高考数学真题专题归纳专题07平面向量含解析理

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高考数学真题专题归纳专题07平面向量含解析理

专题07 平面向量 ‎【2020年】‎ ‎1.(2020·新课标Ⅲ)已知向量a,b满足,,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,,,.‎ ‎,‎ 因此,.‎ ‎2.(2020·山东卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则 的取值范用是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 的模为2,根据正六边形的特征,‎ 可以得到在方向上的投影的取值范围是,‎ 结合向量数量积的定义式,‎ 可知等于的模与在方向上的投影的乘积,‎ 19‎ 所以的取值范围是,‎ ‎3.(2020·北京卷)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足,则_________;_________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】以点A为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系,‎ 则点、、、,‎ ‎,‎ 则点,,,‎ 因此,,.‎ ‎4.(2020·天津卷)如图,在四边形中,,,且,则实数的值为_________,若是线段上的动点,且,则的最小值为_________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ 19‎ ‎,,,‎ ‎,‎ 解得,‎ 以点为坐标原点,所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系,‎ ‎,‎ ‎∵,∴的坐标为,‎ ‎∵又∵,则,设,则(其中),‎ ‎,,‎ ‎,‎ 所以,当时,取得最小值.‎ ‎5.(2020·浙江卷)设,为单位向量,满足,,,设,的夹角为,则的最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ 19‎ ‎【解析】,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎6.(2020·江苏卷)在△ABC中,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若(m为常数),则CD的长度是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵三点共线,‎ ‎∴可设,‎ ‎∵,‎ ‎∴,即,‎ 若且,则三点共线,‎ ‎∴,即,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∵,,,‎ ‎∴,‎ 设,,则,.‎ 19‎ ‎∴根据余弦定理可得,,‎ ‎∵,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴的长度为.‎ 当时, ,重合,此时的长度为,‎ 当时,,重合,此时,不合题意,舍去.‎ ‎7.(2020·新课标Ⅱ)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka–b与a垂直,则k=__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得:,‎ 由向量垂直的充分必要条件可得:,‎ 即:,解得:.‎ ‎8.(2020·新课标Ⅰ)设为单位向量,且,则______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为为单位向量,所以 所以 解得:‎ 所以 ‎ 【2019年】‎ 19‎ ‎1.【2019年高考全国I卷理数】已知非零向量a,b满足,且b,则a与b的夹角为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为b,所以=0,所以,所以=,所以a与b的夹角为,故选B.‎ ‎2.【2019年高考全国II卷理数】已知=(2,3),=(3,t),=1,则· =‎ A.−3 B.−2‎ C.2 D.3‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】由=—=(1,t-3),,得,则,.故选C.‎ ‎3.【2019年高考北京卷理数】设点A,B,C不共线,则“与的夹角为锐角”是“”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】与的夹角为锐角,所以,即 ‎,因为,所以|+|>||;‎ 当|+|>||成立时,|+|2>|-|2•>0,又因为点A,B,C不共线,所以与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C.‎ 19‎ ‎4.【2019年高考全国III卷理数】已知a,b为单位向量,且a·b=0,若,则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,,‎ 所以,‎ ‎,所以,‎ 所以 .‎ ‎5.【2019年高考天津卷理数】在四边形中,,点在线段的延长线上,且,则_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】建立如图所示的直角坐标系,∠DAB=30°,则,.‎ 因为∥,,所以,‎ 因为,所以,‎ 所以直线的斜率为,其方程为,‎ 直线的斜率为,其方程为.‎ 由得,,‎ 所以.‎ 19‎ 所以.‎ ‎6.【2019年高考江苏卷】如图,在中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点.若,则的值是_____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】如图,过点D作DF//CE,交AB于点F,由BE=2EA,D为BC的中点,知BF=FE=EA,AO=OD.‎ ‎,‎ ‎,‎ 19‎ 得即故 ‎【2018年】‎ ‎1.【2018·全国I卷 】在中,为边上的中线,为的中点,则 A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据向量的运算法则,可得 ‎ ‎,所以.‎ 故选A.‎ ‎2.【2018·全国II卷 】已知向量,满足,,则 A.4 B.3‎ C.2 D.0‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为所以选B.‎ ‎3.(2018·浙江卷)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2−4e·b+3=0,则|a−b|的最小值是 A.−1 B.+1‎ C.2 D.2−‎ ‎【答案】A 19‎ ‎【解析】设,则由得,‎ 由b2−4e·b+3=0得因此|a−b|的最小值为圆心到直线的距离减去半径1,为选A.‎ ‎4.【2018·天津卷 】如图,在平面四边形ABCD中,若点E为边CD上的动点,则的最小值为 ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】连接AD,取AD中点为O,可知为等腰三角形,而,所以为等边三角形,.