高考数学专题复习平面向量的综合应用含详细答案和教师用书

高考数学专题复习平面向量的综合应用含详细答案和教师用书

‎♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦‎ 把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！‎ ‎【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料 第五章 平面向量 ‎ 第30讲 平面向量的综合应用 ‎ ‎★★★核心知识回顾★★★‎ 知识点一、向量在平面几何中的应用 ‎(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：‎ 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b⇔a＝λb⇔ ，‎ 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0‎ 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔ ，‎ 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝ (θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量 长度问题 数量积的定义 ‎|a|＝ ＝ ，其中a＝(x，y)，a为非零向量 ‎(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：‎ 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．‎ 知识点二、向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．‎ 知识点三、平面向量在物理中的应用 ‎(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．‎ ‎(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．‎ 知识点四、向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数 量积，向量的共线与垂直求解相关问题．‎ ‎◆◆◆名师提醒◆◆◆‎ ‎1．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0.‎ ‎2．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行．‎ ‎★★★高考典例剖析★★★‎ 考点一、向量在平面几何中的应用 例1：在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB＝________.‎ 解：　在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，‎ 则＝，∴＝＝－，‎ 又∵＝＋，‎ ‎∴·＝(＋)· ‎＝2－·＋·－2‎ ‎＝||2＋||||cos 60°－||2‎ ‎＝1＋×||－||2＝1.‎ ‎∴||＝0，又||≠0，∴||＝.‎ ‎♥♥♥方法技巧♥♥♥‎ 向量与平面几何综合问题的解法 ‎(1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．‎ ‎(2)基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．‎ ‎♦♦♦跟踪训练♦♦♦‎ ‎1．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)‎ A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 ‎2．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________．‎ ‎3．在△ABC中，已知向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC为(　　)‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形 ‎4．(2017·湖南长沙长郡中学临考冲刺训练)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 考点二、向量在解析几何中的应用 例2：已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A，B，C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．‎ 解：　∵＝－＝(4－k，－7)，‎ ＝－＝(6，k－5)，且∥，‎ ‎∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，‎ 解得k＝－2或k＝11.‎ 由k<0可知k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y ‎－3＝0.‎ ‎♥♥♥方法技巧♥♥♥‎ 向量在解析几何中的“两个”作用 ‎(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．‎ ‎(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．‎ ‎♦♦♦跟踪训练♦♦♦‎ ‎5．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．‎ ‎6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：x－ky＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，＝＋，若点M在圆C上，则实数k＝________.‎ ‎7．(2017·安徽省安师大附中、马鞍山二中阶段性测试)已知点A在椭圆＋＝1上，点P满足＝(λ－1)·(λ∈R)(O是坐标原点)，且·＝72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为________．‎ 考点三、向量的其他应用 命题点①向量在不等式中的应用 例3： 已知O是坐标原点，点A(－1,2)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是(　　)‎ A．[－1,0] B．[0,1]‎ C．[1,3] D．