高中数学讲义微专题73 求参数的取值范围

高中数学讲义微专题73 求参数的取值范围

微专题 73 求参数的取值范围 一、基础知识： 求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通 过解函数的值域求得参数范围 1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。常见的不 等关系如下： （1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围 ① 椭圆（以 为例），则 ， ② 双曲线：（以 为例），则 （左支） （右支） ③ 抛物线：（以 为例，则 （2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次 方程 （3）点与椭圆（以 为例）位置关系：若点 在椭圆内，则 （4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件 2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条 件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变 量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围 （1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的 值域，常见的函数有：① 二次函数；②“对勾函数” ；③ 反比例函数；④ 分式函数。若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行 解决。 （2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达 式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。   2 2 2 2 1 0x y a ba b     ,x a a   ,y b b    2 2 2 2 1 , 0x y a ba b    ,x a    ,a  y R  2 2 0y px p   0,x   0    2 2 2 2 1 0x y a ba b     0 0,x y 2 2 0 0 2 2 1x y a b   0ay x ax   3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点： （1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建 立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域 （2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看 能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关 于该变量的不等式，解不等式即可 二、典型例题： 例 1：已知椭圆 ， 、 是其左右焦点，离心率为 ，且经过 点 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）若 分别是椭圆长轴的左右端点， 为椭圆上动点，设直线 斜率为 ，且 ，求直线 斜率的取值范围； 解：（1） 椭圆方程为： 代入 可得： 椭圆方程为： （2）由（1）可得： 设 ， 则 在椭圆上   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    1F 2F 6 3  3,1 C 1 2,A A Q 1AQ k 1 1,2 3k       QA2 6 3 ce a  : : 3 :1: 2a b c   2 2 2 2 13 x y b b   3,1 2 4b  2 23 12a b    2 2 112 4 x y     1 22 3,0 , 2 3,0A A  ,Q x y 2 3 yk x   2 2 3A Q yk x   2 2 2 122 3 2 3A Q y y yk k xx x        Q  2 2 2 211 1212 4 3 x y y x      2 2 2 1 12 3A Q yk k x     即 例 2：已知椭圆 的离心率为 ，其左，右焦点分别是 ，过 点 的直线 交椭圆 于 两点，且 的周长为 （1）求椭圆 的方程 （2）若过点 的直线与椭圆 相交于两点 ，设 为椭圆上一点，且满足 （ 为坐标原点），当 时，求实数 的取值范围 解：（1） 的周长 椭圆方程为： （2）设直线 的方程为 ， ， 联立直线与椭圆方程： ，解得： 2 1 3A Qk k   1 1,2 3k       1 2 ,13 3k      2 2 ,13A Qk       2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    2 2 1 2,F F 1F l C ,E G 2EGF 4 2 C  2,0M C ,A B P OA OB tOP    O 2 5 3PA PB   t 2 2 ce a  : : 2 :1:1a b c  2EGF 4 4 2 2C a a    1b   2 2 12 x y  AB  2y k x     1 1 2 2, , ,A x y B x y  ,P x y OA OB tOP    1 2 1 2 x x tx y y ty        2 2 2 2 2 2 2 1 2 8 8 2 0 2 1 y k x k x k x k x y               22 2 28 4 1 2 8 2 0k k k      2 1 2k    2 3 1 2 1 2 1 22 2 2 8 8 4, 4 42 1 2 1 2 1 k k kx x y y k x x k kk k k            ，代入 可得： 由条件 可得： ，代入 可得： 例 3：在平面直角坐标系中，已知椭圆 的离心率为 ，且在所有 过焦点的弦中，弦长的最小值为 （1）求椭圆方程 （2）若过点 的直线 与椭圆交于不同的两点 （ 在 之间），求三角形 与三角形 面积比值的范围 解：（1）     2 2 2 8 2 1 4 2 1 kx t k ky t k        2 2 12 x y      2 2 2 2 2 8 42 2 2 1 2 1 k k t k t k                  2 2 2 16 1 2 kt k   2 5 3PA PB   2 5 3AB  2 1 2 2 51 3AB k x x        22 1 2 1 2 201 4 9k x x x x       2 2 1 2 1 22 2 8 8 2,2 1 2 1 k kx x x xk k          22 2 2 2 2 2 2 8 8 2 