2014中考复习之一元二次方程经典习题及深度解析

2014中考复习之一元二次方程经典习题及深度解析

一元二次方程及解法经典习题及解析 知识技能：‎ 一、填空题：‎ ‎1．下列方程中是一元二次方程的序号是 ．‎ ‎ ③ ‎ ‎ ‎ ‎◆答案：‎ ‎◆解析：判断一个方程是否是一元二次方程，要根据一元二次方程的定义，看是否同时符合条件 ‎①含有一个未知数；②未知数的最高次数是整式方程．若同时符合这三个条件的就是一元 次方程，否则缺一不可．其中方程②含两个未知数，不符合条件①；方程⑥不是整式方程，lil不符合条件③；方程⑦中未知数的最高次数是3次，不符合条件②；方程⑧经过整理后；次项消掉，也不符合条件②．‎ ‎2．已知，关于2的方程是一元二次方程，则 ‎ ‎◆答案：‎ ‎◆解析：方程既然是一元二次方程，必符合一元二次方程的定义，所以未知数 的最高次数是2，因此，二次项系数故 ‎3．当 时，方程不是关于X的一元二次方程．‎ ‎◆答案：‎ ‎◆解析：方程不是关于2的一元二次方程，则二次项系数 故 ‎4．解一元二次方程的一般方法有 ， ， ， ·‎ ‎◆答案：直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法 ‎5．一元二次方程的求根公式为： ．‎ ‎◆答案：‎ ‎◆解析：此题不可漏掉的条件．‎ ‎6．(2004·沈阳市)方程的根是 ．‎ ‎◆答案：‎ ‎◆解析：所以 ‎7．不解方程，判断一元二次方程的根的情况是 ．‎ ‎◆答案：有两个不相等的实数根 ‎◆解析：原方程化为 ‎．‘．原方程有两个不相等的实数根．‎ ‎8．(2004·锦州市)若关于X的方程有实数根，则k的取值范围是 ．‎ ‎◆答案：‎ ‎◆解析：‘．．方程有实根，‎ ‎9．已知：当 时，方程有实数根．‎ ‎◆答案：‎ ‎◆解析：。．‘方程有实数根．‎ ‎10．关于x的方程的根的情况是 ．‎ ‎◆答案：无实根 ‎◆解析：‎ ‎ 原方程无实根．‎ 二、选择题：‎ ‎11．(2004·北京市海淀区)若a的值使得成立，则a的值为( )‎ ‎ A．5 8．4 C．3 D．2‎ ‎◆答案：C ‎◆解析：的值使得 故C正确．‎ ‎12．把方程化为后，a、b、c的值分别为( )‎ ‎ ‎ ‎◆答案：C◆解析：方程化为故故C正确．‎ ‎13．方程的解是( )‎ ‎=土1 ‎ ‎◆答案：C ‎◆解析：运用因式分解法得故故C正确．‎ ‎14．(2006·广安市)关于X的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值 范围是( )‎ ‎ 且 ‎◆答案：D ‎◆解析：由题意知解得且 ‎15．(2006·广州市)一元二次方程的两个根分别为( )‎ ‎ ‎ ‎◆答案：C ‎16．解方程 较简便的方法是( )‎ ‎ A．依次为：开平方法、配方法、公式法、因式分解法 ‎ B．依次为：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法 用直接开平方法，用公式法，③用因式分解法 用直接开平方法，②用公式法，用因式分解法 ‎◆答案：D ‎17．(2004·云南省)用配方法解一元二次方程则方程可变形为( )‎ ‎ ‎ ‎◆答案：B ‎18．一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )‎ ‎ 且 且 ‎◆答案：B ‎◆解析：‘．‘方程有两个不相等的实根 ‎(1且故B正确．‎ ‎19．