[1,4]‎ 解：　作出点M(x，y)满足的平面区域，如图阴影部分所示，‎ 设z＝·，因为A(－1,2)，M(x，y)，所以z＝·＝－x＋2y，即y＝x＋z.平移直线y＝x，由图象可知，当直线y＝x＋z经过点C(0,2)时，截距最大，此时z最大，最大值为4，当直线y＝x＋z经过点B时，截距最小，此时z最小，最小值为1，故1≤z≤4，即1≤·≤4.‎ 故选D。‎ 命题点②向量在解三角形中的应用 例4： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若20a＋15b＋12c＝0，则△ABC最小角的正弦值等于(　　)‎ A. B. C. D. 解：　∵20a＋15b＋12c＝0，‎ ‎∴20a(－)＋15b＋12c＝0，‎ ‎∴(20a－15b)＋(12c－20a)＝0，‎ ‎∵与不共线，‎ ‎∴　解得 ‎∴△ABC最小角为角A，‎ ‎∴cos A＝＝＝，‎ ‎∴sin A＝，故选C.‎ 命题点③向量在物理中的应用 例5： 如图，一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　)‎ A．2 B．2 C．2 D．6‎ 解：　如题图所示，由已知得F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－(F1＋F2)，即F＝F＋F＋2F1·F2＝F＋F＋2|F1|·|F2|·cos 60°＝28.故|F3|＝2.‎ ‎♥♥♥方法技巧♥♥♥‎ 思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．‎ ‎♦♦♦跟踪训练♦♦♦‎ ‎8．函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且·＝0，则函数f(x)的最小正周期是______．‎ ‎9．已知x，y满足若＝(x,1)，＝(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是________．‎ ‎☀☀☀感悟高考☀☀☀‎ 分析课程标准和近五年的高考试题，可以发现高考命题主要集中在：主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题，通过近五年考题的规律，可以预测2019年高考试题中，可能会出现平面向量与函数的综合题目。‎ ‎★★★知能达标演练★★★‎ 一、选择题 ‎1.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于(　　)‎ A. B.2 C.3 D.4 ‎2.在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于(　　)‎ A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c ‎3.(2017·温州八校检测)设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为(　　)‎ A.－2 B.－1 C.1 D.2‎ ‎4.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　)‎ A.a－b 　　　 B.a－b C.a＋b 　　　　 D.a＋b ‎5.若平面向量a，b，c两两所成的角相等，且|a|＝1，|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|等于(　　)‎ A.2 B.5 C.2或5 D.或 ‎6.已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·等于(　　)‎ A.－a2 B.－a2 C.a2 D.a2‎ ‎7．(2018·株州模拟)在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是(　　)‎ A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎8．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎9．已知向量m＝(1，cos θ)，n＝(sin θ，－2)，且m⊥n，则sin 2θ＋6cos2θ的值为(　　)‎ A. B．2‎ C．2 D．－2‎ ‎10．(2017·长春质量监测)在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且＝＋，则等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎11．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，则·的最大值、最小值分别为(　　)‎ A．9,7 B．8,7‎ C．9,8 D．17,8‎ ‎12．(2018·四川凉山州一诊)若直线ax－y＝0(a≠0)与函数f(x)＝的图象交于不同的两点A，B，且点C(6,0)，若点D(m，n)满足＋＝，则m＋n等于(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎13．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ， λ∈(0，＋∞)，则(　　)‎ A．动点P的轨迹一定通过△ABC的重心 B．动点P的轨迹一定通过△ABC的内心 C．动点P的轨迹一定通过△ABC的外心 D．动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心 ‎14．(2018·大庆一模)已知共面向量a，b，c满足|a|＝3，b＋c＝2a，且|b|＝|b－c|.若对每一个确定的向量b，记|b－ta|(t∈R)的最小值为dmin，则当b变化时，dmin的最大值为(　　)‎ A. B．2‎ C．4 D．6‎ ‎15．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)‎ A．3 B．2 C. D．2‎ 二、填空题 ‎16．在菱形ABCD中，若AC＝4，则·＝________.‎ ‎17．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________．‎ ‎18．已知O为△ABC内一点，且＋＋2＝0，则△AOC与△ABC的面积之比是________．‎ ‎19．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为________．‎ ‎20．