201 4 4 1 14 13 02 1 2 1 9 k kk k kk k                  2 1 4k  2 1 1,4 2k      2 2 2 2 16 1 8=16 ,411 2 32 kt k k         2 6 2 62, ,23 3t                 2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    2 2 2  0,2B l ,E F E ,B F OBE OBF 2 2 ce a  : : 2 :1:1a b c  由椭圆性质可得，焦点弦的最小值为 椭圆方程为 （2）设 ， 联立直线与椭圆方程： 同号 设 ，所解不等式为： ，即 22 2b a  1, 2b a    2 2 12 x y  : 2l y kx     1 1 2 2, , ,E x y F x y 1 1 2 2 1 1,2 2OBE OBFS OB x x S OB x x          1 1 2 2 OBE OBF xS x S x x     2 2 2 2 2 1 2 8 6 0 2 2 y kx k x kx x y             2 2 2 38 24 1 2 0 2k k k       1 2 1 22 2 8 6, 01 2 1 2 kx x x xk k      1 2,x x     2 2 22 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 8 321 2 26 3 1 2 1 2 k x x k x xk x x x xk k             2 3 2k    2 2 2 32 32 1 164,13 33 1 2 2 k k k         1 2 2 1 164 2 3 x x x x    1 2 0xt x  1 2 4 1 1 16 12 33 3 t tt t tt               1 2 1,1 1,33 x x        1,1 1,33 OBE OBF S S         例 4：已知椭圆 的离心率为 ，直线 与以原点为圆 心，椭圆 的短半轴长为半径的圆相切 （1）求椭圆 的方程 （2）设椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ，直线 过点 且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直于直线 ，垂足为点 ，线段 的垂直平分线交 于点 ，求点 的轨迹 的方程 （3）设 与 轴交于点 ，不同的两点 在 上，且满足 ，求 的取值 范围 解：（1） 与圆 相切 即 ，解得 （2）由（1）可得 线段 的垂直平分线交 于点 即 的轨迹为以 为焦点， 为准线的抛物线，设为 （3）思路：由已知可得 ，设 ，则所求 为关于 的函数， 只需确定 的范围即可，因为 ，所以有可能对 的取值有影响，可利用此条件 得到 关于 的函数，从而求得 范围。   2 2 1 2 2: 1 0x yC a ba b    3 3 : 2l y x  1C 1C 1C 1F 2F 1l 1F 2l 1l P 2PF 2l M M 2C 2C x Q ,R S 2C 0QR RS   QS 3 33 ce a ca    : 2l y x  2 2 2x y b  2 2O ld b   2b  3a c 2 2 2 22b a c c    2 1c  1c  3a  2 2 1 : 13 2 x yC   1 : 1l x    2PF 2l M 2PM MF  1 2M ld MF  M 2F 1l  2 2 0y px p   2 1,0F 2p  2 2 : 4C y x   0,0Q 2 2 1 2 1 2, , ,4 4 y yR y S y           QS 2y 2y 0QR RS   2y 2y 1y 2y 解： 与椭圆的交点为 ，设 ，因为 ，化简可得： ① 考虑 由①可得 时，可得 例 5：已知椭圆 的离心率 ，左焦点为 ，椭圆上的点到 距 离的最大值为 （1）求椭圆 的方程 （2）在（1）的条件下，过点 的直线 与圆 交于 两点， 与点 的轨迹 交于 两点，且 ，求椭圆的弦 长的取值范围 解：（1）由离心率可得： 依题意可得： 可得： 椭圆方程为： （2）由（1）可得椭圆方程为 不妨设 2C  0,0Q 2 2 1 2 1 2, , ,4 4 y yR y S y           2 2 2 1 2 1 1 2 1, , ,4 4 y y yQR y RS y y                   2 2 2 1 2 1 1 2 1 016 y y y QR RS y y y         1 2y y 2 1 1 16y y y         2 22 22 2 2 1 8 644 4 yQS y y         2 2 2 2 2 1 1 12 2 1 1 1 16 256 25632 2 32 64y y y yy y y              2 2 64y   22 2 1 8 64 8 54QS y    8 5,QS       2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    1 3e  1F 1F 8 C N l 2 2 36x y  ,G H l C ,P Q 8 2,2 34GH     RQ 1 3 ce a  : : 3: 2 2 :1a b c  8a c   6, 2a c  2 2 2 32b a c     2 2 136 32 x y  2 2 136 32 x y   2,0N ① 当直线斜率不存在时， ，符合题意，可得： ② 当直线斜率存在时， 设直线 在圆 中 可得： 解得： 设 ，联立直线与椭圆方程： 消去 可得： 8 2GH  32 3RQ   : 2l y k x  2 2 1O l kd k   2 2 36x y  2 22 2 1 1362 4d r GH GH       8 2,2 34GH      2 2 2 42 4 2 41 kd k     2 1k     1 1 2 2, , ,R x y Q x y   2 2 2 136 32 y k x x y       y   2 221 2 136 32 x k x    2 2 2 29 8 36 36 288 0k x k x k       22 2 1 2 1 22 2 2 36 836 36 288,9 8 9 8 9 8 kk kx x x xk k k         22 2 1 2 1 2 1 21 1 4RQ k x x k x x x x          2 22 2 2 2 36 8361 49 8 9 8 kkk k k                 22 2 2 2 22 36 4 36 8 9 8 1 9 8 k k k k k             4 4 2 2 22 9 9 64 64 12 1 9 8 k k