下列方程中有两个相等的实数根的方程是( )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎◆答案：A ‎◆解析：只有A的判别式的值为零，故A正确．‎ ‎20．(2004·大连市)一元二次方程的根的情况是( )‎ ‎ A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 ‎ C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 ‎◆答案：D ‎◆解析：方程没有实数根，故D正确 ‎21．下列命题正确的是( )‎ 只有一个实根 有两个不等的实根 C．方程有两个相等的实根 D．方程无实根 ‎◆答案：D ‎◆解析：A有两根为有一根为有两根为故D正确．‎ 三、解答题：‎ ‎22．(2006·浙江省)解方程 ‎◆解：‎ ‎23．用因式分解法解方程：‎ ‎◆解：(1)原方程化为 ‎(3)原方程化为 ‎24．解关于2的方程：‎ ‎ ◆解析：解字母系数的一元二次方程时要注意区别字母系数与未知数；方程两边同时除以含字母 的代数式时，要考虑到分母不为零的条件，以保证除法有意义．‎ ‎◆解：(1)原方程整理为或 ‎(2)原方程化为或 ‎25．不解方程，判别下列方程根的情况．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎◆解：(1)原方程可化为 原方程有不相等两实根；‎ 原方程有不相等两实根；‎ 原方程有相等两实根；‎ ‎(4)原方程化为：‎ 原方程无实根．‎ ‎26．已知关于z的方程当k为何值时，‎ ‎(1)方程有两个不相等的实数根?‎ ‎(2)方程有两个相等的实数根?‎ ‎(3)方程无实根?‎ ‎◆解：当b2时，‎ 当b2时，‎ 当b2时，‎ 当时，原方程有两个不相等的实数根；‎ 当时，原方程有两个相等的实数根；‎ 当时，原方程无实根．‎ ‎27．已知：无实根，且a是实数，化简 ‎◆解：方程无实根 即解得当时，‎ ‎28．k取何值时，方程有两个相等的实数根?并求出这时方程的根．‎ ‎◆解：根据题意，得 ‎．当或时，原方程有两个相等的实数根．‎ 当时，方程为：‎ 当时，方程为：‎ ‎29．求证：关于2的方程有两个不相等的实数根．‎ ‎◆证明：‎ 原方程有两个不相等的实数根．‎ ‎30．求证：无论k为何值，方程都没有实数根．‎ ‎◆证明：‎ ‎．‘．无论k为何值，方程都没有实数根．‎ ‎31．当是实数时，求证：方程必有两个实数根，并求两根相等的 条件．‎ ‎◆证明：‎ ‎．‘．方程必有两个实数根，‎ 当方程两根相等时，且且 ‎．。．原方程两根相等的条件是且 ‎32．如果关于z的一元二次方程没有实数根，求m的最小整数值．‎ ‎◆解：原方程整理，得 ‎ ‘．。原方程无实数根 且的最小整数值为2．‎ 综合运用：‎ 一、填空题：‎ ‎33．方程是关于x的一元二次方程，则 ‎◆答案：一3；1‎ ‎◆解析：根据一元二次方程的定义可知:故且故 ‎34．关于z的方程 ‎(1)当 时，这个方程是一元二次方程；‎ ‎(2)当 时，这个方程是一元一次方程．‎ ‎◆答案：‎ ‎◆解析：(1)原方程化为一般形式为当二次项系数时，‎ 这个方程是一元二次方程，故 ‎(2)当二次项系数时，此时二次项系数为零，而一次项系数恰好不为零，故 时这个方程是一元一次方程．‎ ‎35．已知方程的根是则 ‎◆答案：‎ ‎◆解析：因为是方程的根，所以应适合于方程，把 代入方程得到关于k的一元一次方程，解得 二、选择题：‎ ‎36．(2004·郴州市)方程的左边配成完全平方后所得方程为( )‎ ‎ ‎ ‎ D．以上答案都不对 ‎◆答案：A ‎37．