2012年十堰中考数学试卷

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2012年十堰中考数学试卷

2012 年湖北省十堰市中考数学试卷 一、选择题(本题有 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分)下面每小题给出的四个选项中, 只有一个是正确的,请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内) 1.有理数-1,-2,0,3 中,最小的一个数是( B ) A.-1 B.-2 C.0 D.3 【考点】有理数大小比较. 【专题】 【分析】先求出|-1|=1,|-2|=2,根据负数的绝对值越大,这个数就越小得到-2<-1,而 0 大 于任何负数,小于任何正数,则有理数-1,-2,0,3 的大小关系为-2<-1<0<3. 【解答】解:∵|-1|=1,|-2|=2, ∴-2<-1, ∴有理数-1,-2,0,3 的大小关系为-2<-1<0<3. 故选 B. 【点评】本题考查了有理数的大小比较:0 大于任何负数,小于任何正数;负数的绝对值越 大,这个数就越小. 2.点 P(-2,3)关于 x 轴对称点的坐标是( C ) A.(-3,2) B.(2,-3) C.(-2,-3) D.(2,3) 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标. 【专题】 【分析】根据关于 x 轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数,即可求解. 【解答】解:∵关于 x 轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数, ∴点 P(-2,3)关于 x 轴对称点的坐标是(-2,-3 ). 故选 C. 【点评】本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐 标规律,注意结合图象,进行记忆和解题. 3.郧阳汉江大桥是国家南水北调中线工程的补偿替代项目,是南 水北调丹江口库区最长的跨江大桥,桥长约 2100 米,将数字 2100 用科学记数法表示为( A ) A.2.1×103 B.2.1×102 C.21×102 D.2.1×104 【考点】科学记数法—表示较大的数. 【专题】 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值是 易错点,由于 2100 有 4 位,所以可以确定 n=4-1=3. 【解答】解:2100=2.1×103. 故选 A. 【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定 n 值是关键. 4.如图是某体育馆内的颁奖台,其主视图是( A ) A. B. C. D. 【考点】简单组合体的三视图. 【专题】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中. 【解答】解:从颁奖台正面看所得到的图形为 A. 故选 A. 【点评】本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图. 5.如图,直线 BD∥EF,AE 与 BD 交于点 C,若∠ABC=30°,∠ BAC=75°,则∠CEF 的大小为( D ) A.60° B.75° C.90° D.105° 【考点】平行线的性质;三角形内角和定理. 【专题】探究型. 【分析】先根据三角形外角的性质求出∠1 的度数,再由平行线的性质即可得出结论. 【解答】解:∵∠1 是△ABC 的外角,∠ABC=30°,∠BAC=75°, ∴∠1=∠ABC+∠BAC=30°+75°=105°, ∵直线 BD∥EF, ∴∠CEF=∠1=105°. 故选 D. 【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质,熟知两直线平行,同位角相等是 解答此题的关键. 6.下列运算中,结果正确的是( D ) A. 6 2 3x x x  B. 2 2 2( )x y x y   C. 2 3 5( )x x D. 8 2 2  【考点】二次根式的加减法;幂的乘方与积的乘方;同底数幂的除法;完全平方公式. 【专题】计算题. 【分析】根据同底数幂的乘除法则、完全平方公式及二次根式的加减运算,分别判断各选项, 继而可得出答案. 【解答】解:A、x6÷x2=x4,故本选项错误; B、(x+y)2=x2+2xy+y2,故本选项错误; C、(x2)3=x6,故本选项错误; D、 8 2 2 2 2 2    ,故本选项正确. 故选 D. 