已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，圆M：(x－2－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1(θ∈R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则·的最小值是________．‎ 三、解答题 ‎21.在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，n∈R).‎ ‎(1)若m＝n＝，求||；‎ ‎(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值.‎ ‎22．已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足·＝0，＝－，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．‎ ‎23．(2018·酒泉质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．‎ ‎♦♦♦详细参考答案♦♦♦‎ 把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！‎ ‎【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料 第五章 平面向量 ‎ 第30讲 平面向量的综合应用 ‎ ‎★★★核心知识回顾★★★‎ 知识点一、向量在平面几何中的应用 ‎(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：‎ 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，‎ 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0‎ 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，‎ 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量 长度问题 数量积的定义 ‎|a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量 ‎(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：‎ 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．‎ 知识点二、向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．‎ 知识点三、平面向量在物理中的应用 ‎(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．‎ ‎(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．‎ 知识点四、向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．‎ ‎★★★高考典例剖析★★★‎ 考点一、向量在平面几何中的应用 ‎♦♦♦跟踪训练♦♦♦‎ ‎1．答案：　C 解：　由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．‎ ‎2．答案：　内心 解：　由条件，得－＝λ，即＝λ，而和分别表示平行于，的单位向量，故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心．‎ ‎3．答案：　A 解：　，分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知＋为∠BAC的平分线．因为·＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.‎ 又·＝·cos∠BAC＝，所以cos∠BAC＝，又0<∠BAC<π，故∠BAC＝，所以△ABC为等边三角形．‎ ‎4．答案：　A 解：　取HF中点O，‎ 则·＝·＝2－2‎ ‎＝1－2＝，‎ ·＝·＝2－2‎ ‎＝1－2＝，‎ 因此·＋·＝，故选A.‎ 考点二、向量在解析几何中的应用 ‎♦♦♦跟踪训练♦♦♦‎ ‎5．答案：　6‎ 解：　由题意，得F(－1,0)，设P(x0，y0)，‎ 则有＋＝1，解得y＝3，‎ 因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，‎ 所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝＋x0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x0＝－2，因为－2≤x0≤2，故当x0＝2时，·取得最大值＋2＋3＝6.‎ ‎6．答案：　0‎ 解：　设AB的中点为D，则有＝＋＝2，‎ ‎∴||＝2||＝R＝2(R为圆C的半径)，‎ ‎∴||＝1.‎ 由点到直线的距离公式，得1＝，解得k＝0.‎ ‎7．答案：　15‎ 解：　因为＝(λ－1)，所以＝λ，‎ 即O，A，P三点共线，因为·＝72，‎ 所以·＝λ||2＝72，‎ 设A(x，y)，OA与x轴正方向的夹角为θ，线段OP在x轴上的投影长度为|||cos θ|＝|λ||x|＝‎ eq f(72|x|,|o(OA,sup6(→))|2)＝＝≤＝15，‎ 当且仅当|x|＝时取等号．‎ 考点三、向量的其他应用 ‎♦♦♦跟踪训练♦♦♦‎ ‎8．答案：　3‎ 解：　由图象可知，M，N，‎ 所以·＝·(xN，－1)＝xN－1＝0，‎ 解得xN＝2，‎ 所以函数f(x)的最小正周期是2×＝3.‎ ‎9．答案：　 解：　因为＝(x,1)，＝(2，y)，所以·＝2x＋y，令z＝2x＋y，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，‎ 观察图象可知，当目标函数z＝2x＋y过点C(1,1)时，zmax＝2×1＋1＝3，目标函数z＝2x＋y过点F(a，a)时，zmin＝2a＋a＝3a，所以3＝8×3a，解得a＝.‎ ‎★★★知能达标演练★★★‎ 一、选择题 ‎1. 答案：　D 解：　＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝4.故选D.‎ ‎2. 答案：　A 解：　∵＝2，∴－＝＝2＝2(－)，‎ ‎∴3＝2＋，∴＝＋＝b＋c.‎ ‎3. 答案：　B 解：　∵＝a＋b，＝a－2b，‎ ‎∴＝＋＝2a－b.‎ 又∵A，B，D三点共线，∴，共线.‎ 设＝λ，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，‎ ‎∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.