2009—全国各地中考数学试卷分类汇编 圆的有关性质

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第 32章 圆的有关性质 一、选择题 1. （2011广东湛江 16,4分）如图， , ,A B C是 O 上的三点， 30BAC   ，则 BOC  度． 【答案】60 2. （2011安徽，7，4分）如图，⊙O的半径是 1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°， 则劣弧⌒BC的长是（ ） A．π 5 B．2 5 π C．3 5 π D．4 5 π 【答案】B 3. （2011福建福州，9，4分）如图 2,以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB切小圆于 点C ,若 120AOB   ,则大圆半径 R与小圆半径 r 之间满足（ ） A． 3R r B． 3R r C． 2R r D． 2 2R r A B O C 图 2 【答案】C 4. （2011山东泰安，10 ，3分）如图，⊙O的弦 AB垂直平分半径 OC，若 AB= 6，则⊙O 的半径为（ ） A. 2 B.2 2 C. 2 2 D. 6 2 【答案】A 5. （2011四川南充市，9，3分）在圆柱形油槽内装有一些油。截面如图，油面宽 AB为 6 分米，如果再注入一些油 后，油面 AB上升 1分米，油面宽变为 8分米，圆柱形油槽直径 MN为（ ） （A）6分米 （B）8分米 （C）10分米 （D）12分米 【答案】C 6.（2011浙江衢州，1,3分）一个圆形人工湖如图所示，弦 AB是湖上的一座桥，已知桥 AB 长 100m，测得圆周角 45ACB  ，则这个人工湖的直径 AD为（ ） A. 50 2m B.100 2m C.150 2m D. 200 2m 【答案】B 7. （2011 浙江绍兴，4，4 分）如图， AB O为 的直径，点C在 O 上，若 16C   , 则 BOC 的度数是（ ） A.74 B. 48 C. 32 D. 16 (第 5题图) 【答案】C 8.（2011浙江绍兴，6，4分）一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径 10OB  ， 截面圆圆心O到水面的距离OC是 6，则水面宽 AB是（ ） (第 8题) (第 6 题图) A.16 B.10 C.8 D.6 【答案】A 9. （2011 浙江省，5，3 分）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子 OA、OB在 O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 O点靠在圆周上，读得刻 度 OE=8 个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A. 12个单位 B. 10个单位 C.4 个单位 D. 15个单位 【答案】B 10．（2011四川重庆，6，4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°则∠A的度数 等于( ) A． 60° B． 50° C． 40° D． 30° 【答案】B 11. （2011浙江省嘉兴，6，4分）如图，半径为 10的⊙O中，弦 AB的长为 16，则这条弦 的弦心距为（ ） （A）6 （B）8 （C）10 （D）12 （第 6题） A B O 【答案】A 12. （2011台湾台北，16）如图(六)， BD为圆 O的直径，直线 ED为圆 O的切线，A、C 两点在圆上，AC平分∠BAD且交 BD于 F点。若∠ADE＝ 19 ，则∠AFB的度 数为何？ A．97 B．104 C．116 D．142 【答案】C 13. （2011 台湾全区，24）如图(六)，△ABC的外接圆上，AB、BC、CA三弧的度数比为 12：13：11． 自 BC上取一点 D，过 D分别作直线 AC、直线 AB的并行线，且交 BC于 E、F两点，则 ∠EDF的度数 为何？ A． 55 B． 60 C． 65 D． 70 【答案】Ｃ 14. （2011甘肃兰州，12，4分）如图，⊙O过点 B、C，圆心 O在等腰 Rt△ABC的内部， ∠BAC=90°，OA=1，BC=6。则⊙O的半径为 A．6 B．13 C． 13 D． 2 13 A B C O 【答案】C 15. （2011 四川成都，7,3 分）如图，若 AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°， 则∠BCD=（ B ） (A)116° (B)32° (C)58° （D)64° 【答案】B 16. （2011四川内江，9，3分）如图，⊙O是△ABC 的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O的半 径 OC为 2，则弦 BC的长为 A．1 B． 3 C．2 D．2 3 【答案】D 17. (2011江苏南京，6，2分)如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）(a＞2)，半 径为 2，函数 y=x的图象被⊙P的弦 AB的长为 2 3，则 a的值是 A． 2 3 B． 2 2 2 C． 2 3 D． 2 3 (第 6题) A B O P x y y=x 【答案】B 1. 18. （2011 江苏南通，8，3分）如图，⊙O的弦 AB＝8，M是 AB的中点，且 OM＝3， 则⊙O 的半径等于 A. 8 B. 2 C. 10 D. 5 【答案】D 19. （2011山东临沂，6，3分）如图，⊙O的直径 CD＝5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD， 垂足为M，OM：OD＝3：5，则 AB 的长是（ ） A．2cm B．3cmC．4cm D．2 21 cm 【答案】C 20．（2011上海，6，4分）矩形 ABCD中，AB＝8， 3 5BC  ，点 P在边 AB上，且 BP ＝3AP，如果圆 P是以点 P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）． (A) 点 B、C均在圆 P外； (B) 点 B在圆 P外、点 C在圆 P内； (C) 点 B在圆 P内、点 C在圆 P外； (D) 点 B、C均在圆 P内． 【答案】C 21. （2011四川乐山 6，3分）如图（3），CD是⊙O的弦，直径 AB过 CD的中点M，若 ∠BOC=40°，则∠ABD= A．40° B．60° C．70° D．80° 【答案】 C 22. （2011四川凉山州，9，4分）如图， 100AOB  ，点 C在 O 上，且点 C不与 A、 B重合，则 ACB 的度数为（ ） A．50 B．80或50 C．130 D．50 或130 【答案】D[来源:学*科*网 Z*X*X*K] 23. （2011广东肇庆，7，3分）如图，四边形 ABCD是圆内接四边形，E是 BC延长线上一 点，若∠BAD ＝105°， 则∠DCE的大小是 A B C D E A． 115° B． 105° C． 100° D． 95° 【答案】B 24.（2011内蒙古乌兰察布，9，3分）如图，AB 为 ⊙ O 的直径，CD 为弦，AB⊥ CD ， 如果∠BOC = 70 0 ，那么∠A的度数为（ ） A .70 B . 35 C . 30 D . 20 【答案】B 25. （2011 重庆市潼南,3,4 分）如图，AB为⊙O的直径，点 C在⊙O上,∠A=30°,则∠B 的度数为 A．15° B. 30° C. 45° D. 60° C A BO 3题图 【答案】D 26. （2011浙江省舟山，6，3分）如图，半径为 10的⊙O中，弦 AB的长为 16，则这条弦 的弦心距为（ ） （A）6 （B）8 （C）10 （D）12 （第 6题） A B O 【答案】A 二、填空题 1. （2011浙江省舟山，15，4分）如图，AB是半圆直径，半径 OC⊥AB于点 O，AD平分 ∠CAB交弧 BC于点 D，连结 CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；② OECE  ； ③△ODE∽△ADO；④ ABCECD 22 ．其中正确结论的序号是 ． （第 16题） A B D C O E 【答案】①④ 2. （2011安徽，13，5分）如图，⊙O的两条弦 AB、CD互相垂直，垂足为 E，且 AB=CD， 已知 CE=1，ED=3，则⊙O的半径是 ． 【答案】 5 3.（2011江苏扬州，15,3分）如图，⊙O 的弦 CD 与直径 AB 相交，若∠BAD=50°，则∠ACD= 【答案】40° 4. （2011山东日照，14，4分）如图，在以 AB为直径的半圆中，有一个边长为 1的内接正 方形 CDEF，则以 AC和 BC的长为两根的一元二次方程是 ． 【答案】如：x2- 5 x+1=0； 5. （2011山东泰安，23 ，3分）如图，PA与⊙O相切，切点为 A，PO交⊙O于点 C，点 B是优弧 CBA上一点，若∠ABC==320，则∠P的度数为 。 【答案】260 6. （ 2011 山东威海， 15， 3 分）如图，⊙O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，若 AE=5,BE=1, 4 2CD  ,则∠AED= . 【答案】 30° 7. （2011山东烟台，16,4分）如图，△ABC的外心坐标是__________. O x y B C A 【答案】（－2，－1） 8. （2011浙江杭州，14，4）如图，点 A，B，C，D都在⊙O上， 的度数等于 84°，CA 是∠OCD的平分线，则∠ABD十∠CAO= °． 【答案】53° 9. （2011浙江温州，14，5分）如图，AB是⊙O的直径，点 C，D都在⊙O上，连结 CA， CB，DC，DB．已知∠D=30°，BC＝3，则 AB的长是 ． 【答案】6 10．（2011浙江省嘉兴，16，5分）如图，AB是半圆直径，半径 OC⊥AB于点 O，AD平 分∠CAB 分别交 OC 于点 E，交弧 BC 于点 D，连结 CD、OD，给出以下四个结论： ①S△AEC=2S△DEO；②AC=2CD；③线段OD是DE与DA的比例中项；④ ABCECD 22 ．其 中正确结论的序号是 ． （第 16题） A B D C O E 【答案】①④ 11. （2011福建泉州，16，4分）已知三角形的三边长分别为 3，4，5，则它的边与半径为 1的圆的公共点个数所有可能的情况是 .（写出符合的一种情况即 可） 【答案】 2（符合答案即可） 12. （2011甘肃兰州，16，4分）如图，OB是⊙O的半径，点 C、D在⊙O上，∠DCB=27°， 则∠OBD= 度。 O D B C 【答案】63° 13. （2011湖南常德，7，3分）如图 2，已知⊙O是△ABC的外接圆，且∠C =70°，则∠OAB =__________. 图 2 O B C A 【答案】20° 14.（2011江苏连云港，15，3分）如图，点 D为边 AC上一点，点 O为边 AB上一点，AD=DO. 以O为圆心，OD长为半径作半圆，交AC于另一点E，交AB于点F，G，连接EF.若∠BAC=22º， 则∠EFG=_____. 【答案】 1 2 15. （2011四川广安，19，3分）如图 3所示，若⊙O 的半径为 13cm，点 p 是弦 AB 上一 动点，且到圆心的最短距离为 5 cm，则弦 AB 的长为________cm 【答案】24 16. （ 2011 重庆江津， 16，4 分）已知如图,在圆内接四边形 ABCD 中,∠B=30º,则∠ D=____________.[来源:学.科.网 Z.X.X.K] A B C D 第 16题图 【答案】150° 17. (2011重庆綦江，13，4分) 如图,已知 AB为⊙O的直径，∠CAB＝30°,则∠D＝ . 【答案】：60° 18. （ 2011 江西南昌， 13， 3 分）如图，在△ABC 中，点 P 是△ABC 的内心，则 ∠PBC+∠PCA+∠PAB = 度. 第 13题图 【答案】90 19. (2011江苏南京，13，2分)如图，海边有两座灯塔 A、B，暗礁分布在经过 A、B两点的 弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB=80°，为了避免触礁，轮船 P与 A、 B的张角∠APB的最大值为______°． 图 3 A B O P (第 13题) 【答案】40 20．（2011上海，17，4分）如图，AB、AC都是圆 O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分 别为 M、N，如果 MN＝3，那么 BC＝_________． 【答案】6 21. （2011江苏无锡，18，2分）如图，以原点 O为圆心的圆交 x轴于点 A、B两点，交 y 轴的正半轴于点 C，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = _____________． y xOA B D C （第 18题） 【答案】65 22. （2011湖北黄石，14，3分）如图（5），△ABC内接于圆 O，若∠B＝300.AC＝ 3， 则⊙O的直径为 。 【答案】2 3 23. （2011湖南衡阳，16，3分）如图，⊙O的直径CD过弦 EF 的中点 G，∠EOD=40°， 则∠FCD的度数为 ． 【答案】 20 24. （2011湖南永州，8，3分）如图，在⊙O中，直径 CD垂直弦 AB于点 E，连接 OB,CB， 已知⊙O的半径为 2，AB= 32 ,则∠BCD=________度． （第 8题） E O C D BA 【答案】30 25. (20011 江苏镇江,15,2 分)如图,DE 是⊙O 的直径,弦 AB⊥DE,垂足为 C,若 AB=6,CE=1,则 OC=_____,CD=_____. 答案：4，9 26.（2011内蒙古乌兰察布，14，4分）如图，BE是半径为 6 的⊙D的 4 1 圆周，C点是BE 上的任意一点， △ABD是等边三角形,则四边形 ABCD的周长 P的取值范围是 【答案】18 18 6 2p   27. （2011 河北，16，3 分）如图 7，点 O 为优弧 ACB 所在圆的圆心，∠AOC=108°，点 D 在 AB 的延长线上，BD=BC,则∠D=__°． 【答案】27 28. （2011湖北荆州，12，4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°， 则∠ACD的度数是 . 第 12题图 【答案】50° 29. 30. 三、解答题 1. （2011 浙江金华，21，8 分）如图，射线 PG平分∠EPF，O为射线 PG上一点，以 O为 圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于 A、B和 C、D，连结 OA，此时有 OA∥ PE. （1）求证：AP＝AO； （2）若弦 AB＝12，求 tan∠OPB的值； （3）若以图中已标明的点（即 P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点 为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 . 证明：（1）∵PG平分∠EPF， ∴∠DPO=∠BPO ， ∵OA//PE， ∴∠DPO=∠POA ， ∴∠BPO=∠POA， ∴PA=OA； ……2分 解：（2）过点 O作 OH⊥AB于点 H，则 AH=HB= 1 2 AB，……1分 ∵ tan∠OPB= 1 2 OH PH  ，∴PH=2OH， ……1分 设 OH= x，则 PH=2 x， 由（1）可知 PA=OA= 10 ，∴AH=PH－PA=2 x－10， ∵ 2 2 2AH OH OA  ， ∴ 2 2 2(2 10) 10x x   ， ……1分 解得 1 0x  （不合题意，舍去）， 2 8x  ， ∴AH=6， ∴AB=2AH=12； ……1分 （3）P、A、O、C；A、B、D、C 或 P、A、O、D 或 P、C、O、B.……2分(写对 1个、2 个、3个得 1分，写对 4个得 2分) H P A B C O D E F G 2.（2011 浙江金华，24，12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（10，0），以 OA为直 径在第一象限内作半圆 C，点 B是该半圆周上的一动点，连结 OB、AB，并延长 AB至点 D， 使 DB＝AB，过点 D作 x轴垂线，分别交 x轴、直线 OB于点 E、F，点 E为垂足，连结 CF. （1）当∠AOB＝30°时，求弧 AB的长； （2）当 DE＝8时，求线段 EF的长； （3）在点 B运动过程中，是否存在以点 E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在， 请求出此时点 E的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）连结 BC, ∵A（10，0）,∴OA=10 ,CA=5, ∵∠AOB=30°,[来源:学科网] ∴∠ACB=2∠AOB=60°, ∴弧 AB的长= 3 5 180 560    ; ……4 分 O B D EC F x y A （2）连结 OD, ∵OA是⊙C直径, ∴∠OBA=90°, 又∵AB=BD, ∴OB是 AD的垂直平分线, ∴OD=OA=10, 在 Rt△ODE中， OE=  22 DEOD 6810 22  , ∴AE=AO－OE=10-6=4, 由 ∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA， 得△OEF∽△DEA, ∴ OE EF DE AE  ,即 68 4 EF  ，∴EF=3；……4 分 （3）设 OE=x， ①当交点 E在 O，C之间时，由以点 E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA 或∠ECF=∠OAB，当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点 E为 OC中点，即 OE= 2 5 ， ∴E1（ 2 5 ，0）； 当∠ECF=∠OAB时，有 CE=5-x, AE=10-x， ∴CF∥AB,有 CF= 1 2 AB , ∵△ECF∽△EAD, ∴ AD CF AE CE  ,即 5 1 10 4 x x    ,解得： 3 10 x , ∴E2（ 3 10 ，0）; O B D F CE A x y O B D F CE A x y ②当交点 E在点 C的右侧时， ∵∠ECF＞∠BOA， ∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO， 连结 BE， ∵BE为 Rt△ADE斜边上的中线， ∴BE=AB=BD, ∴∠BEA=∠BAO, ∴∠BEA=∠ECF, ∴CF∥BE, ∴ OE OC BE CF  , ∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠， ∴△CEF∽△AED, ∴ CF CE AD AE  , 而 AD=2BE, ∴ 2 OC CE OE AE  , 即 5 5 2 10 x x x    , 解得 4 1755 1  x , 4 1755 2  x ＜0（舍去）， ∴E3（ 4 1755  ，0）; O B D F C E A x y ③当交点 E在点 O的左侧时， ∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF . ∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO 连结 BE，得 BE= AD 2 1 =AB，∠BEA=∠BAO ∴∠ECF=∠BEA, ∴CF∥BE, ∴ OE OC BE CF  , 又∵∠ECF=∠BAO, ∠FEC=∠DEA=Rt∠， ∴△CEF∽△AED, ∴ AD CF AE CE  ， 而 AD=2BE, ∴ 2 OC CE OE AE  , ∴ 5 +5 2 10+ x x x  , 解得 4 1755 1  x , 4 1755 2  x ＜0（舍去）, ∵点 E在 x轴负半轴上, ∴E4（ 4 1755  ，0）, 综上所述：存在以点 E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点 E坐标为： 1E （ 2 5 ，0）、 2E （ 3 10 ，0）、 3E （ 4 1755  ，0）、 4E （ 4 1755  ，0）．