2019-2020学年山东省青岛市黄岛区高二上学期期中数学试题(解析版)

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2019-2020学年山东省青岛市黄岛区高二上学期期中数学试题(解析版)

‎2019-2020学年山东省青岛市黄岛区高二上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1.直线的倾斜角为( )‎ A.30° B.60° C.120° D.150°‎ ‎【答案】A ‎【解析】直线的斜率为,所以倾斜角为30°.‎ 故选A.‎ ‎2.双曲线的虚轴长等于( )‎ A. B.1 C.2 D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用双曲线的标准方程求解双曲线的虚轴长即可.‎ ‎【详解】‎ 双曲线,可得b=1,‎ 所以双曲线的虚轴长等于2.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单性质的应用,是基本知识的考查,是基础题.‎ ‎3.已知直线与直线平行,则(  )‎ A. B. C.或 D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由两直线平行,得到,求解,得出的值,再代入直线方程检验,即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为直线与直线平行,‎ 所以,即,解得:或,‎ 当时,与重合,不满足题意,舍去;‎ 当时,与平行,满足题意.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题主要考查由直线平行求参数,熟记直线平行的判定条件即可,属于常考题型.‎ ‎4.观察数列1,,,4,,,7,,……,则该数列的第20项等于( )‎ A.2020 B.20 C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】通过观察数列得出规律,数列中的项是按正整数顺序排列,且以3为循环节,由此判断第20项是哪个数.‎ ‎【详解】‎ 由数列得出规律,按照1,,,…,‎ 是按正整数的顺序排列,且以3为循环节,‎ 由,‎ 所以该数列的第20项为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了归纳推理的应用问题,是基础题.‎ ‎5.若点在椭圆:,,分别为椭圆的左右焦点,且,则的面积为( )‎ A. B.3 C.4 D.1‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据椭圆方程算出c,从而中得到,结合椭圆的定义联解,得到,最后用直角三角形面积公式,即可算出的面积.‎ ‎【详解】‎ ‎∵椭圆C:,‎ ‎∴a2=4,b2=1.可得,‎ 因此中,,由勾股定理得 ‎ ①‎ 根据椭圆的定义,得 ②‎ ‎①②联解,可得,‎ ‎∴的面积.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题给出椭圆方程,求当焦点三角形是直角三角形时求焦点三角形的面积,着重考查了勾股定理、椭圆的定义及简单性质等知识,属于中档题.‎ ‎6.已知正项等比数列的前项和为,,,,则( )‎ A. B. C.3 D.2‎ ‎【答案】C ‎【解析】设正项等比数列的公比为q>0,利用通项公式即可得出.‎ ‎【详解】‎ 设正项等比数列的公比为q>0.‎ ‎,,‎ ‎,,‎ 解得:,,‎ 则.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的通项公式、方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎7.已知圆:与圆:,则两圆的位置关系为( )‎ A.相离 B.外切 C.相交 D.内切 ‎【答案】D ‎【解析】化圆的一般方程为标准方程,求得圆心坐标与半径,再由两圆的圆心距与半径的关系判断.‎ ‎【详解】‎ 化圆:为,‎ 可得圆的圆心坐标为,半径为7;‎ 由圆:的圆心坐标为,半径为2,‎ ‎∴,而,‎ ‎∴两圆的位置关系为内切.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两圆位置关系的判定,考查圆的一般方程化标准方程,是基础题.‎ ‎8.人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆.设地球的半径为,卫星近地点、远地点离地面的距离分别为,,则卫星轨道的离心率等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意画出图形,结合椭圆的定义,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定椭圆的离心率.‎ ‎【详解】‎ 椭圆的离心率:,(c,半焦距;a,长半轴)‎ 所以只要求出椭圆的c和a,‎ 由题意,结合图形可知,‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题是基础题,考查椭圆的离心率的求法,注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键,考查学生的作图视图能力.‎ ‎9.已知直线:与圆:相交于,两点,若,则实数( )‎ A. B. C.1 D.-1‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用弦长求出圆心到直线的距离,再用点到直线的距离公式即可求出a.‎ ‎【详解】‎ 由题意,圆心,半径,‎ 由几何知识可得,圆心C到直线l的距离,‎ 解得,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用几何法解决直线与圆的相交时的弦长问题,属于基础题.‎ ‎10.若等差数列的前项和为,,,,则 的最大值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】推导出,,,由此能求出的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎∵等差数列的前n项和为,,,,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,,‎ 的最大值为.