‎ ‎4. 答案：　D 解：　连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，‎ 所以＝＋＝b＋a.‎ ‎5. 答案：　C 解：　由于平面向量a，b，c两两所成的角相等，故每两个向量成的角都等于或0°，|a＋b＋c|＝ ‎＝ 当夹角为0时，上式值为5；当夹角为时，上式值为2.故选C.‎ ‎6. 答案：　D 解：　在菱形ABCD中，＝，＝＋，所以·＝(＋)·＝·＋·＝a2＋a×a×cos 60°＝a2＋a2＝a2. ‎ ‎7．答案：　C 解：　由(＋)·＝||2，‎ 得·(＋－)＝0，‎ 即·(＋＋)＝0,2·＝0，‎ ‎∴⊥，∴A＝90°.‎ 又根据已知条件不能得到||＝||，‎ 故△ABC一定是直角三角形．‎ ‎8．答案：　D 解：　∵＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，‎ ‎∴·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，‎ ‎∴y2＝x＋6，即点P的轨迹是抛物线．‎ ‎9．答案：　B 解：　由题意可得m·n＝sin θ－2cos θ＝0，‎ 则tan θ＝2，所以sin 2θ＋6cos2θ＝ ‎＝＝2.故选B.‎ ‎10．答案：　B 解：　如图，由已知得点D在△ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有S△ABD＝S△ABC，S△ACD＝S△ABC，S△BCD＝S△ABC＝S△ABC，‎ 所以＝.‎ ‎11．答案：　B 解：　由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，设E(x，y)(－3≤x≤3)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－x2＝＋7，所以当x＝0时，·有最小值7，当x＝±3时，·有最大值8，故选B.‎ ‎12．答案：　B 解：　因为f(－x)＝＝＝－f(x)，且直线ax－y＝0过坐标原点，所以直线与函数f(x)＝的图象的两个交点A，B关于原点对称，即xA＋xB＝0，yA＋yB＝0，又＝(xA－m，yA－n)，＝(xB－m，yB－n)，＝(m－6，n)，由＋＝，得xA－m＋xB－m＝m－6，yA－n＋yB－n＝n，解得m＝2，n＝0，所以m＋n＝2，故选B.‎ ‎13．答案：　D 解：　由条件，得＝λ，‎ 从而·＝λ ‎＝λ·＋λ·＝0，‎ 所以⊥，则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．‎ ‎14．答案：　B 解：　‎ 固定向量a＝(3,0)，则b，c向量分别在以(3,0)为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，其中，＝a，＝b，＝c，如图，易得点B的坐标 B(rcos θ＋3，rsin θ)，‎ 因为|b|＝|b－c|，‎ 所以OB＝BC，即(rcos θ＋3)2＋r2sin2θ＝4r2，‎ 整理为r2－2rcos θ－3＝0，可得cos θ＝，‎ 而|b－ta|(t∈R)的最小值为dmin，‎ 即dmin＝rsin θ＝＝≤2，‎ 所以dmin的最大值是2，故选B.‎ ‎15．答案：　A 解：　建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2,1)．‎ 设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.‎ ‎∵CD＝1，BC＝2，‎ ‎∴BD＝＝，‎ EC＝＝＝，‎ 即圆C的半径为，‎ ‎∴P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝.‎ 设P(x0，y0)，则(θ为参数)，‎ 而＝(x0，y0)，＝(0,1)，＝(2,0)．‎ ‎∵＝λ＋μ＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，‎ ‎∴μ＝x0＝1＋cos θ，λ＝y0＝1＋sin θ.‎ 两式相加，得 λ＋μ＝1＋sin θ＋1＋cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，‎ 当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.‎ 故选A.‎ 二、填空题 ‎16．答案：　－8‎ 解：　设∠CAB＝θ，AB＝BC＝a，‎ 由余弦定理得a2＝16＋a2－8acos θ，∴acos θ＝2，‎ ‎∴·＝4×a×cos(π－θ)＝－4acos θ＝－8.‎ ‎17．答案：　 解：　由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，‎ 即4|b|2＋4×2|b|2cos θ＝0，∴cos θ＝－.‎ 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.‎ ‎18．答案：　1∶2‎ 解：　如图所示，取AC的中点D，‎ ‎∴＋＝2，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴O为BD的中点，‎ ‎∴面积比为高之比．‎ 即＝＝.‎ ‎19．答案：　－ 解：　∵圆心O是直径AB的中点，‎ ‎∴＋＝2，∴(＋)·＝2·，‎ ‎∵||＋||＝3≥2，‎ ‎∴||·||≤，‎ 即(＋)·＝2·＝－2||·||≥－，当且仅当||＝||＝时，等号成立，故最小值为－.‎ ‎20．答案：　6‎ 解：　圆(x－2)2＋y2＝4的圆心C(2,0)，半径为2，‎ 圆M(x－2－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1，圆心M(2＋5cos θ，5sin θ)，半径为1，‎ ‎∵CM＝5＞2＋1，故两圆外离．‎ 如图所示，设直线CM和圆M交于H，G两点，‎ 则·的最小值是·，HC＝CM－1＝5－1＝4，HF＝HE＝ ‎＝＝2，‎ sin∠CHE＝＝，‎ ‎∴cos∠EHF＝cos 2∠CHE＝1－2sin2∠CHE＝，‎ ‎∴·＝||·||·cos∠EHF ‎＝2×2×＝6.‎ ‎∴·的最小值是6.‎ 三、解答题 ‎21.解：　(1)∵m＝n＝，＝(1，2)，＝(2，1)，‎ ‎∴＝(1，2)＋(2，1)＝(2，2)，‎ ‎∴||＝＝2.‎ ‎(2)∵＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，∴ 两式相减，得m－n＝y－x.‎ 令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，‎ 故m－n的最大值为1.