2021年中考数学专题复习 专题33 中考几何折叠翻折类问题（学生版）

2021年中考数学专题复习 专题33 中考几何折叠翻折类问题（学生版）

专题 33 中考几何折叠翻折类问题 1.轴对称(折痕)的性质： (1)成轴对称的两个图形全等。 (2)对称轴与连结“对应点的线段”垂直。 (3)对应点到对称轴的距离相等。 (4)对应点的连线互相平行。 也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平 分线.对称的图形都全等. 2.折叠或者翻折试题解决哪些问题 (1)求角度大小； (2)求线段长度； (3)求面积； (4)其他综合问题。 3.解决折叠问题的思维方法 (1)折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对 称，对应点到折痕的距离相等。 (2)折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。 (3)折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。这对解决问题有很大 帮助。 (4)折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。 (5)折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。一般试题考查点圆最值问题。 (6)折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。 【例题 1】(2020•哈尔滨)如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为 D，△ADB 与△ ADB'关于直线 AD 对称，点 B的对称点是点 B'，则∠CAB'的度数为( ) A．10° B．20° C．30° D．40° 【对点练习】(2019 重庆)如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC 于点 D，BE⊥AC 于点 E，AE=1， 连接 DE，将△AED 沿直线沿直线 AE 翻折至△ABC 所在的平面内，得到△AEF，连接 DF，过点 D 作 DG⊥DE 交 BE 于点 G.则四边形 DFEG 的周长为( ) A.8 B. 24 C. 422  D. 223  . 【例题 2】(2020 贵州黔西南)如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AB 与 DC 重合得到折痕 EF，将纸片展平，再一 次折叠，使点 D 落到 EF 上点 G 处，并使折痕经过点 A，已知 BC＝2，则线段 EG 的长度为________． 【对点练习】(2019 四川内江)如图，在菱形 ABCD 中，simB ＝ ，点 E，F 分别在边 AD、BC 上，将四边形 AEFB 沿 EF 翻折，使 AB 的对应线段 MN 经过顶点 C，当 MN⊥BC 时， 的值是 ． 【例题 3】(2020 衢州模拟)如图 1，将矩形 ABCD 沿 DE 折叠，使顶点 A落在 DC 上的点 A′处，然后将矩形 展平，沿 EF 折叠，使顶点 A落在折痕 DE 上的点 G 处．再将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，此时顶点 B 恰好落在 DE 上的点 H 处．如图 2． (1)求证：EG=CH； (2)已知 AF= ，求 AD 和 AB 的长． 【对点练习】(2019 徐州)如图，将平行四边形纸片 ABCD 沿一条直线折叠，使点 A与点 C 重合，点 D落在点 G处，折痕为 EF．求证： (1)∠ECB＝∠FCG； (2)△EBC≌△FGC． 一、选择题 1.(2020•青岛)如图，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 和点 A 重合，折痕为 EF，EF 与 AC 交于点 O．若 AE＝5，BF ＝3，则 AO 的长为( ) A． B． C．2 D．4 2．(2020•枣庄)如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB＝3，点 E 在边 BC 上，将△ABE 沿直线 AE 折叠，点 B 恰好落 在对角线 AC 上的点 F 处，若∠EAC＝∠ECA，则 AC 的长是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 3．(2020•广东)如图，在正方形 ABCD 中，AB＝3，点 E，F 分别在边 AB，CD 上，∠EFD＝60°．若将四边形 EBCF 沿 EF 折叠，点 B 恰好落在 AD 边上，则 BE 的长度为( ) A．1 B． C． D．2 4．如图，三角形纸片 ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点 E 为 AB 中点．沿过点 E 的直线折叠，使点 B 与点 A 重 合，折痕现交于点 F．已知 EF= ，则 BC 的长是( ) A． B． C．3 D． 5．如图，已知 D 为△ABC 边 AB 的中点，E 在 AC 上，将△ABC 沿着 DE 折叠，使 A点落在 BC 上的 F处．若∠ B=65°，则∠BDF 等于( ) A． 65° B． 50° C． 60° D． 57.5° 6．