江西省2013年中考数学试题(解析版)
江西省 2013 年中等学校招生考试数学试卷解析
(江西于都三中 蔡家禄)
说明:1.本卷共有七个大题,24 个小题,全卷满分 120 分,考试时间 120 分钟。
2.本卷分为试题卷和答题卷,答案要求写在答题卷上,不得在试题卷上作答,否则
不给分。
一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分)每小题只有一个正确选项.
1.-1 的倒数是( ).
A.1 B.-1 C.±1 D.0
【答案】 B.
【考点解剖】 本题考查了实数的运算性质,要知道什么是倒数.
【解题思路】 根据倒数的定义,求一个数的倒数,就是用 1 除以这个数,所以-1 的倒数
为 ,选 B.
【解答过程】 ∵ ,∴选 B.
【方法规律】 根据定义直接计算.
【关键词】 实数 倒数
2.下列计算正确的是( ).
A.a3+a2=a5 B.(3a-b)2=9a2-b2 C.a6b÷a2=a3b D.(-ab3)2=a2b6
【答案】 D.
【考点解剖】 本题考查了代数式的有关运算,涉及单项式的加法、除法、完全平方公式、
幂的运算性质中的同底数幂相除、积的乘方和幂的乘方等运算性质,正确掌握相关运算性质、
法则是解题的前提.
【解题思路】 根据法则直接计算.
【解答过程】 A. 与 不是同类项,不能相加(合并), 与 相乘才得 ;B.是完
全平方公式的应用,结果应含有三项,这里结果只有两项,一看便知是错的,正确为
;C.两个单项式相除,系数与系数相除,相同的字母相除(同
底数幂相除,底数不变,指数相减),正确的结果为 ;D.考查幂的运算性质
(积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,幂的乘方,底数不变,
指数相乘),正确,选 D.
1 ( 1) 1÷ − = −
1 ( 1) 1÷ − = −
3a 2a 3a 2a 5a
2 2 2(3 ) 9 6a b a ab b− = − +
6 2 4a b a a b÷ =
【方法规律】 熟记法则,依法操作.
【关键词】 单项式 多项式 幂的运算
3.下列数据是 2013 年 3 月 7 日 6 点公布的中国六大城市的空气污染指数情况:
城市 北京 合肥 南京 哈尔滨 成都 南昌
污染指数 342 163 165 45 227 163
则这组数据的中位数和众数分别是( ).
A.164 和 163 B.105 和 163 C.105 和 164 D.163 和 164
【答案】 A.
【考点解剖】 本题考查的是统计初步中的基本概念——中位数、众数,要知道什么是中
位数、众数.
【解题思路】 根据中位数、众数的定义直接计算.
【解答过程】 根据中位数的定义——将一组数据从小到大或从大到小排序,处于中间(数
据个数为奇数时)的数或中间两个数的平均数(数据为偶数个时)就是这组数据的中位数;
众数是指一组数据中出现次数最多的那个数,所以 342、163、165、45、227、163 的中位数
是 163 和 165 的平均数 164,众数为 163,选 A.
【方法规律】 熟知基本概念,直接计算.
【关键词】 统计初步 中位数 众数
4.如图,直线 y=x+a-2 与双曲线 y= 交于 A,B 两点,则当线段 AB 的长度取最小值时,
a 的值为( ).
A.0 B.1 C.2 D.5
【答案】 C.
【考点解剖】 本题以反比例函数与一次函数为背景考查了反比例函数的性质、待定系数法,
以及考生的直觉判断能力.
x
4
【解题思路】 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形,只有当 A、B、O 三点
共线时,才会有线段 AB 的长度最小 ,(当直线 AB 的表达式中的比例系数
不为 1 时,也有同样的结论).
【解答过程】 把原点(0,0)代入 中,得 .选 C..
【方法规律】 要求 a 的值,必须知道 x、y 的值(即一点的坐标)由图形的对称性可直观
判断出直线 AB 过原点(0,0)时,线段 AB 才最小,把原点的坐标代入解析式中即可求出 a
的值.
【关键词】 反比例函数 一次函数 双曲线 线段最小
5.一张坐凳的形状如图所示,以箭头所指的方向为主视方向,则他的左视图可以是
( ).
【答案】 C.
【考点解剖】 本题考查的投影与视图中的画已知物体的三视图,要正确掌握画三视图的有
关法则.
【解题思路】 可用排除法,B、D 两选项有迷惑性,B 是主视图,D 不是什么视图,A 少
了上面的一部分,正确答案为 C.
【解答过程】 略.
【方法规律】 先要搞准观看的方向,三视图是正投影与平行投影的产物,反映物体的轮廓
线,看得到的画成实线,遮挡部分画成虚线.