【点评】此题考查了二次根式的加减运算、同底数幂的乘除法则,属于基础题,掌握各部分 的运算法则是关键. 7.下列说法正确的是( B ) A.要了解全市居民对环境的保护意识,采用全面调查的方式 B.若甲组数据的方差 S 2 甲 =0.1,乙组数据的方差 S 2 乙 =0.2,则甲组数据比乙组稳定 C.随机抛一枚硬币,落地后正面一定朝上 D.若某彩票“中奖概率为 1%”,则购买 100 张彩票就一定会中奖一次 【考点】方差;全面调查与抽样调查;随机事件;概率的意义. 【专题】 【分析】利用方差的定义、全面调查与抽样调查、随机事件及概率的意义进行逐一判断即可 得到答案. 【解答】解:A、了解全市居民的环保意识,范围比较大,因此采用抽样调查的方法比较合 适,本答案错误; B、甲组的方差小于乙组的方差,故甲组稳定正确; C、随机抛一枚硬币,落地后可能正面朝上也可能反面朝上,故本答案错误; D、买 100 张彩票不一定中奖一次,故本答案错误. 故选 B. 【点评】本题考查了方差的定义、全面调查与抽样调查、随机事件及概率的意义,属于基础 题,相对比较简单. 8.如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,点 M 是 AD 的中点,且 MB=MC, 若 AD=4,AB=6,BC=8,则梯形 ABCD 的周长为( B ) A.22 B.24 C.26 D.28 【考点】梯形;全等三角形的判定与性质. 【专题】数形结合. 【分析】先判断△AMB≌△DMC,从而得出 AB=DC,然后代入数据即可求出梯形 ABCD 的周长. 【解答】解:∵AD∥BC, ∴∠AMB=∠MBC,∠DMC=∠MCB, 又∵MC=MB, ∴∠MBC=∠MCB, ∴∠AMB=∠DMC, 在△AMB 和△DMC 中, ∵AM=DM,MB=MC,∠AMB=∠DMC ∴△AMB≌△DMC, ∴AB=DC, 四边形 ABCD 的周长=AB+BC+CD+AD=24. 故选 B. 【点评】此题考查了梯形、全等三角形的判定与性质,属于基础题,解答本题的关键是判断 △AMB≌△DMC,得出 AB=DC,难度一般. 9.一列快车从甲地开往乙地,一列慢车从乙地开往甲地,两 车同时出发,两车离乙地的路程 S(千米)与行驶时间 t(小 时)的函数关系如图所示,则下列结论中错误的是( C ) A.甲、乙两地的路程是 400 千米 B.慢车行驶速度为 60 千米/小时 C.相遇时快车行驶了 150 千米 D.快车出发后 4 小时到达乙地 【考点】函数的图象. 【专题】 【分析】根据函数的图象中的相关信息逐一进行判断即可得到答案. 【解答】解:观察图象知甲乙两地相距 400 千米,故 A 选项正确; 慢车的速度为 150÷2.5=60 千米/小时,故 B 选项正确; 相遇时快车行驶了 400-150=250 千米,故 C 选项错误; 快车的速度为 250÷2.5=100 千米/小时,用时 400÷100=4 小时,故 D 选项正确. 故选 C. 【点评】本题考查了函数的图象的知识,读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义, 理解问题叙述的过程,通过此类题目的训练能提高同学们的读图能力 10.如图,O 是正△ABC 内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线 段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转 60°得到线段 BO′,下列 结论:①△BO′A 可以由△BOC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到; ② 点 O 与 O ′ 的 距 离 为 4 ; ③ ∠ AOB=150 ° ; ④ S 四 边 形 AOBO 6 3 3  ;⑤S△AOC+S△AOB= 9 36 4   .其中正确的结论 是( A ) A.①②③⑤ B.①②③④ C.①②③④⑤ D.①②③ 【考点】旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;勾股定理的逆 定理. 【专题】 【分析】证明△BO′A≌△BOC,又∠OBO′=60°,所以△ BO′A 可以由△BOC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到,故结论①正确; 由△OBO′是等边三角形,可知结论②正确; 在△AOO′中,三边长为 3,4,5,这是一组勾股数,故△AOO′是直角三角形; 进而求得∠AOB=150°,故结论③正确; S 四边形 AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+4 3,故结论④错误; 如图②,将△AOB 绕点 A 逆时针旋转 60°,使得 AB 与 AC 重合,点 O 旋转至 O″ 点.