去函数记号,得 由题意知(1)(2)两式对一切恒成立,则有 【巩固2】 已知函数对任意有,当时,,,求不等式的解集。‎ 解析:设且,则,‎ ‎,即 故为增函数,‎ 又,‎ 因此不等式的解集为。‎ 一、 单调性问题 例题1: 设f(x)定义于实数集上,当时,,且对于任意实数x、y,有,求证:在R上为增函数。‎ 证明:在中取,得 若,令,则,与矛盾 所以,即有 当时,;当时,‎ 而,所以 又当时,,所以对任意,恒有 设,则 ‎∴,∴在R上为增函数 例题2: 已知偶函数在上是减函数,问在上是增函是减函数,并证明你的结论。‎ 证明:如图所示,易知在上是增函数,证明如下:‎ 任取 因为在上是减函数,所以。‎ 又是偶函数,所以,‎ ‎ 从而,故在上是增函数。‎ 【巩固1】 如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5,那么在区间上是 ‎ A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为 ‎ C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为 解析:画出满足题意的示意图1,易知选B。‎ 一、 奇偶性问题 例题1: 已知函数对任意不等于零的实数都有,试判断函数f(x)的奇偶性。‎ 解析:取得:,所以 又取得:,所以 再取则,即 因为为非零函数,所以为偶函数。‎ 【巩固2】 若函数与的图象关于原点对称,求证:函数是偶函数。‎ 证明:设图象上任意一点为P()‎ 与的图象关于原点对称,‎ 关于原点的对称点在的图象上,‎ 又,‎ 即对于函数定义域上的任意x都有,所以是偶函数。‎ 一、 周期性问题 几种特殊的抽象函数:具有周期性的抽象函数:‎ 函数满足对定义域内任一实数(其中为常数),‎ ‎1. ,则是以为周期的周期函数;‎ ‎2. ,则是以为周期的周期函数;‎ ‎3. ,则是以为周期的周期函数;‎ ‎4. ,则是以为周期的周期函数; ‎ ‎5. ,则是以为周期的周期函数.‎ ‎6. ,则是以为周期的周期函数.‎ ‎7. ,则是以为周期的周期函数.‎ ‎8. 函数满足(),若为奇函数,则其周期为,若为偶函数,则其周期为.‎ ‎9.函数的图象关于直线和都对称,则函数是以 为周期的周期函数;‎ ‎10.函数的图象关于两点、都对称,则函数是以为周期的周期函数;‎ ‎11.函数的图象关于和直线都对称,则函数是以为周期的周期函数;‎ 例题1: 设定义在R上且对任意的有,求证:是周期函数,并找出它的一个周期。‎ 解析:这同样是没有给出函数表达式的抽象函数,其一般解法是根据所给关系式进行递推,若能得出(T为非零常数)则为周期函数,且周期为T。‎ 证明:‎ ‎ ‎ 得 由(3)得 由(3)和(4)得。‎ 上式对任意都成立,因此是周期函数,且周期为6。‎ 例题2: 设函数的定义域为R,且对任意的x,y有 ‎,并存在正实数c,使。试问是否为周期函数?若是,求出它的一个周期;若不是,请说明理由。‎ 解析:仔细观察分析条件,联想三角公式,就会发现:满足题设条件,且,猜测是以2c为周期的周期函数。‎ 故是周期函数,2c是它的一个周期。‎ 【巩固1】 设是定义在上的偶函数,其图象关于直线对称。对任意都有。证明f(x)是周期函数。‎ 证明:依题设关于直线对称,故 又由是偶函数知 ‎,将上式中以代换,得 这表明是上的周期函数,且2是它的一个周期 是偶函数的实质是的图象关于直线对称 又的图象关于对称,可得是周期函数,且2是它的一个周期 由此进行一般化推广,我们得到 思考一:设是定义在上的偶函数,其图象关于直线对称,证明是周期函数,且是它的一个周期。‎ 证明:关于直线对称.‎ 又由是偶函数知,‎ 将上式中以代换,得 是上的周期函数,且是它的一个周期 思考二:设是定义在上的函数,其图象关于直线和对称。证明是周期函数,且是它的一个周期。‎ 证明:关于直线对称 将上式的以代换得 是上的周期函数,且是它的一个周期 若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”,还是不是周期函数?我们得到 思考三:设是定义在上的奇函数,其图象关于直线对称。证明是周期函数,且4是它的一个周期。,‎ 证明:关于对称,‎ 又由是奇函数知 将上式的以代换,得 是上的周期函数,且4是它的一个周期 是奇函数的实质是的图象关于原点(0,0)中心对称,又的图象关于直线对称,可得是周期函数,且4是它的一个周期。由此进行一般化推广,我们得到 思考四:设是定义在上的函数,其图象关于点中心对称,且其图象关于直线对称。证明是周期函数,且是它的一个周期。‎ 证明:关于点对称,‎ 关于直线对称,‎ 将上式中的以代换,得 是上的周期函数,且是它的一个周期 由上我们发现,定义在上的函数,其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴,则是上的周期函数。进一步我们想到,定义在上的函数,其图象如果有两个对称中心,那么是否为周期函数呢?经过探索,我们得到 思考五:设是定义在上的函数,其图象关于点和对称。