……4 分 O B D F CE A x y 3. （2011山东德州 22,10分）●观察计算 当 5a  ， 3b  时， 2 a b 与 ab 的大小关系是_________________． 当 4a  ， 4b  时， 2 a b 与 ab 的大小关系是_________________． ●探究证明 如图所示， ABC 为圆 O的内接三角形，AB为直径，过 C作CD AB 于 D，设 AD a ， BD=b． （1）分别用 ,a b表示线段 OC，CD； （2）探求 OC与 CD表达式之间存在的关系 （用含 a，b的式子表示）． A B C O D ●归纳结论 根 据 上 面 的 观 察 计 算 、 探 究 证 明 ， 你 能 得 出 2 a b 与 ab 的 大 小 关 系 是 ： _________________________． ●实践应用 要制作面积为 1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值． 【答案】●观察计算: 2 a b > ab， 2 a b = ab . …………………2 分 ●探究证明： （1） 2AB AD BD OC   ， ∴ 2 a bOC   …………………3 分 AB 为⊙O直径, ∴ 90ACB   . 90A ACD    ， 90ACD BCD   ， ∴∠A=∠BCD. ∴△ ACD∽△CBD . …………………4 分 ∴ AD CD CD BD  . 即 2CD AD BD ab   , ∴CD ab . …………………5分 A B C O D （2）当 a b 时,OC CD , 2 a b = ab； a b 时,OC CD , 2 a b > ab ．…………………6分 ●结论归纳: 2 a b  ab ． ………………7 分 ●实践应用 设长方形一边长为 x米,则另一边长为 1 x 米,设镜框周长为 l米，则 12( )l x x   ≥ 14 4x x   ． ……………9分 当 1x x  ,即 1x  （米）时,镜框周长最小． 此时四边形为正方形时,周长最小为 4 米. ………………10 分 4. （2011山东济宁，19，6分）如图， AD为 ABC 外接圆的直径， AD BC ，垂足为点 F ， ABC 的平分线交 AD于点 E ，连接 BD，CD .[来源:学+科+网][来源:学科网 ZXXK] (1) 求证： BD CD ； (2) 请判断 B，E ，C 三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由.[来 源:Z。xx。k.Com] A B C E F D (第 19 题) 【答案】（1）证明：∵ AD为直径， AD BC ， ∴ BD CD .∴BD CD . ························································· 3分 （2）答： B， E ，C 三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上. ·························4分 理由：由（1）知： BD CD ，∴ BAD CBD  . ∵ DBE CBD CBE   ， DEB BAD ABE    ， CBE ABE  ， ∴ DBE DEB   .∴DB DE .···························································6分 由（1）知：BD CD .∴DB DE DC  . ∴ B， E ，C 三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上. …………………7分 5. （2011山东烟台，25,12分）已知：AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB于点 G，E是直 线 AB上一动点（不与点 A、B、G重合），直线 DE交⊙O于点 F，直线 CF交直线 AB于 点 P.设⊙O的半径为 r. （1）如图 1，当点 E在直径 AB上时，试证明：OE·OP＝r2 （2）当点 E在 AB（或 BA）的延长线上时，以如图 2点 E的位置为例，请你画出符合 题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由. 【答案】（1）证明：连接 FO并延长交⊙O于 Q，连接 DQ. ∵FQ是⊙O直径，∴∠FDQ＝90°. ∴∠QFD＋∠Q＝90°. ∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°. ∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P. ∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF. ∴ OE OF OF OP  .∴OE·OP＝OF2＝r2. （2）解：（1）中的结论成立. 理由：如图 2，依题意画出图形，连接 FO并延长交⊙O 于 M，连接 CM. ∵FM是⊙O直径，∴∠FCM＝90°，∴∠M＋∠CFM＝ 90°. ∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°. ∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E. ∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE. ∴ OP OF OF OE  ，∴OE·OP＝OF2＝r2. 6. （2011宁波市，25，10分）阅读下面的情境对话，然后解答问题 A B C D E F P . OG （图 1） .A B C D E . OG （图 2） （1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三 角形”是真命题还是假命题？ （2）在 Rt ABC 中， ∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且 b＞a，若 RtABC是 奇异三角形，求 a：b：c； （3）如图，AB是⊙O的直径，C是上一点（不与点 A、B重合），D是半圆 ⌒ABD的中点， CD在直径 AB的两侧，若在⊙O内存在点 E使得 AE＝AD，CB＝CE． ○1 求证：ACE是奇异三角形； ○2 当ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数． 【答案】解：（1）真命题 （2）在 Rt ABC 中 a2 ＋b2＝ c2， ∵c＞b＞a＞0 ∴2c2＞a2 ＋b2，2a2 ＜c2＋b2 ∴若 Rt ABC是奇异三角形，一定有 2b2＝c2＋ a2 ∴2b2＝a2 ＋（a2 ＋b2） ∴b2＝2a2 得：b＝ 2a ∵c2＝b2＋ a2 ＝3a2 ∴c＝ 3a ∴a：b：c＝1： 2： 3 (3)○1 ∵AB 是⊙O的直径 ACBADB＝90° 在 RtABC 中，AC2＋BC2＝AB2 在 RtADB 中，AD2＋BD2＝AB2 ∵点 D是半圆 ⌒ABD的中点 ∴ ⌒AD＝ ⌒BD ∴AD＝BD ∴AB2＝AD2＋BD2＝2AD2 ∴AC2＋CB2＝2AD2 又∵CB＝CE，AE＝AD[来源:Z+xx+k.Com] ∴AC2＝CE2＝2AE2 ∴ACE是奇异三角形 ○2 由○1 可得ACE是奇异三角形 ∴AC2＝CE2＝2AE2 当ACE是直角三角形时 由（2）可得 AC：AE：CE＝1： 2： 3或 AC：AE：CE＝ 3： 2： 1 （Ⅰ）当 AC：AE：CE＝1： 2： 3时 AC：CE＝1： 3即 AC：CB＝1： 3 ∵∠ACB＝90° ∴∠ABC＝30° ∴∠AOC＝2∠ABC ＝60° (Ⅱ)当 AC：AE：CE＝ 3： 2： 1时 AC：CE＝ 3： 1即 AC：CB＝ 3： 1 ∵∠ACB＝90° ∴∠ABC＝60° ∴∠AOC＝2∠ABC ＝120° ∴∠AOC＝2∠ABC ＝120° ∴∠AOC的度数为 60°或 120° 7. （2011浙江丽水，21，8分）如图，射线 PG平分∠EPF，O为射线 PG上一点，以 O为 圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于 A、B和 C、D，连结 OA，此时有 OA∥ PE. （1）求证：AP＝AO； （2）若弦 AB＝12，求 tan∠OPB的值； （3）若以图中已标明的点(即 P、A、B、C、D、O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 . 【解】（1）∵PG平分∠EPF， ∴∠DPO=∠BPO， ∵OA//PE， ∴∠DPO=∠POA， ∴∠BPO=∠POA， ∴PA=OA； （2）过点 O作 OH⊥AB于点 H，则 AH=HB， ∵AB=12， ∴AH=6， 由（1）可知 PA=OA=10， ∴PH=PA+AH=16， OH= 102－62=8， ∴tan∠OPB=OH PH =1 2 ； （3）P、A、O、C；A、B、D、C或 P、A、O、D或 P、C、O、B. 8. （2011广东广州市，25，14分） 如图 7，⊙O 中 AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形 DCE 中 ∠DCE是直角，点 D在线段 AC上． （1）证明：B、C、E三点共线； （2）若M是线段 BE的中点，N是线段 AD的中点，证明：MN= 2OM； （3）将△DCE 绕点 C 逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图 8），若 M1是 线段 BE1的中点，N1是线段 AD1的中点，M1N1= 2OM1是否成立？若是，请证明；若不是， 说明理由． A B C D E M N O 图 7 A B C D1 E1 M1 O N1 图 8 【答案】（1）∵AB为⊙O直径 ∴∠ACB=90° ∵△DCE为等腰直角三角形 ∴∠ACE=90° ∴∠BCE=90°+90°=180° ∴B、C、E三点共线． （2）连接 BD，AE，ON． ∵∠ACB=90°，∠ABC=45° ∴AB=AC ∵DC=DE ∠ACB=∠ACE=90° ∴△BCD≌△ACE ∴AE=BD，∠DBE=∠EAC ∴∠DBE+∠BEA=90° ∴BD⊥AE ∵O，N为中点 ∴ON∥BD，ON=1 2 BD 同理 OM∥AE，OM=1 2 AE ∴OM⊥ON，OM=ON ∴MN= 2OM （3）成立 证明：同（2）旋转后∠BCD1=∠BCE1=90°－∠ACD1 所以仍有△BCD1≌△ACE1， 所以△ACE1是由△BCD1绕点 C顺时针旋转 90°而得到的，故 BD1⊥AE1 其余证明过程与（2）完全相同． 9. （2011浙江丽水，24，12分）如图，在平面直角坐标系中，点 A(10，0)，以 OA为直径 在第一象限内作半圆 C，点 B是该半圆周上的一动点，连结 OB、AB，并延长 AB至点 D， 使 DB＝AB，过点 D作 x轴垂线，分别交 x轴、直线 OB于点 E、F，点 E为垂足，连结 CF. （1）当∠AOB＝30°时，求弧 AB的长； （2）当 DE＝8时，求线段 EF的长； （3）在点 B运动过程中，是否存在以点 E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在， 请求出此时点 E的坐标；若不存在，请说明理由. 【解】(1)连结 BC， ∵A(10，0)，∴OA=10，CA=5， ∵∠AOB=30°， ∴∠ACB=2∠AOB=60°， ∴⌒AB的长=60×π×5 180 =5π 3 ； （2）连结 OD， ∵OA是⊙C的直径，∴∠OBA=90°， 又∵AB= BD， ∴OB是 AD的垂直平分线， ∴OD= OA=10， 在 Rt△ODE中， OE= OD2－DE2= 102－82=6， ∴AE= AO－OE =10－6=4， 由∠AOB=∠ADE= 90°－∠OAB， ∠OEF=∠DEA， 得△OEF∽△DEA， ∴ AE DE =EF OE ，即 4 8 =EF 6 ，∴EF=3； (3)设 OE=x， ①当交点 E在 O，C之间时，由以点 E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似， 有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三 角形， 点 E为 OC的中点，即 OE=5 2 ， ∴E1( 5 2 ，0)； 当∠ECF=∠OAB时，有 CE=5－x，AE=10－x， ∴CF//AB，有 CF=1 2 AB， ∵△ECF∽△EAD， ∴ CE AE =CF AD ，即 5－x 10－x =1 4 ，解得 x=10 3 ， ∴E2( 10 3 ，0)； ②当交点 E在 C的右侧时， ∵∠ECF>∠BOA ∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO， 连结 BE， ∵BE为 Rt△ADE斜边上的中线， ∴BE=AB=BD， ∴∠BEA=∠BAO， ∴∠BEA=∠ECF， ∵CF//BE，∴ CF BE =OC OE ， ∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠， ∴△CEF∽△AED，∴ CF AD =CE AE ， 而 AD=2BE，∴ OC 2OE =CE AE ， 即 5 2x = x－5 10－x ， 解得 x1= 5+5 17 4 ，x2= 5－5 17 4 <0（舍去）， ∴E3( 5+5 17 4 ，0)； ③当交点 E在 O的左侧时， ∵∠BOA=∠EOF>∠ECF ∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO， 连结 BE，得 BE=1 2 AD=AB， ∠BEA=∠BAO， ∴∠ECF=∠BEA， ∴CF//BE， ∴ CF BE =OC OE ， 又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠， ∴△CEF∽△AED，∴ CE AE =CF AD ， 而 AD=2BE，∴ OC 2OE =CE AE ， ∴ 5 2x = x+5 10+x ，解得 x1= －5+5 17 4 ，x2= －5－5 17 4 <0（舍去）， ∵点 E在 x轴负半轴上，∴E4( 5－5 17 4 ，0)， 综上所述：存在以点 E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，此时点 E坐标为： ∴E1( 5 2 ，0)、E2( 10 3 ，0)、E3( 5+5 17 4 ，0)、E4( 5－5 17 4 ，0). 10．（2011 江西，21，8 分）如图，已知⊙O 的半径为 2，弦 BC 的长为 2 3 ，点 A 为弦 BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）。 ⑴求∠BAC的度数； ⑵求△ABC面积的最大值. （参考数据：sin60°= 2 3 ，cos30°= 2 3 ，tan30°= 3 3 .） 【答案】（1）过点 O作 OD⊥BC于点 D, 连接 OA. 因为 BC= 2 3，所以 CD= 1 2 BC = 3 . 又 OC=2，所以 sin DOC∠ = CD OC ，即 sin DOC∠ = 3 2 ， 所以∠DOC=60°. 又 OD⊥BC，所以∠BAC=∠DOC=60°. （2）因为△ABC中的边 BC的长不变，所以底边上的高最大时，△ABC面积的最大值,即点 A是BAC 的中点时，△ABC面积的最大值. 因为∠BAC=60°，所以△ABC是等边三角形， 在 Rt△ADC中，AC= 2 3，DC= 3 , 所以 AD= 2 2AC DC- = 22(2 3) 3- =3. 所以△ABC面积的最大值为 2 3 ×3× 1 2 =3 3 . 11. （2011 湖南常德，25，10 分）已知 △ABC，分别以 AC和 BC为直径作半圆 1O 、 2 ,O P 是 AB的中点. （1）如图 8，若△ABC 是等腰三角形，且 AC=BC，在 ,AC BC 上分别取点 E、F，使 1 2 ,AO E BO F   则有结论① 1 2 ,PO E FO P  ②四边形 1 2POCO 是菱形.请给出结论 ②的证明； （2）如图 9，若（1）中△ABC是任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成 立吗？若成立，请给出证明； （3）如图 10，若 PC是 1O 的切线，求证： 2 2 23AB BC AC  【答案】 （1） 证明：∵BC是⊙O2直径，则 O2是 BC的中点 又 P是 AB的中点. ∴P O2是△ABC的中位线 ∴P O2 = 1 2 AC 又 AC是⊙O1直径 ∴P O2= O1C= 1 2 AC 同理 P O1= O2C = 1 2 BC ∵AC =BC ∴P O2= O1C=P O1= O2C ∴四边形 1 2POCO 是菱形 （2） 结论① 1 2 ,PO E FO P  成立，结论②不成立 证明：在（1）中已证 PO2= 1 2 AC，又 O1E= 1 2 AC 图8 O2O1 PA D C E F B D ∴PO2=O1E 同理可得 PO1=O2F ∵PO2是△ABC的中位线 ∴PO2∥AC ∴∠PO2B=∠ACB 同理∠P O1A=∠ACB ∴∠PO2B=∠P O1A ∵∠AO1E =∠BO2F ∴∠P O1A+∠AO1E =∠PO2B+∠BO2F 即∠P O1E =∠F O2 P ∴ （3） 证明：延长 AC交⊙O2于点 D，连接 BD. ∵BC是⊙O2的直径，则∠D=90°， 又 PC是 1O 的切线，则∠ACP=90°， ∴∠ACP=∠D 又∠PAC=∠BAD， ∴△APC∽△BAD 又 P是 AB的中点 ∴ 1 2 AC AP AD AB   ∴AC=CD ∴在 Rt△BCD中， 2 2 2 2²BC CD BD AC BD    在 Rt△ABD中， 2 2 2AB AD BD  ∴  2 2 2 2 2 24 3AB AC BD AC BD AC     ∴ 2 2 23AB BC AC  12. （2011 江苏苏州，26,8 分）如图，已知 AB 是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C 是弦 AB 上 任意一点（不与点 A、B 重合），连接 CO 并延长 CO 交⊙O于点 D，连接 AD. （1）弦长 AB=________（结果保留根号）； （2）当∠D=20°时，求∠BOD 的度数； （3）当 AC 的长度为多少时，以点 A、C、D为顶点的三角形与以 B、C、O为顶点的三角形相 似？请写出解答过程. 【答案】解：（1）2 3 . （2）解法一：∵∠BOD 是△BOC 的外角，∠BCO 是△ACD 的外角， ∴∠BOD=∠B+∠BCO，∠BCO=∠A+∠D. ∴∠BOD=∠B+∠A+∠D. 又∵∠BOD=2∠A，∠B=30°，∠D=20°， ∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°，∠A=50°， ∴∠BOD=2∠A=100°. 解法二：如图，连接 OA. ∵OA=OB，OA=OD，∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D， ∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D. 又∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠DAB=50°， ∴∠BOD=2∠DAB=100°. （3）∵∠BCO=∠A+∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D. ∴要使△DAC 与△BOC 相似，只能∠DCA=∠BCO=90°. 此时，∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴∠DAC=60°. ∴△DAC∽△BOC. ∵∠BCO=90°，即 OC⊥AB，∴AC= 2 1 AB= 3 . 13. （2011 江苏苏州，27,8 分）已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，以 AB 为直径在正 方形内作半圆，P 是半圆上的动点（不与点 A、B重合），连接 PA、PB、PC、PD. （1）如图①，当 PA 的长度等于______时，∠PAB=60°； 当 PA 的长度等于______时，△PAD 是等腰三角形； （2）如图②，以 AB 边所在的直线为 x 轴，AD 边所在的直线为 y 轴，建立如图所示的直角 坐标系（点 A 即为原点 O），把△PAD、△PAB、△PBC 的面积分别记为 S1、S2、S3.