利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形,将 S△AOC+S△AOB 转化为 S △COO″+S△AOO″,计算可得结论⑤正确. 【解答】解:由题意可知,∠1+∠2=∠3+∠2=60°,∴∠1=∠3, 又∵OB=O′B,AB=BC, ∴△BO′A≌△BOC,又∵∠OBO′=60°, ∴△BO′A 可以由△BOC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到, 故结论①正确; 如图①,连接 OO′, ∵OB=O′B,且∠OBO′=60°, ∴△OBO′是等边三角形, ∴OO′=OB=4. 故结论②正确; ∵△BO′A≌△BOC,∴O′A=5. 在△AOO′中,三边长为 3,4,5,这是一组勾股数, ∴△AOO′是直角三角形,∠AOO′=90°, ∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°, 故结论③正确; S 四边形 AOBO′=S△AOO′+S△OBO′= 21 33 4 4 6 4 32 4        , 故结论④错误; 如图②所示,将△AOB 绕点 A 逆时针旋转 60°,使得 AB 与 AC 重合,点 O 旋转至 O″点. 易知△AOO″是边长为 3 的等边三角形,△COO″是边 长为 3、4、5 的直角三角形, 则 S △ AOC+S △ AOB=S 四 边 形 AOCO ″ =S △ COO ″ +S △ AOO ″ = 21 3 9 33 4 3 62 4 4        , 故结论⑤正确. 综上所述,正确的结论为:①②③⑤. 故选 A. 【点评】本题考查了旋转变换中等边三角形,直角三角形的性质.利用勾股定理的逆定理, 判定勾股数 3、4、5 所构成的三角形是直角三角形,这是本题的要点.在判定结论 ⑤时,将△AOB 向不同方向旋转,体现了结论①-结论④解题思路的拓展应用. 二、填空题(本题有 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分) 11.函数 2y x  中,自变量 x 的取值范围是 x≥2 . 【考点】函数自变量的取值范围. 【专题】 【分析】根据二次根式的性质,被开方数大于等于 0, 就可以求解. 【解答】解:依题意,得 x-2≥0,解得 x≥2, 故答案为:x≥2. 【点评】本题考查的知识点为:二次根式的被开方 数是非负数. 12.计算: 03 1 ( 1)   = 3 . 【考点】实数的运算;零指数幂. 【专题】计算题. 【分析】先去绝对值符号,然后计算零指数幂,继而合并运算即可. 【解答】解:原式 3 1 1 3    故答案为: 3 . 【点评】此题考查了绝对值及零指数幂的运算,属于基础题,掌握零指数幂:a0=1(a≠0) 是关键,难度一般. 13.某射击小组有 20 人,教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图,则这组 数据的众数是 7 . 【考点】考点:条形统计图;众数.分析:根据条形统计图可知,环数为 5,6,7,8,9, 10 的人数依次为:1,2,7,6,3,1,其中环数 7 出现了 7 次,次数最多,即为这组 数据的众数. 【专题】 【分析】 【解答】解:观察条形统计图可知,环数 7 出现了 7 次,次数最多,即这组数据的众数为 7. 故答案为:7. 【点评】本题考查了条形统计图,众数的概念.读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是 解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据. 14.如图,矩形 ABCD 中,AB=2,AD=4,AC 的垂直平分线 EF 交 AD 于点 E、交 BC 于点 F,则 EF= 5 . 【考点】矩形的性质;线段垂直平分线的性质;勾股定理;相似三 角形的判定与性质. 【专题】计算题. 【分析】连接 CE,根据矩形性质得出∠D=∠B=90°,AB=CD=2,AD=BC=4,AD∥BC, 求出 EF=2EO,在 Rt△CED 中,由勾股定理得出 CE2=CD2+ED2,求出 CE 值,求 出 AC、CO、EO,即可求出 EF. 