‎ 设 ‎ ‎ ‎= ‎ 所以当时,上式取最大值,故选A.‎ ‎5.【2018·北京卷 】设a,b均为单位向量,则“”是“a⊥b”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ 19‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】,因为a,b均为单位向量,所以 a⊥b,即“”是“a⊥b”的充分必要条件.故选C.‎ ‎6.【2018·全国III卷 】已知向量,,.若,则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可得,,,,即,故答案为.‎ ‎7.【2018·上海卷】在平面直角坐标系中,已知点、,、是轴上的两个动点,且,则的最小值为___________.‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】根据题意,设E(0,a),F(0,b);‎ ‎∴;‎ ‎∴a=b+2,或b=a+2;‎ 且;‎ ‎∴;‎ 当a=b+2时,;‎ ‎∵b2+2b﹣2的最小值为;‎ ‎∴的最小值为﹣3,同理求出b=a+2时,的最小值为﹣3.‎ 故答案为:﹣3.‎ ‎8.【2018·江苏卷】在平面直角坐标系中,为直线上在第一象限内的点,,以为直径的圆与直线交于另一点.若,则点 19‎ 的横坐标为___________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】设,则由圆心为中点得易得,与联立解得点的横坐标所以.所以,‎ 由得或,‎ 因为,所以 ‎【2017年】‎ ‎1.【2017·全国III卷 】在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若,则的最大值为 A.3 B.2‎ C. D.2‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.‎ 设,‎ 易得圆的半径,即圆C的方程是,‎ ‎,若满足,‎ 19‎ 则 ,,所以,‎ 设,即,点在圆上,‎ 所以圆心到直线的距离,即,解得,‎ 所以的最大值是3,即的最大值是3,故选A.‎ ‎2.【2017·全国II卷 】已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是 A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图,以为轴,的垂直平分线为轴,为坐标原点建立平面直角坐标系,‎ 则,,,设,所以,,,所以,,当时,所求的最小值为,故选B.‎ ‎3.【2017·北京卷 】设m,n为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 19‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若,使,则两向量反向,夹角是,那么 ‎;若,那么两向量的夹角为,并不一定反向,即不一定存在负数,使得,所以是充分而不必要条件,故选A.‎ ‎4.【2017·全国I卷 】已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则| a +2b |=___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】方法一:,‎ 所以.‎ 方法二:利用如下图形,可以判断出的模长是以2为边长,一夹角为60°的菱形的对角线的长度,则为.‎ ‎5.【2017·江苏卷】如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且=7,与的夹角为45°.若,则___________.‎ 19‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由可得,,根据向量的分解,‎ 易得,即,即,即得,‎ 所以.‎ ‎6.【2017·天津卷】在中,,,.若,‎ ‎,且,则的值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可得,‎ 则.‎ ‎7.【2017·山东卷 】已知是互相垂直的单位向量,若与的夹角为,则实数的值是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,解得.‎ ‎8.【2017·浙江卷】已知向量a,b满足则的最小值是________,最大值是___________.‎ 19‎ ‎【答案】4,‎ ‎【解析】设向量的夹角为,则,‎ ‎,‎ 则,‎ 令,则,‎ 据此可得:,‎ 即的最小值是4,最大值是.‎ ‎【2016年】‎ ‎1.【2016高考山东理数】已知非零向量m,n满足4│m│=3│n│,cos=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为( )‎ ‎(A)4 (B)–4 (C) (D)–‎ ‎【答案】B ‎【解析】由,可设,又,‎ 所以, 所以,故选B.‎ ‎2.【2016高考新课标2理数】已知向量,且,则( )‎ ‎(A)-8 (B)-6 (C)6 (D)8‎ ‎【答案】D ‎【解析】向量,由得,解得,故选D.‎ ‎3.【2016高考新课标3理数】已知向量 , ,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 19‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意,得,所以,故选A.‎ ‎4.【2016年高考北京理数】设,是向量,则“”是“”的( )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】由,故是既不充分也不必要条件,故选D.‎ ‎5.【2016高考天津理数】已知△ABC是边长为1的等边三角形,点分别是边的中点,连接 并延长到点,使得,则的值为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】设,,∴,,‎ ‎,∴,故选B.‎ ‎6.【2016年高考四川理数】在平面内,定点A,B,C,D满足 ==,===-2,动点P,M满足 =1,=,则的最大值是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】甴已知易得.以为原点,直线为轴建立平面直角坐标系,如图所示,则 19‎ 设由已知,得,又 ‎,它表示圆上的点与点的距离的平方的,,故选B.‎ ‎7.【2016高考新课标1卷】设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】由,得,所以,解得.‎ ‎8.【2016高考江苏卷】如图,在中,是的中点,是上的两个三等分点,, ,则 的值是 ▲ . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,‎ ‎,‎ 19‎ 因此,‎ ‎9.【2016高考浙江理数】已知向量a、b, |a| =1,|b| =2,若对任意单位向量e,均有 |a·e|+|b·e| ,则a·b的最大值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎,即最大值为 ‎ ‎ ‎ ‎ 19‎
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