小学数学精讲教案7_8_2 几何计数(二) 学生版

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小学数学精讲教案7_8_2 几何计数(二) 学生版

7-8-2.几何计数(二) 教学目标 1.掌握计数常用方法; 2.熟记一些计数公式及其推导方法; 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数. 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等,并渗透分类计数和用 容斥原理的计数思想. 知识要点 一、几何计数 在几何图形中,有许多有趣的计数问题,如计算线段的条数,满足某种条件的三角形的个数,若干个图 分平面所成的区域数等等.这类问题看起来似乎没有什么规律可循,但是通过认真分析,还是可以找到一些 处理方法的.常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等.n 条直线最多将平面分成 212 2 3 ( 2)2n n n      …… 个部分;n 个圆最多分平面的部分数为 n(n-1)+2;n 个三角形将平面最多分成 3n(n-1)+2 部分;n 个四边形将平面最多分成 4n(n-1)+2 部分…… 在其它计数问题中,也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等.解题时需要仔细审题、 综合所学知识点逐步求解. 排列问题不仅与参加排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关;组合问题与各事物所在的先 后顺序无关,只与这两个组合中的元素有关. 二、几何计数分类 数线段:如果一条线段上有 n+1 个点(包括两个端点)(或含有 n 个“基本线段”),那么这 n+1 个点把这条 线段一共分成的线段总数为 n+(n-1)+…+2+1 条 数角:数角与数线段相似,线段图形中的点类似于角图形中的边. 数三角形:可用数线段的方法数如右图所示的三角形(对应法),因为 DE 上有 15 条线段,每条线段的 两端点与点 A 相连,可构成一个三角形,共有 15 个三角形,同样一边在 BC 上的三角形也有 15 个,所以图 中共有 30 个三角形. 数长方形、平行四边形和正方形:一般的,对于任意长方形(平行四边形),若其横边上共有 n 条线段, 纵边上共有 m 条线段,则图中共有长方形(平行四边形)mn 个. 例题精讲 模块二、复杂的几何计数 【例 1】如下图在钉子板上有 16 个点,每相邻的两个点之间距离都相等,用绳子在上面围正方形,你可以得 到 个正方形. 【考点】复杂的几何计数 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯,2 年级,第 4 题 【解析】先看横着的正方形如下图⑴,可以得到 9 4 1 14   个正方形,再看斜着的正方形如下图⑵可以得到 4 个正方形,如下图⑶可以得到 2 个正方形.这样一共可以得到14 4 2 20   个正方形. ⑴ ⑵ ⑶ <考点> 图形计数 【答案】 20 个 【巩固】如图, 4 4 的方格纸上放了 16 枚棋子,以棋子为顶点的正方形有 个. 【解析】根据正方形的大小,分类数正方形.共能组成五种大小不同的正方形(如右图). 1 1 的正方形:9 个; 2 2 的正方形:4 个; 3 3 的正方形:1 个; 以1 1 正方形对角线为边长的正方形:4 个;以1 2 长方形对角线为边长的正方形:2 个. 故可以组成 9 4 1 4 2 20     (个)正方形. 【巩固】下图是 3×3 点阵,同一行(列)相邻两个点的距离均为 1。以点阵中的三个点为顶点构成三角形,其中 面积为 1 的形状不同的三角形有 种。 【考点】复杂的几何计数 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,二试,第 11 题 【解析】在本题中,三角形的面积是 1,底和高只能一个是 1,一个是 2,可以有以下三种情况: 【答案】 【例 2】一块木板上有 13 枚钉子(如左下图)。用橡皮筋套住其中的几枚钉子,可以构成三角形,正方形, 梯形,等等(如右下图)。请回答:可以构成多少个正方形? 【考点】复杂的几何计数 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛,初赛,试题,第 2 题 【解析】如下图所示,可以将正方形分为四类,分别有 5 个、1 个、4 个、1 个,共 11 个。 【答案】11个 【例 3】在 3×3 的方格纸上(如图 1),用铅笔涂其中的 5 个方格,要求每横行和每竖行列被涂方格的个数都 是奇数,如果两种涂法经过旋转后相同,则认为它们是相同类型的涂法,否则是不同类型的涂法。 