2013年湖北省襄阳市中考数学试题（含答案）

2013年湖北省襄阳市中考数学试题（含答案）

‎2013年湖北省襄阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（3*12=36分）‎ ‎1．（3分）（2013•襄阳）2的相反数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣2‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 相反数．3801346‎ 分析：‎ 根据相反数的表示方法：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．‎ 解答：‎ 解：2的相反数是﹣2．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•襄阳）四川芦山发生7.0级地震后，一周内，通过铁路部门已运送救灾物资15810吨，将15810吨，将15180用科学记数法表示为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1.581×103‎ B．‎ ‎1.581×104‎ C．‎ ‎15.81×103‎ D．‎ ‎15.81×104‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．3801346‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：15180=1.581×104，‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•襄阳）下列运算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4a﹣a=3‎ B．‎ a•a2=a3‎ C．‎ ‎（﹣a3）2=a5‎ D．‎ a6÷a2=a3‎ 考点：‎ 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．3801346‎ 分析：‎ 根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．‎ 解答：‎ 解：A、4a﹣a=3a，选项错误；‎ B、正确；‎ C、（﹣a3）2=a6，选项错误；‎ D、a6÷a2=a4，选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•襄阳）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎60°‎ B．‎ ‎70°‎ C．‎ ‎80°‎ D．‎ ‎90°‎ 考点：‎ 三角形的外角性质．3801346‎ 分析：‎ 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知∠ACD=∠A+∠B，从而求出∠A的度数．‎ 解答：‎ 解：∵∠ACD=∠A+∠B，‎ ‎∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣40°=80°．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查三角形外角的性质，解答的关键是沟通外角和内角的关系．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•襄阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．3801346‎ 分析：‎ 根据不等式组的解法求出不等式组的解集，再根据＞，≥向右画；＜，≤向左画，在数轴上表示出来，从而得出正确答案．‎ 解答：‎ 解：，‎ 由①得：x≤1，‎ 由②得：x＞﹣3，‎ 则不等式组的解集是﹣3＜x≤1；‎ 故选D．‎ 点评：‎ 此题考查了一元一次不等式组的解法和在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•襄阳）如图，BD平分∠ABC，CD∥AB，若∠BCD=70°，则∠ABD的度数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎55°‎ B．‎ ‎50°‎ C．‎ ‎45°‎ D．‎ ‎40°‎ 考点：‎ 平行线的性质．3801346‎ 分析：‎ 首先根据平行线的性质可得∠ABC+∠DCB=180°，进而得到∠BCD的度数，再根据角平分线的性质可得答案．‎ 解答：‎ 解：∵CD∥AB，‎ ‎∴∠ABC+∠DCB=180°，‎ ‎∵∠BCD=70°，‎ ‎∴∠ABC=180°﹣70°=110°，‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABD=55°，‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了平行线的性质以及角平分线定义，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•襄阳）分式方程的解为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x=3‎ B．‎ x=2‎ C．‎ x=1‎ D．‎ x=﹣1‎ 考点：‎ 解分式方程．3801346‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ 解答：‎ 解：去分母得：x+1=2x，‎ 解得：x=1，‎ 经检验x=1是分式方程的解．‎ 故选C 点评：‎ 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•襄阳）如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则不同的视图是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单组合体的三视图．