- 2021-04-20 发布 |
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文档介绍
高考文科数学函数与导数题汇总
04 函数与导数 1. （天津文）19．（本小题满分14分）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，求的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的在区间内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当时， 所以曲线在点处的切线方程为 （Ⅱ）解：，令，解得 因为，以下分两种情况讨论： （1）若变化时，的变化情况如下表： + - + 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。 （2）若，当变化时，的变化情况如下表： + - + 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是 （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当时，在（0，1）内单调递减， 所以对任意在区间（0，1）内均存在零点。 （2）当时，在内单调递减，在内单调递增，若 所以内存在零点。 若 所以内存在零点。 所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点。 综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点。 2. （北京文）18．（本小题共13分） 已知函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）求在区间[0,1]上的最小值. 【解析】（18）（共13分） 解：（Ⅰ） 令，得． 与的情况如下： x （） （ —— 0 + ↗ ↗ 所以，的单调递减区间是（）；单调递增区间是 （Ⅱ）当，即时，函数在[0，1]上单调递增， 所以（x）在区间[0，1]上的最小值为 当时， 由（Ⅰ）知上单调递减，在上单调递增，所以在区间[0，1]上的最小值为； 当时，函数在[0，1]上单调递减， 所以在区间[0，1]上的最小值为 3. (全国大纲文)21．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数 （I）证明：曲线处的切线过点（2，2）； （II）若处取得极小值，，求a的取值范围。 【解析】21．解：（I） …………2分 由得曲线处的切线方程为 由此知曲线处的切线过点（2，2） …………6分 （II）由 （i）当没有极小值； （ii）当得 故由题设知 当时，不等式无解。 当时，解不等式 综合（i）（ii）得a的取值范围是 …………12分 4. （全国新文）21．（本小题满分12分） 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （I）求a，b的值； （II）证明：当x>0，且时，． 【解析】（21）解： （Ⅰ） 由于直线的斜率为，且过点，故即 解得，。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 考虑函数，则 所以当时，故 当时， 当时， 从而当 5. （辽宁文）20．（本小题满分12分） 设函数=x+ax2+blnx，曲线y=过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2． （I）求a，b的值； （II）证明：≤2x-2． 【解析】20．解：（I） …………2分 由已知条件得 解得 ………………5分 （II），由（I）知 设则 而 ………………12分 6. （江西文）20．（本小题满分13分） 设 （1）如果处取得最小值-5，求的解析式； （2）如果的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值；（注；区间（a，b）的长度为b-a） 【解析】20．（本小题满分13分） 解：（1）由题得 已知处取得最小值-5 所以，即 即得所要求的解析式为 （2）因为的单调递减区间的长度为正整数， 故一定有两个不同的根， 从而， 不妨设为为正整数， 故时才可能有符合条件的m，n 当m=2时，只有n=3符合要求 当m=3时，只有n=5符合要求 当时，没有符合要求的n 综上所述，只有m=2，n=3或m=3，n=5满足上述要求。 7. （山东文）21．（本小题满分12分） 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为．设该容器的建造费用为千元． （Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的． 【解析】21．解：（I）设容器的容积为V， 由题意知 故 由于 因此 所以建造费用 因此 （II）由（I）得 由于 当 令 所以 （1）当时， 所以是函数y的极小值点，也是最小值点。 （2）当即时， 当函数单调递减， 所以r=2是函数y的最小值点， 综上所述，当时，建造费用最小时 当时，建造费用最小时 8. （陕西文）21．（本小题满分14分） 设。 （Ⅰ）求的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论与的大小关系； （Ⅲ）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立。 【解析】21．解（Ⅰ）由题设知， ∴令0得=1， 当∈（0，1）时，＜0，故（0，1）是的单调减区间。 当∈（1，+∞）时，＞0，故（1，+∞）是的单调递增区间，因此，=1是的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为 （II） 设，则， 当时，即， 当时， 因此，在内单调递减， 当时， 即 当 （III）由（I）知的最小值为1，所以， ，对任意，成立 即从而得。 9. （上海文）21．（14分）已知函数，其中常数满足。 （1）若，判断函数的单调性； （2）若，求时折取值范围。 【解析】21．解：⑴ 当时，任意，则 ∵ ，， ∴ ，函数在上是增函数。 当时，同理，函数在上是减函数。 ⑵ 当时，，则； 当时，，则。 10. （四川文）22．（本小题共l4分） 已知函数，． （Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值； （Ⅱ）设，解关于x的方程； （Ⅲ）设，证明：． 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力． 解：（Ⅰ）， ． 令，得（舍去）． 当时．；当时，， 故当时，为增函数；当时，为减函数． 为的极大值点，且． （Ⅱ）方法一：原方程可化为， 即为，且 ①当时，，则，即， ，此时，∵， 此时方程仅有一解． ②当时，，由，得，， 若，则，方程有两解； 若时，则，方程有一解； 若或，原方程无解． 方法二：原方程可化为， 即， ①当时，原方程有一解； ②当时，原方程有二解； ③当时，原方程有一解； ④当或时，原方程无解． （Ⅲ）由已知得， ． 设数列的前n项和为，且（） 从而有，当时，． 又 ． 即对任意时，有，又因为，所以． 则，故原不等式成立． 11. （浙江文）（21）（本小题满分15分）设函数， （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）求所有实数，使对恒成立． 注：为自然对数的底数． 【解析】（21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15分。 （Ⅰ）解：因为 所以 由于，所以的增区间为，减区间为 （Ⅱ）证明：由题意得， 由（Ⅰ）知内单调递增， 要使恒成立， 只要 解得 12. （重庆文）19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小题5分，（Ⅱ）小题7分） 设的导数为，若函数的图像关于直线对称，且． （Ⅰ）求实数的值 （Ⅱ）求函数的极值 【解析】19．（本题12分） 解：（I）因 从而 即关于直线对称，从而由题设条件知 又由于 （II）由（I）知 令 当上为增函数； 当上为减函数； 当上为增函数； 从而函数处取得极大值处取得极小值 13. （安徽文）（18）（本小题满分13分） 设，其中为正实数. （Ⅰ）当时，求的极值点； （Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围. 【解析】（18）（本小题满分13分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力. 解：对求导得 ① （I）当，若 综合①,可知 + 0 － 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以,是极小值点,是极大值点. （II）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合①与条件a>0，知 在R上恒成立，因此由此并结合，知 14. （福建文）22．（本小题满分14分） 已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2．71828…是自然对数的底数）。 （I）求实数b的值； （II）求函数f（x）的单调区间； （III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m查看更多