【关键词】 三视图 坐凳
6.若二次涵数 y=ax+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴有两个交点,坐标分别为(x1,0),(x2,0),且
x1
0 B.b2-4ac≥0 C.x10,a<0 两种情况画出两个草图来分
析(见下图).
由图可知 a 的符号不能确定(可正可负,即抛物线的开口可向上,也右向下),所以
的大小就无法确定;在图 1 中,a>0 且有 ,则 的值为负;
在图 2 中,a<0 且有 ,则 的值也为负.所以正确选项为 D.
【解答过程】 略.
【方法规律】 先排除错误的,剩下的再画图分析(数形结合)
【关键词】 二次函数 结论正误判断
二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分)
7.分解因式 x2-4= .
【答案】 (x+2)(x-2).
【考点解剖】 本题的考点是因式分解,因式分解一般就考提取公因式法和公式法(完全平
方公式和平方差公式),而十字相乘法、分组分解等方法通常是不会考的.
【解题思路】 直接套用公式即.
【解答过程】 .
【方法规律】 先观察式子的特点,正确选用恰当的分解方法.
【关键词】 平方差公式 因式分解
8.如图△ABC 中,∠A=90°点 D 在 AC 边上,DE∥BC,若∠1=155°,
2 4 0b ac− >
0 1 2, ,x x x
1 0 2x x x< < 0 1 0 2( )( )a x x x x− −
1 0 2x x x< < 0 1 0 2( )( )a x x x x− −
2 4 ( 2)( 2)x x x− = + −
则∠B 的度数为 .
【答案】65°.
【考点解剖】 本题考查了平行线的性质、邻补角、直角三角形两锐角互余等知识,题目较
为简单,但有些考生很简单的计算都会出错,如犯 之类的错误.
【解题思路】 由 ,可求得 ,最后求 .
【解答过程】 ∵∠ADE=155°, ∴∠EDC=25°.
又∵DE∥BC,
∴∠C=∠EDC=25°,
在△ABC 中,∠A=90°,∴∠B+∠C=90°,∴∠B=65°.
【方法规律】 一般求角的大小要搞清楚所求角与已知角之间的等量关系,本题涉及三角形
内角和定理、两直线平行,内错角相等,等量代换等知识和方法.
【关键词】 邻补角 内错角 互余 互补
9.某单位组织 34 人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育,到井冈山的人数是到瑞金的人
数的 2 倍多 1 人,求到两地的人数各是多少?设到井冈山的人数为 x 人,到瑞金的人数为 y
人,请列出满足题意的方程组是 .
【答案】 .
【考点解剖】 本题考查的是列二元一次方程组解应用题(不要求求出方程组的解),准
确找出数量之间的相等关系并能用代数式表示.
【解题思路】 这里有两个等量关系:井冈山人数+瑞金人数=34,井冈山人数=瑞金人数×2+1.
所以所列方程组为 .
【解答过程】 略.
【方法规律】 抓住关键词,找出等量关系
180 155 35° − ° = °
1 155∠ = ° 25BCD CDE∠ = ∠ = ° 65B∠ = °
+=
=+
12
,34
yx
yx
34,
2 1.
x y
x y
+ =
= +
【关键词】 列二元一次方程组
10.如图,矩形 ABCD 中,点 E、F 分别是 AB、CD 的中点,连接 DE 和 BF,分别取 DE、
BF 的中点 M、N,连接 AM,CN,MN,若 AB=2 ,BC=2 ,则图中阴影部分的面积
为 .
【答案】 2 .
【考点解剖】 本题考查了阴影部分面积的求法,涉及矩形的中心对称性、面积割补法、矩
形的面积计算公式等知识,解题思路方法多样,计算也并不复杂,若分别计算再相加,则耗
时耗力,仔细观察不难发现阴影部分的面积其实就是原矩形面积的一半(即 ),这种“整
体思想”事半功倍,所以平时要加强数学思想、方法的学习与积累.
【解题思路】 △BCN 与△ADM 全等,面积也相等,口 DFMN 与口 BEMN 的面积也相等,
所以阴影部分的面积其实就是原矩形面积的一半.
【解答过程】 ,即阴影部分的面积为 .
【方法规律】 仔细观察图形特点,搞清部分与整体的关系,把不规则的图形转化为规则的
来计算.
【关键词】 矩形的面积 二次根式的运算 整体思想
11.观察下列图形中点的个数,若按其规律再画下去,可以得到第 n 个图形中所有的个数为
(用含 n 的代数式表示).
【答案】 (n+1)2 .
【考点解剖】 本题考查学生的观察概括能力,发现规律,列代数式.