k k k          2 2 2 2 22 64 64 96 9612 1 9 89 8 k kk kk       由 可得： 综上所述： 的取值范围是 例 6 ：已知椭圆 的两个焦点 ， 动点 在椭圆上，且使得 的点 恰有两个，动点 到焦点 的距离的最大值为 （1）求椭圆 的方程 （2）如图，以椭圆 的长轴为直径作圆 ，过直线 上的动点 ，作圆 的两条 切线，设切点分别为 ，若直线 与椭圆 交于不同的两点 ，求 的取值范围 解：（1） 使得 的点 恰有两个 的最大值为 为短轴顶点时， 　 　　　 到焦点 的距离的最大值为 椭圆 的方程： （2）由椭圆方程可得圆 设 ，由圆的性质可得： 2 2 2 12 1212 12 89 8 9 k k k      2 1k  32 192 3 17RQ  RQ 32 192,3 17        2 2 1 2 2: 1 0x yC a ba b    1 2,F F P 1 90F PF   P P 1F 2 2 1C 1C 2C 2 2x   T 2C ,A B AB 1C ,C D AB CD  1 90F PF   P 1 2F PF 90 P 1 90F PF   b c  2 2 2 22 2 2a b c b a b c       P 1F 2 2a c  2, 2a c    1C 2 2 14 2 x y  2 2 2 : 4C x y       1 1 2 22 2, , , , ,T t A x y B x y 1 1 2 2: 4, : 4AT x x y y BT x x y y    代入 可得： 　　 满足方程 则 到 的距离 下面计算 ：联立方程 设 不妨设 设 ，所以 设 在 单调递增 所以 ，即 例 7：已知椭圆 过点 ，且离心率  2 2,T t 1 1 2 2 2 2 4 2 2 4 x ty x ty       ,A B 2 2 4 0x ty    O AB 2 4 8O ABd t   2 2 2 2 42 4 8O AB tAB r d t      CD  2 2 2 2 2 2 4 16 8 16 0 2 4 x ty t y ty x y              3 3 4 4, , ,C x y D x y 3 4 3 42 2 8 16,16 16 ty y y yt t          22 2 2 1 2 1 2 1 2 2 4 8 1 1 48 8 16 tt tCD y y y y y y t                 2 2 2 2 2 22 2 4 16 4 164 8 84 8 8 AB t t t t CD t tt t            2 8 8m t m   3 2 3 3 12 256 12 2561AB m m CD m m m      1 10 8s sm       31 12 256AB s sCD      31 12 256f s s s    ' 2 112 768 0 8f s s s      f s 10,8         1,2f s  1, 2AB CD     2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    31, 2      1 2e  （1）求椭圆方程 （2）若直线 与椭圆交于不同的两点 ，且线段 的垂直平分线 过定点 ，求 的取值范围 解：（1） 可得： 椭圆方程为 ，代入 可得： 椭圆方程为： 设 ，联立方程可得： 设 中点 ，则 则 的中垂线为： ，代入 可得： ，代入 可得：  : 0l y kx m k   ,M N MN 1,08G     k 1 2 ce a  : : 2 : 3 :1a b c   2 2 2 2 14 3 x y c c  31, 2      2 2 2 1 9 1 1 14 4 3 cc c      2 2 14 3 x y     1 1 2 2, , ,M x y N x y   2 2 2 2 23 4 12 3 4 8 4 12 0x y k x kmx m y kx m                  2 2 2 2 2 2 2 2 28 4 3 4 4 12 64 4 16 48 12 36km k m k m k m k m           2 24 48 12 36 0k m    2 24 3m k   MN  0 0,P x y 1 2 1 2,2 2 x x y yP        1 2 1 2 1 22 2 8 6, 24 3 4 3 km mx x y y k x x mk k         2 2 4 3,4 3 4 3 km mP k k       MN 2 2 3 1 4 4 3 4 3 m kmy xk k k         1,08       21 4 38m kk   2 24 3m k    2 2 21 4 3 4 38 k kk        或 即 的取值范围是 例 8：在平面直角坐标系 中，原点为 ,抛物线 的方程为 ,线段 是抛物线 的一条动弦． （1）求抛物线 的准线方程和焦点坐标 ; （2）当 时，设圆 ,若存在且仅存在两条动弦 ,满足 直线 与圆 相切，求半径 的取值范围？ 解：（1）由抛物线 可得： ，准线方程： （2）设直线 ， ，联立方程： 与圆相切 ，不妨令 则 ，令 在 单调递减，在 单调递增 2 2 2 14 3 64 20k k k     5 10k  5 10k   k 5 5, ,10 10                xOy O C yx 42  AB C C F 8AB )0)1(: 222  rryxD （ AB AB D r yx 42   0,1F 1y   :AB y kx b     1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 2 4 4 0 4 y kx b x kx b x y        1 2 1 24 , 4x x k x x b     2 2 2 2 2 1 21 1 16 16 8 1 2AB k x x k k b k k b            2 2 4 1b kk   AB 2 1 1D AB bd r k     2 2 2 4 11 1 kkr k     21 , 1t k t   3 4r tt    3 3 3 4 ,1 24 4 , 2 t ttf t tt t tt            f t 1, 2    2, 则若关于 的方程有两解，只需关于 的方程有一解 时， 与 有一个交点 例 9：已知椭圆 的离心率为 ， 是椭圆的两个焦点， 是椭圆上任意一点，且 的周长是 （1）求椭圆 的方程 （2）设圆 ，过椭圆的上顶点作圆 的两 条切线交椭圆于 两点，当圆心在 轴上移动且 时， 求 的斜率和取值范围 解：（1） 的周长 椭圆方程为： （2）由椭圆方程可得： ，设过 且与圆 相切的直线方程为 ，整理可得： 两条切线斜率 是方程 的两根 联立直线 与椭圆方程可得：  1 3f  k t 3r  y r  y f t 