2009年陕西省高考数学试卷（理科）【word版本、可编辑、附详细答案和解释】
2009年陕西省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 设不等式x2-x≤0的解集为M，函数f(x)=ln(1-|x|)的定义域为N，则M∩N为（ ）
A.[0, 1) B.(0, 1) C.[0, 1] D.(-1, 0]
2. 已知z是纯虚数，z+21-i是实数，那么z等于（ ）
A.2i B.i C.-i D.-2i
3. 函数f(x)=2x-4(x≥4)的反函数为（ ）
A.f-1(x)=12x2+2(x≥0) B.f-1(x)=12x2+2(x≥2)
C.f-1(x)=12x2+4(x≥0) D.f-1(x)=12x2+4(x≥2)
4. 过原点且倾斜角为60∘的直线被圆x2+y2-4y＝0所截得的弦长为（ ）
A.3 B.2 C.6 D.23
5. 若3sinα+cosα=0，则1cos2α+sin2α的值为( )
A.103 B.53 C.23 D.-2
6. 若(1-2x)2009=a0+a1x+...+a2009x2009(x∈R)，则a12+a222+…+a200922009的值为（ ）
A.2 B.0 C.-1 D.-2
7. ”m>n>0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8. 在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP→=2PM→，则PA→⋅(PB→+PC→)等于（ ）
A.-49 B.-43 C.43 D.49
9. 从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）
A.300 B.216 C.180 D.162
10. 若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（ ）
A.26 B.23 C.33 D.23
11. 若x，y满足约束条件x+y≥1，x-y≥-1，2x-y≤2，目标函数z=ax+2y仅在点(1, 0)处取得最小值，则实数a的取值范围是( )
A.(-1, 2) B.(-4, 2) C.(-4, 0] D.(-2, 4)
12. 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(-∞, 0](x1≠x2)，有(x2-x1)（f(x2)-f(x1)）>0．则当n∈N*时，有（ ）
A.f(-n)
0,ω>0,0<φ<π2）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M(2π3，-2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[π12，π2]，求f(x)的值域．
18. 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=3，∠ABC=60∘．
（1）证明：AB⊥A1C；
（2）求二面角A-A1C-B的余弦值．
19. 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
0
1
2
3
p
0.1
0.3
2a
a
(I)求a的值和ξ的数学期望；
(II)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
20. 已知函数f(x)＝ln(ax+1)+1-x1+x，x≥0，其中a>0．
(Ⅰ)若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；
(Ⅱ)求f(x)的单调区间；
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(Ⅲ)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围．
21. 已知双曲线C的方程为y2a2-x2b2=1(a>0, b>0)，离心率e=52，顶点到渐近线的距离为255．
（1）求双曲线C的方程；
（2）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP→=λPB→，λ∈[13,2]，求△AOB面积的取值范围．
22. 已知数列{xn}满足x1=12，xn+1=11+xn，n∈N*；
(1)猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论；
(II)证明：|xn+1-xn|≤16(25)n-1．
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参考答案与试题解析
2009年陕西省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.A
2.D
3.B
4.D
5.A
6.C
7.C
8.A
9.C
10.B
11.B
12.C
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13.1
14.8
15.π2
16.1n+1
三、解答题（共6小题，满分74分）
17.解：(1)由最低点为M(2π3，-2)得A=2．
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得T2=π2，
即T=π，ω=2πT=2ππ=2，
由点M(2π3，-2)在图象上的2sin(2×2π3+φ)=-2，
即sin(4π3+φ)=-1，
故4π3+φ=2kπ-π2，k∈Z，
∴ φ=2kπ-11π6，
又φ∈(0,π2)，
∴ φ=π6，故f(x)=2sin(2x+π6).
(2)∵ x∈[π12，π2]，
∴ 2x+π6∈[π3,7π6].
当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)取得最大值2；
当2x+π6=7π6，即x=π2时，f(x)取得最小值-1.
故f(x)的值域为[-1, 2].