【解答】解:连接 EC, ∵AC 的垂直平分线 EF, ∴AE=EC, ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠D=∠B=90°,AB=CD=2,AD=BC=4,AD∥BC, ∴△AOE∽△COF, ∴AO/OC =OE/OF , ∵OA=OC, ∴OE=OF, 即 EF=2OE, 在 Rt△CED 中,由勾股定理得:CE2=CD2+ED2, 集 CE2=(4-CE)2+22, 解得:CE= 5 2 , ∵在 Rt△ABC 中,AB=2,BC=4,由勾股定理得:AC= 2 5 , ∴CO= 5 , ∵在 Rt△CEO 中,CO= 5 ,CE= 5 2 ,由勾股定理得:EO= 5 2 , ∴EF=2EO= 5 , 故答案为: 5 . 【点评】本题考查了矩形性质,相似三角形的性质和判定,勾股定理,线段的垂直平分线性 质的应用,关键是求出 EO 长,用的数学思想是方程思想. 15.如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°,AB=12cm,以 AC 为直径的半圆 O 交 AB 于点 D,点 E 是 AB 的中点,CE 交半圆 O 于点 F,则图中阴影部分的面积为 9 9 3 4 4   cm2. 【考点】扇形面积的计算;等边三角形的判定与性质;直角三角形斜边 上的中线;圆周角定理. 【专题】 【分析】易证∠BCE=∠ACD,则根据弦切角定理可以得到 AD 与弦 AD 围成的弓形的面积等于 CF 与弦 CF 围成的弓形的面积相等,则阴影部分的面积等于半 圆的面积减去直角△ACD 的面积,再减去弓形的面积,据此即可求解. 【解答】解:∵Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°,AB=12cm, ∴AC= 1 2 AB=6cm,∠B=60° ∵E 是 AB 的中点, ∴CE= 1 2 AB, 则△ACE 是等边三角形. ∴∠BCE=90°-60°=30°, ∵AC 是直径, ∴∠CDA=90°, ∴∠ACD=90°-∠A=30°, ∴∠BCE=∠ACD, ∴ CF = AD , ∵以 AC 为直径的半圆的面积是: 21 1 9( ) 92 2 2 2 ACS       , S△ACD= 1 2 CD•AD= 1 2 ×3×3 3 = 9 3 2 , ∴ AD 与 弦 AD 围 成 的 弓 形 的 面 积 是 : S1= 1 2 ( S-S △ ACD ) = 1 9 9 3 9 9 3( )2 2 2 4 4     , ∴阴影部分的面积为 S-S△ACD-S1 9 9 3 9 9 3 9 9 3( )2 2 4 4 4 4        . 故答案是: 9 9 3 4 4   . 【点评】本题考查了等边三角形的性质,以及圆的面积的计算,正确理解: AD 与弦 AD 围成的弓形的面积等于 CF 与弦 CF 围成的弓形的面积相等是关键. 16.如图,直线 y=6x,y=2 3 x 分别与双曲线 y=k x 在第一象限 内交于点 A,B,若 S△OAB=8,则 k= 6 . 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;反比例函数系数 k 的几何意义. 【专题】 【分析】过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C,过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D,根据双曲线设出点 A、B 的坐标,并用直线与双曲 线解析式联立求出点 A、B 的横坐标,再根据 S△OAB=S △OAC+S 梯形 ACDB-S△OBD,然后列式整理即可得到关于 k 的方程,求解即可. 【解答】解:如图,过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C,过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D, 设点 A(x1, 1 k x ),B(x2, 2 k x ), 联立 6y x ky x   ,解得 1 6 6 kx  , 联立 2 3y x ky x     ,解得 2 6 2 kx  , S△OAB=S△OAC+S 梯形 ACDB-S△OBD, 1 2 1 1 2 1 1 1 ( ) ( )2 2 k k kx x xx x x      x2 , 1 2 2 1 1 ( )2 x xk k k k k kx x       , 2 2 2 1 2 1 1 2 x x kx x    , 3 1 2 6 2 6 6 2 6 kk k k k     , 4 3 k , ∵S△OAB=8, ∴ 4 83 k  , 解得 k=6. 故答案为:6. 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,反比例函数系数的几何意义,作出 辅助线表示出△AOB 的面积并整理成只含有 k 的形式是解题的关键. 