3801346‎ 分析：‎ 判断出组合体的左视图、主视图及俯视图，即可作出判断．‎ 解答：‎ 解：几何体的左视图和主视图是相同的，则不同的视图是俯视图，俯视图是D选项所给的图形．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，注意理解三视图观察的方向．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•襄阳）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎18‎ B．‎ ‎28‎ C．‎ ‎36‎ D．‎ ‎46‎ 考点：‎ 平行四边形的性质．3801346‎ 分析：‎ 由平行四边形的性质和已知条件计算即可，解题注意求平行四边形ABCD的两条对角线的和时要把两条对角线可作一个整体．‎ 解答：‎ 解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=CD=5，‎ ‎∵△OCD的周长为23，‎ ‎∴OD+OC=23﹣5=18，‎ ‎∵BD=2DO，AC=2OC，‎ ‎∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2（DO+OC）=36，‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形的基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•襄阳）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ y1≤y2‎ B．‎ y1＜y2‎ C．‎ y1≥y2‎ D．‎ y1＞y2‎ 考点：‎ 二次函数图象上点的坐标特征．3801346‎ 分析：‎ 对于二次函数y=﹣x2+bx+c，根据a＜0，抛物线开口向下，在x＜0的分支上y随x的增大而增大，故y1＜y2．‎ 解答：‎ 解：∵a＜0，x1＜x2＜1，‎ ‎∴y随x的增大而增大 ‎∴y1＜y2．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，本题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2013•襄阳）七年级学生完成课题学习“从数据谈节水”后，积极践行“节约用水，从我做起”，下表是从七年级400名学生中选出10名学生统计各自家庭一个月的节水情况：‎ 节水量（m3）‎ ‎0.2‎ ‎0.25‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.5‎ 家庭数（个）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎1‎ 那么这组数据的众数和平均数分别是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎0.4和0.34‎ B．‎ ‎0.4和0.3‎ C．‎ ‎0.25和0.34‎ D．‎ ‎0.25和0.3‎ 考点：‎ 众数；加权平均数．3801346‎ 分析：‎ 根据众数及平均数的定义，结合表格信息即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：将数据从新排列为：0.2，0.25，0.25，0.3，0.3，0.4，0.4，0.4，0.4，0.5，‎ 则中位数为：0.4；‎ 平均数为：（0.2+0.25+0.25+0.3+0.3+0.4+0.4+0.4+0.4+0.5）=0.34．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了众数及平均数的知识，解答本题的关键是熟练掌握中位数及平均数的定义．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•襄阳）如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E、B，E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为π，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 扇形面积的计算；弧长的计算．3801346‎ 分析：‎ 首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，利用S△ABC﹣S扇形BOE=图中阴影部分的面积求出即可．‎ 解答：‎ 解：连接BD，BE，BO，EO，‎ ‎∵B，E是半圆弧的三等分点，‎ ‎∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，‎ ‎∴∠BAC=30°，‎ ‎∵弧BE的长为π，‎ ‎∴=π，‎ 解得：R=2，‎ ‎∴AB=ADcos30°=2，‎ ‎∴BC=AB=，‎ ‎∴AC==3，‎ ‎∴S△ABC=×BC×AC=××3=，‎ ‎∵△BOE和△ABE同底等高，‎ ‎∴△BOE和△ABE面积相等，‎ ‎∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE=﹣=﹣．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出∴△BOE和△ABE面积相等是解题关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（3*5=15分）‎ ‎13．（3分）（2013•襄阳）计算：|﹣3|+=　4　．‎ 考点：‎ 实数的运算；零指数幂．