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的前n项和的最大值的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.‎ 二、多选题 ‎11.若直线过点,且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线方程可能为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】ABC ‎【解析】讨论直线过原点时和直线不过原点时,分别求出对应的直线方程即可.‎ ‎【详解】‎ 当直线经过原点时,斜率为,所求的直线方程为y=2x,即;‎ 当直线不过原点时,设所求的直线方程为x±y=k,把点A(1,2)代入可得1-2=k,或1+2=k,‎ 求得k=-1,或k=3,故所求的直线方程为,或;‎ 综上知,所求的直线方程为、,或.‎ 故选:ABC.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用分类讨论思想求直线方程的问题,是基础题.‎ ‎12.已知椭圆的中心在原点,焦点,在轴上,且短轴长为2,离心率为,过焦点作轴的垂线,交椭圆于,两点,则下列说法正确的是( )‎ A.椭圆方程为 B.椭圆方程为 C. D.的周长为 ‎【答案】ACD ‎【解析】由已知求得b,再由离心率结合隐含条件求得a,可得椭圆方程,进一步求得通径及的周长判断得答案.‎ ‎【详解】‎ 由已知得,2b=2,b=1,,‎ 又,解得,‎ ‎∴椭圆方程为,‎ 如图:‎ ‎∴,的周长为.‎ 故选:ACD.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.‎ ‎13.已知抛物线:的焦点为,直线的斜率为且经过点,直线与抛物线交于点,两点(点在第一象限)、与抛物线的准线交于点,若,则以下结论正确的是( )‎ A. B.为中点 C. D.‎ ‎【答案】ABC ‎【解析】如图所示:作准线于,轴于,准线于,计算得到,为中点,,,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图所示:作准线于,轴于,准线于.‎ 直线的斜率为,故,,,故,.‎ ‎,代入抛物线得到;‎ ‎,故,故为中点;‎ ‎,故;‎ ‎,,故;‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线相关命题的判断,意在考查学生的综合应用能力.‎ 三、填空题 ‎14.准线方程为的抛物线的标准方程是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由抛物线的准线方程可知,抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线,并求得值,则答案可求.‎ ‎【详解】‎ 解:由抛物线的准线方程为,可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线,‎ 设其方程为,‎ 则其准线方程为,得.‎ 该抛物线的标准方程是.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的标准方程,属于基础题.‎ ‎15.已知双曲线:的一条渐近线与直线:垂直,则双曲线的离心率______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出双曲线的渐近线方程,再由两直线垂直的条件,可得,b=2a,再由a,b,c的关系和离心率公式,即可得到所求.‎ ‎【详解】‎ 双曲线C:的一条渐近线,‎ 由于一条渐近线与直线垂直,‎ 则有,‎ ‎,‎ 则离心率为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程和离心率的求法,考查运算能力,属于基础题.‎ ‎16.已知等差数列的首项为1,公差不为零,若,,成等比数列,则数列 的前8项的和为______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】设等差数列的公差为d,运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式,解方程可得公差d,再由等差数列的求和公式,计算可得所求和.‎ ‎【详解】‎ 等差数列的首项为1,公差d不为零,若,,成等比数列,‎ 可得,即,‎ 解得(0舍去),‎ 数列的前8项的和为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式和求和公式,等比数列的中项性质,考查方程思想和运算能力,属于基础题.‎ ‎17.已知圆上一动点,定点,轴上一点,则的最小值等于______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意画出示意图,进而数形结合求解;‎ ‎【详解】‎ 根据题意画出圆,以及点B(6,1)的图象如图,‎ 作B关于x轴的对称点,连接圆心与,则与圆的交点A,即为的最小值,为点(0,2)到点(6,-1)的距离减圆的半径,‎ 即,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 考查“将军饮马”知识,数形结合的思想,画出图形,做出B点的对称点是解决本题的突破点;‎ 四、解答题 ‎18.已知等差数列的前项和为,,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,数列的前项和为,证明:.‎ ‎【答案】(1)(2)证明见解析 ‎【解析】(1)直接利用已知条件建立等量关系式求出数列的首项和公差,进一步求出数列的通项公式.‎ ‎(2)利用(1)的结论,进一步利用裂项相消法求出数列的和,进一步利用放缩法的应用求出结果.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)设等差数列的公差为,‎ 因为,所以,‎ 所以,‎ 所以数列的通项公式为:.‎ ‎(2)由(1)知:,‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,放缩法的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.‎ ‎19.