三、解答题(本题有 9 小题,共 72 分) 17.先化简,再求值: 2 1(1 )1 1 a a a    ,其中 a=2. 【考点】分式的化简求值. 【专题】计算题. 【分析】将被除式中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,同时利用除以一个数等于 乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算,约分后得到最简结果,把 a 的值代入 化简后的式子中计算,即可得到原式的值. 【解答】解: 2 1(1 )1 1 a a a    2 2 1 1 1 1 a a a a     2 1 ( 1)( 1) a a a a a    1 a a   当 a=2 时,原式 2 22 1   . 【点评】此题考查了分式的化简求值,分式的加减运算关键是通分,通分的关键是找最简公 分母;分式的乘除运算关键是约分,约分的关键是找公因式,约分时分式的分子分 母出现多项式,应将多项式分解因式后再约分. 18.如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD,CB=CD.求证: ∠B=∠D. 【考点】全等三角形的判定与性质. 【专题】证明题. 【分析】先连接 AC,由于 AB=AD,CB=CD,AC=AC, 利用 SSS 可证△ABC≌△ADC,于是∠B=∠D. 【解答】证明:连接 AC, 在△ABC 和△ADC 中,      AB AD CB CD AC AC , ∴△ABC≌△ADC, ∴∠B=∠D. 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,解题的关键是连接 AC,构造全等三角形. 19.一个不透明的布袋里装有 3 个大小、质地均相同的乒乓球,分别标有数字 1,2,3,小 华先从布袋中随即取出一个乒乓球,记下数字后放回,再从袋中随机取出一个乒乓球,记下 数字.求两次取出的乒乓球上数字相同的概率. 【考点】列表法与树状图法. 【专题】 【分析】首先根据题意列出表格,然后由表格求得所有等可能的结果与两次取出的 乒乓球 上数字相同的情况,再利用概率公式求解即可求得答案. 【解答】解:列表得: 1 2 3 1 (1,1) (1,2) (1,3) 2 (2,1) (2,2) (2,3) 3 (3,1) (3,2) (3,3) ∵有 9 种可能结果,两个数字相同的只有 3 种, ∴P(两个数字相同)=3 9 =1 3 . 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法与列表法可以不重复不遗 漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两 步以上完成的事件;注意此题属于放回实验. 20.一辆汽车开往距离出发地 180 千米的目的地,按原计划的速度匀速行驶 60 千米后,再 以原来速度的 1.5 倍匀速行驶,结果比原计划提前 40 分钟到达目的地,求原计划的行驶速 度. 【考点】分式方程的应用. 【专题】 【分析】解题时利用“实际用时-计划用时= 40 60 小时”这一等量关系列出分式方程求解即可. 【解答】解:设原计划的行驶速度为 x 千米/时,则: 180 60 180 60 40 1.5 60x x    解得 x=60, 经检验:x=60 是原方程的解,且符合题意, 所以 x=60. 答:原计划的行驶速度为 60 千米/时. 【点评】本题考查了分式方程的应用,列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样,重 点在于准确地找出相等关系,这是列方程的依据. 21.如图,为了测量某山 AB 的高度,小明先在山脚下 C 点测 得山顶 A 的仰角为 45°,然后沿坡角为 30°的斜坡走 100 米到达 D 点,在 D 点测得山顶 A 的仰角为 30°,求山 AB 的高度.(参考数据: 3 ≈1.73) 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 【专题】 【分析】易证△ABC 是等腰直角三角形,直角△CDE 中已知边 CD 和∠DCE=30°,则三角 形的三边的长度可以得到 CE,DE 的长度,设 BC=x,则 AE 和 DF 即可用含 x 的 代数式表示出来,在直角△AED 中,利用三角函数即可得到一个关于 x 的方程, 即可求得 x 的值. 