3801346‎ 分析：‎ 分别进行绝对值及零指数幂的运算，然后合并即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：原式=3+1‎ ‎=4．‎ 故答案为：4．‎ 点评：‎ 本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂绝对值，掌握各部分的运算法则是关键．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•襄阳）使代数式有意义的x的取值范围是　x≥且x≠3　．‎ 考点：‎ 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．3801346‎ 分析：‎ 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：根据题意得，2x﹣1≥0且3﹣x≠0，‎ 解得x≥且x≠3．‎ 故答案为：x≥且x≠3．‎ 点评：‎ 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2013•襄阳）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为　0.2　 m．‎ 考点：‎ 垂径定理的应用；勾股定理．3801346‎ 分析：‎ 过O作OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB的中点，在直角三角形AOC中，由水面高度与半径求出OC的长，即可得出排水管内水的深度．‎ 解答：‎ 解：过O作OC⊥AB，交AB于点C，可得出AC=BC=AB=0.4m，‎ 由直径是1m，半径为0.5m，‎ 在Rt△AOC中，根据勾股定理得：OC===0.3（m），‎ 则排水管内水的深度为：0.5﹣0.3=0.2（m）．‎ 故答案为：0.2．‎ 点评：‎ 此题考查了垂径定理的应用，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2013•襄阳）襄阳市辖区内旅游景点较多，李老师和刚初中毕业的儿子准备到古隆中、水镜庄、黄家湾三个景点去游玩．如果他们各自在这三个景点中任选一个作为游玩的第一站（每个景点被选为第一站的可能性相同），那么他们都选择古隆中为第一站的概率是　　．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法．3801346‎ 专题：‎ 图表型．‎ 分析：‎ 可以看做是李老师先选择第一站，然后儿子再进行选择，画出树状图，再根据概率公式解答．‎ 解答：‎ 解：李老师先选择，然后儿子选择，‎ 画出树状图如下：‎ 一共有9种情况，都选择古隆中为第一站的有1种情况，‎ 所以，P（都选择古隆中为第一站）=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2013•襄阳）在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是　6或2　．‎ 考点：‎ 图形的剪拼；勾股定理．3801346‎ 分析：‎ 先根据题意画出图形，此题要分两种情况，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可求出斜边的长．‎ 解答：‎ 解：①如图所示：‎ ‎，‎ 连接CD，‎ CD==，‎ ‎∵D为AB中点，‎ ‎∴AB=2CD=2；‎ ‎②如图所示：‎ ‎，‎ 连接EF，‎ EF==3，‎ ‎∵E为AB中点，‎ ‎∴AB=2EF=6，‎ 故答案为：6或2．‎ 点评：‎ 此题考查了图形的剪拼，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解．‎ ‎　‎ 三、解答题（69分）‎ ‎18．（6分）（2013•襄阳）先化简，再求值：，其中，a=1+，b=1﹣．‎ 考点：‎ 分式的化简求值．3801346‎ 分析：‎ 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可 解答：‎ 解：原式=÷‎ ‎=÷‎ ‎=×‎ ‎=﹣，‎ 当a=1+，b=1﹣时，原式=﹣=﹣=﹣．‎ 点评：‎ 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）（2013•襄阳）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼上的C处测得旗杆低端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，如旗杆与教学楼的水平距离CD为9m，则旗杆的高度是多少？（结果保留根号）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．3801346‎ 分析：‎ 根据在Rt△ACD中，tan∠ACD=，求出AD的值，再根据在Rt△BCD中，tan∠BCD=，求出BD的值，最后根据AB=AD+BD，即可求出答案．‎ 解答：‎ 解：在Rt△ACD中，‎ ‎∵tan∠ACD=，‎ ‎∴tan30°=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AD=3m，‎ 在Rt△BCD中，‎ ‎∵tan∠BCD=，‎ ‎∴tan45°=，‎ ‎∴BD=9m，‎ ‎∴AB=AD+BD=3+9（m）．‎ 答：旗杆的高度是（3+9）m．‎ 点评：‎ 此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎20．（6分）（2013•襄阳）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．‎ ‎（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？