3r    2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    15 4 1 2,F F P 1 2PF F 8 2 15 C  2 2 4: 9T x t y   T ,E F x  1,3t  EF 15 4 ce a  : : 4 :1: 15a b c  1 2PF F 1 2 1 2 2 2 8 2 15C F F PF PF a c       4, 15a c   2 2 2 1b a c     2 2 116 x y   0,1M M T  1 1,2iy k x i   2 1 2 31 i i k td r k         22 23 1 2 1 9 1 4 1i i i ik t k k t k         2 29 4 18 5 0i it k tk     1 2,k k  2 29 4 18 5 0t k tk    ME 消去 可得： ，同理可得： 由 可得： 设 ，可知 为增函数， 例 10：已知椭圆 ，其中 为左右焦点，且离心率为 ， 直线 与椭圆交于两不同点 ，当直线 过 椭圆 右焦点 且倾斜角为 时，原点 到直线 的距离为 （1）求椭圆 的方程 （2）若 ，当 的面积为 时，求 的最大值 解：（1）设直线 1 2 2 1 16 16 y k x x y      y  2 2 1 11 16 32 0k x k x   1 2 1 32 1 16E kx k    2 2 2 32 1 16F kx k      1 2 1 21 1E FE F E F EF E F E F E F k x k xy y k x k xk x x x x x x          1 2 1 22 2 1 2 1 2 1 21 2 2 2 1 2 32 32 1 16 1 16 1 1632 32 1 16 1 16 k kk kk k k k k kk k k k                         2 29 4 18 5 0t k tk    1 2 1 22 2 18 5,9 4 9 4 tk k k kt t     2 2 2 18 6 19 4 65 2828 31 16 39 4 EF t ttk t tt t           16 28 3 f t tt     f t  1,3t  6 ,1825EFk        2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    1 2,F F 3 3e  l    1 1 2 2, , ,P x y Q x y l C 2F 4  O l 2 2 C OP OQ ON    OPQ 6 2 ON PQ  :l y x c  椭圆方程为 （2）若直线 斜率存在，设 ， 联立方程： 消去 可得： ，整理可得： 考虑 2 122O l cd c     3 3 ce a  3 3a c   2 2 2 2b a c     2 2 13 2 x y  l :l y kx m     1 1 2 2, , ,P x y Q x y OP OQ ON      1 2 1 2,N x x y y   2 22 3 6 y kx m x y      y  222 3 6x kx m    2 2 23 2 6 3 6 0k x kmx m           2 2 2 2 26 4 3 2 3 6 24 3 2 0km k m k m         2 23 2k m   2 1 2 1 22 2 6 3 6,3 2 3 2 km mx x x xk k        1 2 1 2 2 2 6 42 23 2 3 2 km my y k x x m k mk k               2 2 6 4,3 2 3 2 km mN k k         2 2 2 22 1 2 1 2 2 2 6 1 3 21 4 3 2 k k mPQ k x x x x k            21O l md k   2 2 2 2 2 1 1 2 6 1 3 2 6 2 2 3 2 21OPQ O l mk k mS PQ d k k             2 2 22 3 2 3 2m k m k    即 等号成立条件： 时 的最大值是 当斜率不存在时， 关于 轴对称，设 ，再由 可得： 可计算出 所以综上所述 的最大值是 三、历年好题精选 1、已知点 是双曲线 上的动点， 分别是双 曲线的左右焦点， 为坐标原点，则 的取值范围 是（ ）          2 2 22 2 2 2 2 2 2 24 3 2 3 2 3 2 4 3 2 2 0m k m k k m k m            22 23 2 2 0k m   2 23 2 2k m   2 2 2 2 6 4 6 4 3 2, , ,3 2 3 2 2 2 km m km m kN k k m m m m                       2 2 2 2 2 2 2 2 9 4 6 6 4 26k mON m m m m m             2 2 2 2 2 2 2 4 22 2 2124 1 3 2 3 224 443 2 mmk k m PQ m mk            2 2 22 2 2 2 2 26 42 26 4 252 m mON PQ m m                                  2 2 2 26 4 2mm m      2m   ON PQ  5 ,P Q x  0 0,P x y 0 0, 0x y  0 0 0 0 1 622 2OPQS x y x y     2 2 0 0 13 2 x y  0 0 6 2 1 x y     2 6 5ON PQ    ON PQ  5 P 2 2 18 4 x y  1 2,F F O 1 2PF PF OP  A. B. C. D. 2、（2015，新课标 I）已知 是双曲线 上的一点， 是 上的两 个焦点，若 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3 、（ 2014 ， 四 川 ） 设 ， 过 定 点 的 动 直 线 和 过 定 点 的 动 直 线 交于点 ，则 的最大值是______ 4、（2016，广东省四校第二次联考）抛物线 的焦点为 ，已知点 为抛 物线上的两个动点，且满足 ，过弦 的 中点 作抛物线准线的垂线 ，垂足为 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 5、（2016，贵州模拟）设椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点 为 ，过点 与 垂直的直线交 轴负半轴于点 ，且 是线段 的中点，若果 三点的圆恰好与直线 相切. （1）求椭圆 的方程； （2）过定点 的直线 与椭圆 交于 两点，且 .若实数 满足 ，求 的取值范围. 