【解答】解:过 D 作 DE⊥BC 于 E,作 DF⊥AB 于 F,设 AB=x, 在 Rt△DEC 中,∠DCE=30°,CD=100, ∴DE=50,CE=50 3 在 Rt△ABC 中,∠ACB=45°, ∴BC=x 则 AF=AB-BF=AB-DE=x-50 DF=BE=BC+CE=x+50 3 在 Rt△AFD 中,∠ADF=30°,tan30°=AF FD , ∴x-50 x+50 3 = 3 3 , ∴x=50(3+ 3 )≈236,5(米), 答:山 AB 的高度约为 236.5 米. 【点评】本题考查仰角的定义,要求学生能借助仰角构造直角三角形,并结合图形利用三角 函数解直角三角形. 22.阅读材料: 例:说明代数式 x2+1 + (x-3)2+4 的几何意义,并求它的最小值. 解: x2+1 + (x-3)2+4 = (x-0)2+12 + (x-3)2+22 ,如图,建立平面直 角坐标系,点 P(x,0)是 x 轴上一点,则 (x-0)2+12 可以看成点 P 与点 A(0,1)的距离, (x-3)2+22 可以看成点 P 与点 B(3,2) 的距离,所以原代数式的值可以看成线段 PA 与 PB 长度之和,它的 最小值就是 PA+PB 的最小值. 设点 A 关于 x 轴的对称点为 A′,则 PA=PA′,因此,求 PA+PB 的最小值,只需求 PA′ +PB 的最小值,而点 A′、B 间的直线段距离最短,所以 PA′+PB 的最小值为线段 A′B 的长度.为此,构造直角三角形 A′CB,因为 A′C=3,CB=3,所以 A′B=3 2 ,即原式 的最小值为 3 2 . 根据以上阅读材料,解答下列问题: (1)代数式 (x-1)2+1 + (x-2)2+9 的值可以看成平面直角坐标系中点 P(x,0)与点 A(1,1)、点 B (2,3)的距离之和.(填 写点 B 的坐标) (2)代数式 x2+49 + x2-12x+37 的最小值为 10. 【考点】轴对称-最短路线问题;坐标与图形性质. 【专题】探究型. 【分析】(1)先把原式化为 2 2 2 2( 2) 1 ( 2) 3x x     的形式,再根据题中所给的例子 即可得出结论; (2)先把原式化为 2 2 2 2( 0) 7 ( 6) 1x x     的形式,故得出所求代数式的值 可以看成平面直角坐标系中点 P(x,0)与点 A(0,7)、点 B(6,1)的距离之 和,再根据在坐标系内描出各点,利用勾股定理得出结论即可. 【解答】解:(1)∵原式化为 2 2 2 2( 2) 1 ( 2) 3x x     的形式, ∴代数式 2 2( 2) 1 ( 2) 9x x     的值可以看成平面直角坐标系中点 P(x,0) 与点 A(1,1)、点 B(2,3)的距离之和, 故答案为(2,3); (2)∵原式化为 2 2 2 2( 0) 7 ( 6) 1x x     的形式, ∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 P(x,0)与点 A(0,7)、点 B(6, 1)的距离之和, 如图所示:设点 A 关于 x 轴的对称点为 A′,则 PA=PA′, ∴PA+PB 的最小值,只需求 PA′+PB 的最小值,而点 A′、B 间的直线段距离最短, ∴PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度, ∵A(0,7),B(6,1) ∴A′(0,-7),A′C=6,BC=8, ∴A′B 2 2 2 26 8 10A C BC     , 故答案为:10. 【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题,解答此题的关键 是根据题中所给给的材料画出图形,再利用数形结合求解. 23.某工厂计划生产 A、B 两种产品共 50 件,需购买甲、乙两种材料.生产一件 A 产品需 甲种材料 30 千克、乙种材料 10 千克;生产一件 B 产品需甲、乙两种材料各 20 千克.经测 算,购买甲、乙两种材料各 1 千克共需资金 40 元,购买甲种材料 2 千克和乙种材料 3 千克 共需资金 105 元. (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元? (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过 38000 元,且生产 B 产品不少于 28 件, 问符合条件的生产方案有哪几种? (3)在(2)的条件下,若生产一件 A 产品需加工费 200 元,生产一件 B 产品需加工费 300 元,应选择哪种生产方案,使生产这 50 件产品的成本最低?(成本=材料费+加工费) 【考点】一次函数的应用;二元一次方程组的应用;一元一次不等式组的应用. 【专题】应用题. 