‎ ‎（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？‎ 考点：‎ 一元二次方程的应用．3801346‎ 分析：‎ ‎（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出x，‎ ‎（2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数．‎ 解答：‎ 解：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，‎ ‎1+x+x（x+1）=64‎ x=7或x=﹣9（舍去）．‎ 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人；‎ ‎（2）64×7=448（人）．‎ 答：第三轮将又有448人被传染．‎ 点评：‎ 本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键．‎ ‎　‎ ‎21．（6分）（2013•襄阳）某中学为了预测本校应届毕业女生“一分钟跳绳”项目考试情况，从九年级随机抽取部分女生进行该项目测试，并以测试数据为样本，绘制出如图10所示的部分频数分布直方图（从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图．‎ 根据统计图提供的信息解答下列问题：‎ ‎（1）补全频数分布直方图，并指出这个样本数据的中位数落在第　三　小组；‎ ‎（2）若测试九年级女生“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀，本校九年级女生共有260人，请估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数；‎ ‎（3）如测试九年级女生“一分钟跳绳”次数不低于170次的成绩为满分，在这个样本中，从成绩为优秀的女生中任选一人，她的成绩为满分的概率是多少？‎ 考点：‎ 频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数；概率公式．3801346‎ 分析：‎ ‎（1）首先求得总人数，然后求得第四组的人数，即可作出统计图；‎ ‎（2）利用总人数260乘以所占的比例即可求解；‎ ‎（3）利用概率公式即可求解．‎ 解答：‎ 解：（1）总人数是：10÷20%=50（人），‎ 第四组的人数是：50﹣4﹣10﹣16﹣6﹣4=10，‎ ‎，‎ 中位数位于第三组；‎ ‎（2）该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数是：×260=104（人）；‎ ‎（3）成绩是优秀的人数是：10+6+4=20（人），‎ 成绩为满分的人数是4，则从成绩为优秀的女生中任选一人，她的成绩为满分的概率是=0.2．‎ 点评：‎ 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 ‎　‎ ‎22．（6分）（2013•襄阳）平行四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（﹣4，0），B（2，0），C（3，3）反比例函数y=的图象经过点C．‎ ‎（1）求此反比例函数的解析式；‎ ‎（2）将平行四边形ABCD沿x轴翻折得到平行四边形AD′C′B，请你通过计算说明点D′在双曲线上；‎ ‎（3）请你画出△AD′C，并求出它的面积．‎ 考点：‎ 反比例函数综合题．3801346‎ 分析：‎ ‎（1）把点C（3，3）代入反比例函数y=，求出m，即可求出解析式；‎ ‎（2）过C作CE⊥x轴于点E，过D作DF⊥x轴于点F，则△CBE≌△DAF，根据线段之间的数量关系进一步求出点D的坐标，再点D′与点D关于x轴对称，求出D′坐标，进而判断点D′是不是在双曲线；‎ ‎（3）根据C（3，3），D′（﹣3，﹣3）得到点C和点D′关于原点O中心对称，进一步得出D′O=CO=D′C，由S△AD′C=2S△AOC=2×AO•CE求出面积的值．‎ 解答：‎ 解：（1）∵点C（3，3）在反比例函数y=的图象上，‎ ‎∴3=，‎ ‎∴m=9，‎ ‎∴反比例函数的解析式为y=；‎ ‎（2）过C作CE⊥x轴于点E，过D作DF⊥x轴于点F，则△CBE≌△DAF，‎ ‎∴AF=BE，DF=CE，‎ ‎∵A（﹣4，0），B（2，0），C（3，3），‎ ‎∴DF=CE=3，OA=4，OE=3，OB=2，‎ ‎∴OF=OA﹣AF=OA﹣BE=OA﹣（OE﹣OB）=4﹣（3﹣2）=3，‎ ‎∴D（﹣3，3），‎ ‎∵点D′与点D关于x轴对称，‎ ‎∴D′（﹣3，﹣3），‎ 把x=﹣3代入y=得，y=﹣3，‎ ‎∴点D′在双曲线上；‎ ‎（3）∵C（3，3），D′（﹣3，﹣3），‎ ‎∴点C和点D′关于原点O中心对称，‎ ‎∴D′O=CO=D′C，‎ ‎∴S△AD′C=2S△AOC=2×AO•CE=2××4×3=12，‎ 即S△AD′C=12．‎ 点评：‎ 本题主要考查反比例函数综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及点的对称性等知识点，此题难度不大，是一道不错的中考试题．‎ ‎　‎ ‎23．（7分）（2013•襄阳）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．‎ ‎（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；‎ ‎（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．‎ ‎①当旋转角为　60　度时，边AD′落在AE上；‎ ‎②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；旋转的性质．