在平面直角坐标系中,圆的圆心在直线上,且圆经过点和点.‎ ‎(1)求圆的标准方程;‎ ‎(2)求经过点且与圆恰有1个公共点的直线的方程.‎ ‎【答案】(1);‎ ‎(2)或 ‎【解析】(1)由题意可知,圆心应在弦PQ的中垂线上,求出该直线方程,与圆心所在直线方程联立求解,求得圆心坐标,再利用点P在圆上,求出半径,进而求出圆的方程;‎ ‎(2)分直线的斜率是否存在进行讨论,设出直线的点斜式方程,由直线与圆相切可知,圆心到直线的距离等于半径,求出直线的斜率,从而求出直线的方程.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)直线的斜率,中点坐标为,‎ 所以中垂线方程为,即,‎ 由得,圆心,所以,‎ 所以圆的标准方程为:.‎ ‎(2)当该直线斜率不存在,即直线方程为时,成立,‎ 当该直线斜率存在时,设其方程为:,即,‎ 因为该直线与圆恰有1个公共点,‎ 所以圆心到直线距离,得.‎ 所以切线方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点:圆与直线的位置关系式的应用,点到直线的距离公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题.‎ ‎20.已知为坐标原点,点和点,动点满足:.‎ ‎(1)求动点的轨迹曲线的方程并说明是何种曲线;‎ ‎(2)若抛物线:的焦点恰为曲线的顶点,过点的直线与抛物线交于,两点,,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1)动点的轨迹方程为:,点的轨迹是以,‎ 为焦点的双曲线的右支;‎ ‎(2)或 ‎【解析】(1)由动点满足,可得到轨迹曲线为双曲线的右支;‎ ‎(2)由(1)可得F的坐标,然后再求出抛物线的方程,设出直线的方程为,后根据焦点弦弦长公式得到关于k的方程,解出即可.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)根据双曲线的定义:‎ 点的轨迹是以,为焦点的双曲线的右支 且,所以,,,,‎ 所以动点的轨迹方程为:.‎ ‎(2)因为曲线的顶点为,所以抛物线的方程为:,‎ 当直线斜率不存在时,不满足题意,‎ 设直线:,‎ 由抛物线的定义知:,,,‎ 所以,‎ 将代入得:,‎ 所以,解得,‎ 所以直线的方程为:或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的定义以及直线与圆锥曲线的关系,应用抛物线的定义求其弦长公式即可快速求解,属于中档题.‎ ‎21.已知为坐标原点,定点,定直线:,动点到直线的距离为,且满足:.‎ ‎(1)求动点的轨迹曲线的方程;‎ ‎(2)若直线:与曲线交于,两点,求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)设,P到F的距离,P到定直线l的距离为,进而求解;‎ ‎(2)设,,联立直线方程和椭圆方程,求出t的取值范围,进而由三角形面积公式求解;‎ ‎【详解】‎ 解:(1)设点,由题知:,‎ 所以,‎ 整理得点的轨迹方程为:.‎ ‎(2)将带入 得:,‎ 所以,,‎ 得,‎ ‎,‎ 点到直线的距离,‎ ‎∴‎ ‎,‎ 当且仅当即时等号成立满足,‎ 面积最大值为.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)考查椭圆轨迹方程解析式求解;,点到直线距离,点到点的距离公式应用;‎ ‎(2)考查圆锥曲线与直线相交,求三角形面积最值问题,解决本题的关键点在于怎么表示三角形的面积;‎ ‎22.已知数列的前项和为,,,.‎ ‎(1)证明:数列为等比数列;‎ ‎(2)已知曲线若为椭圆,求的值;‎ ‎(3)若,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)或;(3).‎ ‎【解析】(1)利用的递推公式证明出为非零常数,即可得出结论;‎ ‎(2)利用(1)中的结论求出,由与之间的关系求出,结合题意得出,可求出的值;‎ ‎(3)求出数列的通项公式,然后利用错位相减法求出.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)对任意的,,则且,‎ 所以,数列是以为首项,以为公比的等比数列;‎ ‎(2)由(1)可得,.‎ 当时,,‎ 也适合上式,所以,.‎ 由于曲线是椭圆,则,即,‎ ‎,解得或;‎ ‎(3),‎ ‎,①‎ ‎,②‎ ‎①②得,‎ 因此,.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的证明,同时也考查了利用椭圆方程求参数以及错位相减法求和,考查推理能力与计算能力,属于中等题.‎ ‎23.已知为坐标原点,椭圆:上顶点为,右顶点为,离心率,圆:与直线相切.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若,,为椭圆上的三个动点,直线,,的斜率分别为.‎ ‎(i)若的中点为,求直线的方程;‎ ‎(ii)若,证明:直线过定点.‎ ‎【答案】(1);(2)(i);(ii)证明见解析.‎ ‎【解析】(1)由离心率和直线AB与圆相切分别得到a,b的关系式,求解得椭圆的方程;‎ ‎(2)(i)由点差法求出直线EF的斜率,然后写出方程;‎ ‎(ⅱ)由直线DE、DF与椭圆的相交关系,分别求出E、F两点的横坐标,再利用,求得,另设直线的方程为,代入椭圆方程,利用韦达定理表示,求得,故得结论直线EF过定点.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)由题意,直线的方程为:,即为,‎ 因为圆与直线相切,所以,①‎ 设椭圆的半焦距为,因为,,‎ 所以②‎ 由①②得:,,所以椭圆的标准方程为:.‎ ‎(2)设,,,‎ ‎(i)由题知:,,‎ 两式做差得:,,‎ 整理得:,‎ 所以此时直线的方程为:;‎ ‎(ii)设直线:,设直线:,‎ 将代入,‎ 得:,‎ 所以,,‎ 因此.‎ 又因为,且同理可得:,‎ 可得,‎ 设直线的方程为:,将代入,‎ 得:,‎ 得,所以,‎ 所以直线过定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的基本的几何性质,考查了点差法,直线与椭圆的位置关系,属于难题.‎
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