【数学】2018届一轮复习苏教版9-5椭圆教案（江苏专用）
9.5 椭圆
1.椭圆的概念
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a
b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
F1F2＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
【知识拓展】
点P(x0，y0)和椭圆的关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.( × )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).( √ )
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( × )
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( √ )
(5)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆.( × )
(6)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等.( √ )
1.(教材改编)椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝________.
答案 4或8
解析 由题意知或
解得m＝4或m＝8.
2.(2016·苏州检测)在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F(－1,0)的距离与P到定直线x＝－4的距离的比值为.则动点P的轨迹C的方程为__________.
答案 ＋＝1
解析 设点P(x，y)，由题意知＝，
化简得3x2＋4y2＝12，
所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1.
3.(2016·全国乙卷改编)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为________.
答案
解析 如图，由题意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b，OD＝·2b＝b.
在Rt△FOB中，OF·OB＝BF·OD，即cb＝a·b，
解得a＝2c，故椭圆离心率e＝＝.
4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是__________.
答案 ＋＝1
解析 由题意知c＝1，e＝＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.故所求椭圆方程为＋＝1.
5.(教材改编)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为__________________.
答案 或
解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，所以P点坐标为或.
题型一 椭圆的定义及标准方程
命题点1 利用定义求轨迹
例1 (2016·徐州模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是________.
答案 椭圆
解析 由条件知PM＝PF，
∴PO＋PF＝PO＋PM＝OM＝R>OF.
∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆.
命题点2 利用待定系数法求椭圆方程
例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为___________________________________________.
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为_____________________________________.
答案 (1)＋y2＝1或＋＝1
(2)＋＝1
解析 (1)若焦点在x轴上，
设方程为＋＝1(a>b>0).
∵椭圆过P(3,0)，∴＋＝1，即a＝3，
又2a＝3×2b，∴b＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a>b>0).
∵椭圆过点P(3,0)，∴＋＝1，即b＝3.
又2a＝3×2b，∴a＝9，∴椭圆方程为＋＝1.
∴所求椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1.
(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n).
∵椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程.
即
①②两式联立，解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.
命题点3 利用定义解决“焦点三角形”问题
例3 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
答案 3
解析 设PF1＝r1，PF2＝r2，
则
因为2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，
又因为
所以b＝3.
引申探究
1.在例3中，若增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程.
解 由原题得b2＝a2－c2＝9，
又2a＋2c＝18，
所以a－c＝1，解得a＝5，
故椭圆方程为＋＝1.
2.在例3中，若将条件“⊥”“△PF1F2的面积为9”分别改为“∠F1PF2＝60°”“”，结果如何？
解 PF1＋PF2＝2a，又∠F1PF2＝60°，
所以PF＋PF－2PF1·PF2cos 60°＝F1F，
即(PF1＋PF2)2－3PF1·PF2＝4c2，
所以3PF1·PF2＝4a2－4c2＝4b2，
所以PF1·PF2＝b2，
又因为
＝·b2·＝b2＝3，
所以b＝3.
思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>F1F2这一条件.
(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式.
(3)当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求PF1·PF2；通过整体代入可求其面积等.
(1)(2016·盐城模拟)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_________.
(2)(2016·镇江模拟)设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是______.
答案 (1)＋＝1 (2)1
解析 (1)设圆M的半径为r，
则MC1＋MC2＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝C1C2，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16,2c＝8，
故所求的轨迹方程为＋＝1.
(2)∵(＋)·＝(＋)·＝·＝0，
∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.
设PF1＝m，PF2＝n，
则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，
题型二 椭圆的几何性质
例4 (1)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是________.
(2)(2016·全国丙卷改编)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为________.
答案 (1)2 (2)
解析 (1)设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0)，
∴＋＝(－2x0，－2y0)，
∴|＋|＝
＝2
＝2.
∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，
∴当y＝1时，|＋|取最小值2.
(2)设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，则D，
又B，D，M三点共线，
所以＝，a＝3c，e＝.
思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧
①注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系.
②利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.
(2)求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.
(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________.
答案
解析 联立方程组解得B，C两点坐标为B，C，
又F(c,0)，则＝，＝，
又由∠BFC＝90°，可得·＝0，代入坐标可得
c2－a2＋＝0， ①
又因为b2＝a2－c2.
代入①式可化简为＝，
则椭圆离心率为e＝＝＝.
题型三 直线与椭圆
例5 (2016·天津)设椭圆＋＝1(a>)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直线l的斜率.
解 (1)设F(c,0)，由＋＝，
即＋＝，可得a2－c2＝3c2.
又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，
则直线l的方程为y＝k(x－2).
设B(xB，yB)，由方程组消去y，
整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0，
解得x＝2或x＝.
由题意，得xB＝，从而yB＝.