6、（2015，山东理）平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率 为 ，左、右焦点分别是 ,以 为圆心，以 3 为半径的圆与以 为圆心，以 1 为半径  0,6 2, 6 1 6,2 2       60, 2        0 0,M x y 2 2: 12 xC y  1 2,F F C 1 2 0MF MF   0y 3 3,3 3      3 3,6 6      2 2 2 2,3 3      2 3 2 3,3 3      m R A 0x my  B 3 0mx y m     ,P x y PA PB  2 2 0y px p  F ,A B 120AFB   AB M MN N MN AB 3 3 1 2 3 3 2   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    1 2,F F A A 2AF x Q 1F 2QF 2, ,A Q F : 3 3 0l x y   C  0,2M 1l C ,G H MG MH  MG MH  1  xOy 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b    3 2 1 2,F F 1F 2F 的圆相交，交点在椭圆 上. （1）求椭圆 的方程； （2）设椭圆 ， 为椭圆 上的任意一点，过点 的直线 交椭圆 于 两点，射线 交椭圆 于点 ①求 的值；②求 面积最大值. 7、（2014，四川）已知椭圆 的焦距为 ，其短轴的两个端 点与长轴的一个端点构成正三角形 （1）求椭圆 的标准方程 （2）设 为椭圆 的左焦点， 为直线 上任意一点，过 作 的垂线交 椭圆 于点 ① 证明： 平分线段 （其中 为坐标原点） ② 当 最小时，求点 的坐标 8、（2014，湖南）如图， 为坐标原点，椭圆 的左右焦点 分别为 ，离心率为 ；双曲线 的左右焦点分别为 ，离心率为 ，已知 ，且 （1）求 的方程 （2）过 作 的不垂直于 轴的弦 为 的 中点，当直线 与 交于 两点时，求四边形 面积的最小值 C C 2 2 2 2: 14 4 x yE a b  P C P y kx m  E ,A B PO E Q | | | | OQ OP ABQ   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b    4 C F C T 3x   F TF C ,P Q OT PQ O TF PQ T O   2 2 1 2 2: 1 0x yC a ba b    1 2,F F 1e   2 2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b    3 4,F F 2e 1 2 3 2e e  1 2,C C 1F 1C y ,AB M AB OM 2C ,P Q APBQ 9、（2014，山东）已知抛物线 的焦点为 ， 为 上异于原点 的任意一点，过点 的直线 交 于另一点 ，交 轴的正半轴于点 ，且有 ，当 的横坐标为 3 时， 为正三角形 （1）求 的方程 （2）若直线 ，且 和 有且只有一个公共点 ① 证明直线 过定点，并求出定点坐标 ② 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理 由 10、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市 2016 届高三上期末）如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率 ，左顶点为 ，过点 作斜 率为 的直线 交椭圆 于点 ，交 轴于点 . （1）求椭圆 的方程; （2）已知 为 的中点，是否存在定点 ，对于任意的 都有 ，若存在，求出点 的坐标；若不存在 说明理由; （3）若过 点作直线 的平行线交椭圆 于点 ，求 的最小值. 11 、（南 通 市 海 安 县 2016 届 高 三 上 期 末 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 椭 圆 C ： 的焦距为 2 （1）若椭圆 经过点 ，求椭圆 C 的方程； （2）设 ， 为椭圆 的左焦点，若椭圆 存在点 ，满足 ，求椭圆 的离心率的取值范围；  2: 2 0C y px p  F A C A l C B x D FA FD A ADF C 1l l∥ 1l C E AE ABE xoy C )0(12 2 2 2  bab y a x 2 1e )0,4(A A )0( kk l C D y E C P AD Q )0( kk EQOP  Q O l C M OM AEAD  xOy )0(12 2 2 2  bab y a x C )1,2 6(  2,0A  F C C P 2PF PA C P D M A O x y E 12、已知定点 ，曲线 C 是使 为定值的点 的轨迹，曲线 过点 . （1）求曲线 的方程； （2）直线 过点 ，且与曲线 交于 ，当 的面积取得最大值时，求直线 的方程； （3）设点 是曲线 上除长轴端点外的任一点，连接 、 ，设 的角平分线 交曲线 的长轴于点 ，求 的取值范围. 13、已知圆 ,若椭圆 的右顶点为圆 的圆心，离心率为 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）若存在直线 ，使得直线 与椭圆 分别交于 两点，与圆 分别交于 两点，点 在线段 上，且 ，求圆 的半径 的取值范围． 14、已知 、 是椭圆 的左、右焦点，且离心率 ，点 为椭圆 上的一个动点， 的内切圆面积的最大值为 . (1) 求椭圆的方程； (2) 若 是椭圆上不重合的四个点，满足向量 与 共线， 与 共 线，且 ，求 的取值范围. )0,3(),0,3( 21 FF  |||| 21 RFRF  R C )1,0(T C l 2F C PQ PQF1 l P C 1PF 2PF 21PFF PM C ( ,0)M m m  2 2 2: 2M x y r   ( 0)r  2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b    M 2 2 :l y kx l C ,A B M ,G H G AB AG BH M r 1F 2F 2 2 2 2 1x y a b  ( 0)a b  1 2e  P 1 2PF F 4 3  , , ,A B C D 1F A 1FC 1F B 1F D 0AC BD   | | | |AC BD  习题答案： 1、答案：B 解析：设 ，其中 ，由焦半径公式可得： 代入可得： 因为 所以解得 由对称性可知：当 时， 2、答案：A 解析：由 可得 ，所以 ，则 ，由 得： 代入到不等式： ，解得 3、答案：5 解析：由两条动直线 可得两条信息：①两个定点坐标 ， 且两条直线垂直，垂足即为 ，所以 为直角三角形，可知 ，  ,P x y 0x  1 2,PF ex a PF ex a    1 2 2 2 2 2 2PF