设 P 点坐 标为（a，b），试求 2S1S3-S2 2 的最大值，并求出此时 a、b的值. 【答案】解：（1）2；2 2 或 5 58 . （2）如图，过点 P 分别作 PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为 E、F，延长 FP 交BC 于点 G，则 PG ⊥BC.[来源:学科网 ZXXK] ∵P点坐标为（a，b），∴PE=b，PF=a，PG=4-a. 在△PAD、△PAB及△PBC中， S1=2a，S2=2b，S3=8-2a， ∵AB是直径，∴∠APB=90°. ∴PE2=AE·BE，即 b 2 =a（4-a）. ∴2S1S3-S2 2 =4a（8-2a）-4b 2 =-4a 2 +16a=-4（a-2） 2 +16. ∴当 a=2时，b=2，2S1S3-S2 2 有最大值 16. 14. （2011江苏泰州，26，10分）如图，以点 O为圆心的两个同心圆中，矩形 ABCD的边 BC为大圆的弦，边 AD与小圆相切于点 M，OM的延长线与 BC相交于点 N． （1）点 N是线段 BC的中点吗？为什么？ （2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为 6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径． 【答案】解：(1)N是 BC的中点。原因：∵AD与小圆相切于点M， ∴OM⊥AD，又 AD∥BC，∴ON⊥BC，∴在大圆 O中，由垂径定理可得 N是 BC的中点． (2)连接 OB，设小圆半径为 r，则有 ON=r+5,OB=r+6,BN=5cm, 在 Rt△OBN中，由勾股定理得 OB2=BN2+ON2 ，即：（r+6）2=(r+5)2+52 ，解得 r=7cm. ∴小圆的半径为 7cm. 15. （2011 四川成都，27,10 分）已知：如图，以矩形 ABCD的对角线 AC的中点 O 为圆心， OA长为半径作⊙0，⊙O经过 B、D两点，过点 B作 BK⊥AC，垂足为 K．过 D作 DH∥KB， DH分别与 AC、AB、⊙O及 CB的延长线相交于点 E、F、G、H． (1)求证：AE=CK； (2)如果 AB= a，AD= 1 3 a ( a为大于零的常数)，求 BK的 长； (3)若 F是 EG的中点，且 DE=6，求⊙O 的半径和 GH的长． 【答案】 解：（1）∵DH∥KB，BK⊥AC，∴DE⊥AC， ∵四边形 ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠KCB， ∴Rt△ADE≌Rt△CBK，∴AE=CK. （2）在 Rt△ABC中，AB= a，AD=BC= 1 3 a，∴ 22 BCABAC  = 22 ) 3 1( aa  = 3 10a ， ∵S△ABC= 2 1 AB×BC= 2 1 AC×BK，∴BK= AC BCAB = 3 10 3 1 a aa = a 10 10 . （3）连线 OG，∵AC⊥DG，AC是⊙O的直接，DE=6，∴DE=EG=6， 又∵EF=FG，∴EF=3；∵Rt△ADE≌Rt△CBK，∴DE=BK=6，AE=CK， 在△ABK中，EF=3，BK=6，EF∥BK，∴EF是△ABK的中位线，∴ AF=BF ， AE=EK=KC ； 在 Rt △ OEG 中 ， 设 OG= r ， 则 OE= rrAC 3 12 6 1 6 1  ， EG=6 ， 222 OGEGOE  ， ∴ 222 6) 3 1( rr  ，∴ 2 29 r . 在 Rt△ADF≌Rt△BHF中，AF=BF， ∵AD=BC，BF∥CD，∴HF=DF， ∵FG=EF，∴HF-FG=DF-EF，∴HG=DE=6. 16. （2011四川宜宾,23，10分）已知：在△ABC中，以 AC边为直径的⊙O交 BC于点 D， 在劣弧 ⌒ AD上到一点 E使∠EBC=∠DEC，延长 BE依次交 AC于 G，交⊙O于 H． （1）求证：AC⊥BH； （2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于 10，BD=8，求 CE的长． （23题图） 【答案】证明：⑴连接 AD ∵∠DAC=∠DEC ∠EBC=∠DEC ∴∠DAC=∠EBC 又∵AC是⊙O的直径 ∴∠ADC=90° ∴∠DCA+∠DAC=90° ∴∠EBC+∠DCA=90° ∴∠BGC=180°-(∠EBC+∠DCA)=180°-90°=90° ∴AC⊥BH ⑵∵∠BDA=180°-∠ADC=90°∠ABC=45° ∴∠BAD=45° ∴BD=AD ∵BD=8 ∴AD=8 又∵∠ADC=90° AC=10 （第 23题解答图） ∴由勾股定理，得 6810 2222  ADACDC . ∴BC=BD+DC=8+6=14 又∵∠BGC=∠ADC=90° ∠BCG=∠ACD ∴△BCG∽△ACD ∴ AC BC DC CG  ∴ 10 14 6  CG ∴ 5 42 CG 连接 AE，∵AC是直径 ∴∠AEC=90° 又∵EG⊥AC ∴△CEG∽△CAE ∴ CE CG AC CE  ∴ 8410 5 422  CGACCE ∴ 21284 CE . 17. （2011江西南昌，21，8分）如图，已知⊙O的半径为 2，弦 BC的长为 2 3，点 A为 弦 BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）。 ⑴求∠BAC的度数； ⑵求△ABC面积的最大值. （参考数据：sin60°= 2 3 ，cos30°= 2 3 ，tan30°= 3 3 .） 【答案】（1）过点 O作 OD⊥BC于点 D, 连接 OA. 因为 BC= 2 3，所以 CD= 1 2 BC = 3 . 又 OC=2，所以 sin DOC∠ = CD OC ，即 sin DOC∠ = 3 2 ， 所以∠DOC=60°. 又 OD⊥BC，所以∠BAC=∠DOC=60°. （2）因为△ABC中的边 BC的长不变，所以底边上的高最大时，△ABC面积的最大值,即点 A是BAC 的中点时，△ABC面积的最大值. 因为∠BAC=60°，所以△ABC是等边三角形， 在 Rt△ADC中，AC= 2 3，DC= 3 , 所以 AD= 2 2AC DC- = 22(2 3) 3- =3. 所以△ABC面积的最大值为 2 3 ×3× 1 2 =3 3 . 18. （2011上海，21，10分）如图，点 C、D分别在扇形 AOB的半径 OA、OB的延长 线上，且 OA＝3，AC＝2，CD平行于 AB，并与弧 AB相交于点 M、N． （1）求线段 OD的长； （2）若 1tan 2 C  ，求弦 MN的长． O A B DC M N 【答案】（1）∵CD∥AB， ∴∠OAB=∠C，∠OBA=∠D． ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA． ∴∠C=∠D． ∴OC=OD． ∵OA=3，AC=2， ∴OC=5． ∴OD=5． （2）过点 O作 OE⊥CD，E为垂足，连接 OM． 在 Rt△OCE中，OC=5， 1tan 2 C  ，设 OE=x，则 CE=2x．由勾股定理得 2 2 2(2 ) 5x x  ， 解得 x1= 5，x2= 5 （舍去）．∴OE= 5． 在 Rt△OME中，OM=OA=3，ME= 2 2OM OE = 2 23 ( 5) =2。∴MN=2ME=4． 19. （2011湖北黄冈，22，8分）在圆内接四边形 ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线， F为弧 AD上一点，BC=AF，延长 DF与 BA的延长线交于 E． ⑴求证△ABD为等腰三角形． ⑵求证 AC•AF=DF•FE 第 22题图 B A F E D C M 【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠ DBA=∠DAB，故△ABD为等腰三角形． ⑵∵∠DBA=∠DAB ∴弧 AD=弧 BD 又∵BC=AF ∴弧 BC=弧 AF、∠CDB=∠FDA ∴弧 CD=弧 DF ∴CD=DF 再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知[来源:Z_xx_k.Com] ∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE ∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△ FAE ∴AC：FE=CD：AF ∴AC•AF= CD •FE 而 CD=DF， ∴AC•AF=DF•FE 20．（2011广东茂名，24，8分）如图，⊙P与 y轴相切于坐标原点 O(0，0)，与 x轴相交 于点 A(5，0)，过点 A的直线 AB与 y轴的正半轴交于点 B，与⊙P交于点 C． (1)已知 AC＝3，求点Ｂ的坐标； (4分) (2)若 AC＝ a , D是 OＢ的中点．问：点 O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理 由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为 1O ，函数 x ky  的图象经过点 1O ， 求 k的值(用含 a的代数式表示)． (4分) χ y 备用图 χ y 【答案】解：(1)解法一：连接 OC，∵OA是⊙P的直径，∴OC⊥AB， 在 Rt△AOC中， 492522  ACOAOC 在 Rt△AOC和 Rt△ABO中，∵∠CAO＝∠OAB ∴Rt△AOC∽Rt△ABO，· ∴ OB AO CO AC  ，即 OB 5 4 3  ， ∴ 3 20 OB ， ∴ ) 3 20,0(B 解法二：连接 OC，因为 OA是⊙P的直径， ∴∠ACO＝90° 在 Rt△AOC中，AO＝5，AC＝3，∴OC＝4， 过 C作 CE⊥OA于点 E，则： OCCACEOA  2 1 2 1 ， 即： 43 2 15 2 1  CE ，∴ 5 12 CE ， ∴ 5 16) 5 12(4 2222  CEOCOE ∴ ) 5 12, 5 16(C ， 设经过 A、C两点的直线解析式为： bkxy  ． 把点 A(5，0)、 ) 5 12, 5 16(C 代入上式得：       5 12 5 16 05 bk bk ， 解得：         3 20 3 4 b k ， ∴ 3 20 3 4  xy ， ∴点 ) 3 20,(OB ． (2)点 O、P、C、D四点在同一个圆上，理由如下： 连接 CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D为 OB上的中点， ∴ ODOBCD  2 1 ， ∴∠3＝∠4，又∵OP＝CP，∴∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°， ∴PC ⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和 Rt△PDC是同以 PD为斜边的直角三角形， ∴PD上的中点到点 O、P、C、D四点的距离相等， ∴点 O、P、C、D在以 DP为直径的同一个圆上； 由上可知，经过点 O、P、C、D的圆心 1O 是 DP的中点，圆心 ) 2 , 2 (1 ODOPO ， 由(1)知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴ AB OA OA AC  ，求得：AB＝ a 25 ，在 Rt△ABO中， a aOAABOB 2 22 255   ，OD＝ a aOB 2 255 2 1 2  ， 2 5 2  OAOP ∴ ) 4 255, 4 5( 2 1 a aO  ，点 1O 在函数 x ky  的图象上， ∴ 5 4 4 255 2 k a a   ， ∴ a ak 16 2525 2  ． 21. （2011广东肇庆，24，10分）已知：如图， ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的 平分线交 AC于点 F，交 ⊙O于点 D，DE⊥AB于点 E，且交 AC于点 P，连结 AD． （1）求证：∠DAC ＝∠DBA； （2）求证： P是线段 AF的中点； （3）若⊙O 的半径为 5，AF ＝ 2 15 ，求 tan∠ABF的值． A B C D E O F P 【答案】(1）∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA ∵∠DAC与∠CBD都是弧 CD所对的圆周角，∴ ∠DAC＝∠CBD ∴ ∠DAC ＝∠DBA (2）∵AB为直径，∴∠ADB＝90° 又∵DE⊥AB于点 E，∴∠DEB＝90° ∴∠ADE +∠EDB＝∠ABD +∠EDB＝90° ∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP ∴PD＝PA 又∵∠DFA +∠DAC＝∠ADE +∠PD F＝90°且∠ADE＝∠DAC ∴∠PDF＝∠PFD ∴PD＝PF ∴PA＝ PF 即 P是线段 AF的中点 (3）∵∠DAF ＝∠DBA，∠ADB＝∠FDA＝90°∴△FDA ∽△ADB ∴ AB AF DB AD  ∴在 Rt△ABD 中，tan∠ABD＝ 4 3 10 2 15  AB AF DB AD ，即 tan∠ABF＝ 4 3 22. （2011内蒙古乌兰察布，21，10分） 如图，在 Rt△ABC中,∠ACB＝90°，D是 AB 边上的一点，以 BD为直径的 ⊙0与边 AC 相切于点 E，连结 DE并延长，与 BC的延长线交于点 F . ( 1 ）求证： BD = BF ; ( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的长． 【答案】⑴连结 OE， 则 OE⊥AC, 所以∠AEO=90°， ∠AED=∠CEF, ∠ACB＝90° ∠CEF+∠F＝90° ∠AED +∠OED＝90° ∠OED=∠F 又因为 OD=OE 所以∠OED=∠ODE ∠ODE=∠F BD=BF ⑵Rt△ABC和 Rt△AOE中，∠A是公共角 所以 Rt△ABC∽Rt△AOE OE AO BC AB  ，设⊙0的半径是 r，则有 8 12 8 2 r r r    求出 r=8,所以 BF=BD=16 23. （2011湖北鄂州，22，8分）在圆内接四边形 ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线， F为弧 AD上一点，BC=AF，延长 DF与 BA的延长线交于 E． ⑴求证△ABD为等腰三角形． ⑵求证 AC•AF=DF•FE 第 22题图 B A F E D C M 【答案】⑴由圆的性质知∠MCD=∠DAB、∠DCA=∠DBA，而∠MCD=∠DCA，所以∠ DBA=∠DAB，故△ABD为等腰三角形． ⑵∵∠DBA=∠DAB ∴弧 AD=弧 BD 又∵BC=AF ∴弧 BC=弧 AF、∠CDB=∠FDA ∴弧 CD=弧 DF ∴CD=DF 再由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知 ∠AFE=∠DBA=∠DCA①，∠FAE=∠BDE ∴∠CDA=∠CDB＋∠BDA=∠FDA＋∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△ FAE ∴AC：FE=CD：AF ∴AC•AF= CD •FE 而 CD=DF， ∴AC•AF=DF•FE 24. （2010湖北孝感，23，10分）如图，等边△ABC内接于⊙O，P 是AB上任一点（点 P 不与点 A、B 重合）.连 AP、BP，过点 C作 CM∥BP 交 PA 的延长线于点 M. （1）填空：∠APC＝ 度，∠BPC＝ 度；（2 分） （2）求证：△ACM∽△BCP；（4 分） （3）若 PA=1，PB=2，求梯形 PBCM 的面积. （4分） 【答案】解：（1）60,60； （2）∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC=60.[来源:Zxxk.Com] ∴∠M=180°－∠BPM=180－（∠APC+∠BPC）=180°－120°=60°. ∴∠M=∠BPC=60°. （3）∵ACM≌BCP，∴CM=CP，AM=BP. 又∠M=60°，∴△PCM为等边三角形. ∴CM=CP=PM=1+2=3. 作 PH⊥CM于 H. 在 Rt△PMH中，∠MPH=30°. ∴PH= 3 3 2 . ∴S 梯形 PBCM= 1 1 3 15( ) (2 3) 3 3 2 2 2 4 PB CM PH      . 25. （2011 湖北宜昌，21，8分）如图 D 是△ABC 的边 BC 的中点，过 AD 延长线上的点 E 作 AD 的垂线 EF，E为垂足，EF 与 AB 的延长线相交于点 F，点 0 在 AD 上，AO = CO，BC//EF. (1)证明:AB=AC； (2)证明:点 0 是 AABC 的外接圆的圆心； (3)当 AB=5,BC=6 时，连接 BE 若∠ABE=90°，求 AE 的长. （第 21 题图） 【答案】解:(1)∵AE⊥EF， EF∥BC，∴AD⊥BC．(1 分)在△ABD 和△ACD 中，∵ BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD．(或者：又∵BD＝CD，∴AE 是 BC的中垂线．) (2分)∴AB＝AC． (3分) (2)连 BO，∵AD 是 BC 的中垂线，∴BO＝CO．(或者：证全等也可得到 BO＝CO．) 又 AO＝CO，∴AO＝BO＝CO．(4分)∴点 O是△ABC外接圆的圆心． (5分) （3）解法 1：∵∠ABE＝∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=∠AEB+∠BAE=90°，∴∠ABD= ∠AEB． 又∵∠BAD=∠EAB，∴△ABD∽△AEB．∴ AB AD AE AB  （ 6 分）在 Rt△ABD 中，∵AB=5， BD=1， 2BC=3，∴ AD=4．（ 7 分）∴AE= 4 25 (8 分 )解法 2： ∵AO＝ BO，∴∠ABO＝∠ BAO．∵∠ABE＝ 90°，∴∠ABO＋∠OBE＝∠BAO ＋∠ AEB＝ 90°．∴∠ OBE＝∠ OEB，∴ OB＝ OE． (6 分 )在 Rt△ ABD 中，∵ AB=5，BD=1，2BC=3，∴AD=4． 设 OB＝ x， 则 OD＝ 4－ x，由 32+（ 4-x) 2=x 2 , 解得 x= 8 25 (7 分 )∴AE＝ 2OB＝ 4 25 一、选择题 1．（2010安徽省中中考） 如图，⊙O过点 B 、C。圆心 O在等腰直角△ABC的内部，∠ BAC＝900，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为………………（ ） A） 10 B） 32 C） 23 D） 13 【答案】C 2．（2010安徽蚌埠二中）以半圆的一条弦 BC（非直径）为对称轴将弧 BC折叠后 与直径 AB交于点D，若 3 2  DB AD ，且 10AB ，则CB的 长为 A． 54 B． 34 C． 24 D．4 【答案】A 3．（2010安徽芜湖）如图所示，在圆⊙O内有折线 OABC，其中 OA＝8，AB＝12，∠A＝ ∠B＝60°，则 BC的长为（） A．19 B．16 C．18 D．20 【答案】D 4．（2010 甘肃兰州） 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三 角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的 有 A．4 个 B．3 个 C． 2 个 D． 1 个 【答案】B 5．（2010 甘肃兰州）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点 C 在半圆上．点 A、B的读数分别为 86°、30°，则∠ACB 的大小为 A．15  B．28  C．29  D．34  【答案】B 6．（2010江苏南通） 如图，⊙O的直径 AB=4，点 C在⊙O上，∠ABC=30°，则 AC的长 是 A．1 B． 2 C． 3 D．2 【答案】D 7．