人教版高中数学选修2-3练习：第二章2-1-2-1-2第2课时两点分布与超几何分布word版含解析

人教版高中数学选修2-3练习：第二章2-1-2-1-2第2课时两点分布与超几何分布word版含解析

第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.2 离散开明随机变量的分布列 第 2 课时 两点分布与超几何分布 A 级 基础巩固 一、选择题 1．袋中有大小相同的红球 6 个，白球 5 个，从袋中不放回每次任 意取出 1 个球，直到取出的球是白球为止时，所需要的取球次数为随 机变量ξ，则ξ的可能取值为( ) A．1，2，3，…，6 B．1，2，3，…，7 C．0，1，2，…，5 D．1，2，…，5 解析：可能第一次就取到白球，也可能红球都取完才取到白球， 所以ξ的可能取值为 1，2，3，…，7. 答案：B 2．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( ) A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量 X B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量 X C．从装有 5 个红球，3 个白球的袋中取 1 个球，令随机变量 X＝ D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量 X 解析：选项 A 中随机变量 X 的取值有 6 个，不服从两点分布． 答案：A 3．设随机变量ξ的概率分布为 P(ξ＝k)＝ c k＋1 ，k＝0，1，2，3， 则 c＝( ) A.14 25 B.13 25 C.12 25 D.11 25 解析：依题意 c＋c 2 ＋c 3 ＋c 4 ＝1，所以 c＝12 25. 答案：C 4．在 5 件产品中，有 3 件一等品和 2 件二等品，从中任取 2 件， 那么以 7 10 为概率的事件是( ) A．都不是一等品 B．恰有一件一等品 C．至少有一件一等品 D．至多有一件一等品 解析：设取到一等品的件数是ξ，则ξ＝0，1，2，P(ξ＝0)＝C03C22 C25 ＝ 1 10 ，P(ξ＝1)＝C13C12 C25 ＝ 6 10 ，P(ξ＝2)＝C23C02 C25 ＝ 3 10 ，因为 P(ξ＝0)＋P(ξ＝1) ＝ 7 10 ，所以满足题设的事件是“至多有一件一等品”． 答案：D 5．在 15 个村庄中，有 7 个村庄交通不太方便，现从中任意选 10 个村庄，用ξ表示 10 个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等 于C47·C68 C1015 的是( ) A．P(ξ＝2) B．P(ξ≤2) C．P(ξ＝4) D．P(ξ≤4) 解析：因为 P(ξ＝2)＝C27C88 C1015 ，P(ξ≤2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝ 2)≠C27C88 C1015 ，P(ξ＝4)＝C47C68 C1015 ，P(ξ≤4)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＞P(ξ ＝4)，所以选项 C 正确． 答案：C 二、填空题 6．某人投篮的命中率是不命中概率的 3 倍，以随机变量 X 表示 1 次投篮的命中次数，则 P(X＝1)＝________． 解析：设不命中的概率为 p，则命中的概率为 3p， 有 p＋3p＝1， 即 p＝1 4.p(X＝1)是 1 次投篮中命中的概率，即投篮命中率． 答案：3 4 7．从装有 3 个红球，2 个白球的袋中随机取 2 个球，设其中有ξ 个红球，则随机变量ξ的分布列为： ξ 0 1 2 P 解析：P(ξ＝0)＝C03C22 C25 ＝ 1 10 ，P(ξ＝1)＝C13C12 C25 ＝ 6 10 ＝3 5 ， P(ξ＝2)＝C23C02 C25 ＝ 3 10. 答案： 1 10 3 5 3 10 8．已知离散型随机变量 X 的分布列 P(X＝k)＝ k 15 ，k＝1，2，3， 4，5，令 Y＝2X－2，则 P(Y＞0)＝________． 解析：由已知 Y 取值为 0，2，4，6，8，且 P(Y＝0)＝ 1 15 ，P(Y＝2) ＝ 2 15 ，P(Y＝4)＝ 3 15 ＝1 5 ，P(Y＝6)＝ 4 15 ，P(Y＝8)＝ 5 15. 则 P(Y>0)＝P(Y＝2)＋P(Y＝4)＋P(Y＝6)＋P(Y＝8)＝14 15. 答案：14 15 三、解答题 9．一个袋中有形状大小完全相同的 3 个白球和 4 个红球． (1)从中任意摸出一球，用 0 表示摸出白球，用 1 表示摸出红球， 求 X 的分布列； (2)从中任意摸出两个球，用 0 表示两个球全是白球，用 1 表示两 个球不全是白球，求 X 的分布列． 解：(1)因为摸出红球的概率为 P(X＝1)＝C14 C17 ＝4 7 ，所以 X 的分布列 为： X 0 1 P 3 7 4 7 (2)因为 P(X＝0)＝C23 C27 ＝1 7 ，所以 X 的分布列为： X 0 1 P 1 7 6 7 10.生产方提供 50 箱的一批产品，其中有 2 箱不合格产品．采购方 接收该批产品的准则是：从该批产品中任取 5 箱产品进行检测，若至 多有 1 箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率 是多少？ 解：以 50 箱为一批产品，从中随机抽取 5 箱，用 X 表示“5 箱中 不合格产品的箱数”，则 X 服从超几何分布．这批产品被接收的条件 是 5 箱中没有不合格的或只有 1 箱不合格，所以被接收的概率为 P(X≤1)， 即 P(X≤1)＝C02C548 C550 ＋C12C448 C550 ＝243 245. 综上该批产品被接收的概率是243 245. B 级 能力提升 1．已知在 10 件产品中可能存在次品，从中抽取 2 件检查，其次 品数为ξ，已知 P(ξ＝1)＝16 45 ，且该产品的次品率不超过 40%，则这 10 件产品的次品率为( ) A．10% B．20% C．30% D．40% 解析：设 10 件产品中有 x 件次品， 则 P(ξ＝1)＝C1xC110－x C210 ＝x（10－x） 45 ＝16 45 ，解得 x＝2 或 8. 因为次品率不超过 40%， 所以 x＝2，所以次品率为 2 10 ＝20%. 答案：B 2．某班有 50 名学生，其中 15 人选修 A 课程，另外 35 人选修 B 课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是 ________． 解析：将 50 名学生看作一批产品，其中选修 A 课程为不合格品， 选修 B 课程为合格品，随机抽取两名学生，X 表示选修 A 课程的学生 数，则 X 服从超几何分布，其中 N＝50，M＝15，n＝2. 依题意所求概率为 P(X＝1)＝C115C2－150－15 C250 ＝3 7. 答案：3 7 3．盒子中装着标有数字 1、2、3、4、5 的卡片各 2 张，从盒子中 任取 3 张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的 3 张 卡片上的最大数字，求： (1)取出的 3 张卡片上的数字互不相同的概率； (2)随机变量ξ的概率分布． 解：(1)记“一次取出的 3 张卡片上的数字互不相同的事件”为 A， 则 P(A)＝C35C12C12C12 C310 ＝2 3. (2)由题意ξ可能的取值为 2，3，4，5， P(ξ＝2)＝C22C12＋C12C22 C310 ＝ 1 30 ， P(ξ＝3)＝C24C12＋C14C22 C310 ＝ 2 15 ， P(ξ＝4)＝C26C12＋C16C22 C310 ＝ 3 10 ， P(ξ＝5)＝C28C12＋C18C22 C310 ＝ 8 15. 所以随机变量ξ的分布列为： ξ 2 3 4 5 P 1 30 2 15 3 10 8 15