‎ ‎22．解：　设M(x，y)为所求轨迹上任一点，‎ 设A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)，‎ 则＝(a,3)，＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，‎ 由·＝0，得a(x－a)＋3y＝0.①‎ 由＝－，得 ‎(x－a，y)＝－(－x，b－y)＝，‎ ‎∴∴ ‎∵b＞0，∴y＞0，‎ 把a＝－代入到①中，得－＋3y＝0，‎ 整理得y＝x2(x≠0)．‎ ‎∴动点M的轨迹方程为y＝x2(x≠0)．‎ ‎23．解：　(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.‎ 根据正弦定理得 ‎(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，‎ 所以sin Acos B＝sin(C＋B)，‎ 即sin Acos B＝sin A，‎ 因为A∈(0，π)，所以sin A>0.‎ 所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)因为|－|＝，所以||＝.‎ 即b＝，根据余弦定理及基本不等式，得 ‎6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，即ac≤3(2＋)，‎ 故△ABC的面积S＝acsin B≤，‎ 即△ABC的面积的最大值为.‎ ‎♦♦♦教师用书♦♦♦‎ 把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！‎ ‎【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料 第五章 平面向量 ‎ 第30讲 平面向量的综合应用 ‎ ‎★★★核心知识回顾★★★‎ 知识点一、向量在平面几何中的应用 ‎(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：‎ 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，‎ 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0‎ 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，‎ 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量 长度问题 数量积的定义 ‎|a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量 ‎(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：‎ 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．‎ 知识点二、向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．‎ 知识点三、平面向量在物理中的应用 ‎(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．‎ ‎(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．‎ 知识点四、向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．‎ ‎◆◆◆名师提醒◆◆◆‎ ‎1．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0.‎ ‎2．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行．‎ ‎★★★高考典例剖析★★★‎ 考点一、向量在平面几何中的应用 例1：在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB＝________.‎ 解：　在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，‎ 则＝，∴＝＝－，‎ 又∵＝＋，‎ ‎∴·＝(＋)· ‎＝2－·＋·－2‎ ‎＝||2＋||||cos 60°－||2‎ ‎＝1＋×||－||2＝1.‎ ‎∴||＝0，又||≠0，∴||＝.‎ ‎♥♥♥方法技巧♥♥♥‎ 向量与平面几何综合问题的解法 ‎(1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．‎ ‎(2)基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．‎ ‎♦♦♦跟踪训练♦♦♦‎ ‎1．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)‎ A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 答案：　C 解：　由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．‎ ‎2．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________．‎ 答案：　内心 解：　由条件，得－＝λ，即＝λ，而和分别表示平行于，的单位向量，故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心．‎ ‎3．在△ABC中，已知向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC为(　　)‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形 答案：　A 解：　，分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知＋为∠BAC的平分线．因为·＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.‎ 又·＝·cos∠BAC＝，所以cos∠BAC＝，又0<∠BAC<π，故∠BAC＝，所以△ABC为等边三角形．‎ ‎4．(2017·湖南长沙长郡中学临考冲刺训练)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 答案：　A 解：　取HF中点O，‎ 则·＝·＝2－2‎ ‎＝1－2＝，‎ ·＝·＝2－2‎ ‎＝1－2＝，‎ 因此·＋·＝，故选A.