例如图 2 和图 3 是相同类型的涂法。回答最多有多少种不同类型的涂法?说明理由。 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛,决赛,第 10 题,10 分 【解析】不同类型的涂法有 3 种,如下图 A 说明:①所涂 5 个阴影方格分布在 3 行中,只有一行涂有 3 个阴影方格.同样,仅有一列涂有 3 个 阴影方格.②所以,仅有一个方格,它所在的行和列均有 3 个阴影方格,有这种性质的方格称为“特 征阴影方格”.“特征阴影方格”在 3×3 正方格纸中的位置,就唯一地决定了 3×3 的方格纸的涂法.“特 征阴影方格”在方格纸的角上(图 A 左边)、外边中间的方格(图 A 中间)和中心的方格(图 A 右边) 三个位置确定了只有 3 种类型的涂法. 【答案】 3种 【例 4】在下面的图中,包含苹果的正方形一共有 个. 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯,1 年级,第 4 题 【解析】包含 1 个基本正方形的带苹果正方形有 1 个,包含 4 个基本正方形的带苹果正方形有 4 个,包含 9 个基本正方形的带苹果正方形有 6 个,包含 16 个基本正方形的带苹果正方形有 2 个,所以共有 1 4 6 2 13    (个). <考点> 图形的计数方法之——分类计数 【答案】13 个 【巩固】图中,不含“A”的正方形有 个。 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯,4 年级,1 试 【解析】面积为 1 的有 15 个,面积为 4 的有 7 个,面积为 3 的有 2 个,共 24 个. 【答案】 24 【巩固】图中,不含“A”的正方形有____________个。 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,二试,第 10 题 【解析】面积为 1 的有 15 个,面积为 4 的有 5 个,面积为 9 的没有,所以不含 A 的有 20 个. 【答案】 20 个 【例 5】在下图中,不包含☆的长方形有________个. 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】学而思杯,4 年级,第 4 题 【解析】【解析】根据乘法原理,所有长方形总数为(1+2+3+4+5+6)×(1+2+3+4+5+6)=441(个),包含☆的长方形有 3×3×4×4=144(个),所以不包含☆的长方形有 2 2 7 7 9 16 21 21 9 16 441 144 297C C          (个). 【答案】 297 个 【例 6】如图,其中同时包括两个☆的长方形有 个. 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】先找出同时包括两个☆的最小长方形,然后其余所有满足题目要求的长方形都必须包括该最小长方 形.根据乘法原理 2×2×2×3=24(种)不同的长方形. 【答案】 24 个 【例 7】图中含有“※”的长方形总共有________个. ※ ※ 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】根据本题特点,可采用分类的方法计数.按长方形的宽分类,数出含※号的长方形的个数. 含有左上※号的长方形有: 6 6 6 18   个, 其中,宽为 1(即高度为一层)的含※号的长方形为:6 个; 宽为 2(即高度为两层)的含※号的长方形为:6 个; 宽为 3(即高度为三层)的含※号的长方形为:6 个; 含有右上※号的长方形有: 6 6 2 6 24    个, 其中,宽为 1(即高度为一层)的含※号的长方形为:6 个; 宽为 2(即高度为两层)的含※号的长方形为: 6 2 个; 宽为 3(即高度为三层)的含※号的长方形为:6 个; 同时含有两个※号的重复计算了,应减去,同时含有两个※号的长方形有: 4 4 8  个, 其中,宽为 2(即高度为两层)的含※号的长方形为:4 个; 宽为 3(即高度为三层)的含※号的长方形为:4 个; 所以,含有※号的长方形总共有:18 24 8 34   个. 【答案】 34 个 【例 8】在图中,包含 A 的三角形一共有 个。 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯,2 年级,第 5 题 【解析】包含五角星的三角形中含一个基本三角形的有1个;含四个基本三角形的有 4 个;含9 个基本三角形 的有 3个;含16 个基本三角形的有1个。这样包含五角星的三角形一共有1 4 3 1 9    (个)。 