（2010 山东烟台）如图，△ ABC 内接于⊙O，D 为线段 AB 的中点，延长 OD 交⊙O 于点 E，连接 AE，BE，则下列五个结论①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤ ,正确结论的个数是 A、2 B、3 C、4 D、5 【答案】B 8．（2010台湾）如图(二)， AB为圆 O的直径，C、D两点均在圆上，其中OD与 AC交于 E点，且OD  AC。若OE =4， ED =2，则 BC长度为何？ (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 。 A B C D E O 图(二) 【答案】C 9．（2010 浙江嘉兴）如图，A、B、C 是⊙O 上的三点，已知  60O ，则 C （ ▲ ） （A） 20 （B） 25 （C） 30 （D） 45 【答案】C 10．（2010 浙江台州市）如图，⊙O的直径 CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB大小为 (▲) （第 5题） A B O C D A．25° B．30° C．40° D．50° 【答案】A 11．（2010 重庆）如图，△ ABC是⊙O的内接三角形，若 70ABC   ， 则 AOC 的度数等于（ ） O A B C （第 4题） 6题图 A O C B A．140 B．130 C．120 D．110 【答案】A 12．（2010重庆市潼南县）如图，已知 AB为⊙O的直径，点 C在⊙O上,∠C=15°, 则∠BOC的度数为（ ） A．15° B. 30° C. 45° D．60° A B C O 题图4 【答案】B 13．（2010 福建德化）如图，点 B、C在⊙O上，且 BO=BC，则圆周角 BAC 等于（ ） A．60 B．50 C． 40 D．30 O C B A 【答案】D 14．（2010 福建晋江）如图， A、 B、C是⊙O上的三点，且 A是优弧BAC 上与点 B、 点C不同的一点，若 BOC 是直角三角形，则 BAC 必是( ) . A O BC 第 6题图 A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.有一个角是 30 的三角形 D.有一个角是 45 的三角形 【答案】D 15．（2010 浙江金华）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=40°，则∠BOC的度数为（ ▲ ） A CB O A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 【答案】D 16．（2010四川宜宾）若⊙O的半径为 4cm，点 A到圆心 O的距离为 3cm，那么点 A与⊙ O的位置关系是( ) A．点 A在圆内 B．点 A在圆上 c．点 A在圆外 D．不能确定 【答案】A 17．（2010 浙江绍兴）已知⊙O的半径为 5,弦 AB的弦心距为 3,则 AB的长是( ) A.3 B.4 C.6 D.8 【答案】D 18．（2010湖南衡阳）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°， 则 3 的度数等于（ ） A．50° B．30° C．20° D．15° 1 2 3 【答案】C 19．（2010湖南衡阳）如图，已知⊙O的两条弦 AC，BD 相交于点 E，∠A=70o，∠c=50o， 那么 sin∠AEB 的值为( ) A. 2 1 B. 3 3 C. 2 2 D. 2 3 【答案】D 20．（2010 河北）如图 3，在 5×5正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是 M RQ 图 3 A B C P A．点 P B．点 Q C．点 R D．点 M 【答案】B 21．（2010 山东省德州）已知三角形的三边长分别为 3,4,5，则它的边与半径为 1的圆的 公共点个数所有可能的情况是 (A)0，1，2，3 (B)0，1，2，4 (C)0，1，2，3，4 (D)0，1，2，4，5 【答案】C 22．（2010福建宁德）如图，在⊙O中，∠ACB＝34°，则∠AOB的度数是（ ）． 第 5题图 A O C B A.17° B.34° C.56° D.68° 【答案】D 23．（2010 年贵州毕节）如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为 16cm2, 则该半圆的半径为（ ） D C B A O A. (4 5) cm B. 9 cm C. 4 5 cm D. 6 2 cm 【答案】C. 24．（2010湖北武汉）如图，的直径 AB 长为 10，弦 AC 长为 6，∠ACB 的平分线交⊙O 于 D，则 CD的长为（ ） A、7 B、7 2 C、8 2 D、9 【答案】B 25．（2010浙江湖州）如图，已知⊙O的直径 AB⊥弦 CD于点 E，下列结论中一定正确的 是（ ） A．AE＝OE B．CE＝DE C．OE＝ 1 2 CE D．∠AOC＝ 60° ． 【答案】B． 26．（2010湖北荆门）如图，MN是半径为 1的⊙O的直径，点 A在⊙O上， ∠AMN=30°，B为 AN弧的中点，点 P是直径 MN上一个动点，则 PA+PB的最小值为 A．2 2 B． 2 C．1 D．2 NM B A 第10题图 P O 【答案】B 27．（2010山东潍坊）如图，AB是⊙O的弦，半径 OC⊥AB于 D点，且 AB＝6cm， OD＝4cm，则 DC的长为（ ）． A．5cm B．2．5cm C．2cm D．1cm 【答案】D 28．（2010湖南郴州）如图， AB是 O 的直径，CD为弦，CD AB⊥ 于 E， 则下列结论中不成立．．．的是 第 7题 Ａ． A D   Ｂ．CE DE Ｃ． 90ACB   Ｄ．CE BD 【答案】 D 29．（2010湖北荆州）△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，作△ABC的外接圆．如图，若 弧 A B 的长为 12cm，那么弧 AC 的长是 A．10cm B．9cm C．8cm D．6cm 【答案】C 30．（2010湖北鄂州）如图，已知 AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连结 AC，过点 C作直线 CD⊥AB交 AB于点Ｄ，Ｅ是 OＢ上的一点，直线 CE与⊙O交于点 F，连结 AF 交直线 CD于点 G，AC= 22 ,则 AG·AF是 Ａ．10 Ｂ．12 Ｃ．16 Ｄ．8 图2 E D C B A o 【答案】D 31（2010云南红河哈尼族彝族自治州）如图 2，已知 BD是⊙O的直径，⊙O的弦 AC⊥BD 于点 E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为 A.30° B.40° C.50° D.60° 【答案】A 32. （2010 四川乐山）如图，一圆弧过方格的格点 A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标 系，使点 A的坐标为（－2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ） A. （－1，2）B. （1，－1）C. （－1，1）D. （2，1） A C B 【答案】C 33. （2010黑龙江哈尔滨）如图，AB是⊙O的弦，半径 OA=2， 120AOB ，则弦 AB 的长是 （ ） （A） 22 （B） 32 （C） 5 （D）． 23 【答案】B 34. （2010陕西西安）如图，点 A、B、P在⊙O上，且∠APB=50°若点M是⊙O上的动 点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 35. （2010 福建三明）如图，在平面直角坐标系中，点 P在第一象限，⊙P与 x轴相切于 点 Q，与 y轴交于M（0，2）， N（0，8）两点，则点 P的坐标是 （ ） A．（5，3） B．（3，5） C．（5，4） D．（4，5） 【答案】D 36. （2010 湖北襄樊）已知⊙O的半径为 13cm，弦 AB//CD，AB=24cm，CD=10cm，则 AB、 CD之间的距离为（ ） A．17cm B．7 cm C．12 cm D．17 cm或 7 cm M O B O B A DC A DCN N M 图(1) 图(2) 【答案】D 37. （2010 四川绵阳）如图，等腰梯形 ABCD内接于半圆 D，且 AB = 1，BC = 2，则 OA =（ ）． A． 2 31 B． 2 C． 3 23 D． 2 51 CB A O D 【答案】A 38．（2010 贵州贵阳）如图 1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若 AC=8， AB=10，OD⊥BC于点 D，则 BD的长为 （A）1.5 （B）3 （C）5 （D）6 (图 1) 【答案】B 39．（2010湖北十堰）下列命题中，正确命题的序号是（ ） ①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ②一组邻边相等的平行四边形是正方形 ③对角线相等的四边形是矩形 ④对角互补的四边形内接于圆 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 40．（2010 重庆江津）已知：点A、B、P为⊙O上的点，若∠PBO=15º, 且PA∥OB，则∠AOB=（ ） A． 15º B． 20º C． 30º D． 45º 【答案】C 41．（2010 青海西宁）如图，在半径为 5 的⊙O 中，若弦 AB=8，则△AOB 的面积为 A. 24 B. 16 C. 12 D.8 【答案】C 42．如图，锐角△ABC 的顶点 A、B、C均在⊙O 上，∠OAC=20°，则∠B的度数为 A．40° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 43．（2010 新疆维吾尔自治区新疆建设兵团）如右图，王大爷家屋后有一块长 12m，宽 8m 的矩形空地，他在以 BC 为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在 A 处，为了不让羊 吃到菜，拴羊的绳子可以选用（ ） A. 3m B.5m C.7m D. 9m 【答案】A 44．（2010新疆乌鲁木齐）如图 2，在平面直角坐标系中，点 A、B、C的坐标分别为 （1，4），（5，4），（1，-2），则 ABC 外接圆的圆心坐标是 A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1） 【答案】D 45．（2010 广西梧州）如图 6，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB于点 E，则下列结论一定正 确的个数有①CE=DE；②BE=OE；③CB⌒=BD⌒；④∠CAB=∠DAB；⑤AC=AD。（ ） A．4个 B．3个 C．2 个 D．1 个 图 6 B C DE O A · 【答案】A 46．（2010广东佛山）如图，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是 A．MP 与 RN的大小关系不定 B.MP=RN C.MP＜RN D.MP＞RN 【答案】B 47．（2010天门、潜江、仙桃）如图，半圆 O的直径 AB=7，两弦 AB、CD相交于点 E，弦 CD= 2 7 ，且 BD=5，则 DE等于( ) A. 22 B. 24 C. 3 5 D. 2 5 ． 【答案】C. 48．（2010贵州铜仁）如图，MN为⊙O的弦，∠M＝30°，则∠MON 等于（ ） A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】D 49．（2010黑龙江绥化）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半 径为 6，sinB= 1 3 ，则线段 AC的长是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 50．（2010广东湛江）如图，已知圆心角∠BOC＝100°，则圆周角∠BAC的大小是（ ） A. 50° B. 100° C.130 ° D. 200° 【答案】A 51．（2010广东清远）下列各图中，∠1=∠2的是（ ） 【答案】D 52．（2010内蒙呼和浩特）如图，⊙O 的直径 CD＝10cm，AB 是⊙O 的弦，AB CD，垂足为 M，OM：OC＝3：5，则 AB 的长为( ) CD O M B A A．8cm B. 91 cm C.6cm D.2cm 【答案】A 53．（2010四川攀枝花）如图２，△ABC内接于⊙O，若∠OAＢ＝２８ 0 ，则∠C的大小是（ ） A．５６ 0 B．６２ 0 C．２８ 0 D．３２ 0 B C A O 图 2 全品中考网 【答案】B 二、填空题 1．1．(2010 江苏苏州)如图，已知 A、B两点的坐标分别为  2 3 0， 、(0，2)，P是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点 P的坐标为 ▲ ． 【答案】 2．（2010安徽省中中考） 如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝500， 点 D是 BAC上一点，则∠D＝_______________ 【答案】 3．（2010安徽芜湖）芜湖国际动漫节期间，小明进行了富有创意的形象设计．如图 1，他 在边长为 1的正方形 ABCD内作等边三角形 BCE，并与正方形的对角线交于 F、G点， 制 成 如 图 2 的 图 标 ． 则 图 标 中 阴 影 部 分 图 形 AFEGD 的 面 积 ＝ __________． 【答案】 4．（10 湖南益阳）1 如图 5，分别以 A、B 为圆心，线段 AB 的长为半径的两个圆相交于 C、 D两点，则∠CAD 的度数为 ． 【答案】120° 5．（2010山东青岛）如图，点 A、B、C在⊙O上，若∠BAC = 24°，则∠BOC = °． O A B C 第 10题图 · 【答案】48 6．（2010山东威海）如图，AB为⊙O的直径，点 C，D在⊙O上．若 ∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是 ． ﹙第 14题图﹚ A B D O C 【答案】105° 7．（2010四川眉山）如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则∠OBC的度数为_______． 【答案】50° 8．（2010重庆綦江县）如图所示，A、B、C、D是圆上的点，∠1＝68°，∠A＝40°．则∠ D＝_______． 【答案】28° 9．（2010 浙江绍兴）如图,⊙O是正三角形 ABC的外接圆,点 P在劣弧 AB上, ABP =22°,则 BCP 的度数为_____________. 第 12 题图 【答案】38° 10．（2010 浙江衢州） 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点 D是BC的中点， 已知∠AOB=98°，∠COB=120°．则∠ABD的度数是 ． A B C D O (第 16题) 【答案】101° 11．（2010 江苏泰州）如图⊙O 的半径为 1cm，弦 AB、CD的长度分别为 2 ,1cm cm，则 弦 AC、BD所夹的锐角 ＝ ． 【答案】75° 12．（2010 江苏无锡）如图，AB 是 O 的直径，点 D 在 O 上∠AOD=130°，BC∥OD 交 O 于 C，则∠A= ▲ ． （第 15题） 【答案】40° 13．（2010湖南邵阳）如图（八）在等边△ABC中，以 AB为直径的⊙O与 BC相交于点 D， 连结 AD，则∠DAC的度数为 ． A B D C 图（八） 【答案】）30° 14．（2010 江苏连云港）如图，点 A、B、C在⊙O上，AB∥CD，∠B＝22°，则∠A＝________°． A B O· C 第 16题 【答案】44 15．（2010 黄冈）如图，⊙O中，  MAN 的度数为 320°，则圆周角∠MAN＝____________. 第 4题图 【答案】20° 16．（2010福建宁德）如图，在直径 AB＝12 的⊙O中，弦 CD⊥AB 于M，且M是半径 OB 的中点， 则弦 CD 的长是_______（结果保留根号）. · A B C D O M 第 17题图 【答案】6 3 17．（2010 江西）如图，以点 P为圆心的圆弧与 X 轴交于 A，B；两点，点 P 的坐标为（4， 2）点 A 的坐标为（2，0）则点 B 的坐标为 ． （15 题） 【答案】 )0,6( 18．（2010 年贵州毕节）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为 5，OC⊥AB于点 D，交⊙O 于点 C，且 CD＝l，则弦 AB的长是 ． 【答案】6． 19．（2010 四川巴中）如图 7所示，⊙O的两弦 AB、CD交于点 P，连接 AC、BD， 得 S△ACP：S△DBP=16:9，则 AC：BD 【答案】4：3。 20．（2010浙江湖州）请你在如图所示的 12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆 最多能经过 169个格点中的 个格点． 【答案】12． 21．（2010江苏常州）如图，AB是⊙O的直径，弦 DC与 AB相交于点 E，若∠ACD=60°， ∠ADC=50°，则 ∠ABD= ，∠CEB= 。 【答案】60°，100° 22．（2010江苏淮安）如图，已知点 A，B，C在⊙O 上，AC∥0B，∠BOC=40°，则∠ABO= ． 【答案】20° 23．（2010湖北荆门）在⊙O中直径为 4，弦 AB=2 3，点 C是圆上不同于 A、B的点， 那么∠ACB的度数为________． 【答案】60°或 120° 24．（2010 四川成都）如图，在 ABC 中， AB为⊙O的直径， 60 , 70B C     ， 则 BOD 的度数是_____________度． 【答案】100 25．（2010 四川成都）如图， ABC 内接于⊙O， 90 ,B AB BC   ，D是⊙O上 与点 B 关于圆心O成中心对称的点， P 是 BC 边上一点，连结 AD DC AP、 、 ．已知 8AB  ， 2CP  ，Q是线段 AP上一动点，连结 BQ并延长交四边形 ABCD的一边于点 R，且满足 AP BR ，则 BQ QR 的值为_______________． 【答案】1和 12 13 26．（2010湖北鄂州）已知⊙O的半径为 10，弦 AB的长为10 3，点 C在⊙O上，且 C 点到弦 AB所在的直线的距离为 5，则以 O、A、B、C为顶点的四边形的面积是 ． 【答案】50 3 27．（2010江苏扬州）如图，AB为⊙O直径，点 C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC， 则∠AOD＝__________． A B CD O 第 15题 【答案】40 28．（2010 北京）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥ AB，垂足为点 E，连结 OC，若 OC＝5， CD＝8，则 AE＝ ． 【答案】2 29．（2010湖北随州）如图，⊙O中，  MAN 的度数为 320°，则圆周角∠MAN＝____________. 第 4题图 【答案】20° 30．（2010 江苏徐州）如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 与小圆相切于点 C，若大圆的半径为 5 cm，小圆的半径为 3 cm，则弦 AB 的长为_______cm． 【答案】8 31．（2010云南昆明）半径为 r的圆内接正三角形的边长为 .（结果可保留 根号） 【答案】 3 r 32．（2010陕西西安）如图是一条水平铺设的直径为 2米的通水管道横截面，其水面宽 为 1.6米，则这条管道中此时最深为 米。 【答案】0.4 33．（2010 江西省南昌）如图.⊙O 中，AB、AC 是弦，O 在∠ABO 的内部， ABO ， ACO ， BOC ，则下列关系中，正确的是 （ ） A.   B.  22  C．  180 D.  360 【答案】 34．（2010 福建三明）如图，在⊙O中，∠ACB=35°，则∠AOB= 度。 【答案】10 35．