‎ 考点二、向量在解析几何中的应用 例2：已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A，B，C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．‎ 解：　∵＝－＝(4－k，－7)，‎ ＝－＝(6，k－5)，且∥，‎ ‎∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，‎ 解得k＝－2或k＝11.‎ 由k<0可知k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.‎ ‎♥♥♥方法技巧♥♥♥‎ 向量在解析几何中的“两个”作用 ‎(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．‎ ‎(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．‎ ‎♦♦♦跟踪训练♦♦♦‎ ‎5．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．‎ 答案：　6‎ 解：　由题意，得F(－1,0)，设P(x0，y0)，‎ 则有＋＝1，解得y＝3，‎ 因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，‎ 所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝＋x0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x0＝－2，因为－2≤x0≤2，故当x0＝2时，·取得最大值＋2＋3＝6.‎ ‎6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：x－ky＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，＝＋，若点M在圆C上，则实数k＝________.‎ 答案：　0‎ 解：　设AB的中点为D，则有＝＋＝2，‎ ‎∴||＝2||＝R＝2(R为圆C的半径)，‎ ‎∴||＝1.‎ 由点到直线的距离公式，得1＝，解得k＝0.‎ ‎7．(2017·安徽省安师大附中、马鞍山二中阶段性测试)已知点A在椭圆＋＝1上，点P满足＝(λ－1)·(λ∈R)(O是坐标原点)，且·＝72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为________．‎ 答案：　15‎ 解：　因为＝(λ－1)，所以＝λ，‎ 即O，A，P三点共线，因为·＝72，‎ 所以·＝λ||2＝72，‎ 设A(x，y)，OA与x轴正方向的夹角为θ，线段OP在x轴上的投影长度为|||cos θ|＝|λ||x|＝＝＝≤＝15，‎ 当且仅当|x|＝时取等号．‎ 考点三、向量的其他应用 命题点①向量在不等式中的应用 例3： 已知O是坐标原点，点A(－1,2)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是(　　)‎ A．[－1,0] B．[0,1]‎ C．[1,3] D．[1,4]‎ 解：　作出点M(x，y)满足的平面区域，如图阴影部分所示，‎ 设z＝·，因为A(－1,2)，M(x，y)，所以z＝·＝－x＋2y，即y＝x＋z.平移直线y＝x，由图象可知，当直线y＝x＋z经过点C(0,2)时，截距最大，此时z最大，最大值为4，当直线y＝x＋z经过点B时，截距最小，此时z最小，最小值为1，故1≤z≤4，即1≤·≤4.‎ 故选D。‎ 命题点②向量在解三角形中的应用 例4： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若20a＋15b＋12c＝0，则△ABC最小角的正弦值等于(　　)‎ A. B. C. D. 解：　∵20a＋15b＋12c＝0，‎ ‎∴20a(－)＋15b＋12c＝0，‎ ‎∴(20a－15b)＋(12c－20a)＝0，‎ ‎∵与不共线，‎ ‎∴　解得 ‎∴△ABC最小角为角A，‎ ‎∴cos A＝＝＝，‎ ‎∴sin A＝，故选C.‎ 命题点③向量在物理中的应用 例5： 如图，一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　)‎ A．2 B．2 C．2 D．6‎ 解：　如题图所示，由已知得F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－(F1＋F2)，即F＝F＋F＋2F1·F2＝F＋F＋2|F1|·|F2|·cos 60°＝28.故|F3|＝2.‎ ‎♥♥♥方法技巧♥♥♥‎ 思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．‎ ‎♦♦♦跟踪训练♦♦♦‎ ‎8．函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且·＝0，则函数f(x)的最小正周期是______．‎ 答案：　3‎ 解：　由图象可知，M，N，‎ 所以·＝·(xN，－1)＝xN－1＝0，‎ 解得xN＝2，‎ 所以函数f(x)的最小正周期是2×＝3.‎ ‎9．已知x，y满足若＝(x,1)，＝(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是________．‎ 答案：　 解：　因为＝(x,1)，＝(2，y)，所以·＝2x＋y，令z＝2x＋y，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，‎ 观察图象可知，当目标函数z＝2x＋y过点C(1,1)时，zmax＝2×1＋1＝3，目标函数z＝2x＋y过点F(a，a)时，zmin＝2a＋a＝3a，所以3＝8×3a，解得a＝.‎ ‎☀☀☀感悟高考☀☀☀‎ 分析课程标准和近五年的高考试题，可以发现高考命题主要集中在：主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题，通过近五年考题的规律，可以预测2019年高考试题中，可能会出现平面向量与函数的综合题目。‎ ‎★★★知能达标演练★★★‎ 一、选择题 ‎1.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于(　　)‎ A. B.2 C.3 D.4 解：　＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝4.故选D.‎ 答案：　D ‎2.在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于(　　)‎ A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c 解：　∵＝2，∴－＝＝2＝2(－)，‎ ‎∴3＝2＋，∴＝＋＝b＋c.