2 3
6
2 6
1 2 3 2 2 2 62
× × = 2 6
【解题思路】 找出点数的变化规律,先用具体的数字等式表示,再用含字母的式子表示.
【解答过程】 略.
【方法规律】 由图形的变化转化为数学式子的变化,加数为连续奇数,结果为加数个数的
平方.
【关键词】 找规律 连续奇数的和
12.若一个一元二次方程的两个根分别是 Rt△ABC 的两条直角边长,且 S△ABC=3,请写出一
个符合题意的一元二次方程 .
【答案】 x2-5x+6=0.
【考点解剖】 本题是道结论开放的题(答案不唯一),已知直角三角形的面积为 3(直角
边长未定),要写一个两根为直角边长的一元二次方程,我们尽量写边长为整数的情况(即
保证方程的根为整数),如直角边长分别为 2、3 的直角三角形的面积就是 3,以 2、3 为根
的一元二次方程为 ;也可以以 1、6 为直角边长,得方程为
.(求作一元二次方程,属“一元二次方程根与系数的关系”知识范畴,这种
题型在以前相对考得较少,有点偏了.)
【解题思路】 先确定两条符合条件的边长,再以它为根求作一元二次方程.
【解答过程】 略.
【方法规律】 求作方程可以用根与系数的关系,也可由因式分解法解一元二次方程.
【关键词】 直角三角形 根 求作方程
13.如图,□ABCD 与□DCFE 的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE 的度数
为 .
2 5 6 0x x− + =
2 7 6 0x x− + =
【答案】 25°.
【考点解剖】 本题考查了平行四边形的性质,等腰三角形的判定与性质.
【解题思路】 已知两个平行四边形的周长相等,且有公共边 CD,则有 AD=DE,即△ADE
为等腰三角形,顶角∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°,∴∠DAE=25°.
【解答过程】 ∵□ABCD 与□DCFE 的周长相等,且有公共边 CD,
∴AD=DE, ∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°.
∴∠DAE= .
【方法规律】 先要明确∠DAE 的身份(为等腰三角形的底角),要求底角必须知道另一角
的 度 数 , 分 别 将 ∠BAD=130° 转 化 为 ∠BCD=130°,∠F=110° 转 化 为 ∠DCF=70°, 从 而 求 得
∠ADE=∠BCF=130°.
【关键词】 平行四边形 等腰三角形 周长 求角度
14.平面内有四个点 A、O、B、C,其中∠AOB=120°,∠ACB=60°,AO=BO=2,则满足题意
的 OC 长度为整数的值可以是 .
【答案】2,3,4.
【考点解剖】 本题主要考查学生阅读理解能力、作图能力、联想力与思维的严谨性、周密
性,所涉及知识点有等腰三角形、圆的有关知识,分类讨论思想,不等式组的整数解,在运
动变化中抓住不变量的探究能力.
【解题思路】 由∠AOB=120°,AO=BO=2 画出一个顶角为 120°、腰长为 2 的等腰三角形,
由 与 互补, 是 的一半,点 C 是动点想到构造圆来解决此题.
1 1(180 ) 50 252 2ADE° − ∠ = × ° = °
60° 120° 60° 120°
【解答过程】
【方法规律】 构造恰当的图形是解决此类问题的关键.
【关键词】 圆 整数值
三、(本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分)
15.解不等式组 并将解集在数轴上表示出来.
【答案】解:由 x+2≥1 得 x≥-1,
由 2x+6-3x 得 x<3,∴不等式组的解集为-1≤x<3.
解集在数轴上表示如下:
【考点解剖】 本题考查不等式组的解法,以及解集在数轴上的表示方法.
【解题思路】 分别把两个不等式解出来,再取它们解集的公共部分得到不等式组的解集,
最后画出数轴表示出公共部分(不等式组的解集),注意空心点与实心点的区别.
【解答过程】
【方法规律】 要保证运算的准确度与速度,注意细节(不要搞错符号).
【关键词】 不等式组 数轴
16.如图 AB 是半圆的直径,图 1 中,点 C 在半圆外;图 2 中,点 C 在半圆内,请仅用无
刻度的直尺按要求画图.
(1)在图 1 中,画出△ABC 的三条高的交点;
(2)在图 2 中,画出△ABC 中 AB 边上的高.
【答案】 (1)如图 1,点 P 就是所求作的点;
(2)如图 2,CD 为 AB 边上的高.
>−+
≥+
,33)3(2
,12
xx
x
【考点解剖】 本题属创新作图题,是江西近年热点题型之一.考查考生对圆的性质的理解、
读图能力,题(1)是要作点,题(2)是要作高,都是要解决直角问题,用到的知识就是“直
径所对的圆周角为直角”.