（2010 山东东营）将一直径为 17cm的圆形纸片（图①）剪成如图②所示形状的纸片， 再将纸片沿虚线折叠得到正方体（图③）形状的纸盒，则这样的纸盒体积最大为 cm3． （第 16题图） ① ② ③ 【答案】 1717 36．（2010 江苏镇江）如图，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，若 AB=10，CD=8， 则线段 OE的长为 . 【答案】3 37．（2010 山东淄博）如图，在直角坐标系中，以坐标原点为圆心、半径为 1的⊙O 与 x轴交于 A，B两点，与 y轴交于 C，D两点．E为⊙O上在第一象限的某一点，直线 BF 交 ⊙ O 于 点 F ， 且 ∠ ABF ＝ ∠ AEC ， 则 直 线 BF 对 应 的 函 数 表 达 式 为 ． E BOA y x (第 17题) C D 【答案】 1 xy ， 1 xy 38．（2010 云南玉溪） 如图 6，在半径为 10 的⊙O 中，OC 垂直弦 AB 于点 D， AB＝16，则 CD 的长是 ． 【答案】4 39．（2010 天津）如图，⊙O中，弦 AB、CD相交于点 P， 若 30A  ， 70APD  ， 则 B 等于 （A） 30 （B）35 （C） 40 （D） 50 第（7）题 B C A D P O 【答案】C 40．（2010 广西钦州市）如图，点 C在⊙O上，∠ACB＝50°，则∠AOB＝_▲_°． B C  A O 【答案】100° 41．（2010 吉林长春）如图，⊙P 与 x轴切与点 O，点 P 的坐标为（0,1），点 A 在⊙P上， 且在第一象限，∠APO=120°，⊙P 沿 x 轴正方向滚动，当点 A 第一次落在 x 轴上时，点 A 的横坐标为 （结果保留π）。 【答案】 2 3 x 42．（2010新疆乌鲁木齐）如图 4，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，若 35CDB °， 则 ABC 的度数为 。 【答案】55° 43．（2010广西南宁）如图 6, AB为半圆O的直径， ABOC  ,OD平分 BOC ，交半 圆于点D , AD交OC于点 E，则 AEO 的度数是 0 【答案】67.5 44．（2010云南昭通）如图 5，⊙O的弦 AB=8， M是 AB的中点，且 OM为 3，则⊙O的 半径为________． 图5 M BA O 【答案】5 45．（2010贵州遵义）如图，⊿ABC内接于⊙O，∠C=40，则∠ABO= 度. 【答案】50 46．（2010广西柳州）如图 8，AB是⊙O的直径，弦 BC=2cm，F是弦 BC的 中点，∠ABC=60°．若动点 E以 2cm/s的速度从 A点 出发沿着 A→B→A方向运动，设运动时间为 t(s)(0≤t＜3)， 连结 EF，当 t值为________s时，△BEF是直角三角形． F E OA C B 【答案】1或 1.75或 2.25 47．（2010 辽宁本溪）如图所示，△ABC 内接于⊙O，∠A=40°，则∠OBC 的度数 是 . A C B O 【答案】50° 48．（2010福建南平）如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，则∠BOC=_______°. 第 14题 A B C O · 答案:120 49．（2010 年福建省泉州）如图，点 A、 B、C在⊙O上，  45A ，则 BOC . 【答案】90° 50．（2010广东肇庆）如图 2，点 A、B、C都在⊙O上，若∠C＝35°，则∠AOB的度数 是______度． 全品中考网 【答案】70° 51．（2010四川广安）如右图，在⊙O中，点 C是弧 AB 的中点，∠A=50°，则∠BOC等 于 度． 【答案】40° 52．（2010 吉林）如图，AB 是⊙O的直径，点 C 在⊙O上，∠ABC=500，动点 P在弦 BC 上， 则∠PAB 可能为________度（写出一个．．符合条件的度数即可）。 【答案】 53．（2010四川达州）如图 6，一个宽为 2 cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻 度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的 读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的 直径是 cm. 图 6 【答案】10 54．（2010湖南娄底）如图 7在半径为 R的⊙O中，弦 AB的长与半径 R相等，C是优弧AB⌒ 上一点，则∠ACB的度数是_______. 图 7 A B C O · 【答案】30° 55．（2010内蒙赤峰）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为 C，交 ⊙O于一点 D，点 E在⊙O上，∠AED=25°，则∠OBA 的度数是___________． 【答案】40o 56．（2010湖北黄石）如图，⊙O中，OA⊥BC,∠AOB＝60°,则 sin∠ADC＝ . 【答案】 三、解答题 1．（2010 甘肃兰州）（本题满分 6 分）小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树 A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上． （1）（本小题满分 4分）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留 作图痕迹）． （2）（本小题满分 2 分））若△ABC 中 AB=8 米，AC=6 米，∠BAC= 90 ，试求小明家圆 形花坛的面积． 【答案】(1)（本小题满分 4分） 用尺规作出两边的垂直平分线 作出圆 ⊙O即为所求做的花园的位置.（图略） （2）（本小题满分 2 分） 解：∵∠BAC= 90 ,AB=8 米,AC=6 米, ∴BC=10 米 ∴ △ABC 外接圆的半径为 5米 ∴小明家圆形花坛的面积为 25 平方米 . 2．（2010江苏南通）（本小题满分 8分） 如图，⊙O的直径 AB垂直于弦 CD，垂足 P是 OB的中点， CD＝6 cm，求直径 AB的长． O B A D C · P （第 20题） 【答案】方法一：连结 OC，BC，则 OC=OB ∵PC垂直平分 OB，∴OC=BC.∴OC=OB=BC.∴△BOC为等边三角形. ∴∠BOC=60° 由垂径定理，CP= 1 2 CD=3cm 在 Rt△BOC中， CP OP =tan∠COP= 3 ∴OP= 3 cm. ∴AB=2OB=4OP=4 3 cm. 方法二： 解：连 OC，设 OP为 x，则 OC为 2 x，直径 AB为 4 x， 在 Rt△COP中， 222 PCOPOC  即   222 32  xx ，解得 3x 所以直径 AB为 34 cm. 3．（2010 山东济宁）如图，AD为 ABC 外接圆的直径，AD BC ，垂足为点 F ， ABC 的平分线交 AD于点 E ，连接 BD，CD . (1) 求证： BD CD ； (2) 请判断 B， E ，C 三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由. A B C E F D (第 20 题) 【答案】 （1）证明：∵ AD为直径， AD BC ， ∴ BD CD .∴ BD CD . ························································· 3分 （2）答： B， E ，C 三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上. ·························4分 理由：由（1）知： BD CD ，∴ BAD CBD   . ∵ DBE CBD CBE    ， DEB BAD ABE    ， CBE ABE   ， ∴ DBE DEB   .∴DB DE .·························································· 6分 由（1）知：BD CD .∴DB DE DC  . ∴ B， E ，C 三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上. ····························7分 4．（2010浙江嘉兴）如图，已知⊙O的半径为 1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形 沿 PQ排成一列，所有正三角形都关于 PQ对称，其中第一个 111 CBA△ 的顶点 1A 与点 P 重合，第二个 222 CBA△ 的顶点 2A 是 11CB 与 PQ的交点，…，最后一个 nnn CBA△ 的顶 点 nB 、 nC 在圆上． （1）如图 1，当 1n 时，求正三角形的边长 1a ； （2）如图 2，当 2n 时，求正三角形的边长 2a ； （3）如题图，求正三角形的边长 na （用含 n的代数式表示）． 【答案】 （1）设 PQ与 11CB 交于点 D，连结 1OB ， Q )( 1AP 1B 1C （第23题 图1） O D 则 1 2 3 111  aOADAOD ， 在 DOB1Rt△ 中， 22 1 2 1 ODDBOB  ， 即 2 1 2 1 2 )1 2 3() 2 1(1  aa ， 解得 31 a ． …4分 （2）设 PQ与 22CB 交于点 E，连结 2OB ， 则 132 2121  aOAAAOE ， 在 EOB2Rt△ 中 22 2 2 2 OEEBOB  ， Q )( 1AP 1B 1C （第23题 图1） Q )( 1AP 1B 1C 2A 2B 2C （第23题 图2） )( 1AP Q 1B 1C nA nB nC （第 23题） 2B 2C 2A  Q )( 1AP 1B 1C 2A 2B 2C （第23题 图2） O E 即 2 2 2 2 2 )13() 2 1(1  aa ， 解得 13 38 2 a ． …4分 （3）设 PQ与 nnCB 交于点 F，连结 nOB ， 则 1 2 3  nnaOF ， 在 FOBn△Rt 中 222 OFFBOB nn  ， 即 222 )1 2 3() 2 1(1  nn naa ， 解得 13 34 2   n nan ． …4分 5．（2010 嵊州市）（10分） （1）请在图①的正方形 ABCD内，画出使∠APB＝90°的一个点 P，并说明理由。 （2）请在图②的正方形 ABCD 内（含边），画出使∠APB＝60°的所有的点 P，并说明理 由。 （3）如图③，现在一块矩形钢板 ABCD，AB＝4，BC＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、 面积最大的△APB 和△CP ' D 钢板，且∠APB＝∠CP ' D＝60°，请你在图③中画出符合要 求的点 P 和 P ' 。 图① 图② 图③ 【答案】(1)如图①，点 P 为所求 （2）如图②，圆上实线部分弧 EF 为所求②③ （3）如图③，点 p、 'p 为所求 O F )( 1AP Q 1B 1C nA nB nC （第 23题） 2B 2C 2A  6．（2010浙江金华）如图，AB是⊙O的直径，C是 的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于 点F． （1）求证：CF﹦BF； （2）若 CD ﹦6， AC ﹦8，则⊙O的半径为 ▲ ， CE的长是 ▲ ． 【答案】解：(1) 证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB﹦90° 又∵CE⊥AB， ∴∠CEB﹦90° ∴∠2﹦90°－∠A﹦∠1 又∵C是弧 BD的中点，∴∠1﹦∠A ∴∠1﹦∠2, ∴ CF﹦BF﹒ A C B D E F O 1 2 (2) ⊙O的半径为 5 ， CE的长是 5 24 7．（2010 四川南充）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC， OE＝ 1 2 BC． （1）求∠BAC的度数． （2）将△ACD沿 AC折叠为△ACF，将△ABD沿 AB折叠为△ABG，延长 FC和 GB相交于 点 H．求证：四边形 AFHG是正方形． （3）若 BD＝6，CD＝4，求 AD的长． A F CDE G H B O A F CDE G H B O A C B D E F O 1 2 【答案】（1）解：连结 OB和 OC． A F CDE G H B O ∵ OE⊥BC，∴ BE＝CE． ∵ OE＝ 1 2 BC，∴ ∠BOC＝90°，∴ ∠BAC＝45°． （2）证明：∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°． 由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°， ∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD， ∴ ∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°． ∴ ∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°． ∴ 四边形 AFHG是正方形． （3）解：由（2）得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4． 设 AD的长为 x，则 BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4． 在 Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，∴ （x－6）2＋（x－4）2＝102． 解得，x1=12，x2＝－2（不合题意，舍去）． ∴ AD＝12． 8．（2010福建福州）如图，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB于点 E，点 P在⊙O上，∠1＝ ∠C． （1）求证：CB∥PD； （2）若 BC＝3，sinP＝3 5 ，求⊙O的直径． (第 19题) 【答案】解：（1）证明：∵  BD BD ， ∴ ∠C＝∠P． 又∵ ∠1＝∠C， ∴ ∠1＝∠P． ∴ CB∥PD． （2）连接 AC． ∵ AB为 0D的直径， ∴ ∠ACB=90°． 又∵ CD⊥AB， ∴  BC BD ∴ ∠A＝∠P， ∴ sinA＝sinP． 在 Rt△ABC中， sinA＝BC AB ， ∵ sinP＝3 5 ， ∴ BC AB ＝ 3 5 ． 又∵ BC＝3， ∴ AB＝5． 即⊙O的直径为 5． 9．（2010邵阳）阅读下列材料，然后解答问题。 经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。圆心是正四边形的 对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形。 如图（十三），已知正四边形 ABCD的外接圆⊙O，⊙O的面积为 S1，正四边形 ABCD 的面积为 S 2 ，以圆心 O为顶点作∠MON，使∠MON=90°，将∠MON绕点 O旋转， OM、ON分别与⊙O相交于点 E、F，分别与正四边形 ABCD的边相交于点 G、H。设 OE、OF、EF 及正四边形 ABCD的边围成的图形（图中阴影部分）的面积为 S （1）当 OM经过点 A时（如图①），则 S、S1、S 2 之间的关系为：S＝ （用 含 S1、S 2 的代数式表示）； （2）当 OM⊥AB时（如图②），点 G为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明 理由。 （3）当∠MON旋转到任意位置时（如图③，）则（1）中的结论仍然成立吗？请说明 理由． 图（十三） 【答案】解：（1） 1 2 4 S S （2）成立。理由：连 OB，可证图中的两个阴影部分的面积之和等于图①的阴影部分的面 积 （3）成立。过点 O分别作 AB、BC 的垂线交 AB、BC 于点 P、Q，交圆于点 X、Y，可证直角三 角形 OPG 全等于直角三角形 OQH，可说明两阴影部分面积之和等于图①的阴影部分面积． 10．（2010 年上海）机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图 5所示，“海 宝”从圆心 O出发，先沿北偏西 67.4°方向行走 13 米至点 A处，再沿正南方向行走 14 米至点 B处，最后沿正东方向行走至点 C处，点 B、C都在圆 O上.（1）求弦 BC的长； （2）求圆 O的半径长. （本题参考数据：sin 67.4° = 12 13 ，cos 67.4° = 5 13 ，tan 67.4° = 12 5 ） 67.4 A C 北 南 B O N S 图 5 【答案】(1)过 A作 AH垂直 NS于点 H，∴∠AHO=90°, sin 67.4° = 12 13 = AH AO , ∵OA=13米,∴AH=12米,∵AB∥OS,记 BC与 OS交于点 D， ∴AH=BD=12米,∵OS⊥BC于点 D，∴BD=CD=12米,∴BC=24米. （2）由（1）可得 OH=5米，∵AB=14 米，∴HD=9 米，联接 OB， ∵∠ODB=90°,∴OB= 2 29 12 15  11．（2010 广东珠海）如图，△ABC 内接于⊙O，AB＝6,AC＝4,D 是 AB 边上一点，P 是优弧 BAC 的中点，连结 PA、PB、PC、PD. (1)当 BD 的长度为多少时，△PAD 是以 AD 为底边的等腰三角形？并证明； （2）若 cos∠PCB= 5 5 ，求 PA 的长. 【答案】解：（1）当 BD＝AC＝4 时，△PAD 是以 AD 为底边的等腰三角形 ∵P 是优弧 BAC 的中点 ∴弧 PB＝弧 PC ∴PB＝PC ∵BD＝AC＝4 ∠PBD=∠PCA ∴△PBD≌△PCA ∴PA=PD 即△PAD 是以 AD 为底边的等腰三角形 （2）由（1）可知，当 BD＝4时，PD＝PA，AD＝AB-BD＝6-4＝2 过点 P作 PE⊥AD 于 E，则 AE＝ 2 1 AD=1 ∵∠PCB=∠PAD ∴cos∠PAD=cos∠PCB= 5 5  PA AE ∴PA= 5 12．（2010湖北荆门）如图，圆 O的直径为 5，在圆 O上位于直径 AB的异侧有定点 C和 动点 P，已知 BC：CA=4：3，点 P 在半圆弧 AB 上运动（不与 A、B两点重合），过 点 C作 CP的垂线 CD交 PB的延长线于 D点． （1）求证：AC·CD=PC·BC； （2）当点 P运动到 AB弧中点时，求 CD的长； （3）当点 P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求出这个最大面积 S。 第23题图 P O D C B A 【答案】（1）由题意，AB是⊙O的直径；∴∠ACB=90。 ，∵CD⊥CP，∴∠PCD=90。 ∴∠ACP+∠BCD=∠PCB+∠DCB=90。 ，∴∠ACP=∠DCB，又∵∠CBP=∠D+∠DCB，∠CBP= ∠ABP+∠ABC，∴∠ABC=∠APC，∴∠APC＝∠D，∴△PCA∽△DCB；∴ CD CP CB CA  ， 全 品中考网 ∴AC·CD=PC·BC （2）当 P运动到 AB弧的中点时,连接 AP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90。 ，又∵P 是弧 AB的中点，∴弧 PA=弧 PB，∴AP=BP，∴∠PAB=∠PBA=45.,又 AB=5，∴PA= 2 25 ， 过 A作 AM⊥CP，垂足为 M，在 Rt△AMC中，∠ACM=45 ，∴∠CAM=45，∴AM=CM= 2 23 ， 在 Rt△AMP 中，AM2+AP2=PM2，∴PM= 22 ，∴PC=PM+ 2 23 = 2 27 。由（1）知： AC·CD=PC·BC ，3×CD=PC×4，∴CD＝ 3 214 （3）由（1）知：AC·CD=PC·BC，所以 AC：BC=CP：CD；所以 CP：CD=3：4，而△PCD的 面积等于 CP 2 1 ·CD = 2 3 2 PC ，CP 是圆 O 的弦，当 CP 最长时，△PCD的面积最大，而此 时 CP 就是圆 O 的直径；所以 CP=5，∴3：4=5：CD；∴CD= 3 20 ，△PCD 的面积等于 CP 2 1 ·CD = 3 205 2 1  = 3 50 ； P O D C B A 13．（2010 四川成都）已知：如图， ABC 内接于⊙O，AB为直径，弦CE AB 于 F ，C是 AD的中点，连结 BD并延长交 EC的延长线于点G，连结 AD，分别交CE、BC 于点 P、Q． （1）求证： P是 ACQ 的外心； （2）若 3tan , 8 4 ABC CF   ,求CQ的长； （3）求证： 2( )FP PQ FP FG   ． 