‎ 答案：　A ‎3.(2017·温州八校检测)设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为(　　)‎ A.－2 B.－1 C.1 D.2‎ 解：　∵＝a＋b，＝a－2b，‎ ‎∴＝＋＝2a－b.‎ 又∵A，B，D三点共线，∴，共线.‎ 设＝λ，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，‎ ‎∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.‎ 答案：　B ‎4.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　)‎ A.a－b 　　　 B.a－b C.a＋b 　　　　 D.a＋b 解：　连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，‎ 所以＝＋＝b＋a.‎ 答案：　D ‎5.若平面向量a，b，c两两所成的角相等，且|a|＝1，|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|等于(　　)‎ A.2 B.5 C.2或5 D.或 解：　由于平面向量a，b，c两两所成的角相等，故每两个向量成的角都等于或0°，|a＋b＋c|＝ ‎＝ 当夹角为0时，上式值为5；当夹角为时，上式值为2.故选C.‎ 答案：　C ‎6.已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·等于(　　)‎ A.－a2 B.－a2 C.a2 D.a2‎ 解：　在菱形ABCD中，＝，＝＋，所以·＝(＋)·＝·＋·＝a2＋a×a×cos 60°＝a2＋a2＝a2. ‎ 答案：　D ‎7．(2018·株州模拟)在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是(　　)‎ A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案：　C 解：　由(＋)·＝||2，‎ 得·(＋－)＝0，‎ 即·(＋＋)＝0,2·＝0，‎ ‎∴⊥，∴A＝90°.‎ 又根据已知条件不能得到||＝||，‎ 故△ABC一定是直角三角形．‎ ‎8．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 答案：　D 解：　∵＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，‎ ‎∴·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，‎ ‎∴y2＝x＋6，即点P的轨迹是抛物线．‎ ‎9．已知向量m＝(1，cos θ)，n＝(sin θ，－2)，且m⊥n，则sin 2θ＋6cos2θ的值为(　　)‎ A. B．2‎ C．2 D．－2‎ 答案：　B 解：　由题意可得m·n＝sin θ－2cos θ＝0，‎ 则tan θ＝2，所以sin 2θ＋6cos2θ＝ ‎＝＝2.故选B.‎ ‎10．(2017·长春质量监测)在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且＝＋，则等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案：　B 解：　如图，由已知得点D在△ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有S△ABD＝S△ABC，S△ACD＝S△ABC，S△BCD＝S△ABC＝S△ABC，‎ 所以＝.‎ ‎11．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，则·的最大值、最小值分别为(　　)‎ A．9,7 B．8,7‎ C．9,8 D．17,8‎ 答案：　B 解：　由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，设E(x，y)(－3≤x≤3)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－x2＝＋7，所以当x＝0时，·有最小值7，当x＝±3时，·有最大值8，故选B.‎ ‎12．(2018·四川凉山州一诊)若直线ax－y＝0(a≠0)与函数f(x)＝的图象 交于不同的两点A，B，且点C(6,0)，若点D(m，n)满足＋＝，则m＋n等于(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案：　B 解：　因为f(－x)＝＝＝－f(x)，且直线ax－y＝0过坐标原点，所以直线与函数f(x)＝的图象的两个交点A，B关于原点对称，即xA＋xB＝0，yA＋yB＝0，又＝(xA－m，yA－n)，＝(xB－m，yB－n)，＝(m－6，n)，由＋＝，得xA－m＋xB－m＝m－6，yA－n＋yB－n＝n，解得m＝2，n＝0，所以m＋n＝2，故选B.‎ ‎13．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ， λ∈(0，＋∞)，则(　　)‎ A．动点P的轨迹一定通过△ABC的重心 B．动点P的轨迹一定通过△ABC的内心 C．动点P的轨迹一定通过△ABC的外心 D．动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心 答案：　D 解：　由条件，得＝λ，‎ 从而·＝λ ‎＝λ·＋λ·＝0，‎ 所以⊥，则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．‎ ‎14．(2018·大庆一模)已知共面向量a，b，c满足|a|＝3，b＋c＝2a，且|b|＝|b－c|.若对每一个确定的向量b，记|b－ta|(t∈R)的最小值为dmin，则当b变化时，dmin的最大值为(　　)‎ A. B．2‎ C．4 D．6‎ 答案：　B 解：　‎ 固定向量a＝(3,0)，则b，c向量分别在以(3,0)为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，其中，＝a，＝b，＝c，如图，易得点B的坐标 B(rcos θ＋3，rsin θ)，‎ 因为|b|＝|b－c|，‎ 所以OB＝BC，即(rcos θ＋3)2＋r2sin2θ＝4r2，‎ 整理为r2－2rcos θ－3＝0，可得cos θ＝，‎ 而|b－ta|(t∈R)的最小值为dmin，‎ 即dmin＝rsin θ＝＝≤2，‎ 所以dmin的最大值是2，故选B.‎ ‎15．