【解题思路】 图 1 点 C 在圆外,要画三角形的高,就是要过点 B 作 AC 的垂线,过点 A
作 BC 的垂线,但题目限制了作图的工具(无刻度的直尺,只能作直线或连接线段),说明
必须用所给图形本身的性质来画图(这就是创新作图的魅力所在),作高就是要构造 90 度
角,显然由圆的直径就应联想到“直径所对的圆周角为 90 度”.设 AC 与圆的交点为 E, 连接
BE,就得到 AC 边上的高 BE;同理设 BC 与圆的交点为 D, 连接 AD,就得到 BC 边上的高 AD,
则 BE 与 AD 的交点就是△ABC 的三条高的交点;题(2)是题(1)的拓展、升华,三角形
的三条高相交于一点,受题(1)的启发,我们能够作出△ABC 的三条高的交点 P,再作射
线 PC 与 AB 交于点 D,则 CD 就是所求作的 AB 边上的高.
【解答过程】 略.
【方法规律】 认真分析揣摩所给图形的信息,结合题目要求思考.
【关键词】 创新作图 圆 三角形的高
四、(本大题共 2 小题,每小题 6 分,共 12 分)
17.先化简,再求值: ,在 0,1,2,三个数中选一个合适的,
代入求值.
【答案】解:原式= · +1 = = .
当 x=1 时,原式= .
12
2
44
2
22
+−÷+−
x
xx
x
xx
x
x
2
)2( 2−
)2(
2
−xx
x 2 12
x − +
2
x
2
1
【考点解剖】 本题考查的是分式的化简求值,涉及因式分解,约分等运算知识,要求考生
具有比较娴熟的运算技能,化简后要从三个数中选一个数代入求值,又考查了考生的细心答
题的态度,这个陷阱隐蔽但不刁钻,看到分式,必然要注意分式成立的条件.
【解题思路】 先将分式的分子分母因式分解,再将除法运算转化为乘法运算,约分后得到
,可通分得 ,也可将 化为 求解.
【解答过程】 略.
【方法规律】 根据式子的特点选用恰当的解题顺序和解题方法.
【关键词】 分式 化简求值
18.甲、乙、丙 3 人聚会,每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物(里面的东西只有
颜色不同),将 3 件礼物放在一起,每人从中随机抽取一件.
(1)下列事件是必然事件的是( ).
A.乙抽到一件礼物 B.乙恰好抽到自己带来的礼物
C.乙没有抽到自己带来的礼物 D.只有乙抽到自己带来的礼物
(2)甲、乙、丙 3 人抽到的都不是自己带来的礼物(记为事件 A),请列出事件 A 的所
有可能的结果,并求事件 A 的概率.
【答案】(1)A .
(2)依题意画树状图如下:
从上图可知,所有等可能结果共有 6 种,其中第 4、5 种结果符合,∴P(A)=
= .
【考点解剖】 本题为概率题,考查了对“随机事件”、“必然事件”两个概念的理解,画树形
图或表格列举所有等可能结果的方法.
【解题思路】 (1)是选择题,根据必然事件的定义可知选 A;(2)三个人抽取三件礼物,
恰好每人一件,所有可能结果如上图所示为 6 种,其中只有第 4、5 种结果符合,∴P(A)= =
2 12
x − + 2 2 212 2 2 2
x x x− −+ = + = 2
2
x −
12
x −
6
2
3
1
6
2
;也可以用直接列举法:甲从三个礼物中抽到的礼物恰好不是自己的只有两种,要么是
乙的要么是丙的,若甲抽到乙的,乙必须抽到丙的才符合题意;若甲抽到的是丙的,乙必须
抽到甲的才符合题意,∴P(A) = .
【解答过程】 略.
【方法规律】 要正确理解题意,画树形图列举所有可能结果,本质就是一种分类,首先要
明确分类的对象,再要确定分类的标准和顺序,实现不重不漏.
【关键词】 必然事件 概率 抽取礼物
五、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,共 16 分)
19.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数 (x>0)的图象和矩形 ABCD 的第一象限,
AD 平行于 x 轴,且 AB=2,AD=4,点 A 的坐标为(2,6) .
(1)直接写出 B、C、D 三点的坐标;
(2)若将矩形向下平移,矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上,猜想这是
哪两个点,并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式.
【答案】(1)B(2,4),C(6,4),D(6,6).
(2)如图,矩形 ABCD 向下平移后得到矩形 ,
设平移距离为 a,则 A′(2,6-a),C′(6,4-a)
3
1
3
1
x
ky =
' ' ' 'A B C D
∵点 A′,点 C′在 y= 的图象上,
∴2(6-a)=6(4-a),
解得 a=3,
∴点 A′(2,3),
∴反比例函数的解析式为 y= .