3801346‎ 专题：‎ 几何综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，然后求出∠BAE=∠DAC，再利用“边角边”证明△BAE和△DAC全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；‎ ‎（2）①求出∠DAE，即可得到旋转角度数；‎ ‎②当AC=2AB时，△BDD′与△CPD′全等．根据旋转的性质可得AB=BD=DD′=AD′，然后得到四边形ABDD′是菱形，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ABD′=∠DBD′=30°，菱形的对边平行可得DP∥BC，根据等边三角形的性质求出AC=AE，∠ACE=60°，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出∠PCD′=∠ACD′=30°，从而得到∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PD′C=30°，然后利用“角边角”证明△BDD′与△CPD′全等．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形．‎ ‎∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，‎ ‎∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，‎ 即∠BAE=∠DAC，‎ 在△BAE和△DAC中，‎ ‎，‎ ‎∴△BAE≌△DAC（SAS），‎ ‎∴BE=CD；‎ ‎（2）解：①∵∠BAD=∠CAE=60°，‎ ‎∴∠DAE=180°﹣60°×2=60°，‎ ‎∵边AD′落在AE上，‎ ‎∴旋转角=∠DAE=60°；‎ ‎②当AC=2AB时，△BDD′与△CPD′全等．‎ 理由如下：由旋转可知，AB′与AD重合，‎ ‎∴AB=BD=DD′=AD′，‎ ‎∴四边形ABDD′是菱形，‎ ‎∴∠ABD′=∠DBD′=∠ABD=×60°=30°，DP∥BC，‎ ‎∵△ACE是等边三角形，‎ ‎∴AC=AE，∠ACE=60°，‎ ‎∵AC=2AB，‎ ‎∴AE=2AD′，‎ ‎∴∠PCD′=∠ACD′=∠ACE=×60°=30°，‎ 又∵DP∥BC，‎ ‎∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°，‎ 在△BDD′与△CPD′中，‎ ‎，‎ ‎∴△BDD′≌△CPD′（ASA）．‎ 故答案为：60．‎ 点评：‎ 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及旋转的性质，综合性较强，但难度不大，熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的判定是姐提到过．‎ ‎　‎ ‎24．（9分）（2013•襄阳）某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：‎ A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；‎ B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．‎ 设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）．请解答下列问题：‎ ‎（1）分别写出yA、yB与x之间的关系式；‎ ‎（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？‎ ‎（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．‎ 考点：‎ 一次函数的应用．3801346‎ 分析：‎ ‎（1）根据购买费用=单价×数量建立关系就可以表示出yA、yB的解析式；‎ ‎（2）分三种情况进行讨论，当yA=yB时，当yA＞yB时，当yA＜yB 时，分别求出购买划算的方案；‎ ‎（3）分两种情况进行讨论计算求出需要的费用，再进行比较就可以求出结论．‎ 解答：‎ 解：（1）由题意，得 yA=（10×30+3x）×0.9=2.7x+270，‎ yB=10×30+3（x﹣20）=3x+240，‎ ‎（2）当yA=yB时，2.7x+270=3x+240，得x=100；‎ 当yA＞yB时，2.7x+270＞3x+240，得x＜100；‎ 当yA＜yB时，2.7x+270=3x+240，得x＞100‎ ‎∴当2≤x＜100时，到B超市购买划算，当x=100时，两家超市一样划算，当x＞100时在A超市购买划算．‎ ‎（3）由题意知x=15×10=150＞100，‎ ‎∴选择A超市，yA=2.7×150+270=675元，‎ 先选择B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，然后在A超市购买剩下的羽毛球（10×15﹣20）×30.9=351元，‎ 共需要费用10×30+351=651（元）．‎ ‎∵651＜675，‎ ‎∴最佳方案是先选择B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数的解析式的运用，分类讨论的数学思想的运用，方案设计的运用，解答时求出函数的解析式是关键．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）（2013•襄阳）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．‎ ‎（1）求证：DP∥AB；‎ ‎（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．‎ 考点：‎ 切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．