由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，
有＝(－1，yH)，＝.
由BF⊥HF，得·＝0，
所以＋＝0，解得yH＝.
因此直线MH的方程为y＝－x＋.
设M(xM，yM)，由方程组消去y，
解得xM＝.
在△MAO中，∠MOA＝∠MAO⇔MA＝MO，
即(xM－2)2＋y＝x＋y，
化简得xM＝1，即＝1，
解得k＝－或k＝.
所以直线l的斜率为－或.
思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝
＝(k为直线斜率).
提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.
如图，已知椭圆O：＋y2＝1的右焦点为F，B，C分别为椭圆O的上，下顶点，P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴交点除外)，直线PC交椭圆O于另一点M.
(1)当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；
(2)①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值；
②求·的取值范围.
(1)解 由题意知B(0,1)，C(0，－1)，焦点F(，0)，当直线PM过椭圆O的右焦点F时，
直线PM的方程为＋＝1，即y＝x－1.
联立
解得或(舍去)，
即点M的坐标为(，).
连结BF，则直线BF的方程为＋＝1，
即x＋y－＝0.又BF＝a＝2，
点M到直线BF的距离为
d＝＝＝，
故△FBM的面积为S△MBF＝·BF·d＝×2×＝.
(2)方法一 ①证明 设P(m，－2)，且m≠0，则直线PM的斜率为k＝＝－，
则直线PM的方程为y＝－x－1.
联立消去y，得(1＋)x2＋x＝0，
解得点M的坐标为(－，)，
所以k1＝＝＝m，k2＝＝－，
所以k1·k2＝－·m＝－为定值.
②解 由①知，＝(－m,3)，
＝(－－m，＋2)
＝(，)，
所以·＝(－m,3)·(－，)
＝.
令m2＋4＝t>4，
则·＝
＝＝t－＋7.
因为y＝t－＋7在t∈(4，＋∞)上单调递增，
所以·＝t－＋7>4－＋7＝9，
故·的取值范围为(9，＋∞).
方法二 ①证明 设点M的坐标为(x0，y0)(x0≠0)，
则直线PM的方程为y＝x－1，
令y＝－2，得点P的坐标为(－，－2)，
所以k1＝，k2＝＝，
所以k1·k2＝·＝
＝＝－为定值.
②解 由①知，＝(，3)，
＝(x0＋，y0＋2)，
所以·＝(x0＋)＋3(y0＋2)
＝＋3(y0＋2)
＝＋3(y0＋2)
＝.
令t＝y0＋1∈(0,2)，
则·＝＝－t＋＋7.
因为y＝－t＋＋7在t∈(0,2)上单调递减，
所以·＝－t＋＋7>－2＋＋7＝9，
故·的取值范围为(9，＋∞).
8.高考中求椭圆的离心率问题
考点分析 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.
典例1 (2015·福建改编)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若AF＋BF＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是__________.
解析 左焦点F0，连结F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.
∵AF＋BF＝4，
∴AF＋AF0＝4，∴a＝2.
设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2.
离心率e＝＝＝ ＝ ∈.
答案
典例2 (14分)(2016·浙江)如图，设椭圆＋y2＝1(a＞1).
(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.
规范解答
解 (1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，
由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，
故x1＝0，x2＝－，
因此AM＝|x1－x2|＝·. [6分]
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足AP＝AQ.
记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2. [8分]
由(1)知AP＝，AQ＝，
故＝，
所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0.
由k1≠k2，k1，k2＞0，得1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，
因此＝1＋a2(a2－2)， ①
因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，
所以a＞. [12分]
因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤，
由e＝＝，得00)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为________.
答案 ＋＝1
解析 ∵△AF1B的周长＝AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝4a，∴4a＝4，故a＝，
即3m＝()2，∴m＝1.
∴椭圆的方程为＋＝1.
2.(2016·苏北四市一模)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点A、B1、B2、F
依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点.若直线AB2与直线B1F的交点恰在直线x＝上，则椭圆的离心率为____.
答案
解析 由题意知直线AB2：－＋＝1，直线B1F：－＝1，联立解得x＝，若交点在椭圆的右准线上，则＝，即2c2＋ac－a2＝0，所以2e2＋e－1＝0，解得e＝.
3.若对任意k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是__________.
答案 [1,2)∪(2，＋∞)
解析 联立直线与椭圆的方程，消去y得(2k2＋m)x2＋4kx＋2－2m＝0，
因为直线与椭圆恒有公共点，
所以Δ＝16k2－4(2k2＋m)(2－2m)≥0，即2k2＋m－1≥0恒成立，因为k∈R，所以k2≥0，则m－1≥0，所以m≥1，
又m≠2，所以实数m的取值范围是[1,2)∪(2，＋∞).