【考点解剖】 本题以矩形为背景考查用待定系数法求反比例函数的解析式.
【解题思路】 先根据矩形的对边平行且相等的性质得到 B、C、D 三点的坐标,再从矩形
的平移过程发现只有 A、C 两点能同时在双曲线上(这是种合情推理,不必证明),把 A、
C 两点坐标代入 y= 中,得到关于 a、k 的方程组从而求得 k 的值.
【解答过程】 略.
【方法规律】 把线段的长转化为点的坐标,在求 k 的值的时候,由于 k 的值等于点的横坐
标与纵坐标之积,所以直接可得方程 2(6-a)=6(4-a),求出 a 后再由坐标求 k,实际上也可
把 A、C 两点坐标代入 y= 中,得到关于 a、k 的方程组从而直接求得 k 的值.
【关键词】 矩形 反比例函数 待定系数法
20.生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉,造成极大的浪费,为此数学兴趣小组的同学对某
单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查,为期半天的会议中,每人发一瓶 500ml
的矿泉水,会后对所发矿泉水喝的情况进行统计,大至可分为四种:A.全部喝完;B.喝
剩约 ;C.喝剩约一半;D.开瓶但基本未喝.同学们根据统计结果绘制如下两个统计图,
根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)参加这次会议的有多少人?在图(2)中 D 所在扇形的圆心角是多少度?并补全条
形统计图;(计算结果请保留整数).
(2)若开瓶但基本未喝算全部浪费,试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多少毫升?
(3)据不完全统计,该单位每年约有此类会议 60 次,每次会议人数约在 40 至 60 人之
x
k
6
x
x
k
x
k
3
1
间,请用(2)中计算的结果,估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉水(500ml/瓶)约
有多少瓶?(可使用科学计算器)
【答案】(1)根据所给扇形统计图可知,喝剩约 的人数是总人数的 50%,
∴25÷50%=50,参加这次会议的总人数为 50 人,
∵ ×360°=36°,
∴D 所在扇形圆心角的度数为 36°,
补全条形统计图如下;
(2)根据条形统计图可得平均每人浪费矿泉水量约为:
(25× ×500+10×500× +5×500)÷50
= ÷50≈183 毫升;
(3)该单位每年参加此类会议的总人数约为 24000 人~3600 人,则浪费矿泉水约为
3000×183÷500=1098 瓶.
【考点解剖】 本题考查的是统计初步知识,条形统计图与扇形统计图信息互补,文字量大,
要求考生具有比较强的阅读理解能力.本题所设置的问题比较新颖,并不是象传统考试直接
叫你求平均数、中位数、众数或方差,而是换一种说法,但考查的本质仍然为求加权平均数、
以样本特性估计总体特性.显然这对考生的能力要求是非常高的.
【解题思路】 (1)由扇形统计图可看出 B 类占了整个圆的一半即 50%(遗憾的是扇形中
没有用具体的数字(百分比)表示出来,这是一种很不严谨的命题失误),从条形统计图又
知 B 类共 25 人,这样已知部分数的百分比就可以求出总人数,而 D 类有 5 人,已知部分数
和总数可以求出 D 类所占总数百分比,再由百分比确定所占圆的圆心角的度数;已知总人
数和 A、B、D 类的人数可求出 C 类的人数为 10 人,将条形统计图中补完整;(2)用总的
浪费量除以总人数 50 就得到平均每人的浪费量;(3)每年开 60 次会,每次会议将有 40
3
1
50
5
3
1
2
1
3
27500
至 60 人参加,这样折中取平均数算一年将有 3000 人参加会议,用 3000 乘以(2)中的结果
(平均每人的浪费量),得到一年总的浪费量,再转换成瓶数即可.
【解答过程】 略.
【方法规律】 能从实际问题中抽出数学问题,从题中抽出关键词即要弄清已知什么,要求
什么(不要被其它无关信息干扰).
【关键词】 矿泉水 统计初步
六、(本大题共 2 小题,每小题 9 分,共 18 分)
21.如图 1,一辆汽车的背面,有一种特殊形状的刮雨器,忽略刮雨器的宽度可抽象为一条
折线 OAB,如图 2 所示,量得连杆 OA 长为 10cm,雨刮杆 AB 长为 48cm,∠OAB=120°.若
启动一次刮雨器,雨刮杆 AB 正好扫到水平线 CD 的位置,如图 3 所示.
(1)求雨刮杆 AB 旋转的最大角度及 O、B 两点之间的距离;(结果精确到 0.01)
(2)求雨刮杆 AB 扫过的最大面积.(结果保留 π 的整数倍)
(参考数据:sin60°= ,cos60°= ,tan60°= , ≈26.851,可使用科学计算器)
【答案】解:(1)雨刮杆 AB 旋转的最大角度为 180° .