PF ex a ex a ex OP x y x y         2 2 64,2 2 xy e   1 2 2 2 2 2 2 6 6 3 44 22 PF PF ex a ex a x OP x y xx x          2 8x   1 2 2 6 2,6 3 4 2 PF PF OP x     0x   1 2 2,6PF PF OP   2 2: 12 xC y     1 23,0 , 3,0F F  1 0 03 , ,MF x y     2 0 03 ,MF x y   2 2 1 2 0 0 3 0MF MF x y      2 20 0 12 x y  2 2 0 02 2x y  2 1 2 03 1 0MF MF y     0 3 3,3 3y        1 3 x my m x y          0,0 , 1,3A B P PAB 2 2 2 10PA PB AB   由均值不等式可得 ，等号成立 当且仅当 4、答案：A 解析：过 分别作准线的垂线，垂足设为 设 ，由抛物线定义可得： 在梯形 中，可得 为中位线 由余弦定理可知在 中， 5、解析：设椭圆 的半焦距为 由 为线段 中点， 所以 三点圆的圆心为 ，半径为 又因为该圆与直线 相切，所以 所以 ，故所求椭圆方程为 ； （2）若 与 轴不垂直，可设其方程为 ，代入椭圆方程 可得 ，由 ，得 设 ，根据已知，有 2 2 2 2 52 2 PA PB PA PBPA PB PA PB     PA PB ,A B ,Q P ,AF a BF b  ,AF AQ BF BP  AQPB MN    1 1 2 2 2 a bMN AQ BP AF BF       ABF 2 2 2 2 22 cosAB AF BF AF BF AFB a b ab       2 22 2AB a b ab a b ab      2 2 a bab            2 2 2 23 4 4 a bAB a b a b          22 2 2 1 1 34 3 3 3 4 a bMN MN ABAB a b       C  0c c  1F 2F Q 2AQ AF 2, ,A Q F  1 ,0F c 2c a l 3 2 12 c c c     2 24, 3a b  2 2 14 3 x y  1l x 2y kx  2 2 14 3 x y   2 23 4 16 4 0k x kx    0  2 1 4k     1 1 2 2, , ,G x y H x y 1 2x x 于是 消去 ，可得 因为 ，所以 即有 ，有 6、解析：（1） 椭圆离心率为 ， 左、右焦点分别是 , 圆 ： 圆 ： 由 两 圆 相 交 可 得 ， 即 ， 交 点 ， ， 整理得 ，解得 （舍去） 故 椭圆 C 的方程为 . （2）① 椭圆 E 的方程为 ， 设点 ，满足 ，射线 ，  1 2 2 2 2 1 2 2 161 3 4 1 3 4 kx x x k x x x k             2x  2 2 2 1 64 3 4 k k      2 1 4k    2 2 2 64 64 4,1633 4 4 k k k        21 1 2 4,16         1 2,14    3 2 3 2 ce a   : : 2 :1: 3a b c   1 2( 3 ,0), ( 3 ,0)F b F b 1F 2 2( 3 ) 9,x b y   2F 2 2( 3 ) 1,x b y   2 2 3 4b  1 3 2b  22 2( , 1 ( ) ) 3 3b b   2 2 2 2 21 ( 3 )4 3 13 4 b b b b b     4 24 5 1 0b b   2 1,b  2 1 4b  2 1,b  2 4,a  2 2 14 x y  2 2 116 4 x y  0 0( , )P x y 2 20 0 14 x y  0 0 0 : ( 0)yPO y x xxx  代入 可得点 ，于是 . ② 点 到直线 距离等于原点 O 到直线 距离的 3 倍： ，得 ，整理得 ， 当且仅当 等号成立. 而直线 与椭圆 C： 有交点 P，则 有解，即 有解， 其判别式 ，即 ，则上 述 不成立，等号不成立， 设 ，则 在 为增函数， 于是当 时 ，故 面积最大值为 12. 7、解析：（1）由已知可得： 解得： 2 2 116 4 x y  0 0( 2 , 2 )Q x y  2 2 0 0 2 2 0 0 ( 2 ) ( 2 )| | 2| | x yOQ OP x y      0 0( 2 , 2 )Q x y  AB AB 0 0 2 2 | 2 2 | | |3 1 1 kx y m md k k       2 2 116 4 y kx m x y     2 24( ) 16x kx m   2 2 2(1 4 ) 8 4 16 0k x kmx m     2 2 2 2 2 264 16(4 1)( 4) 16(16 4 ) 0k m k m k m         2 2 2 2 1| | 16(16 4 )1 4 kAB k mk    2 2 2 2 2 2 1 1 | | | | 16 4| | 3 4 16 4 62 2 1 4 1 4 m m k mS AB d k mk k           2 2 2 2 16 46 122(4 1) m k m k      2 2 2 2| | 16 4 , 8 2m k m m k     y kx m  2 2 14 x y  2 24 4 y kx m x y      2 2 2 2 24( ) 4,(1 4 ) 8 4 4 0x kx m k x kmx m        2 2 2 2 2 2 1 64 16(1 4 )( 1) 16(1 4 ) 0k m k m k m         2 21 4k m  2 28 2m k  2 | | (0,1] 1 4 mt k    2 2 2 | | 16 46 6 (4 )1 4 m k mS t tk     (0,1] 2 21 4k m  max 6 (4 1) 1 6 3S     ABQ 2 2 3 2 2 4 a b c a b      2 26, 2a b  椭圆方程为： （2）① 由（1）可得： ，设 所以设 ， ，联立椭圆方程可得： 设 为 的中点，则 点的坐标为 的斜率 在 上，即 平分 ② 由①可得： 由弦长公式可得： 等号成立当且仅当 最小时， 点的坐标为 2 2 16 2 x y   2,0F   3,T m   0 3 2TF mk m      : 2PQ x my     1 1 2 2, , ,P x y Q x y   2 2 2 21 3 4 2 06 2 2 x y m y my x my            1 2 1 22 2 4 2,3 3 my y y ym m       1 2 1 2 2 124 3x x m y y m        M PQ M 2 2 6 4,3 3 m m m      3OM