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)‎ A．3 B．2 C. D．2‎ 答案：　A 解：　建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2,1)．‎ 设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.‎ ‎∵CD＝1，BC＝2，‎ ‎∴BD＝＝，‎ EC＝＝＝，‎ 即圆C的半径为，‎ ‎∴P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝.‎ 设P(x0，y0)，则(θ为参数)，‎ 而＝(x0，y0)，＝(0,1)，＝(2,0)．‎ ‎∵＝λ＋μ＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，‎ ‎∴μ＝x0＝1＋cos θ，λ＝y0＝1＋sin θ.‎ 两式相加，得 λ＋μ＝1＋sin θ＋1＋cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，‎ 当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.‎ 故选A.‎ 二、填空题 ‎16．在菱形ABCD中，若AC＝4，则·＝________.‎ 答案：　－8‎ 解：　设∠CAB＝θ，AB＝BC＝a，‎ 由余弦定理得a2＝16＋a2－8acos θ，∴acos θ＝2，‎ ‎∴·＝4×a×cos(π－θ)＝－4acos θ＝－8.‎ ‎17．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________．‎ 答案：　 解：　由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，‎ 即4|b|2＋4×2|b|2cos θ＝0，∴cos θ＝－.‎ 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.‎ ‎18．已知O为△ABC内一点，且＋＋2＝0，则△AOC与△ABC的面积之比是________．‎ 答案：　1∶2‎ 解：　如图所示，取AC的中点D，‎ ‎∴＋＝2，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴O为BD的中点，‎ ‎∴面积比为高之比．‎ 即＝＝.‎ ‎19．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为________．‎ 答案：　－ 解：　∵圆心O是直径AB的中点，‎ ‎∴＋＝2，∴(＋)·＝2·，‎ ‎∵||＋||＝3≥2，‎ ‎∴||·||≤，‎ 即(＋)·＝2·＝－2||·||≥－，当且仅当||＝||＝时，等号成立，故最小值为－.‎ ‎20．已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，圆M：(x－2－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1(θ∈R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则·的最小值是________．‎ 答案：　6‎ 解：　圆(x－2)2＋y2＝4的圆心C(2,0)，半径为2，‎ 圆M(x－2－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1，圆心M(2＋5cos θ，5sin θ)，半径为1，‎ ‎∵CM＝5＞2＋1，故两圆外离．‎ 如图所示，设直线CM和圆M交于H，G两点，‎ 则·的最小值是·，HC＝CM－1＝5－1＝4，HF＝HE＝ ‎＝＝2，‎ sin∠CHE＝＝，‎ ‎∴cos∠EHF＝cos 2∠CHE＝1－2sin2∠CHE＝，‎ ‎∴·＝||·||·cos∠EHF ‎＝2×2×＝6.‎ ‎∴·的最小值是6.‎ 三、解答题 ‎21.在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且＝m＋n(m，n∈R).‎ ‎(1)若m＝n＝，求||；‎ ‎(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值.‎ 解：　(1)∵m＝n＝，＝(1，2)，＝(2，1)，‎ ‎∴＝(1，2)＋(2，1)＝(2，2)，‎ ‎∴||＝＝2.‎ ‎(2)∵＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，∴ 两式相减，得m－n＝y－x.‎ 令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，‎ 故m－n的最大值为1.‎ ‎22．已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足·＝0，＝－，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．‎ 解：　设M(x，y)为所求轨迹上任一点，‎ 设A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)，‎ 则＝(a,3)，＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，‎ 由·＝0，得a(x－a)＋3y＝0.①‎ 由＝－，得 ‎(x－a，y)＝－(－x，b－y)＝，‎ ‎∴∴ ‎∵b＞0，∴y＞0，‎ 把a＝－代入到①中，得－＋3y＝0，‎ 整理得y＝x2(x≠0)．‎ ‎∴动点M的轨迹方程为y＝x2(x≠0)．‎ ‎23．(2018·酒泉质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．‎ 解：　(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.‎ 根据正弦定理得 ‎(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，‎ 所以sin Acos B＝sin(C＋B)，‎ 即sin Acos B＝sin A，‎ 因为A∈(0，π)，所以sin A>0.‎ 所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)因为|－|＝，所以||＝.‎ 即b＝，根据余弦定理及基本不等式，得 ‎6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，即ac≤3(2＋)，‎ 故△ABC的面积S＝acsin B≤，‎ 即△ABC的面积的最大值为.‎