【答案】（1）证明：∵C是 AD的中点，∴AC=CD， ∴∠CAD=∠ABC ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。 ∴∠CAD+∠AQC=90° 又 CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90° ∴∠AQC=∠PCQ ∴在△PCQ中，PC=PQ， ∵CE⊥直径 AB，∴AC=AE ∴AE=CD ∴∠CAD=∠ACE。 ∴在△APC 中，有 PA=PC， ∴PA=PC=PQ ∴P是△ACQ 的外心。 （2）解：∵CE⊥直径 AB于 F， ∴在 Rt△BCF中，由 tan∠ABC= 3 4 CF BF  ，CF=8， 得 4 32 3 3 BF CF  。 ∴由勾股定理，得 2 2 40 3 BC CF BF   ∵AB是⊙O的直径， ∴在 Rt△ACB中，由 tan∠ABC= 3 4 AC BC  ， 40 3 BC  得 3 10 4 AC BC  。 易知 Rt△ACB∽Rt△QCA，∴ 2AC CQ BC  ∴ 2 15 2 ACCQ BC   。 （3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90° ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴∠DAB+∠ABD=90° 又 CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90° ∴∠DAB=∠G； ∴Rt△AFP∽Rt△GFB， ∴ AF FP FG BF  ，即 AF BF FP FG   易知 Rt△ACF∽Rt△CBF， ∴ 2FG AF BF  ∴ 2FC PF FG  由（1），知 PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC ∴ 2( )FP PQ FP FG   。 14．（2010山东潍坊）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且 AC＝CD． （1）求证：OC∥BD； （2）若 BC将四边形 OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形 OBDC的形状． 【答案】（1） ⊙O中，AC＝CD，则∠ABC＝∠DBC，∵OC＝OB，则∠ABC＝∠OAB， ∴∠OCB＝∠DBC，则 OC∥BD； （2）∵OC∥BD，不妨设平行线 OC与 BD之间的距离为 h，又 S△OBC＝ 1 2 OC×h，S△OBC＝ 1 2 OC×h，∵BC将四边形 OBDC分成面积相等的两个三角形，即 S△OBC＝ S△DBC，则 OC＝ BD，∴四边形 OBDC为平行四边形，因为 OC＝OB，所以四边形 OBDC为菱形． 15．（2010广东中山）如图，PA与⊙O 相切于 A 点，弦 AB⊥OP，垂足为 C，OP 与⊙O 相交 于 D点，已知 OA=2，OP=4． （1）求∠POA的度数； （2）计算弦 AB的长． 【答案】解：（1）∵PA 与⊙O 相切于 A 点， ∴∠PAO= 090 在 RtΔPAO中，OA=2，OP=4 ∴∠POA= 060 （2）∵AB⊥OP ∴AC=BC，∠OCA= 090 在 RtΔAOC中，OA=2，∠AOC= 060 ∴AC= 3 ∴AB=2 3 16．（2010黑龙江哈尔滨）如图，AB、AC为⊙O的弦，连接 CO、BO并延长分别交弦 AB、 AC于点 E、F，∠B=∠C。 求证：CE=BF。 【答案】证明：∵OB、OC是⊙O的半径，∴OB=OC 又 COFBOECB  EOB ≌ FOC ∴OE=OF ∴CE=BF 17．（2010四川 泸州）(本题满分 10 分)如图 9,在平行四边形 ABCD 中,E为 BC 边上的一 点,且 AE与 DE分别平分∠BAD和∠ADC. (1) 求证:AE⊥DE; (2) 设以 AD 为直径的半圆交 AB 于 F,连接 DF 交 AE 于 G,已知 CD=5,AE=8,求 FG AF 的 值. 【答案】(1)证明:在平行四边形 ABCD中,AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°, 又∵AE、DE平分∠BAD、∠ADC， ∴∠DAE+∠ADE=90°， ∴∠AED＝90°， ∴AE⊥DE. (2)解:在平行四边形 ABCD中,AD∥BC,AB=CD=5,AD=BC, ∴∠DAE=∠BEA, 又∵∠DAE=∠BAE,∴∠BEA=∠BAE, ∴BE=AB=5, 同理 EC=CD=5, ∴AD=BC=BE+EC=10, 在 RtAED中, DE= 2 2AD AE = 2 210 8 =6, 又∵AD为半圆的直径,∴∠AFD=90°,∴∠AFD=∠AED, ∵∠DAE=∠FAG,∴AFG∽AED, ∴ 6 3 8 4 GF DE AF AE    . 18．（2010 吉林长春）第 16 届亚运会将在中国广州举行。小李预定了两种价格的亚运会门 票，其中甲种门票共花费 280 元，乙种门票共花费 300 元，甲种门票比乙种门票多 2 张，乙 种门票价格是甲种门票价格的 1.5 倍，求甲种门票的价格。 【答案】 18．（2010 吉林长春）如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边 经过圆心 O，另一边所在直线与半圆相交于点 D、E，量出半径 OC=5cm，弦 DE=8cm。求直尺 的宽。 【答案】 19．（2010 湖北宜昌）如图①，P是△ABC边 AC上的动点，以 P为顶点作矩形 PDEF，顶 点 D,E在边 BC上，顶点 F在边 AB上；△ABC的底边 BC及 BC上的高的长分别为 a , h, 且是关于 x的一元二次方程 2 0mx nx k   的两个实数根，设过 D,E,F三点的⊙O的面积 为 OS ,矩形 PDEF的面积为 PDEFS矩形 。 （1）求证：以 a+h为边长的正方形面积与以 a、h为边长的矩形面积之比不小于 4； （2）求 O PDEF S S矩形 的最小值； （3）当 O PDEF S S矩形 的值最小时，过点 A作 BC的平行线交直线 BP与 Q，这时线段 AQ的长 与 m , n , k的取值是否有关？请说明理由。（11分） (第 23题) A CB M （第23题） G O Q E D F B C A P N 解：解法一： （1）据题意，∵a+h= m kha m n  , . ∴所求正方形与矩形的面积之比： ha ha   2)( mk n m k m n 2 2)(    ··················································· 1 分 ,4,04 22 mknmkn  由 m kah  知 km, 同号, 0mk ···································································· 2 分 （说明:此处未得出 0mk  只扣 1 分, 不再影响下面评分） ,442  mk mk mk n ······································································· 3 分 即正方形与矩形的面积之比不小于 4. （2）∵∠FED=90º,∴DF 为⊙O的直径. ∴⊙O的面积为： 2 2 2 2( ) ( ) 2 4 4O DF DFS EF DE     ．·················· 4 分 矩形 PDEF 的面积： PDEFS EF DE 矩形 ． ∴面积之比： ( ), 4 OS EF DE S DE EF    矩形PDEF 设 ,f DE EF  1= ( ) 4 OS f S f   矩形PDEF 2 2 2 1 1 1= ( ) ( ) 2 2 4 1( ) ........5 4 2 f f f f f f f f                 分 21( ) 0f f   , , 22 )1( 4 2   f f 1f f   ，即 1f  时（EF=DE）, OS S  矩形PDEF 的最小值为 2  ···················7 分 （3）当 OS S  矩形PDEF 的值最小时，这时矩形 PDEF 的四边相等为正方形． 过 B 点过 BM⊥AQ，M为垂足，BM 交直线 PF 于 N点，设 FP＝ e， ∵BN∥FE，NF∥BE,∴BN=EF,∴BN =FP =e. 由 BC∥MQ,得：BM =AG =h. ∵AQ∥BC, PF∥BC, ∴AQ∥FP, ∴△FBP∽△ABQ. ······································································8 分 （说明：此处有多种相似关系可用，要同等分步骤评 分） ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ……………………………………………………………6分 ⊙ ∴ FP BN AQ BM  ,……9分 ∴ h e AQ e  .∴ hAQ  ……10 分 m mknnAQ 2 42   ……11 分 ∴线段 AQ 的长与 m，n，k的取值有关. （解题过程叙述基本清楚即可） 解法二： （1）∵a，h 为线段长，即 a，h 都大于 0， ∴ah＞０…………1分（说明:此处未得出 0ah  只扣 1分,再不影响下面评分） ∵（a-h）２ ≥０，当 a＝h 时等号成立. 故，（a-h）２ ＝（a＋h）２ －４a h≥０．·································2 分 ∴（a＋h）２ ≥４a h， ∴ 2( )a h ah  ≥４．（﹡）·····························································3 分 这就证得 ha ha   2)( ≥４．（叙述基本明晰即可） （2）设矩形 PDEF 的边 PD=x，DE=y，则⊙O的直径为 2 2x y . S⊙O= 2 2 2( ) 2 x y   …………4 分, S 矩形PDEF=xy O PDEF S S  矩形 = 2 2( ) 4 x y xy   =                2)( 4 2)2( 4 222 xy yx xy xyyxyx  ·················6 分 由（1）（*）， . 2 )24( 4 2)( 4 2           xy yx . ∴ O PDEF S S  矩形 的最小值是 2  ··························································· 7 分 （3）当 OS S  矩形PDEF 的值最小时， 这时矩形 PDEF 的四边相等为正方形. ∴EF=PF．作 AG⊥BC，G为垂足. ∵△AGB∽△FEB，∴ AB AG BF EF  .……8分 ∵△AQB∽△FPB, AB AQ BF PF  ，……9 分 （第23题） G O Q E D F B C A P 2( ) 4x y xy   ⊙ ⊙ ⊙ ∴ AB AG BF EF  = AQ PF ． 而 EF=PF，∴AG=AQ=h, ……………10 分 ∴AG=h＝ 2 4 2 n n mk m    , 或者 AG=h＝ 2 4 2 n n mk m    ·························································11 分 ∴线段 AQ 的长与 m，n，k 的取值有关. 20．（2010福建省南平）如图，⊙O的直径 AB长为 6，弦 AC长为 2，∠ACB的平分线交 ⊙O于点 D，求四边形 ADBC的面积. · 第 21题 A B C O D 【答案】解：∵AB是直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°， 在 Rt△ABC中，AB=6， AC= 2，∴BC= AB2－AC2 = 62－22 = 4 2 ∵∠ACB的平分线交⊙O于点 D，∴∠DAC=∠BCD ∴AD⌒=DB⌒， ∴AD=BD ∴在 Rt△ABD中，AD=BD= 2 2 AB=3 2 ∴四边形 ADBC的面积=S△ABC+S△ABD=1 2 AC·BC+1 2 AD·BD =1 2 ×2×4 2 +1 2 ×(3 2 )2=9+4 2 21．（2010广西河池）如图 10，AB为 O 的直径，CD为弦，且CD AB ，垂足为H ． （1）如果 O 的半径为 4， 4 3CD  ，求 BAC 的度数； （2）若点 E为ADB的中点，连结OE，CE．求证：CE平分 OCD ； （3）在（1）的条件下，圆周上到直线 AC距离为 3的点有多少个？并说明理由． A B DE O C H A B DE O C H 【答案】解：（1）∵ AB为⊙O的直径，CD⊥AB ∴ CH＝ 2 1 CD＝2 3 在 Rt△COH中，sin∠COH= OC CH = 2 3 ∴ ∠COH=60° ∵ OA=OC ∴∠BAC= 2 1 ∠COH=30° （2）∵ 点 E是ADB的中点 ∴OE⊥AB ∴ OE∥CD ∴ ∠ECD= ∠OEC 又∵ ∠OEC=∠OCE ∴ ∠OCE=∠DCE ∴ CE平分∠OCD （3）圆周上到直线 AC的距离为 3 的点有 2 个. 因为劣弧AC 上的点到直线 AC的最大距离为 2， ADC上的点到直线 AC的最大 距离为 6， 2 3 6  ，根据圆的轴对称性，ADC到直线 AC距离为 3 的点有 2 个. 22．（2010广东清远）如下图，在⊙O中，点 P在直径 AB上运动，但与 A、B两点不重合， 过点 P作弦 CE⊥AB，在  AB上任取一点 D，直线 CD与直线 AB交于点 F，弦 DE交直线 AB于点 M，连接 CM. （1）如图 10，当点 P运动到与 O点重合时，求∠FDM的度数. 图 10 图 11 图 12 C A B (P) E O M F D C A B P E O F D M O C A B P E F D M （2）如图 11、图 12，当点 P运动到与 O点不重合时，求证：FM·OB=DF·MC. 【答案】28. 解：（1）点 P与点 O重合时，（如图 10） ∵CE是直径，∴∠CDE＝90°.…………（1分） ∵∠CDE＋∠FDM＝180°，∴∠FDM＝90°.…………（2分） （2）当点 P在 OA上运动时（如图 11） ∵OP⊥CE，∴ ⌒ AC＝ ⌒ AE＝1 2 ⌒ CE，CP＝EP. ∴CM＝EM. ∴∠CMP＝∠EMP. ∵∠DMO＝∠EMP， ∴∠CMP＝∠DMO. ∵∠CMP＋∠DMC＝∠DMO＋∠DMC， ∴∠DMF＝∠CMO. …………（3分） ∵∠D所对的弧是 ⌒ CE，∠COM所对的弧是 ⌒ AC， ∴∠D＝∠COM. …………（4分） ∴△DFM∽△OCM. ∴ DF OC ＝ FM MC ∴FM·OC＝DF·MC. ∵OB＝OC， ∴FM·OB＝DF·MC. …………（5分） 当点 P在 OB上运动时，（如图 12） 证法一：连结 AC，AE. ∵OP⊥CE，∴ ⌒ BC＝ ⌒ BE＝1 2 ⌒ CE，CP＝EP. ∴CM＝EM， ∴∠CMO＝∠EMO. ∵∠DMF＝∠EMO， ∴∠DMF＝∠CMO.………………（6分） ∵∠CDE所对的弧是 ⌒ CAE，∠CAE所对的弧是 ⌒ CE. ∴∠CDE＋∠CAE＝180°. ∴∠CDM＋∠FDM＝180°，∴∠FDM＝∠CAE. ∵∠CAE所对的弧是 ⌒ CE，∠COM所对的弧是 ⌒ BC， ∴∠CAE＝∠COM. ∴∠FDM＝∠COM. ………………（7分） ∴△DFM∽△OCM. ∴ DF OC ＝ FM MC . ∴FM·OC＝DF·MC. ∵OB＝OC， ∴FM·OB＝DF·MC. ………………（8分） 证法二：∵OP⊥CE， ∴ ⌒ BC＝ ⌒ BE＝1 2 ⌒ CE， ⌒ AC＝ ⌒ AE＝1 2 ⌒ CAE，CP＝EP. ∴CM＝EM， ∴∠CMO＝∠EMO. ∵∠DMF＝∠EMO， ∴∠DMF＝∠CMO.………………（6分） ∵∠CDE所对的弧是 ⌒ CAE， ∴∠CDE＝ ⌒ CAE度数的一半＝ ⌒ AC的度数＝180°－ ⌒ BC的度数. ∴∠FDM＝180°－∠CDE＝180°－（180°－ ⌒ BC的度数）＝ ⌒ BC的度数. ∵∠COM＝ ⌒ BC的度数. ∴∠FDM＝∠COM. ………………（7分） ∴△DFM∽△OCM. ∴ DF OC ＝ FM MC . ∴FM·OC＝DF·MC. ∵OB＝OC， ∴FM·OB＝DF·MC. ………………（8分） 2009年中考试题专题之 21、22-圆以及直线与圆的位置关系试题及答案 一、选择题 1. （2009 年娄底）如图，AB 是⊙O 的弦，OD⊥AB 于 D 交⊙O 于 E，则下列说法错误．．的是 ( ) A．AD=BD B．∠ACB=∠AOE C．AE BE D．OD=DE 2.（2009 恩施市）16．如图 6， O⊙ 的直径 AB垂直弦CD于 P，且 P是半径OB的中点， 6cmCD  ，则直径 AB的长是（ ） A．2 3cm B．3 2cm C． 4 2cm D． 4 3cm 3．（2009年甘肃白银）如图 2，⊙O的弦 AB=6，M是 AB上任意一点，且 OM最小值为 4， 则⊙O的半径为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．（2009年甘肃庆阳）如图 5，⊙O的半径为 5，弦 AB=8，M是弦 AB上的动点，则 OM 不可能为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2009年广西南宁）如图 3， AB O是⊙ 的直径，弦 30 3cmCD AB E CDB O  于点 ， °，⊙ 的半径为 ，则弦CD的长为（ ） A． 3 cm 2 B．3cm C． 2 3cm D．9cm 图 3 C A B O E D 6．（2009年孝感）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO的度数是( ) A．15° B．30° C．45° D．60° [来源:学科网] 7.（2009泰安）如图，⊙O的半径为 1，AB是⊙O 的一条弦，且 AB= 3，则弦 AB所对 圆周角的度数为 （A）30° （B）60°（C）30°或 150° （D）60°或 120° 8.（2009 年天津市）如图， ABC△ 内接于 O⊙ ，若 28OAB  °，则 C 的大小为（ ） A． 28° B．56° C．60° D．62° C A B O 【关键词】圆周角和圆心角 【答案】D 9. （2009南宁）如图， AB O是⊙ 的直径，弦 30 3cmCD AB E CDB O  于点 ， °，⊙ 的半径为 ， 则弦CD的长为（ ） A． 3 cm 2 B．3cm C． 2 3cm D．9cm 【关键词】圆周角和圆心角 【答案】B 10.（2009 年湘西自治州）14． O⊙ 的半径为 10cm，弦 AB＝12cm，则圆心到 AB的距离为 （ ） A． 2cm B． 6cm C． 8cm D． 10cm 【关键词】圆的计算，弦，点到直线的距离 【答案】C 11.（2009白银市）8．如图 2，⊙O的弦 AB=6，M是 AB上任意一点，且 OM最小值为 4， 则⊙O的半径为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【关键词】圆的相关概念、点到直线的距离 【答案】A 12.（2009年清远）如图，AB是 O⊙ 的直径，弦CD AB 于点 E，连结OC，若 5OC  ， 8CD  ，则 tan COE =（ ） A． 3 5 B． 4 5 C． 3 4 D． 4 3 13．（2009年长春）两圆的半径分别为 2和 5，圆心距为 7，则这两圆的位置关系为（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 14．（2009年安徽）如图，弦 CD垂直于⊙O的直径 AB，垂足为 H，且 CD＝ 2 2，BD＝ 3，则 AB的长为【 】 A．2 B．3 C．4 D．5 15．（2009年安徽）△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为 AB边上的高，I为△ACD的 内切圆圆心，则∠AIB的度数是【 】 A．120° B．125° C．135° D．150° 【关键词】与圆有关的综合题 【答案】C 16．（2009 年福州）如图，弧 AD 是以等边三角形 ABC 一边 AB 为半径的四分之一圆周， P 为弧 AD 上任意一点，若 AC=5，则四边形 ACBP 周长的最大值是（ ） A． 