连接 OB,过 O 点作 AB 的垂线交 BA 的延长线于 EH,
∵∠OAB=120°,
∴∠OAE=60°
在 Rt△OAE 中,
∵∠OAE=60°,OA=10,
∴sin∠OAE= = ,
∴OE=5 ,
∴AE=5.
∴EB=AE+AB=53,
在 Rt△OEB 中,
2
3
2
1 3 721
OA
OE
10
OE
3
∵OE=5 ,EB=53,
∴OB= = =2 ≈53.70;
(2)∵雨刮杆 AB 旋转 180°得到 CD,即△OCD 与△OAB 关于点 O 中心对称,
∴△BAO≌△OCD,∴S△BAO=S△OCD,
∴雨刮杆 AB 扫过的最大面积 S= π(OB2-OA2)
=1392π.
【考点解剖】 本题考查的是解直角三角形的应用,以及扇形面积的求法,难点是考生缺乏
生活经验,弄不懂题意(提供的实物图也不够清晰,人为造成一定的理解困难).
【解题思路】 将实际问题转化为数学问题,(1)AB 旋转的最大角度为 180°;在△OAB
中,已知两边及其夹角,可求出另外两角和一边,只不过它不是直角三角形,需要转化为直
角三角形来求解,由∠OAB=120°想到作 AB 边上的高,得到一个含 60°角的 Rt△OAE 和一个
非特殊角的 Rt△OEB.在 Rt△OAE 中,已知∠OAE=60°,斜边 OA=10,可求出 OE、AE 的长,
进而求得 Rt△OEB 中 EB 的长,再由勾股定理求出斜边 OB 的长;(2)雨刮杆 AB 扫过的最
大面积就是一个半圆环的面积(以 OB、OA 为半径的半圆面积之差).
【解答过程】 略.
【方法规律】 将斜三角形转化为直角三角形求解.在直角三角形中,已知两边或一边一角
都可求出其余的量.
【关键词】 刮雨器 三角函数 解直角三角形 中心对称 扇形的面积
22.如图,在平面直角坐标系中,以点 O 为圆心,半径为 2 的圆与 y 轴交于点 A,点 P(4,
2)是⊙O 外一点,连接 AP,直线 PB 与⊙O 相切于点 B,交 x 轴于点 C.
(1)证明 PA 是⊙O 的切线;
(2)求点 B 的坐标;
(3)求直线 AB 的解析式.
3
22 BEOE + 2884 721
2
1
【答案】(1)证明:依题意可知,A(0,2)
∵A(0,2),P(4,2),
∴AP∥x 轴 .
∴∠OAP=90°,且点 A 在⊙O 上,
∴PA 是⊙O 的切线;
(2)解法一:连接 OP,OB,作 PE⊥x 轴于点 E,BD⊥x 轴于点 D,
∵PB 切⊙O 于点 B,
∴∠OBP=90°,即∠OBP=∠PEC,
又∵OB=PE=2,∠OCB=∠PEC.
∴△OBC≌△PEC.
∴OC=PC.
(或证 Rt△OAP≌△OBP,再得到 OC=PC 也可)
设 OC=PC=x,
则有 OE=AP=4,CE=OE-OC=4-x,
在 Rt△PCE 中,∵PC2=CE2+PE2,
∴x2=(4-x)2+22,解得 x= ,…………………… 4 分
∴BC=CE=4- = ,
∵ OB·BC= OC·BD,即 ×2× = × ×BD,∴BD= .
∴OD= = = ,
2
5
2
5
2
3
2
1
2
1
2
1
2
3
2
1
2
5
5
6
22 BDOB −
25
364 −
5
8
由点 B 在第四象限可知 B( , );
解法二:连接 OP,OB,作 PE⊥x 轴于点 E,BD⊥y 轴于点 D,
∵PB 切⊙O 于点 B
∴∠OBP=90°即∠OBP=∠PEC.
又∵OB=PE=2,∠OCB=∠PEC,
∴△OBC≌△PEC.
∴OC=PC(或证 Rt△OAP≌△OBP,再得到 OC=PC 也可)
设 OC=PC=x,
则有 OE=AP=4,CE=OE-OC=4-x,
在 Rt△PCE 中,∵PC2=CE2+PE2,
∴x2=(4-x)2+22,解得 x= ,……………………………… 4 分
∴BC=CE=4- = ,
∵BD∥x 轴,
∴∠COB=∠OBD,
又∵∠OBC=∠BDO=90°,
∴△OBC∽△BDO, ∴ = = ,
即 = = .
∴BD= ,OD= .