证明是周期函数,且是它的一个周期。‎ 证明:关于对称 将上式中的以代换,得 ‎ ‎ 是周期函数,且是它的一个周期 一、 对称性问题 ‎(1)对称性的概念及常见函数的对称性 ‎ ‎1、对称性的概念 ‎ ‎①轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。 ‎ ‎②中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。 ‎ ‎2、常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值) ‎ ‎①常函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数;‎ ‎⑨正弦型函数既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数;‎ ‎⒀三次函数:显然三次函数中的奇函数是中心对称,对称中心是原点,而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。 ‎ ‎⒁绝对值函数:这里主要说的是和两类。前者显然是偶函数,它会关于轴对称;后者是把轴下方的图像对称到 轴的上方,是否仍然具备对称性,这也没有一定的结论,例如就没有对称性,而却仍然是轴对称。‎ ‎⒂形如的图像是双曲线,其两渐近线分别直线 ‎(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定),对称中心是点。‎ ‎(2)抽像函数的对称性 ‎1、函数图像本身的对称性(自对称问题)‎ ‎(1)轴对称 ‎①的图像关于直线对称 ‎ ‎② 的图像关于直线对称.‎ 特别地,函数的图像关于轴对称的充要条件是.‎ ‎(2)中心对称 ‎ ‎①的图像关于点对称 ‎ ‎。‎ ‎② 的图像关于点对称.‎ 特别地,函数的图像关于原点对称的充要条件是.‎ ‎(3)对称性与周期性之间的联系 ‎①若函数既关于直线对称,又关于直线对称,则函数关于无数条直线对称,相邻对称轴的距离为;且函数为周期函数,周期;‎ 特别地:若是偶函数,图像又关于直线对称,则是周期为的周期函数; ‎ ‎②若函数既关于点对称,又关于点对称,则函数关于无数个点对称,相邻对称中心的距离为;且函数为周期函数,周期;‎ ‎③若函数既关于直线对称,又关于点对称,则函数关于无数个点和直线对称,相邻对称轴和中心的距离为,相邻对称轴或中心的距离为;且函数为周期函数,周期。‎ 特别地:若是奇函数,图像又关于直线对称,则是周期为的周期函数。‎ ‎2、两个函数图像的对称性(互对称问题)‎ ‎(1)函数与图像关于直线对称。‎ ‎(2)函数与图像关于直线对称 ‎(3)函数与图像关于直线对称 ‎(4)函数与图像关于直线对称即直线对称(5)函数与图像关于轴对称。‎ ‎(6)函数与图像关于轴对称。‎ ‎(7)函数与图像关于直线成轴对称。‎ ‎(8)函数与图像关于直线成轴对称。‎ ‎(9)函数与的图像关于直线对称。‎ ‎(10)函数与的图像关于直线对称。‎ ‎(11)函数有反函数,则和的图像关于直线 对称。‎ ‎(12)函数与的图像关于点成中心对称。特别地,函数与图像关于原点对称。‎ 例题1: 函数满足,求值。‎ 解析:已知式即在对称关系式中取,所以函数的图象关于点(0,2002)对称。根据原函数与其反函数的关系,知函数的图象关于点(2002,0)对称。‎ 所以 将上式中的x用代换,得 评析:这是同一个函数图象关于点成中心对称问题,在解题中使用了下述命题:设a、b均为常数,函数对一切实数x都满足,则函数的图象关于点(a,b)成中心对称图形。‎ 一、 综合问题 1) 比较函数值大小 利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内,然后利用其单调性使问题获解。‎ 例题2: 已知函数是定义域为R的偶函数,时,是增函数,若,,且,则的大小关系是_______。‎ 解析:且,‎ 又时,是增函数,‎ 是偶函数,,故 2) 讨论方程根的问题 例题3: 已知函数对一切实数x都满足,并且有三个实根,则这三个实根之和是_______。‎ 分析:由知直线是函数图象的对称轴。又 有三个实根,由对称性知必是方程的一个根,其余两根关于直线对称,所以,故。‎ 1) 研究函数的图象 这类问题只要利用函数图象变换的有关结论,就可获解。‎ 例题1: 若函数是偶函数,则的图象关于直线_______对称 解析:的图象的图象,而是偶函数,对称轴是,故的对称轴是。‎ 例题2: 若函数的图象过点(0,1),则的反函数图象必过定点__‎ 解析:的图象过点(0,1),从而的图象过点,由原函数与其反函数图象间的关系易知,的反函数的图象必过定点。‎ 【巩固1】 定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数m,n,总有,且当x>0时,0
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