【数学】2020届一轮复习苏教版解三角形的实际应用学案

【数学】2020届一轮复习苏教版解三角形的实际应用学案

‎§4.7　解三角形的实际应用 考情考向分析　以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性．题型主要为填空题或解答题，中档难度．‎ 测量中的有关几个术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°‎ 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α：‎ ‎(2)南偏西α：‎ 坡角与坡比 坡面与水平面所成二面角的度数叫坡度；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比 概念方法微思考 在实际测量问题中有哪几种常见类型，解决这些问题的基本思想是什么？‎ 提示　实际测量中有高度、距离、角度等问题，基本思想是根据已知条件，构造三角形(建模)，利用正弦定理、余弦定理解决问题．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　×　)‎ ‎(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　×　)‎ ‎(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　√　)‎ ‎(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2.[P18例1]如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________ m.‎ 答案　50 解析　由正弦定理得＝，‎ 又B＝30°，∴AB＝＝＝50(m)．‎ ‎3．[P21T3]如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝________米．‎ 答案　a 解析　由题图可得∠PAQ＝α＝30°，‎ ‎∠BAQ＝β＝15°，在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，‎ 又∠PBC＝γ＝60°，‎ ‎∴∠BPA＝－＝γ－α＝30°，‎ ‎∴在△PAB中，＝，∴PB＝a，‎ ‎∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β ‎＝a×sin 60°＋asin 15°＝a.‎ 题组三　易错自纠 ‎4．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为_____ m.‎ 答案　40‎ 解析　设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝x.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD,3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故电视塔的高度为40 m.‎ ‎5．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________.‎ 答案　130°‎ 解析　60°＋70°＝130°.‎ ‎6．海上有A，B，C三个小岛，A，B相距5 海里，从A岛望C和B成45°视角，从B岛望C和A成75°视角，则B，C两岛间的距离是________海里．‎ 答案　5 解析　由题意可知∠ACB＝60°，由正弦定理得＝，即＝，得BC＝5.‎ 题型一　测量距离问题 ‎1．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m.‎ 答案　10 解析　如图，‎ OM＝AOtan 45°＝30(m)，‎ ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，‎ 在△MON中，由余弦定理得 MN＝ ‎＝＝10 (m)．‎ ‎2.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________ km.‎ 答案　 解析　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，‎ ‎∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝ km.‎ 在△BCD中，∠DBC＝45°，‎ 由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC ‎＝·sin 30°＝(km)．‎ 在△ABC中，由余弦定理，‎ 得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°‎ ‎＝＋－2×××＝.‎ ‎∴AB＝ km.‎ ‎∴A，B两点间的距离为 km.‎ ‎3．如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和 P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________ m.‎ 答案　900‎ 解析　由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.‎ 又∠PBA＝∠PBQ＝60°，‎ ‎∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.‎ 又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA.‎ 在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900，故PQ＝900，‎ ‎∴P，Q两点间的距离为900 m.‎ 思维升华 求距离问题的两个策略 ‎(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．‎ ‎(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．‎ 题型二　测量高度问题 例1 (2018·海安测试)如图，已知AB是一幢6层的写字楼，每层高均为3 m，在AB正前方36 m处有一建筑物CD，从楼顶A处测得建筑物CD的张角为45°.‎ ‎(1)求建筑物CD的高度；‎ ‎(2)一摄影爱好者欲在写字楼AB的某层拍摄建筑物CD.已知从摄影位置看景物所成张角最大时，拍摄效果最佳．问：该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果(不计人的高度)?‎ 解　(1)如图，作AE⊥CD于点E，则AE∥BD.‎ 所以DE＝AB＝18，AE＝BD＝36.‎ 因为tan∠DAE＝＝，‎ 所以tan∠CAE＝tan(45°－ ∠DAE)‎ ‎＝＝.‎ 所以CE＝36tan∠CAE＝12.‎ 答　建筑物CD的高度为30米．‎ ‎(2)设在第n层M处拍摄效果最佳，则摄影高度为3(n－1)米(如图)(1≤n≤6，n∈N)．‎ 作MN⊥CD于N，则DN＝3(n－1)，CN＝30－3(n－1)＝33－3n.‎ tan∠CMN＝＝，‎ tan∠DMN＝＝，‎ tan∠CMD＝tan(∠CMN＋∠DMN)‎ ‎＝ ‎＝＝ ‎＝≤(当n＝6时取等号)．‎ 因为函数y＝tan x在上是单调增函数，‎ 所以当n＝6时，张角∠CMD最大，拍摄效果最佳．‎ 答　该人在第6层拍摄时效果最好．‎ 思维升华 (1)高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中．‎ ‎(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．‎ 跟踪训练1 如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，则山高CD＝____________.‎ 答案　 解析　由已知得∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.‎ 在△ABC中，由正弦定理得＝，‎ 即＝，‎ ‎∴AC＝＝.‎ 在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝.‎ 故山高CD为.‎ 题型三　角度问题 例2 如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°(∠BAC＝15°)的方向，匀速向北航行20分钟后到达B处，测得山顶P位于北偏东60°的方向，此时测得山顶P的仰角为60°，已知山高为2 千米．‎ ‎(1)船的航行速度是每小时多少千米？‎ ‎(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处南偏东多少度的方向？‎ 解　(1)在△BCP中，由tan∠PBC＝，‎ 得BC＝＝2，‎ 在△ABC中，由正弦定理得＝，‎ 即＝，‎ 所以AB＝2(＋1)，‎ 故船的航行速度是每小时6(＋1)千米．‎ ‎(2)在△BCD中，BD＝＋1，BC＝2，∠CBD＝60°，‎ 则由余弦定理得CD＝，‎ 在△BCD中，由正弦定理得＝，‎ 即＝，所以sin∠CDB＝，‎ 所以，山顶位于D处南偏东45°的方向．‎ 思维升华 解决测量角度问题的注意事项 ‎(1)首先应明确方位角和方向角的含义．‎ ‎(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．‎ ‎(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．‎ 跟踪训练2 如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60°的方向上，则灯塔A在灯塔B的______的方向上．‎ 答案　北偏西10°‎ 解析　由已知得∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，‎ 又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°，‎ ‎∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°的方向上．