5
8
5
6−
2
5
2
5
2
3
BD
OB
OD
CB
BO
OC
BD
2
BD
2
3
2
2
5
5
8
5
6
由点 B 在第四象限可知 B( , );
(3)设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,
由 A(0,2),B( , ),可得 ;
解得 ∴直线 AB 的解析式为 y=-2x+2.
【考点解剖】 本题考查了切线的判定、全等、相似、勾股定理、等面积法求边长、点的坐
标、待定系数法求函数解析式等.
【解题思路】(1) 点 A 在圆上,要证 PA 是圆的切线,只要证 PA⊥OA(∠OAP=90°)即可,
由 A、P 两点纵坐标相等可得 AP∥x 轴,所以有∠OAP+∠AOC=180°得∠OAP=90°;(2) 要
求点 B 的坐标,根据坐标的意义,就是要求出点 B 到 x 轴、y 轴的距离,自然想到构造
Rt△OBD,由 PB 又是⊙O 的切线,得 Rt△OAP≌△OBP,从而得△OPC 为等腰三角形,在
Rt△PCE 中, PE=OA=2, PC+CE=OE=4,列出关于 CE 的方程可求出 CE、OC 的长,△OBC 的
三边的长知道了,就可求出高 BD,再求 OD 即可求得点 B 的坐标;(3)已知点 A、点 B 的
坐标用待定系数法可求出直线 AB 的解析式.
【解答过程】 略.
【方法规律】 从整体把握图形,找全等、相似、等腰三角形;求线段的长要从局部入手,
若是直角三角形则用勾股定理,若是相似则用比例式求,要掌握一些求线段长的常用思路和
方法.
【关键词】 切线 点的坐标 待定系数法求解析式
七、(本大题共 2 小题,第 23 题 10 分,第 24 题 12 分,共 22 分)
23.某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:
●操作发现:
在等腰△ABC 中,AB=AC,分别以 AB 和 AC 为斜边,向△ABC 的外侧作等腰直角三
角形,如图 1 所示,其中 DF⊥AB 于点 F,EG⊥AC 于点 G,M 是 BC 的中点,连接 MD
和 ME,则下列结论正确的是 (填序号即可)
①AF=AG= AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④∠DAB=∠DMB.
●数学思考:
5
8
5
6−
5
8
5
6−
−=+
=
5
6
5
8
,2
bk
b
−=
=
,2
,2
k
b
2
1
在任意△ABC 中,分别以 AB 和 AC 为斜边,向△ABC 的外侧作等腰直角三角形,如
图 2 所示,M 是 BC 的中点,连接 MD 和 ME,则 MD 和 ME 具有怎样的数量和位置
关系?请给出证明过程;
●类比探索:
在任意△ABC 中,仍分别以 AB 和 AC 为斜边,向△ABC 的内侧作等腰直角三角形,
如图 3 所示,M 是 BC 的中点,连接 MD 和 ME,试判断△MED 的形状.
答: .
【答案】 解:
●操作发现:①②③④
●数学思考:
答:MD=ME,MD⊥ME,
1、MD=ME;
如图 2,分别取 AB,AC 的中点 F,G,连接 DF,MF,MG,EG,
∵M 是 BC 的中点,
∴MF∥AC,MF= AC.
又∵EG 是等腰 Rt△AEC 斜边上的中线,
∴EG⊥AC 且 EG= AC,
∴MF=EG.
同理可证 DF=MG.
∵MF∥AC,
∴∠MFA+∠BAC=180°.
同理可得∠MGA+∠BAC=180°,
∴∠MFA=∠MGA.
又∵EG⊥AC,∴∠EGA=90°.
2
1
2
1
同理可得∠DFA=90°,
∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA,
即∠DFM=∠MEG,又 MF=EG,DF=MG,
∴△DFM≌△MGE(SAS),
∴MD=ME.
2、MD⊥ME;
证法一:∵MG∥AB,
∴∠MFA+∠FMG=180°,
又∵△DFM≌△MGE,∴∠MEG=∠MDF.
∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°,
其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°,
∴∠DME=90°.
即 MD⊥ME;
证法二:如图 2,MD 与 AB 交于点 H,
∵AB∥MG,
∴∠DHA=∠DMG,
又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH,
即∠DHA=∠FDM+90°,
∵∠DMG=∠DME+∠GME,
∴∠DME=90°
即 MD⊥ME;
●类比探究
答:等腰直角三解形
【考点解剖】 本题考查了轴对称、三角形中位线、平行四边形、直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半、全等、角的转化等知识,能力要求很高.