15 B． 20 C．15+5 2 D．15+5 5 【关键词】等边三角形,勾股定理,同圆的半径相等 【答案】C 17．（2009 年重庆）如图， O⊙ 是 ABC△ 的外接圆， AB是直径．若 80BOC  °， 则 A 等于（ ） A．60° B．50° C．40° D．30° 【关键词】圆周角和圆心角 【答案】C． 18．(2009年甘肃定西)如图 2，⊙O的弦 AB=6，M是 AB上任意一点，且 OM最小值为 4， 则⊙O的半径为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【关键词】垂径定理、勾股定理. 【答案】A 19.（2009 年长沙）如图，AB是 O⊙ 的直径，C是 O⊙ 上一点， 44BOC  °，则 A 的 度数为 ． C BA O 24.（2009 年长沙）如图，已知 O⊙ 的半径 6OA  ， 90AOB  °，则 AOB 所对的弧 AB 的长为（ ）答案：B A．2π B．3π C．6π D．12π 25.（2009 肇庆）9．如图 4，⊙O是正方形 ABCD的外接圆，点 P 在⊙O上，则∠APB 等于（ ）B A． 30° B． 45° C． 55° D． 60° 26．(2009年南充)如图 2，AB是 O⊙ 的直径，点 C、D在 O⊙ 上， 110BOC  °， AD OC∥ ，则 AOD （ ） A．70° B．60° C．50° D．40° 27. (2009 年温州)如图，么 AOB 是⊙0的圆心角，∠AOB=80°，则弧 AB所对圆周角∠ACB 的度数是( ) A．40° B．45° C．50° D．80° 28、（2009年凉山州）如图， O⊙ 是 ABC△ 的外接圆，已知 50ABO  °，则 ACB 的 大小为（ ） A．40° B．30° C．45° D．50° 29. 4、（2009 年遂宁）如图，已知⊙O的两条弦 AC，BD 相交于点 E，∠A=70o，∠c=50o， 那么 sin∠AEB 的值为( ) A. 2 1 B. 3 3 C. 2 2 D. 2 3 30. 2、（2009年兰州）如图，点 A、B、C、D 为圆 O的四等分点，动点 P 从圆心 O 出发， 沿 O-C-D-O 的路线作匀速运动.设运动时间为 t秒, ∠APB 的度数为 y 度，则下列图象中表示 y与 t之间函数关系最恰当的是( ). 31. （2009年兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为 24米， 拱的半径为 13米，则拱高为( ) A．5米 B．8米 C．7米 D．5 3米 32.（2009 年台湾）如图(一)，在坐标平面上，ABC为直角三角形，B=90， AB垂直 x 轴，M为ABC的外心。若 A点坐标为(3,4)，M点坐标为(1,1)，则 B点坐标为何？ (A) (3,1) (B) (3,2) (C) (3,3) (D) (3,4) 。 33. （2009年台湾）如图，圆上有 A、B、C、D四点，其中BAD=80。若ABC、ADC的 长度分别为 7、11，则BAD的长度为何？ (A) 4 (B) 8 (C) 10 (D) 15 。 34. （2009年台湾） AB是一圆的直径，C、D是圆周上的两点。已知 AC =7， BC =24， AD =15，求 BD =？ (A) 16 (B) 20 (C) 8 35 (D) 5 56 。[来源:Zxxk.Com] 【关键词】与圆有关的计算 【答案】B 35. （2009年台湾）如图(十一)，长方形 ABCD中，以 A为圆心，AD长为半径画弧，交 AB 于 E点。取 BC的中点为 F，过 F作一直线与 AB平行，且交DE于 G点。求AGF=？ (A) 110 (B) 120 (C) 135 (D) 150 。 36．(2009 年河北)如图，四个边长为 1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方 形顶点，⊙O的半径为 1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 37．(2009 年潍坊)已知圆 O的半径为 R，AB是圆 O的直径，D是 AB延长线上一点，DC 是圆 O的切线，C是切点，连结 AC，若 30CAB  °，则 BD的长为（ ） A． 2R B． 3R C． R D． 3 2 R 39．(2009年咸宁市)如图，在平面直角坐标系中， A⊙ 与 y轴相切于原点O，平行于 x轴 的直线交 A⊙ 于M 、 N 两点，若点M 的坐标是 ( 4 2) ， ，则点 N 的坐标为（ ） A． ( 1 2) ， B． (1 2)， C． ( 15 2) ．， D． (1.5 2)， 40．（09湖南邵阳）如图， AB是圆O的直径， AC是圆O的切线， A为切点，连结 BC 交 圆O于点 D，连结 AD，若 45ABC  °，则下列结论正确的是（ ） A． 1 2 AD BC B． 1 2 AD AC C． AC AB D． AD DC [来源:Zxxk.Com] 41．（2009年湖北十堰市）如图，△ABC内接于⊙O，连结 OA、OB，若∠ABO=25°，则∠ C的度数为（ ）． A．55° B．60° C．65° D．70° 42．（2009年山东青岛市）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部 分水面宽 0.8米，最深处水深 0.2米，则此输水管道的直径是（ ）． A．0.4米 B．0.5米 C．0.8米 D．1米 43．（2009年山西省）如图， AB是 O⊙ 的直径， AD是 O⊙ 的切线，点C在 O⊙ 上， BC OD∥ ， 2 3AB OD ， ,则 BC的长为（ ） A． 2 3 B． 3 2 C． 3 2 D． 2 2 44．（2009年邵阳市）如图 AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，，A 为切点，连结 BC 交 圆 0 于点 D,连结 AD,若∠ABC=45 0 ,则下列结论正确的是（ ） A.AD= 2 1 BC B.AD= 2 1 AC C.AC＞AB D.AD＞DC 45.（2009 黑龙江大兴安岭）如图，⊙O 是△ ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O 的半径为 2 3 ， 2AC ， 则 Bsin 的值是 （ ） A． 3 2 B． 2 3 C． 4 3 D． 3 4 46.(2009 年肇庆市)如图 4，⊙O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 P 在⊙O 上，则∠APB 等于 （ ） A． 30° B． 45° C． 55° D． 60° 47.(2009 武汉)10．如图，已知 O⊙ 的半径为 1，锐角 ABC△ 内接于 O⊙ ， BD AC⊥ 于 点D，OM AB⊥ 于点M ，则 sin CBD 的值等于（ ） A．OM 的长 B．2OM 的长 C．CD的长 D．2CD的长 48.（2009 威海）已知⊙O 是△ABC 的外接圆，若 AB=AC=5，BC=6，则⊙的半径为（ ） A．4 B．3.25 C．3.125 D．2.25 49.(2009 年安顺)如图，已知 CD为⊙O的直径，过点 D的弦 DE平行于半径 OA，若∠D 的度数是 50°，则∠C的度数是： A．25° B．40° C．30° D．50° 50．（2009山西省太原市）如图，在Rt ABC△ 中， C =90°，AB =10，若以点C为圆心， CB长为半径的圆恰好经过 AB的中点D，则 AC的长等于（ ） A．5 3 B．5 C．5 2 D．6 B C DA 51.（2009山西省太原市）如图，AB是半圆 O的直径，点 P从点 O出发，沿 OA AB BO  的路径运动一周．设OP为 s，运动时间为 t，则下列图形能大致地刻画 s与 t之间关系的 是（ ） 解析：本题考查圆的有关性质、函数图象等知识，点 P从点 O向点 A运动，OP逐渐增大， 当点 P从点 A向点 B运动，OP不变，当点 P从点 B向点 O运动，OP 逐渐减小，故能大致 地刻画 s与 t之间关系的是 C． 52. （2009 年浙江省绍兴市）如图，在平面直角坐标系中， P⊙ 与 x轴相切于原点O，平 行于 y轴的直线交 P⊙ 于M ， N 两点．若点M 的坐标是（ 2 1， ），则点 N 的坐标是 （ ） A． (2 4)， B. (2 4.5)， C. (2 5)， D. (2 5.5)， 53、(2009 年鄂州)如图，已知 AB 为⊙O 的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB 于 D ，AD=9、BD=4， 以 C 为圆心、CD 为半径的圆与⊙O 相交于 P、Q 两点，弦 PQ 交 CD 于 E，则 PE·EQ 的值是（ ） A．24 B、9 C、6 D、27 【关键词】相似三角形与圆 P A O B s tO s O t O s t O s t A． B． C． D． 【答案】D 53.（2009年清远）已知 O⊙ 的半径 r，圆心O到直线 l的距离为 d ，当 d r 时，直线 l与 O⊙ 的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不对 54．（2009临沂）已知 1O⊙ 和 2O⊙ 相切， 1O⊙ 的直径为 9Cm， 2O⊙ 的直径为 4cm．则 1 2OO 的长是（ ） A．5cm或 13cm B．2.5cm C．6.5cm D．2.5cm或 6.5cm 55. （2009年台湾）如图，直线 AB、直线 CD为不平行之二直线，今欲作一圆 O 同时与直线 AB、直线 CD相切，以下是甲乙两人的作法： (甲) 1. 过 D，作一直线 L与直线 AB垂直，且交直线 AB于 E 2. 取DE中点 O[来源:学§科§网] 3. 以 O为圆心，OE长为半径画圆，则圆 O即为所求[来源:学&科&网 Z&X&X&K] (乙) 1. 设直线 AB与直线 CD相交于 P 2. 作BPD之角平分线 L 3. 过 C，作一直线 M与直线 CD垂直，且交直线 L于 O 4. 以 O为圆心，OC长为半径画圆，则圆 O即为所求 对于两人的作法，下列叙述何者正确？ (A) 两人皆正确 (B) 两人皆错误 (C) 甲正确，乙错误 (D) 甲错误，乙正确。 56．(2009 年宁德市)如图，直线 AB与⊙O相切于点 A，⊙O的半径为 2，若∠OBA = 30°， 则 OB的长为（ ） A．4 3 B．4 C． 2 3 D．2 57. （09湖南邵阳）如图， AB是圆O的直径， AC是圆O的切线， A为切点，连结 BC 交 圆O于点 D，连结 AD，若 45ABC  °，则下列结论正确的是（ ） A． 1 2 AD BC B． 1 2 AD AC C． AC AB D． AD DC 58.（2009年黑龙江佳木斯）10、如图，AB是⊙O 的直径，⊙O 交 BC 的中点于 D,DE⊥AC 于 E,连接 AD,则下列结论正确的个数是( ） ①AD⊥BC ②∠EDA=∠B ③OA= 1 2 AC ④DE 是⊙O 的切线 A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4个 59．（2009年山西省）如图， AB是 O⊙ 的直径， AD是 O⊙ 的切线，点C在 O⊙ 上， BC OD∥ ， 2 3AB OD ， ,则 BC的长为（ ） A． 2 3 B． 3 2 C． 3 2 D． 2 2 60．（2009年邵阳市）如图 AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，，A 为切点，连结 BC 交 圆 0 于点 D,连结 AD,若∠ABC=45 0 ,则下列结论正确的是（ ） A.AD= 2 1 BC B.AD= 2 1 AC C.AC＞AB D.AD＞DC 61. （2009襄樊市）如图， AB是 O 的直径，点D在 AB的延长线上，DC 切 O 于C， 若 25A  ∠ ．则 D∠ 等于（ A ） A． 40 B．50 C．60 D．70 解析：本题考查圆的基本概念与性质、切线的性质，连接 OC，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA=25°， ∴∠DOC=50°，∵DC 切 O 于C，∴∠OCD=90°，∴∠D=40°，故选 A。 62．（2009绵阳）一个钢管放在 V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管 的 半径为 25 cm，∠MPN = 60 ，则 OP =( ) A．50 cm B．25 3 cm C． 3 350 cm D．50 3 cm 63.如图，△ABC是直角边长为 a的等腰直角三角形，直角边 AB是半圆 O1的直径，半圆 O2过 C点且与半圆 O1相切，则图中阴影部分的面积是 A． 2 36 7 a B． 2 36 5 a C． 2 36 7 a D． 2 36 5 a 64．6．(2009 年云南省)如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D = 35°，则∠ OAC的度数是（ ） A．35°B．55° C．65°D．70° 65．（ 2009 年枣庄市）10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点∠AOC =130°， 则∠D等于（ ） A．25° B．30° C．35° D．50° 66．（2009年佳木斯）如图，⊙O与 AB相切于点 A，BO与⊙O交于点 C，∠B=26°，则 ∠OCA＝________________度. 67. （2009年赤峰市）如图 PA、PB是⊙O的切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC 得度数是 （ ） A、10° B、20° C、30° D、40° 二、填空题 1.（2009 柳州）15．如图 3，  30MAB ，P为 AB上的点，且 6AP ，圆P与 AM 相 切，则圆 P的半径为 ． 2.（2009 年娄底）如图 6，已知 AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，PA 交⊙O 于 C，AB=3cm， PB=4cm，则 BC= . 3.（2009 丽水市）如图，在⊙O 中，∠ABC=40°，则∠AOC＝ ▲ 度． CB A O 4.(2009 年鄂州)在⊙O中，已知⊙O的直径 AB为 2，弦 AC长为 3，弦 AD长为 2 ．则 DC2＝______ 5.（2009 年河南）如图，AB为半圆 O的直径，延长 AB到点 P，使 BP= 1 2 AB，PC切半圆 O于点 C，点 D是AC上和点 C不重合的一点，则 D 的度数为 . 6.（2009年新疆）如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点 A B C， ， ， 已知 A点的坐标是 ( 3 5) ， ，则该圆弧所在圆的圆心坐标是___________． 7. （2009 年湘西自治州）一个圆的半径是 4，则圆的面积是 ．（答案保留π） 8. （2009白银市）17．如图，在△ABC中， 5cmAB AC  ，cosB 3 5  ．如果⊙O的半 径为 10 cm，且经过点 B、C，那么线段 AO= cm． 9．（2009年长春）如图，点C在以 AB为直径的 O⊙ 上， 10 30AB A  ， °，则BC的 长为 ． 10. （2009 年福州）如图 4，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上 ，OD∥AC，若 BD=1，则 BC 的长为 11．（2009年广西梧州）某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图（2）所示，已知 AB＝16m，半径 OA＝10m，则中间柱 CD的高度为 ★ m． 12．(2009年甘肃定西)如图 7，在△ABC中， 5cmAB AC  ，cosB 3 5  ．如果⊙O的半 径为 10 cm，且经过点 B、C，那么线段 AO= cm． 15．（2009年哈尔滨）如图，⊙O的直径 CD＝10，弦 AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则 DM的长为 ． 16.（2009年中山）已知 O⊙ 的直径 8cmAB C ， 为 O⊙ 上的一点， 30BAC  °，则 BC = _ cm． 17、（2009年兰州）如图所示，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的⊙O 的圆心 O在格点上，则∠AED 的正切值等于 ． 18、(2009年济南)如图， O 的半径 5cmOA  ，弦 8cmAB  ，点 P为弦 AB上一动点，则 点 P到圆心O的最短距离是 cm． 19.（2009年北京市）如图，AB为⊙O的直径，弦 CD⊥AB，E为BC上一点，若∠CEA= 28， 则∠ABD= °. D A B C E 2 0．(2009 年宁德市)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO=32°，则∠COB的 度数等于 ． 21．(2009年咸宁市)为庆祝祖国六十华诞，某单位排练的节目需用到如图所示的扇形布扇， 布扇完全打开后，外侧两竹条 AB、AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴布部分 BD的 长为 20cm，则贴布部分的面积约为____________ 2cm ．（ π取 3） 22．（09 湖南怀化）如图， PA、 PB分别切⊙O于点 A、 B，点 E是⊙O上一点，且 60AEB ，则 P __ ___度． 23．（09湖南怀化）亲爱的同学们，我们在教材中已经学习了: ①等边三角形；②等腰梯 形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤圆．在以上五种几何图形中，既是轴对称图形， 又 是中心对称图形的是 ． 【关键词】圆的对称性 【答案】圆（或填⑤） 24.（2009年）14．若一边长为 40㎝的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆 形铁圈中穿过，则铁圈直径的最小值为 ㎝．(铁丝粗细忽略不计) 25．（2009年山东青岛市）如图， AB为 O⊙ 的直径，CD为 O⊙ 的弦， 42ACD  °， 则 BAD  °． 26．（2009 年新疆乌鲁木齐市）如图 3，点C D、 在以 AB为直径的 O⊙ 上，且CD平分 ACB ，若 2 15AB CBA  ， °，则CD的长为 ． 27.（2009年广东省）已知 O⊙ 的直径 8AB  cm，C为 O⊙ 上的一点， 30BAC  °，则 BC  __________cm． 28．（2009 年山西省）如图所示，A、B、C、D是圆上的点， 1 70 40A   °， °，则 C  度． 29.(2009年肇庆市)75°的圆心角所对的弧长是 2.5π，则此弧所在圆的半径为 ． 30.(2009 年上海市) 16．在圆O中，弦 AB的长为 6，它所对应的弦心距为 4，那么半径 OA  ． 31.(2009 成都)如图，△ABC 内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD 为⊙O 的直径，AD＝6， 那么 BD＝_________． 32.(2009 年安顺)如图，⊙O的半径 OA＝10cm，P为 AB上一动点，则点 P到圆心 O的最 短距离为___________cm。 33.(2009 成都)如图，A、B、c 是⊙0 上的三点，以 BC 为一边，作∠CBD=∠ABC，过 BC 上一 点 P，作 PE∥AB 交 BD 于点 E．若∠AOC=60°，BE=3，则点 P 到弦 AB 的距离为_______． 34．（2009年湖南长沙）如图， AB是 O⊙ 的直径，C是 O⊙ 上一点， 44BOC  °，则 A 的度数为 ． 36.（2009 年贵州省黔东南州）如图，⊙O 的半径为 5，P为圆内一点，P 点到圆心 O 的距离 为 4，则过 P 点的弦长的最小值是_____________。 37.（2009 年江苏省）如图， AB 是 O⊙ 的直径，弦CD AB∥ ．若 65ABD  °，则 ADC  ． 38.（2009年泸州）如图，以 O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB与小圆相切于点 C， 若大圆半径为 10cm，小圆半径为 6cm，则弦 AB的长为 cm． 39.