mk   OT 3OT mk   M OT OT PQ 2 1TF m   22 2 1 2 1 2 1 21 1 4PQ m y y m y y y y         22 2 2 2 2 2 6 14 21 43 3 3 mmm m m m                     222 2 2 222 33 1 41 1 424 124 12 6 1 mTF mm mPQ mmm                2 2 1 4 32 1 424 1 3m m          2 2 41 11m mm     TF PQ T    3,1 , 3, 1   8、解析：（1）由 可得： （2）由（1）可得： ，设直线 ，联立方程可得： 设 中点 即 与双曲线联立方程可得： 设点 到直线 的距离为 ，则点 到直线 的距离也为 1 2 3 2e e  2 2 2 2 4 4 2 3 2 a b a b a b a a a      4 4 4 2 23 24a b a a b     : 2 :1a b     2 4,0 , 3 ,0F b F b 2 4 3 3 1F F b b    1b  2a  2 2 2 2 1 2: 1, : 12 2 x xC y C y      1 1,0F  : 1AB x my   2 22 2 1 2 2 1 0 12 x my m y myx y             1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 22 2 2 1,2 2 my y y ym m       1 2 1 2 2 42 2x x m y y m        AB 2 2 2 ,2 2 mM m m      : 2 mPQ y x   2 0mx y    2 2 2 2 2 2 22 2 42 2 4 ,2 212 my x mm x x ym mx y              2 2 2 2 42 2 2 mPQ x y m      A PQ d B PQ d ，因为点 在直线 的异侧 由 时， 综上所述：四边形 面积的最小值为 2 9、解析：（1）依题意可知 ，设 ，则 的中点为 由抛物线定义可知： ，解得： 或 （舍） 抛物线方程为： （2）① 由（1）可得 ，设 的斜率为 直线 设直线 ，代入抛物线方程： 和 有且只有一个公共点 1 1 2 2 2 2 22 4 mx y mx yd m      ,A B 2 0mx y    1 1 2 22 2 0mx y mx y     2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 22 2 2 2 2mx y mx y mx y mx y m y y             2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 14 2 my y y y y y m         2 2 1 2 2 2 2 2 2 12 4 4 m y y md m m        2 22 1 2 2 1 32 2 2 12 22APBQ mS PQ d mm         四边形 20 2 2m   0m  min 2S  APBQ ,02 pF        ,0 0D t t  FD 2 ,04 p t     FA FD 3 2 2 p pt   3t p  3t   2 3 24 p t p     2 4y x  1,0F    0 0, , ,0DA x y D x FA FD 0 01 1 2D Dx x x x        0 2,0D x  AB 0 2AB yk    1l l∥ 0 1 : 2 yl y x b   2 0 0 8 8 0y by y y   1l C E 2 0 0 0 64 32 20b by y y       设 ，则可得： 当 时， ，整理可得： 恒过点 当 时，可得： ，过点 过点 ② 由①可得： 过点 设 在直线 上， 设 直线 的方程为 代入抛物线方程可得：  ,E EE x y 2 0 0 4 4,E Ey xy y   2 0 4y  0 0 2 0 0 4 4 E AE E y y yk x x y     0 0 02 0 4: 4 yAE y y x xy    2 0 04y x  0 2 0 4 14 yy xy  AE  1,0F 2 0 4y  : 1AE x   1,0F AE  1,0F AE  1,0F 0 0 1 2AE AF EF x x      : 1AE x my   0 0,A x y AE 0 0 1xm y    1 1,B x y AB  0 0 0 0 0 2 22 yy y x x x y xy         2 0 0 8 8 4 0y y xy    0 1 1 0 1 0 0 0 0 8 8 4, 4y y y y x xy y x            0 0 0 0 0 02 0 0 4 84 1 4 1 14 1B AE x m yx y xd x x xm                   0 0 00 1 1 14 22ABES x x xx              ，等号成立当且仅当 10、解析：（1）由左顶点为 可得 ，又 ，所以 又因为 ， 所以椭圆 C 的标准方程为 . （2）直线 的方程为 ，由 消元得， . 化简得， ， 所以 ， . 当 时， ， 所以 .因为点 为 的中点，所以 的坐标为 ，则 直线 的方程为 ，令 ，得 点坐标为 ， 假设存在定点 ，使得 ， 则 ，即 恒成立， 所以 恒成立，所以 即 因此定点 的坐标为 . （3）因为 ，所以 的方程可设为 ， 由 得 点的横坐标为 0 0 0 0 0 00 0 1 1 1 12 2, 2 2x x x xx xx x           1 4 2 2 2 162ABES      0 0 0 0 0 1 1 1 x x x x x       ( 4 0)A  ， 4a  1 2e  2c  2 2 2 12b a c   2 2 116 12 x y  l ( 4)y k x  2 2 116 12 ( 4), x y y k x       ， 2 2[ ( 4)] 116 12 x k x   2 2( 4)[(4 3) 16 12)] 0x k x k     1 4x   2 2 2 16 12 4 3 kx k    2 2 16 12 4 3 kx k    2 2 2 16 12 24( 4)4 3 4 3 k ky k k k      2 2 2 16 12 24,4 3 4 3( )D k k k k     P AD P 2 2 2 16 12,4 3 4 3( )k k k k    3 ( 0)4OPk kk  l ( 4)y k x  0x  E (0,4 )k ( , )( 0)Q m n m  OP EQ 1OP EQk k   3 4 14 n k k m     (4 12) 3 0m k n   4 12 0 3 0 m n     ， ， 3 0 m n     ， ， Q ( 3,0) OM l OM y kx 2 2 116 12 x y y kx      ， M 2 4 3 4 3 x k    由 ，得 ， 当且仅当 即 时取等号， 所以当 时， 的最小值为 ． 