【解题思路】 (1) 由图形的对称性易知①、②、③都正确,④∠DAB=∠DMB=45°也正
确;(2)直觉告诉我们 MD 和 ME 是垂直且相等的关系,一般由全等证线段相等,受图
1△DFM≌△MGE 的启发,应想到取中点构造全等来证 MD=ME,证 MD⊥ME 就是要证
∠DME=90°,由△DFM≌△MGE 得∠EMG=∠MDF, △DFM 中四个角相加为 180°,∠FMG 可看
成三个角的和,通过变形计算可得∠DME=90°. (3)只要结论,不要过程,在(2)的基
础易知为等腰直角三解形.
【解答过程】 略.
【方法规律】 由特殊到一般,形变但本质不变(仍然全等)
【关键词】 课题学习 全等 开放探究
24.已知抛物线抛物线 y n=-(x-an)2+an(n 为正整数,且 00,
∴a1=1.
即 y1=―(x―1)2+1
方法一:令 y1=0 代入得:―(x―1)2+1=0,
∴x1=0,x2=2,
∴y1 与 x 轴交于 A0(0,0),A1(2,0)
∴b1=2,
方法二:∵y1=―(x―a1)2+a1 与 x 轴交于点 A0(0,0),
∴―(b1―1)2+1=0,b1=2 或 0,b1=0(舍去).
∴b1=2.
又∵抛物线 y2=―(x―a2)2+a2 与 x 轴交于点 A1(2,0),
∴―(2―a2)2+ a2=0,
∴a2=1 或 4,∵a2> a1,∴a2=1(舍去).
∴取 a2=4,抛物线 y2=―(x―4)2+4.
(2)(9,9);
(n2,n2)
y=x.
详解如下:
∵抛物线 y2=―(x―4)2+4 令 y2=0 代入得:―(x―4)2+4=0,
∴x1=2,x2=6.
∴y2 与 x 轴交于点 A1(2,0),A2(6,0).
又∵抛物线 y3=―(x―a3)2+a3 与 x 轴交于 A2(6,0),
∴―(6―a3)2+a3=0
∴a3=4 或 9,∵a3> a3,∴a3=4(舍去),
即 a3=9,∴抛物线 y3 的顶点坐标为(9,9).
由抛物线 y1 的顶点坐标为(1,1),y2 的顶点坐标为(4,4),y3 的顶点坐标为(9,9),
依次类推抛物线 yn 的顶点坐标为(n2,n2).
∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标,
∴顶点坐标满足的函数关系式是:y= x;
③∵A0(0,0),A1(2,0),
∴A0 A1=2.
又∵yn=―(x―n2)2+n2,
令 yn=0,
∴―(x―n2)2+n2=0,
即 x1=n2+n,x2=n2-n,
∴A n-1(n2-n,0),A n(n2+n,0),即 A n-1 A n=( n2+n)-( n2-n)=2 n.
②存在.是平行于直线 y=x 且过 A1(2,0)的直线,其表达式为 y=x-2.
【考点解剖】 本题考查了二次函数的一般知识,求字母系数、解析式、顶点坐标;字母表
示数(符号意识),数形结合思想,规律探究,合情推理,解题方法的灵活性等等,更重要
的是一种胆识和魄力,敢不敢动手,会不会从简单,从特殊值入手去探究一般规律,画一画
图帮助思考,所有这些都是做学问所必需的品质和素养,也是新课程改革所倡导的精神和最
高境界.
【解题思路】 (1)将 A0 坐标代入 y1 的解析式可求得 a1 的值;a1 的值知道了 y1 的解析式
也就确定了,已知抛物线就可求出 b1 的值,又把(b1,0)代入 y2,可求出 a2 ,即得 y2 的
解析式;(2)用同样的方法可求得 a3 、a4 、a5 ……由此得到规律 ,所以顶点坐
标满足的函数关系式是:y= x;(3)由(2)可知 得
; 最后一问我们会猜测这是与直线 y=x 平行且过 A(2,0)的一条直线,用特
2
na n=
0 1 1 2 2 32, 4, 6A A A A A A= = =
1 2n nA A n− =
殊值法取 得 和 ,得所截得的线段长度为 ,换一
组抛物线试试,求出的值也为 (当然用字母来运算就是解 得
和 ,求得所截得的线段长度也为 ).
【解答过程】 略.
【方法规律】 掌握基础(知识),灵活运用(方法),敢于动手,不畏艰难.
【关键词】 二次函数 抛物线 规律探究
2( 4) 4,
2
y x
y x
= − − +
= −
1
1
2,
0
x
y
=
=
2
2
5,
3
x
y
=
=
3 2
3 2
2 2 2( ) ,
2
y x n n
y x
= − − +
= −
2
1
2
1
1,
1
x n
y n
= + = −
2
2
2
2
2,
4
x n
y n
= − = −
3 2