‎ ‎1．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为________ km.‎ 答案　10 解析　如图所示，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC＝10.‎ ‎2．在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，光源射向地面的光呈圆锥体，且其轴截面的顶角为120°，若要求光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为________ m.‎ 答案　5 解析　轴截面如图所示，则光源高度h＝＝5(m)．‎ ‎3．某人在C处测得A地和B地距离C地分别为20米和30米，且测得张角∠ACB＝120°，则A，B两地的距离为________ 米．‎ 答案　10 解析　由余弦定理得 AB＝ ‎＝＝10(米)．‎ ‎4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为________．‎ 答案　45°‎ 解析　依题意可得AD＝20，AC＝30，‎ 又CD＝50，所以在△ACD中，‎ 由余弦定理得cos∠CAD＝ ‎＝＝＝，‎ 又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，‎ 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.‎ ‎5.如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________.‎ 答案　15 解析　在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.‎ 由正弦定理得＝，所以BC＝15.‎ 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.‎ ‎6．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC＝________m.‎ 答案　120(－1)‎ 解析　如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，‎ 在Rt△ACD中，‎ CD＝＝＝60(m)，‎ tan 75°＝tan(45°＋30°)＝ ‎＝＝2＋，‎ 在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝60(2－)m，‎ ‎∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)m.‎ ‎7.如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.‎ 答案　100 解析　设坡底需加长x m，‎ 由正弦定理得＝，解得x＝100.‎ ‎8.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ＝________.‎ 答案　 解析　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，‎ 由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，‎ 得BC＝20.‎ 由正弦定理，得＝，‎ 即sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.‎ 由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，‎ 则cos∠ACB＝.‎ 由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)‎ ‎＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.‎ ‎9．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里．‎ 答案　10‎ 解析　如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，‎ 所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，‎ 在Rt△ABC中，得AB＝5，‎ 于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．‎ ‎10.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为______米．‎ 答案　50 解析　如图，‎ 连结OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC＝50.‎ ‎11.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.‎ 答案　－1‎ 解析　由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，可得∠DBA＝135°，∠ADB＝30°.‎ 在△ABD中，根据正弦定理可得＝，‎ 即＝，‎ 所以BD＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝25(－)．‎ 在△BCD中，由正弦定理得＝，‎ 即＝，解得sin∠BCD＝－1.‎ 所以cos θ＝cos(∠BCD－90°)＝sin∠BCD＝－1.‎ ‎12.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．‎ ‎(1)求渔船甲的速度；‎ ‎(2)求sin α的值．‎ 解　(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.‎ 在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ‎＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，‎ 解得BC＝28.‎ 所以渔船甲的速度为＝14(海里/时)．‎ ‎(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，‎ 由正弦定理，得＝，‎ 即sin α＝＝＝.‎ ‎13.如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________；塔BB1的高为________ m.‎ 答案　　45‎ 解析　设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，‎ 则AA1＝60tan α，BB1＝60tan 2α.‎ ‎∵从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△A1AC∽△CBB1，∴＝，‎ ‎∴AA1·BB1＝900，∴3 600tan αtan 2α＝900，‎ ‎∴tan α＝，tan 2α＝，则BB1＝60tan 2α＝45.‎ ‎14.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为________h.‎ 答案　15‎ 解析　记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×600×20t×，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1 575≤0，解得≤t≤，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为－＝15(h)．‎ ‎15．某舰艇在A处测得一艘遇险渔船在其北偏东40°的方向距离A处10海里的C处，此时得知，该渔船正沿南偏东80°的方向以每小时9海里的速度向一小岛靠近，若舰艇的时速为21海里，则舰艇追上渔船的最短时间是______小时．‎ 答案　 解析　如图所示，‎ 设舰艇追上渔船的最短时间是t小时，经过t小时渔船到达B处，则舰艇也在此时到达B处．在△ABC中，∠ACB＝40°＋80°＝120°，CA＝10，CB＝9t，AB＝21t，由余弦定理得(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9t×cos 120°，即36t2－9t－10＝0，解得t＝或t＝－(舍)．‎ ‎16.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量得cos A＝，sin B＝.‎ ‎(1)问乙出发多少 min后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎(2)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？‎ 解　(1)∵cos A＝，sin B＝，‎ ‎∴sin A＝，cos B＝－，‎ ‎∴sin C＝sin(A＋B)＝，‎ 在△ABC中，由正弦定理＝，‎ 得AB＝1 040 m，‎ 设乙出发t min后，甲、乙距离为d，‎ 由余弦定理得d2＝(130t)2＋(100＋50t)2－2×130t×(100＋50t)×，‎ 即d2＝200(37t2－70t＋50)＝200.‎ ‎∵0≤t≤，即0≤t≤8，∴当t＝时，‎ 即乙出发 min后，乙在缆车上与甲的距离最短．‎ ‎(2)∵sin A＝，‎ ‎∴由正弦定理＝，得＝，‎ ‎∴BC＝500 m.‎ 乙从B出发时，甲已经走了50(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.‎ 设乙的步行速度为v m/min，则≤3，‎ 故－3≤－≤3，解得≤v≤.‎ 故为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在范围内. ‎