18.解：（1）证明：∵ 三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴ AB⊥AA1，在△ABC中，AB=1，AC=3，∠ABC=60∘，由正弦定理得∠ACB=30∘，
∴ ∠BAC=90∘，即AB⊥AC，
∴ AB⊥平面ACC1A1，
又A1C⊂平面ACC1A1，
∴ AB⊥A1C．
（2）如图，作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD，
由三垂线定理知BD⊥A1C，
∴ ∠ADB为二面角A-A1C-B的平面角．
在Rt△AA1C中，AD=AA1⋅ACA1C=3×36=62，
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在Rt△BAD中，tan∠ADB=ABAD=63，
∴ cos∠ADB=155，
即二面角A-A1C-B的余弦值为155．
19.解：(1)由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1，解得a=0.2，
∴ ξ的概率分布为
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.4
0.2
∴ Eξ=0*0.1+1*0.3+2*0.4+3*0.2=1.7
(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；
事件A2表示“两个月内每月均被投诉1次”
则由事件的独立性得
P(A1)=C21P(ξ=2)P(ξ=0)=2*0.4*0.1=0.08
P(A2)=[P(ξ=1)]2=0.32=0.09
∴ P(A)=P(A1)+P(A2)=0.08+0.09=0.17
故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17
20.（1）f'(x)=aax+1-2(1+x)2=ax2+a-2(ax+1)(1+x)2，
∵ f'(x)在x＝1处取得极值，f'(1)＝0
即 a+a-2＝0，解得 a＝1
（2）f'(x)=ax2+a-2(ax+1)(1+x)2，
∵ x≥0，a>0，
∴ ax+1>0
①当a≥2时，在区间(0, +∞)上f'(x)>0．
∴ f(x)的单调增区间为(0, +∞)
②当00解得x>2-aa
由f'(x)<0x<2-aa
∴ f(x)的单调减区间为(0,2-aa)，单调增区间为(2-aa,+∞)
(Ⅲ)当a≥2时，由(II)知，f(x)的最小值为f(0)＝1
当00，n>0．
由AP→=λPB→得P点的坐标为(m-λn1+λ，2(m+λn)1+λ)，
将P点坐标代入y24-x2=1，化简得mn=(1+λ)24λ．
设∠AOB=2θ，∵ tan(π2-θ)=2，∴ tanθ=12，sinθ=55，sin2θ=45．
又|OA|=5m，|OB|=5n+
∴ S△AOB=12|OA|⋅|OB|⋅sin2θ=2mn=12(λ+1λ)+1．
记S(λ)=12(λ+1λ)+1，λ∈[13,2]，
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由S'(λ)=0得λ=1，又S(1)=2，S(13)=83，S(2)=94，
当λ=1时，△AOB的面积取得最小值2，当λ=13时，
△AOB的面积取得最大值83．
∴ △AOB面积的取值范围是[2,83]．
22.证明：(1)由x1=12，xn+1=11+xn，
∴ x2=23，x3=35，x4=58，x5=813，x6=1321，…
由x2>x4>x6猜想：数列{x2n}是递减数列
下面用数学归纳法证明：
(1)当n=1时，已证命题成立
(2)假设当n=k时命题成立，即x2k>x2k+2
易知x2k>0，那么x2k+2-x2k+4=11+x2k+1-11+x2k+3=x2k+3-x2k+1(1+x2k+1)(1+x2k+3)
=x2k-x2k+2(1+x2k)(1+x2k+1)(1+x2k+2)(1+x2k+3)>0
即x2（k+1）>x2（k+1）+2
也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合(1)和(2)知，命题成立
(2)当n=1时，|xn+1-xn|=|x2-x1|=16，结论成立
当n≥2时，易知012
∴ (1+xn)(1+xn-1)=(1+11+xn-1)(1+xn-1)=2+xn-1≥52
∴ |xn+1-xn|=|11+xn-11+xn-1|=|xn-xn-1|(1+xn)(1+xn-1)≤25|xn-xn-1|≤(25)2|xn-1-xn-2|≤…≤(25)n-1|x2-x1|
=16(25)n-1
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