【分析】(1)设甲材料每千克 x 元,乙材料每千克 y 元,根据购买甲、乙两种材料各 1 千克 共需资金 40 元,购买甲种材料 2 千克和乙种材料 3 千克共需资金 105 元,可列出 方程组 40 2 3 105 x y x y      ,解方程组即可得到甲材料每千克 15 元,乙材料每千克 25 元; (2)设生产 A 产品 m 件,生产 B 产品(50-m)件,先表示出生产这 50 件产品的 材料费为 15×30m+25×10m+15×20(50-m)+25×20(50-m)=-100m+40000, 根据购买甲、乙两种材料的资金不超过 38000 元得到-100m+40000≤38000,根据 生产 B 产品不少于 28 件得到 50-m≥28,然后解两个不等式求出其公共部分得到 20≤m≤22,而 m 为整数,则 m 的值为 20,21,22,易得符合条件的生产方案; (3)设总生产成本为 W 元,加工费为:200m+300(50-m),根据成本=材料费+加 工费得到 W=-100m+40000+200m+300(50-m)=-200m+55000,根据一次函数的性 质得到 W 随 m 的增大而减小,然后把 m=22 代入计算,即可得到最低成本. 【解答】解:(1)设甲材料每千克 x 元,乙材料每千克 y 元,则 40 2 3 105 x y x y      ,解得 15 25 x y    , 所以甲材料每千克 15 元,乙材料每千克 25 元; (2)设生产 A 产品 m 件,生产 B 产品(50-m)件,则生产这 50 件产品的材料 费为 15×30m+25×10m+15×20(50-m)+25×20(50-m)=-100m+40000, 由题意:-100m+40000≤38000,解得 m≥20, 又∵50-m≥28,解得 m≤22, ∴20≤m≤22, ∴m 的值为 20,21,22, 共有三种方案,如下表: A(件) 20 21 22 B(件) 30 29 28 (3)设总生产成本为 W 元,加工费为:200m+300(50-m), 则 W=-100m+40000+200m+300(50-m)=-200m+55000, ∵W 随 m 的增大而减小,而 m=20,21,22, ∴当 m=22 时,总成本最低,此时 W=-200×22+55000=50600 元. 【点评】本题考查了一次函数的应用:通过实际问题列出一次函数关系,然后根据一次函数 的性质解决问题.也考查了二元一次方程组以及二元一次不等式组的应用. 24.如图 1,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 是直径,OD∥AC,且∠CBD=∠BAC,OD 交⊙ O 于点 E. (1)求证:BD 是⊙O 的切线; (2)若点 E 为线段 OD 的中点,证明:以 O、A、C、E 为顶点的四边形是菱形; (3)作 CF⊥AB 于点 F,连接 AD 交 CF 于点 G(如图 2),求 FG FC 的值. 【考点】圆的综合题. 【专题】几何综合题. 【分析】(1)由 AB 是⊙O 的直径,根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°,则∠ ABC+∠BAC=90°,而∠CBD=∠BA,得到∠ABC+∠CBD=90°,即 OB⊥BD, 根据切线的判定定理即可得到 BD 为⊙O 的切线; (2)连 CE、OC,BE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 BE=OE=ED,则△OBE 为等边三角形,于是∠BOE=6 0°,又因为 AC∥OD,则 ∠OAC=60°,AC=OA=OE,即有 AC∥OE 且 AC=OE, 可得到四边形 OACE 是 平行四边形,加上 OA=OE,即可得到四边形 OACE 是菱形; (3)由 CF⊥AB 得到∠AFC=∠OBD=90°,而 AC∥OD,则∠CAF=∠DOB,根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 易 得 Rt △ AFC ∽ Rt △ OBD , 则 有 FC AF BD OB  , 即 BD AFFC OB  ,再由 FG∥BD 易证得△AFG∽△ABD,则 FG AF BD AB  ,即 BD AFFG AB  ,然后求 FC 与 FG 的比即可一个定值.] 