（2009年杭州市）如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形 DEFG的一边 DG在直径 AB上，另一边 DE过ΔABC的内切圆圆心 O，且点 E在半圆弧上．①若正方形 的顶点 F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是______________；②若正方形 DEFG的面积为 100，且ΔABC的内切圆半径 r =4，则半圆的直径 AB = __________． 40．（2009年甘肃白银）如图 7，在△ABC中， 5cmAB AC  ，cosB 3 5  ．如果⊙O的 半径为 10 cm，且经过点 B、C，那么线段 AO= cm． 41．（2009 年甘肃庆阳）如图，两个等圆⊙O与⊙O′外切，过点 O作⊙O′的两条切线 OA、OB，A、B是切点，则∠AOB= ． 42．（2009年甘肃庆阳）如图 8，直线 AB与⊙O相切于点 B，BC是⊙O的直径，AC交⊙ O于点 D，连结 BD，则图中直角三角形有 个． 43.（2009年新疆）如图， 60ACB  °，半径为 1cm的 O⊙ 切 BC于点C，若将 O⊙ 在CB 上向右滚动，则当滚动到 O⊙ 与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是__________cm． 44.（2009年衢州）如图，DB为半圆的直径，A为 BD延长线上一点，AC切半圆于点 E， BC⊥AC于点 C，交半圆于点 F．已知 BD=2，设 AD=x，CF=y，则 y关于 x的函数解析式 是 ． 45.（2009 年益阳市）如图， AB与⊙O相切于点 B，线段 OA与弦 BC垂直于点 D，∠ AO B=60°，BC=4cm，则切线 AB= cm. 46.（2009 年济宁市）如图，⊙A 和⊙B 都与 x 轴和 y 轴相切，圆心 A 和圆心 B 都在反比例 函数 1y x  的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . 47.（2009年衡阳市）如图，直线 AB切⊙O于 C点，D是⊙O上一点，∠EDC=30º，弦 EF ∥AB，连结 OC交 EF于 H点，连结 CF，且 CF=2，则 HE的长为_________． 48.（2009 年宜宾）如图，点 A、B、C 在⊙O 上，切线 CD 与 OB 的延长线交于点 D，若∠A=30°， CD= 32 ，则⊙O的半径长为 ． 第19题图 A B C D O 49．（2009 年广西钦州）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点 A、B，⊙O的切线 EF分别 交 PA、PB于点 E、F，切点 C在AB上，若 PA长为 2，则△PEF的周长是_▲_． [来源:学§科§网 Z§X§X§K] 50.（2009年包头）如图，在 ABC△ 中， 120 2 3AB AC A BC   ， °， ， A⊙ 与 BC 相切于点D，且交 AB AC、 于M N、 两点，则图中阴影部分的面积是 （保留 π）． 51．(2009年南充) ABC△ 中， 10cm 8cm 6cmAB AC BC  ， ， ，以点 B为圆心、6cm 为半径作 B⊙ ，则边 AC所在的直线与 B⊙ 的位置关系是 ． 52．(2009年温州)如图，已知正方形纸片 ABCD 的边长为 8，⊙0的半径为 2，圆心在正方形 的中心上，将纸片按图示方式折叠，使 EA7 恰好与 6)0 相切于点 A ′(△EFA′与⊙0除切点 外无重叠部分)，延长 FA′交 CD 边于点 G，则 A′G 的长是 53. （2009 年株洲市）如图， AC 是 O 的直径，CB与 O 相切于点C， AB交 O 于 点D．已知 51B  ，则 DOC 等于 度． 54. （2009年重庆市江津区）如图，在 10×6 的网格图中(每个小正方形的边长均为 1 个单 位长)。⊙A半径为 2，⊙B半径为 1，需使⊙A 与静止的⊙B相切，那么⊙A由图示的位置向 左平移 个单位长. 55.（2009山西省太原市）如图 AB、AC是 O⊙ 的两条弦， A =30°，过点C的切线与OB 的延长线交于点D，则 D 的度数为 ．[来源:学_科_网] 56. （2009湖北省荆门市）Rt△ABC中， 90 6 8C AC BC   °， ， ．则△ABC的内切 圆半径 r  ______． 57、（2009 眉山）如图 4，AB、CD 是⊙O的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC＝130°，AD、 CB 的延长线相交于 P，∠P＝ ° 58．(2009 年云南省)已知圆上一段弧长为 6 π，它所对的圆心角为 120°，则该圆的半 径为___________． 59、（2009贺州）如图，正方形 ABCD是⊙O的内接正方形，点 P是劣弧AB上 不同于点 B的任意一点，则∠BPC= 度． 【关键词】圆周角 【答案】45 三、解答题 1.（2009 柳州）25．（本题满分 10 分） 如图 10，AB 是⊙O 的直径，C是弧 BD 的中点，CE⊥AB，垂足为 E，BD 交 CE 于点 F． （1）求证：CF BF ； （2）若 2AD  ，⊙O 的半径为 3，求 BC 的长． 2.(2009 年四川省内江市)如图，四边形 ABCD 内接于圆，对角线 AC 与 BD 相交于点 E、F 在 AC 上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC. 求证：（1）CD⊥DF； （2）BC=2CD 3.（2009 桂林百色）25． （本题满分 10 分）如图，△ABC 内接于半圆，AB 是直径，过 A 作直线 MN，若∠MAC=∠ABC ． （1）求证：MN 是半圆的切线； （2）设 D 是弧 AC 的中点，连结 BD 交 AC 于 G，过 D作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于 F． 求证：FD＝FG． （3）若△DFG 的面积为 4.5，且 DG=3，GC=4，试求△BCG 的面积． 4.（2009 河池）25． (本小题满分 10 分) 如图 1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦， 4OC  ， 60OAC   ． （1）求∠AOC 的度数； （2）在图 1 中，P 为直径 BA 延长线上的一点，当 CP 与⊙O 相切时，求 PO 的长； （3） 如图 2，一动点 M 从 A 点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当 MAO CAOS S△ △ 时， 求动点 M 所经过的弧长． 5. (2009 烟台市) 如图，AB，BC分别是 O⊙ 的直径和弦，点 D为BC上一点，弦 DE交 O⊙ 于点 E，交 AB于点 F，交 BC于点 G，过点 C的切线交 ED的延长线于 H，且HC HG ， 连接 BH ，交 O⊙ 于点 M，连接MD ME， ． 求证：（1）DE AB ； （2） HMD MHE MEH    ． H M B E O F GC A D 6．（2009年甘肃庆阳）（10分）如图，在边长为 2的圆内接正方形 ABCD中，AC是对角 线，P为边 CD的中点，延长 AP交圆于点 E． （1）∠E= 度； （2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由； （3）求弦 DE的长． 7.(2009年衢州）如图，AD是⊙O的直径． (1) 如图①，垂直于 AD的两条弦 B1C1，B2C2把圆周 4等分，则∠B1的度数是 ， ∠B2的度数是 ； (2) 如图②，垂直于 AD的三条弦 B1C1，B2C2，B3C3把圆周 6等分，分别求∠B1，∠B2， ∠B3的度数； (3) 如图③，垂直于 AD的 n条弦 B1C1，B2C2，B3 C3，…，BnCn把圆周 2n等分，请你用含 n的代数式表示∠Bn的度数(只需直接写出答案)． 23. （2009年锦州）如图 11，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点 D，DE⊥AC 交 AC的延长线于点 E，FB是⊙O的切线交 AD的延长线于点 F. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若 DE=3，⊙O的半径为 5，求 BF的长. 16．（2009年安徽）如图，MP切⊙O于点 M，直线 PO交⊙O于点 A、B，弦 AC∥MP， 求证：MO∥BC． 17. （2009年广州市）如图，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC= cm32 ， （1）求∠BAC的度数； （2）求⊙O的周长 18.（2009 年广西钦州）（2）已知：如图 2，⊙O1与坐标轴交于 A（1， 0）、B（5，0）两 点，点 O1的纵坐标为 5 ．求⊙O1的半径． 19.（2009 年莆田）（1）根据下列步骤画图．．并标明相应的字母:（直接在图１中画图） ①以已知线段 AB（图 1）为直径画半圆O； ②在半圆O上取不同于点 A B、 的一点C，连接 AC BC、 ； ③过点O画OD BC∥ 交半圆O于点D． （2）尺规作图．．：（保留作图痕迹，不要求写作法、证明） 已知： AOB （图 2）． 求作： AOB 的平分线． 20.（2009 年莆田）已知，如图，BC是以线段 AB为直径的 O⊙ 的切线， AC交 O⊙ 于点 D，过点D作弦DE AB ，垂足为点 F ，连接 BD BE、 ．． （1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①________，②________ ，③________， ④____________（不添加其它字母和辅助线，不必证明）； （2） A =30°，CD = 2 3 3 ，求 O⊙ 的半径 r． 21.(2009年本溪)22．如图所示，AB是 O⊙ 直径，OD⊥弦 BC于点 F ，且交 O⊙ 于点 E， 若 AEC ODB   ． （1）判断直线 BD和 O⊙ 的位置关系，并给出证明； （2）当 10 8AB BC ， 时，求 BD的长． 22.(2009宁夏)23． 已知：如图，AB为 O⊙ 的直径，AB AC BC ， 交 O⊙ 于点D，AC 交 O⊙ 于点 45E BAC ， °． （1）求 EBC 的度数； （2）求证： BD CD ． 23．(2009年南充)如图 8，半圆的直径 10AB  ，点 C在半圆上， 6BC  ． （1）求弦 AC的长； （2）若 P为 AB的中点， PE AB⊥ 交 AC于点 E，求 PE的长． P B C E A 24．（2009年哈尔滨）如图，在⊙O中，D、E分别为半径 OA、OB上的点，且 AD＝BE． 点 C为弧 AB上一点，连接 CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC． 求证：CD＝CE． 25．（2009年中山）（1）如图 1，圆心接 ABC△ 中，AB BC CA  ，OD、OE为 O⊙ 的半径，OD BC 于点 F ，OE AC 于点G， 求证：阴影部分四边形OFCG的面积是 ABC△ 的面积的 1 3 ． （2）如图 2，若 DOE 保持120°角度不变， 求证：当 DOE 绕着O点旋转时，由两条半径和 ABC△ 的两条边围成的图形（图中阴影 部分）面积始终是 ABC△ 的面积的 1 3 ． 26.（2009年广州市）如图，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC= cm32 ， （1）求∠BAC的度数； （2）求⊙O的周长 27. （2009 年株洲市）（本题满分 10分）如图，点 A、B、C是 O 上的三点， //AB OC . （1）求证： AC平分 OAB . （2）过点O作OE AB 于点 E ，交 AC 于点 P . 若 2AB  ， 30AOE  ，求 PE的长． [来源:学,科,网] 28.(2009年潍坊)如图所示，圆O是 ABC△ 的外接圆， BAC 与 ABC 的平分线相交于点 I ，延长 AI交圆O于点D，连结BD DC、 ． （1）求证： BD DC DI  ； （2）若圆O的半径为 10cm， 120BAC  °，求 BDC△ 的面积． 29.(2009年潍坊)如图，在平面直角坐标系 xOy中，半径为 1的圆的圆心O在坐标原点，且 与两坐标轴分别交于 A B C D、 、 、 四点．抛物线 2y ax bx c   与 y轴交于点D，与直 线 y x 交于点M N、 ，且MA NC、 分别与圆O相切于点 A和点C． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴交 x轴于点 E，连结DE，并延长DE交圆O于 F ，求 EF 的长． （3）过点 B作圆O的切线交DC 的延长线于点 P，判断点 P是否在抛物线上，说明理由． 30.(2009年咸宁市)如图， Rt ABC△ 中， 90ABC  °，以 AB为直径的 O⊙ 交 AC于点 D，过点D的切线交 BC于E． （1）求证： 1 2 DE BC ； （2）若 5tan 2 2 C DE ， ，求 AD的长． 31．（09湖北宜昌）已知：如图，⊙O的直径 AD=2，  BC CD DE  ，∠BAE=90°． (1)求△CAD的面积； (2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点 P，那么点 P落在四边形 ABCD区域的概率是 多少？ 32．（09湖北宜昌）（09湖北宜昌）已知：如图 1，把矩形纸片 ABCD折叠，使得顶点 A 与 边 DC上的动点 P重合(P不与点 D，C重合)， MN为折痕，点 M，N分别在边 BC， AD 上，连接 AP，MP，AM， AP与 MN相交于点 F．⊙O过点 M，C，P． (1)请你在图 1中作出⊙O(不写作法，保留作图痕迹)； (2) AF AN 与 AP AD 是否相等？请你说明理由； (3)随着点 P的运动，若⊙O与 AM相切于点 M时，⊙O又与 AD相切于点 H．设 AB为 4， 请你通过计算，画出．．这时的图形．(图 2，3供参考) A B C F P M N D F M N D O P CB A A B C P O DN M F 图 1 图 2 图 3 （第 2题） 33．（09湖南怀化）如图 10，直线DE经过⊙O上的点C，并且OE OD EC DC ， ，⊙ O交直线OD于 A、B两点，连接 BC，AC，OC．求证：（1）OC DE ；（2） ACD△ ∽ CBD△ ． 34．（09湖南怀化）如图 11，已知二次函数 22)( mkmxy  的图象与 x轴相交于两 个不同的点 1( 0)A x， 、 2( 0)B x， ，与 y轴的交点为C．设 ABC△ 的外接圆的圆心为点 P． （1）求 P⊙ 与 y轴的另一个交点 D的坐标； （2）如果 AB恰好为 P⊙ 的直径，且 ABC△ 的面积等于 5，求m和 k的值． 35.（2009年茂名市）22． 已知：如图，直径为OA的 M⊙ 与 x轴交于点O A、 ，点 B C、 把OA分为三等份，连接MC 并延长交 y轴于点 (0 3)D ，． （1）求证： OMD BAO△ ≌△ ； （2）若直线 l： y kx b  把 M⊙ 的面积分为二等份，求证： 3 0k b  ． 36．（2009年山东青岛市）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 为美化校园，学校准备在如图所示的三角形（ ABC△ ）空地上修建一个面积最大的圆形花 坛，请在图中画出这个圆形花坛． 37.(2009 年达州)如图 10，⊙O的弦 AD∥BC,过点 D 的切线交 BC 的延长线于点 E，AC∥ DE交 BD于点 H，DO及延长线分别交 AC、BC于点 G、F. (1)求证：DF垂直平分 AC； （2）求证：FC＝CE； （3）若弦 AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径. 38.(2009 年黄冈市)15．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O上一点，连结 BC，AC，过 点 C 作直线 CD⊥AB 于点 D，点 E 是 AB 上一点，直线 CE 交⊙O 于点 F，连结 BF，与直线 CD 交于点 G．求证： BFBGBC 2 39.(2009 年陕西省)25． 问题探究 （1）请在图①的正方形 ABCD 内，画出使∠APB＝90°的一个．．点 P，并说明理由． （2）请在图②的正方形 ABCD 内（含边），画出使∠APB＝60°的所有．．的点 P，并说明 理由． 问题解决 如图③，现有一块矩形钢板 ABCD，AB＝4，BC＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、 面积最大的△APB 和△CP’D 钢板，且∠APB＝∠CP’D＝60°，请你在图③中画出符合要求 的点 P和 P’，并求出△APB 的面积（结果保留根号）． 40.(2009 成都)已知 A、D 是一段圆弧上的两点，且在直线 l的同侧，分别过这两点作 l的垂 线，垂足为 B、C，E是 BC 上一动点，连结 AD、AE、DE，且∠AED=90°。 （1）如图①，如果 AB=6,BC=16,且 BE:CE=1:3，求 AD 的长。 （2）如图②，若点 E 恰为这段圆弧的圆心，则线段 AB、BC、CD 之间有怎样的等量关系？请 写出你的结论并予以证明。再探究：当 A、D分别在直线 l两侧且 AB≠CD，而其余条件不变 时，线段 AB、BC、CD 之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明。 41. （2009襄樊市）如图 12，已知：在 O 中，直径 4AB  ，点 E是OA上任意一点，过 E 作弦CD AB ，点 F 是BC上一点，连接 AF 交CE于H，连接 AC、CF、BD、OD． （1）求证： ACH AFC△ ∽△ ； （2）猜想： AH AF 与 AE AB 的数量关系，并说明你的猜想； （3）探究：当点 E位于何处时， 1 4?AEC BODS S △ △: : 并加以说明． 42.（2009湖北荆门市）如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且 AE⊥BC，AF⊥CD． （1）求证：A、E、C、F四点共圆； （2）设线段 BD与（1）中的圆交于 M、N．求证：BM=ND． A D F C M EB N 第 20题图 43.（2009湖北省荆门市）如图，半径为 2 5的⊙O内有互相垂直的两条弦 AB、CD相交于 P点． （1）求证：PA·PB=PC·PD； （2）设 BC中点为 F，连接 FP并延长交 AD于 E，求证：EF⊥AD； （3）若 AB=8，CD=6，求 OP的长． 44. （2009 年广西梧州）如图（8）所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点 D在 ⊙O 上，过点 C的切线交 AD的延长线于点 E，且 AE⊥CE，连接 CD．[来源:Z*xx*k.Com] （1）求证：DC=BC； （2）若 AB=5，AC=4，求 tan∠DCE的值． 45.（2009年包头）如图，已知 AB是 O⊙ 的直径，点C在 O⊙ 上，过点C的直线与 AB的 延长线交于点 P， AC PC ， 2COB PCB   ．[来源:学科网 ZXXK] （1）求证： PC是 O⊙ 的切线； （2）求证： 1 2 BC AB ； （3）点M 是AB的中点，CM 交 AB于点 N ，若 4AB  ，求MN MC 的值． 46.（2009 年长沙）在Rt ABC△ 中， 90ACB  °，D是 AB边上一点，以 BD为直径的 O⊙ 与边 AC相切于点 E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点 F ． （1）求证： BD BF ； （2）若 6 4BC AD ， ，求 O⊙ 的面积． 47.（2009年莆田）已知，如图，BC是以线段 AB为直径的 O⊙ 的切线，AC交 O⊙ 于点D， 过点D作弦DE AB ，垂足为点 F ，连接 BD BE、 ．． （1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①________，②________ ，③________， ④____________（不添加其它字母和辅助线，不必证明）； （2） A =30°，CD = 2 3 3 ，求 O⊙ 的半径 r．