已知：关于2的方程有两个实数根，则m的范围为( )‎ ‎ 且 ‎◆答案：B ‎◆解析：‘．．方程有两个实根．‎ 一4mf 9解得且故B正确．‎ 注意：不能丢掉的隐含条件．‎ ‎38．已知a、b、c是的三条边，且方程有两个相等实数根，那 么，这个三角形是( )‎ ‎ A．等边三角形 B．等腰三角形 ‎ C．直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎ ◆答案B ‎◆解析：根据题意，得 或或故B正确．‎ 注意：与之间是“或者”关系，不是“并且”关系，所以不能得到 ‎39．(2004·海南省)已知关于2的方程有两个不相等的实数根，那么m的 最大整数值是( )‎ ‎ ‎ ‎◆答案：C ‎◆解析：。．‘方程有两个不相等的实数根．‎ 的最大整数值是0，故C正确．‎ 三、解答题：‎ ‎ 40．用因式分解法解下列方程：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎◆解析：此题要注意运用换元的思想．‎ ‎◆解：‎ 或解得 或 解得:‎ 或 解得:‎ ‎ 或 解得:‎ ‎41．解方程 ‎◆解析：解含未知数绝对值的方程一般有两种思路：一是设法填绝对值符号，把原方程化为关于 的一元二次方程，先求的值，再进一步求2的值；二是设法脱去绝对值符号，把原方程 化为关于z的一元二次方程，脱去绝对值符号的方法是要对2分类讨论．‎ ‎◆解法原方程可化为：‎ 一±l或 ‎◆解法二：当时，原方程左右两边的值不相等当时，原方程可化为 当时，原方程化为 ‎42．(1)已知方程求证：或 ‎(2)已知方程求证：或 ‎◆证明：(1)原方程化为==+或 ‎(2)原方程化为或 ‎43．m为何值时，方程有两个不相等的实数根?‎ ‎◆解析：注意不可漏掉隐含条件 ‎◆解：‎ 当且时，方程 有两个不相等的实数根．‎ ‎44．已知方程有实根，求m的取值范围．‎ ‎◆解析：注意讨论一元一次方程和一元二次方程两种情况．‎ ‎◆解：根据题意得①当时即原方程为 ‎②当时即有 的取值范围是 ‎45．若关于2的方程有两个不相等的实数根，试化简代数式 ‎◆解析：注意负数的绝对值等于其相反数，当时，一31等于 ‎◆解：‎ 当时 原式 ‎46、当m是什么整数时，与的根都是整数?‎ ‎◆解：。．．一元二次方程有整数根 ‎①‎ 又。．。方程有整数根 由得：为整数 当时，方程的二次项系数为零，不合题意，舍去；‎ 当时，方程为其根为 方程为其根为 当时，方程为其根不是整数；‎ ‎．‘．当时，关于2的一元二次方程与方程 的根都是整数．‎ ‎47．求方程的实数解．‎ ‎◆解：把原方程整理成关于2的二次方程，得 因为此方程有实数解，所以 又当时，原方程化为 ‎．．．原方程的实数解为 ‎48．设a、6、c为三角形的三条边长．求证：方程无实根．‎ ‎◆证明：‎ 是三角形的三条边，‎ 原方程无实根．‎ ‎49．若方程有两个相等的实数根，且a、b、c是 的三条边，求证：是等腰三角形．‎ ‎◆证明：‎ 是的三条边 只能是等腰三角形．‎ ‎50．设m、k为有理数，当k为何值时，关于z的方程 的根为有理数?‎ ‎◆解：把原方程化为 要使方程的根为有理数，其判别式应为完全平方式，即关于m的二次三项式 所对应的方程有等根．因此它的判别式 即 ‎．’．当时，方程的根为有理数．‎ ‎51、已知关于x的一元二次方程 ‎(1)求证：方程有两个不相等的实数根；‎ ‎(2)设方程的两根分别为z，，X。，且满足求k的值 ‎◆证明：又 ‎．’．原方程有两个不相等的实数根；‎ ‎◆解：(2)由根与系数的关系，得：‎ 解得