【解答】(1)证明:∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠BCA=90°, ∴∠ABC+∠BAC=90°, 又∵∠CBD=∠BA, ∴∠ABC+∠CBD=90°, ∴∠ABD=90°, ∴OB⊥BD, ∴BD 为⊙O 的切线; (2)证明:连 CE、OC,BE,如图, ∵OE=ED,∠OBD=90°, ∴BE=OE=ED, ∴△OBE 为等边三角形, ∴∠BOE=60°, 又∵AC∥OD, ∴∠OAC=60°, 又∵OA=OC, ∴AC=OA=OE, ∴AC∥OE 且 AC=OE, ∴四边形 OACE 是平行四边形, 而 OA=OE, ∴四边形 OACE 是菱形; (3)解:∵CF⊥AB, ∴∠AFC=∠OBD=90°, 而 AC∥OD, ∴∠CAF=∠DOB, ∴Rt△AFC∽Rt△OBD, ∴ FC AF BD OB  ,即 BD AFFC OB  , 又∵FG∥BD, ∴△AFG∽△ABD, ∴ FG AF BD AB  ,即 BD AFFG AB  , ∴ 2FC AB FG OB   , ∴ 1 2 FG FC  . 【点评】本题考查了圆的综合题:过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线;直径所对 的圆周角为直角;熟练掌握等边三角形的性质和菱形的判定;运用相似三角形的判 定与性质解决线段之间的关系. 25.抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A、B、C,已知 A(-1,0),C(0,3). (1)求抛物线的解析式; (2)如图 1,P 为线段 BC 上一点,过点 P 作 y 轴平行线,交抛物线于点 D,当△BDC 的 面积最大时,求点 P 的坐标; (3)如图 2,抛物线顶点为 E,EF⊥x 轴于 F 点,M(m,0)是 x 轴上一动点,N 是线段 EF 上一点,若∠MNC=90°,请指出实数 m 的变化范围,并说明理由. 【考点】二次函数综合题. 【专题】 【分析】(1)由 y=-x2+bx+c 经过点 A、B、C,A(-1,0),C(0,3),利用待定系数法即 可求得此抛物线的解析式; (2)首先令-x2+2x+3=0,求得点 B 的坐标,然后设直线 BC 的解析式为 y=kx+b′, 由待定系数法即可求得直线 BC 的解析式,再设 P(a,3-a),即可得 D(a,-a2+2a+3), 即可求得 PD 的长,由 S△BDC=S△PDC+S△PDB,即可得 S△BDC 23 3 27( )2 2 8a   ,利 用二次函数的性质,即可求得当△BDC 的面积最大时,求点 P 的坐标; (3)首先过 C 作 CH⊥EF 于 H 点,则 CH=EH=1,然后分别从点 M 在 EF 左侧与 M 在 EF 右侧时去分析求解即可求得答案. 【解答】解:(1)由题意得: 1 0 3 b c c       ,解得: 2 3 b c    , ∴抛物线解析式为 2 2 3y x x    ; (2)令 2 2 3 0x x    , ∴x1= -1,x2=3, 即 B(3,0), 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b′, ∴ 3 3 0 b k b      , 解得: 1 3 k b      , ∴直线 BC 的解析式为 3y x   , 设 P(a,3-a),则 D(a,-a2+2a+3), ∴PD=(-a2+2a+3)-(3-a)=-a2+3a, ∴S△BDC=S△PDC+S△PDB 2 2 1 1 (3 )2 2 3 2 3 ( 3 )2 3 3 27( )2 2 8 PD a PD a PD a a a              , ∴当 3 2a  时,△BDC 的面积最大,此时 P( 3 2 , 3 2 ); (3)由(1),y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴OF=1,EF=4,OC=3, 过 C 作 CH⊥EF 于 H 点,则 CH=EH=1, 当 M 在 EF 左侧时, ∵∠MNC=90°, 则△MNF∽△NCH, ∴ MF FN NH BC  , 设 FN=n,则 NH=3-n, ∴1 3 1 m n n   , 即 n2-3n-m+1=0, 关于 n 的方程有解,△=(-3)2-4(-m+1)≥0, 得 m≥ 5 4  , 当 M 在 EF 右侧时,Rt△CHE 中,CH=EH=1,∠CEH=45°,即∠CEF=45°, 作 EM⊥CE 交 x 轴于点 M,则∠FEM=45°, ∵FM=EF=4, ∴OM=5, 即 N 为点 E 时,OM=5, ∴m≤5, 综上,m 的变化范围为: 5 4 ≤m≤5. 【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最 值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识.此题综合性很强,难度 较大,注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.
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