11、解析：（1）依题意可得： 将 代入椭圆方程可得： 解得： 椭圆方程为 （2）可知 ，设 ，可知： 由 可得： ，整理可得： 联立方程： ，可解得： ，即 OM l 2D A E A D A M M x x x x x xAD AE OM x x       2 22 2 2 16 12 1 4 94 3 4 3 3 4 3 4 8 3 k kk k k          2 2 1 6 ) 2( 24 3 3 4 3 k k     ≥ 2 2 64 3 4 3 k k    3 2k   3 2k   AD AE OM  2 2 2 2 1c c   2 2 1a b   )1,2 6( 2 2 3 1 12a b  2 2 2 2 1 3 1 12 a b a b      2 2 3 2 a b     2 2 13 2 x y   1,0F   0 0,P x y 2 2 0 0 2 2 1x y a b  2PF PA 2 22PA PF    2 22 2 0 0 0 02 2 1x y x y        2 2 0 0 2x y  2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 2 2 2 1 1 x y x y a b a b               2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 1 3x a a b a a a a a        0 ,x a a  2 2 0x a   2 2 20 3a a a   22 3 2 3a a      12、解析：（1） 2 分 曲线 C 为以原点为中心， 为焦点的椭圆 设其长半轴为 ,短半轴为 ,半焦距为 ，则 ， 曲线 C 的方程为 4 分 （2）设直线 的为 代入椭圆方程 ，得 ，计算并判断得 ， 设 ,得 到直线 的距离 ，设 ，则 当 时，面积最大 的面积取得最大值时，直线 l 的方程为： 和 9 分 （3）由题意可知： = , = 设 其中 ，将向量坐标代入并化简得： m（ ， 1 3 2,3 2 ce a a          3241)3(2 21 2 2121  FFTFTFRFRF  21, FF a b c 322 c 1,3,2  bca  14 2 2  yx l ,3 myx 14 2 2  yx 0132)4( 22  myym 0 ),(),,( 4433 yxQyxP         243 243 4 1 4 32 myy m myy  2 2 43 2 43 2 43 2 43 4 )1(44))[(1()()( m myyyymyyxxPQ   1F l 2 2 3 1 d m   21 mt  1t  23 34 3 34 4 134||2 1 22 2 1        ttt t m mdPQS PQF 2,2,3 22  mmt 即  PQF1 2 3 0x y   2 3 0x y   1 1| || | PF PM PF PM     2 2| || | PF PM PF PM     1 1| | PF PM PF    2 2| | PF PM PF    0 0( , )P x y 2 0 4x  2 3 0 0 04 16) 3 12x x x   因为 ，所以 ， 而 ，所以 13、解析：(1)设椭圆的焦距为 2C，因为 a= , , ,所以椭圆 C 的方程为 . (2)设 , 联立直线与椭圆方程得： ,则 , M( )到直线 的距离 。 ,显然若点 H 也在直线 AB 上,则由对称性可知,直线 就是 y 轴 与已知矛盾, 要使得|AG|=|BH|, 只要|AB|=|GH|, , 当 时, ， 当 k 时, , 综上 . 14、解析：(1)由几何性质可知：当 内切圆面积取最大值时， 2 0 4x  0 3 4m x 0 ( 2,2)x   3 3( , )2 2m  2 2 2 c a  1, 1c b   2 2 12 x y  1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 22 2 0 y kx x y      2 2(1 2 ) 2 0k x    1 2 1 2 2 20, 1 2x x x x k      2 2 2 2 8 8(1 )| | (1 )1 2 1 2 kAB k k k     2,0 l 2 | 2 | 1 kd k   2 2 2 2| | 2 1 kGH r k    y kx  2 2 2 2 2 2 8(1 )2 1 1 2 k kr k k     4 2 4 22(1 )2 3 1 kr k k     0k  2r  0 2 2 2 2 12(1 )1 12 3 ( ) r k k     2 2 2 2 1 1 10 ( ) 3( ) 2 2k k k      2 2 2 1 10 1 1 2( ) 3( ) 2k k     2 3r   2 3r  1 2PF F 即 取最大值，且 . 由 得 又 为定值， ， 综上得 ； 又由 ，可得 ，即 ， 经计算得 ， ， ， 故椭圆方程为 . (2) ①当直线 与 中有一条直线垂直于 轴时， . ②当直线 斜率存在但不为 0 时， 设 的方程为： ，由 消去 可得： ， 代入弦长公式得： ， 同理由 消去 可得 ， 代入弦长公式得： ， 所以 令 ，则 ，所以 ， 1 2PF FS 1 2 max 1( ) 22PF FS c b bc    2 4 3r  2 3 3r  1 2 2 2PF FC a c   1 2 1 22PF F PF F rS C  2 3 2 2 3 bc a c  1 2 ce a  2a c 3b c 2c  2 3b  4a  2 2 116 12 x y  AC BD x | | | | 6 8 14AC BD     AC AC ( 2)y k x  2 2 ( 2) 116 12 y k x x y     y 2 2 2 2(3 4 ) 16 16 48 0k x k x k     2 2 24( 1)| | 3 4 kAC k    2 2 1 ( 2) 116 12 y xk x y        y 2 2 2 2 1 1 1(3 4 ) 16 16 48 0x xk k k     2 2 24( 1)| | 3 4 kBD k    2 2 2 2 2 2 2 168( 1) 168| | | | 1 1(3 4 )(4 3 ) 12 1 ( 1) kAC BD k k k k          2 1 (0,1)1 tk   2 4912 (12, ]4t t    96| | | | [ ,14)7AC BD   由①②可知， 的取值范围是 .| | | |AC BD  96[ ,14]7