3801346‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ ‎（1）连结OD，由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理得AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，再由ACD=∠BCD=45°，则∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB为等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根据切线的性质得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB；‎ ‎（2）先根据勾股定理计算出AB=10，由于△DAB为等腰直角三角形，可得到AD==5；由△ACE为等腰直角三角形，得到AE=CE==3‎ ‎，在Rt△AED中利用勾股定理计算出DE=4，则CD=7，易证得∴△PDA∽△PCD，得到===，所以PA=PD，PC=PD，然后利用PC=PA+AC可计算出PD．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连结OD，如图，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，‎ ‎∴∠ACD=∠BCD=45°，‎ ‎∴∠DAB=∠ABD=45°，‎ ‎∴△DAB为等腰直角三角形，‎ ‎∴DO⊥AB，‎ ‎∵PD为⊙O的切线，‎ ‎∴OD⊥PD，‎ ‎∴DP∥AB；‎ ‎（2）解：在Rt△ACB中，AB==10，‎ ‎∵△DAB为等腰直角三角形，‎ ‎∴AD==5，‎ ‎∵AE⊥CD，‎ ‎∴△ACE为等腰直角三角形，‎ ‎∴AE=CE===3，‎ 在Rt△AED中，DE===4，‎ ‎∴CD=CE+DE=3+4=7，‎ ‎∵AB∥PD，‎ ‎∴∠PDA=∠DAB=45°，‎ ‎∴∠PAD=∠PCD，‎ 而∠DPA=∠CPD，‎ ‎∴△PDA∽△PCD，‎ ‎∴===，‎ ‎∴PA=PD，PC=PD，‎ 而PC=PA+AC，‎ ‎∴PD+6=PD，‎ ‎∴PD=．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理定理、等腰直角三角形的性质和三角形相似的判定与性质．‎ ‎　‎ ‎26．（13分）（2013•襄阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣2．‎ ‎（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；‎ ‎（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；‎ ‎（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．‎ ‎①当t为　2　秒时，△PAD的周长最小？当t为　4或4﹣或4+　秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）‎ ‎②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．3801346‎ 分析：‎ ‎（1）根据抛物线的轴对称性可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；‎ ‎（2）先根据梯形ABCD的面积为9，可求c的值，再运用待定系数法可求抛物线的解析式，转化为顶点式可求顶点E的坐标；‎ ‎（3）①根据轴对称﹣最短路线问题的求法可得△PAD的周长最小时t的值；根据等腰三角形的性质可分三种情况求得△PAD是以AD为腰的等腰三角形时t的值；‎ ‎②先证明△APN∽△PDM，根据相似三角形的性质求得PN的值，从而得到点P的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）由抛物线的轴对称性及A（﹣1，0），可得B（﹣3，0）．‎ ‎（2）设抛物线的对称轴交CD于点M，交AB于点N，‎ 由题意可知AB∥CD，由抛物线的轴对称性可得CD=2DM．‎ ‎∵MN∥y轴，AB∥CD，‎ ‎∴四边形ODMN是矩形．‎ ‎∴DM=ON=2，‎ ‎∴CD=2×2=4．‎ ‎∵A（﹣1，0），B（﹣3，0），‎ ‎∴AB=2，‎ ‎∵梯形ABCD的面积=（AB+CD）•OD=9，‎ ‎∴OD=3，即c=3．‎ ‎∴把A（﹣1，0），B（﹣3，0）代入y=ax2+bx+3得，‎ 解得．‎ ‎∴y=x2+4x+3．‎ 将y=x2+4x+3化为顶点式为y=（x+2）2﹣1，得E（﹣2，﹣1）．‎ ‎（3）①当t为2秒时，△PAD的周长最小；当t为4或4﹣或4+秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形．‎ ‎②存在．‎ ‎∵∠APD=90°，∠PMD=∠PNA=90°，‎ ‎∴∠PDM+∠APN=90°，∠DPM+∠PDM=90°，‎ ‎∴∠PDM=∠APN，‎ ‎∵∠PMD=∠ANP，‎ ‎∴△APN∽△PDM，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴PN2﹣3PN+2=0，‎ ‎∴PN=1或PN=2．‎ ‎∴P（﹣2，1）或（﹣2，2）．‎ 故答案为：2；4或4﹣或4+．‎ 点评：‎ 考查了二次函数综合题，涉及的知识点为：抛物线的轴对称性，梯形的面积计算，待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点式，轴对称﹣最短路线问题，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．‎ ‎　‎