如图，在矩形 OABC 中，OA=8，OC=4，沿对角线 OB 折叠后，点 A与点 D 重合，OD 与 BC 交于点 E，则点 D 的坐标是( ) A． (4，8) B． (5，8) C． ( ， ) D． ( ， ) 7．(2019 海南)如图，在▱ ABCD 中，将△ADC 沿 AC 折叠后，点 D 恰好落在 DC 的延长线上的点 E 处．若∠B ＝60°，AB＝3，则△ADE 的周长为( ) A．12 B．15 C．18 D．21 8．(2019 桂林)将矩形 ABCD 按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG 为折痕，若顶点 A，C，D都落在点 O处， 且点 B，O，G 在同一条直线上，同时点 E，O，F 在另一条直线上，则 的值为( ) A． B． C． D． 二、填空题 9．(2020•襄阳)如图，矩形 ABCD 中，E 为边 AB 上一点，将△ADE 沿 DE 折叠，使点 A 的对应点 F 恰好落在 边 BC 上，连接 AF 交 DE 于点 N，连接 BN．若 BF•AD＝15，tan∠BNF ，则矩形 ABCD 的面积为 ． 10．(2020•牡丹江)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 E 在 AC 边上．将∠A 沿直线 BE 翻折，点 A 落在点 A'处，连接 A'B，交 AC 于点 F．若 A'E⊥AE，cosA ，则 ᦙ䁪 䁪 ． 11．(2020•安徽)在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片 ABCD 沿过点 A 的直线折 叠，使得点 B 落在 CD 上的点 Q 处．折痕为 AP；再将△PCQ，△ADQ 分别沿 PQ，AQ 折叠，此时点 C，D 落在 AP 上的同一点 R 处．请完成下列探究： (1)∠PAQ 的大小为 °； (2)当四边形 APCD 是平行四边形时， 的值为 ． 12．(2019 山东滨州)如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平，再一次折叠 纸片，使点 A 落在 EF 上的 N点处，同时得到折痕 BM，BM 与 EF 交与点 H，连接线段 BN，则 EH 与 HN 的比值 是 ． 13．〔2020 上海模拟〕如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点 D在 AC 上，将△ADB 沿直线 BD 翻折后，将点 A落在点 E处，如果 AD⊥ED，那么线段 DE 的长为________. 14．(2019 内蒙古通辽)如图，在边长为 3的菱形 ABCD 中，∠A＝60°，M是 AD 边上的一点，且 AM＝ AD， N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是 ． 15．(2019 辽宁抚顺)在矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝3，E是 AB 边上一点，AE＝2，F是直线 CD 上一动点，将 △AEF 沿直线 EF 折叠，点 A的对应点为点 A'，当点 E、A'、C 三点在一条直线上时，DF 的长度为 ． 16．如图，在菱形 ABCD 中，tanA= ，M，N 分别在边 AD，BC 上，将四边形 AMNB 沿 MN 翻折，使 AB 的对应 线段 EF 经过顶点 D，当 EF⊥AD 时， 的值为 ． 17.(2019•河南)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝a，点 E 在边 BC 上，且 BE＝ 3 5 a．连接 AE，将△ABE 沿 AE 折叠，若点 B的对应点 B′落在矩形 ABCD 的边上，则 a的值为_______． 18．(2019 江苏淮安)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝2，H是 AB 的中点，将△CBH 沿 CH 折叠，点 B 落 在矩形内点 P 处，连接 AP，则 tan∠HAP＝ ． 三、解答题 19．(2020•金华)如图，在△ABC 中，AB＝4 ，∠B＝45°，∠C＝60°． (1)求 BC 边上的高线长． (2)点 E 为线段 AB 的中点，点 F 在边 AC 上，连结 EF，沿 EF 将△AEF 折叠得到△PEF． ①如图 2，当点 P 落在 BC 上时，求∠AEP 的度数． ②如图 3，连结 AP，当 PF⊥AC 时，求 AP 的长． 20．(2020 湘潭模拟)如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，△ACD 沿 AD 折叠，使得点 C 落在斜边 AB 上的 点 E 处． (1)求证：△BDE∽△BAC； (2)已知 AC=6，BC=8，求线段 AD 的长度． 21.(2020 牡丹江)如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E在直线 BC 上，连接 AE．将△ABE 沿 AE 所在直线折叠， 点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．(1)当点F与点C重合时如图(1)，易证：DF+BE=AF(不 需证明)； (2)当点 F在 DC 的延长线上时如图(2)，当点 F在 CD 的延长线上时如图(3)，线段 DF、BE、AF 有怎样的数 量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．