4.(2016·南昌模拟)已知椭圆：＋x2＝1，过点P(，)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为________________.
答案 9x＋y－5＝0
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆＋x2＝1上，所以
两式相减，得＋x－x＝0，
即＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，
又弦AB被点P(，)平分，
所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，
将其代入上式，得＋x1－x2＝0，
得＝－9，
即直线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为
y－＝－9(x－)，即9x＋y－5＝0.
5.(2016·宿迁模拟)已知F1、F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一动点，则使PF1·PF2取得最大值的点P为__________.
答案 (0,1)或(0，－1)
解析 由椭圆定义得PF1＋PF2＝2a＝4，
∴PF1·PF2≤()2＝4，
当且仅当PF1＝PF2＝2，
即P(0，－1)或(0,1)时，PF1·PF2取得最大值.
6.已知两定点A(－2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为________.
答案
解析 由题意知，椭圆C的离心率e＝，
求e的最大值，即求a的最小值.
由于A，B两点是椭圆的焦点，
所以PA＋PB＝2a，即在直线l上找一点P，
使PA＋PB的值最小，
设点A(－2,0)关于直线l：y＝x＋3的对称点为Q(x0，y0)，
则解得
即Q(－3,1)，则PA＋PB≥QB
＝＝，
即2a≥，∴a≥，
∴e＝≤＝.
7.若椭圆＋＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________.
答案 ＋＝1
解析 设切点坐标为(m，n)，
则·＝－1，
即m2＋n2－n－2m＝0.
∵m2＋n2＝4，∴2m＋n－4＝0，
即直线AB的方程为2x＋y－4＝0.
∵直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，
∴2c－4＝0，b－4＝0，解得c＝2，b＝4，
∴a2＝b2＋c2＝20，
∴椭圆方程为＋＝1.
8.已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则PM＋PN的最小值为________.
答案 7
解析 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且PF1＋PF2＝10，从而PM＋PN的最小值为PF1＋PF2－1－2＝7.
9.(2017·连云港质检)椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________________.
答案 (－，)
解析 设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，
则＝(x＋，y)，＝(x－，y).
∵∠F1PF2为钝角，∴·<0，
即x2－3＋y2<0， ①
∵y2＝1－，代入①，得x2－3＋1－<0，x2<2，∴x2<.
解得－b>0)的离心率等于，其焦点分别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，＝________.
答案 3
解析 在△ABC中，由正弦定理得＝，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知CA＋CB＝2a，而AB＝2c，所以＝＝＝3.
11.(2016·南京模拟)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点，上顶点分别为A，B，且AB＝BF.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程.
解 (1)由已知AB＝BF，即＝a，
4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4(a2－c2)＝5a2，
∴e＝＝.
(2)由(1)知a2＝4b2，∴椭圆C：＋＝1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
直线l的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.
由消去y，
得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，
即17x2＋32x＋16－4b2＝0.
Δ＝322＋16×17(b2－4)>0，解得b>.
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵OP⊥OQ，∴·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，
5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0.
从而－＋4＝0，
解得b＝1，满足b>.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
12.(2015·安徽)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足BM＝2MA，直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求
E的方程.
解 (1)由题设条件知，点M的坐标为，
又kOM＝，从而＝，
进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.
(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为＋＝1，点N的坐标为.
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，
则线段NS的中点T的坐标为.
又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，
从而有解得b＝3.
所以a＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.
13.(2016·南京市学情调研)如图，已知椭圆＋＝1 (a>b>0)的离心率e＝，一条准线方程为x＝2.过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P，P关于x轴的对称点为Q.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线AP，AQ与x轴交点的横坐标分别为m，n，求证：mn为常数，并求出此常数.
解 (1)因为＝，＝2，
所以a＝，c＝1，所以b＝＝1.
故椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)方法一 设P点坐标为(x1，y1)，
则Q点坐标为(x1，－y1).
因为kAP＝＝，
所以直线AP的方程为y＝x＋1.
令y＝0，解得m＝－.
因为kAQ＝＝－，
所以直线AQ的方程为y＝－x＋1.
令y＝0，解得n＝.
所以mn＝·＝.
又因为(x1，y1)在椭圆＋y2＝1上，
所以＋y＝1，即1－y＝，
所以＝2，即mn＝2，
所以mn为常数，且常数为2.
方法二 设直线AP的斜率为k(k≠0)，
则AP的方程为y＝kx＋1，
令y＝0得m＝－.
联立方程组
消去y得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，
解得xA＝0，xP＝－，
所以yP＝k·xP＋1＝，
则Q点的坐标为(－，－)，
所以kAQ＝＝，
故直线AQ的方程为y＝x＋1.
令y＝0得n＝－2k，
所以mn＝(－)·(－2k)＝2，
所以mn为常数，且常数为2.