【答案】 9 【例 9】右图中有 个正方形, 个三角形,包含★的三角形有 个. ★ 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯,2 年级,第 7 题 【解析】正方形:正着的方块有 4 个小的,1 个大的,斜的方块有 4 个小的,1 个大的;以正方形共有 10 个。 三角形:小号的三角形有 16 个,其中有 1 个包含★ 中号的三角形有 16 个,其中有 2 个包含★ 大号的三角形有 8 个,其中有 3 个包含★ 特大号的三角形有 4 个,其中有 2 个包含★ 所以三角形有 44 个,包含★的有 8 个 【答案】正方形10 个,三角形 44 个,包含★的有 8 个 【例 10】 下图是 5×5 的方格纸,小方格为边长 1 厘米的正方形,图中共有_______个正方形,所有这些正 方形的面积之和为_______。 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】走美杯,四年级,初赛,第 14 题 【解析】图中面积为 1、4、9、16、25 平方厘米的正方形分别有 25、16、9、4、1 个,共有 55 个小正方形, 所有小正方形的面积和为 259. 【答案】 55 个,面积和为 259 【例 11】 由 20 个边长为 1 的小正方形拼成一个 4 5 长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形 (含正方形)共有 个,它们的面积总和是 . 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】走美杯,6 年级,决赛,10 题 【解析】根据鼠标法,☆左上角共有 6 个点,右下角有 8 个点,所以共有长方形有 6 8 48  (个) 面积总和为: (1 2 2 3 3 4 4 5) (1 2 2 3 3 4) 360              . 【答案】长方形 48 个,面积和为 360 【例 12】 图中内部有阴影的正方形共有 个。 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯,五年级,一试,第 10 题 【解析】面积为 1 的正方形有 8 个,面积为 4 的正方形有 8 个,面积为 9 的正方形有 8 个,面积为 16 的正方 形有 2 个,共计 26 个. 【答案】 26 个 【例 13】 在图中(单位:厘米): ①一共有几个长方形? ②所有这些长方形面积的和是多少? 【考点】简单的几何计数 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】①一共有 (4 3 2 1) (4 3 2 1) 100        (个)长方形; ②所求的和是     5 12 8 1 (5 12) (12 8) (8 1) (5 12 8) (12 8 1) (5 12 8 1) 2 4 7 3 (2 4) (4 7) (7 3) (2 4 7) (4 7 3) (2 4 7 3)                                        144 86 12384   (平方厘米). 【答案】(1)100 ,(2)12384 【巩固】如图,其中的每条线段都是水平的或竖直的,边界上各条线段的长度依次为 5 厘米、7 厘米、9 厘米、 2 厘米和 4 厘米、6 厘米、5 厘米、1 厘米.求图中长方形的个数,以及所有长方形面积的和. 【考点】简单的几何计数 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】利用长方形的计数公式:横边上共有 n 条线段,纵边上共有 m 条线段,则图中共有长方形(平行四 边 形 ) nm 个 , 所 以 有    4 3 2 1 4 3 2 1 100        ( 个 ), 这 些 长 方 形 的 面 积 和 为 : (5+7+9+2+12+16+11+21+18+23) (4+6+5+1+10+11+6+15+12+16)=124×86=10664(平方厘米). 【答案】长方形共有:100 ,面积和为10664 【例 14】 如图是由 18 个大小相同的小正三角形拼成的四边形.其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大 的正三角形若干个.那么,图中包含“ A ”号的大、小正三角形一共有______个. 【考点】复杂的几何计数 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】分三类进行计数(设小正三角形边长为 1)包含*的三角形中, 边长为 1 的正三角形有 1 个; 边长为 2 的正三角形有 4 个; 边长为 3 的正三角形有 1 个; 因此,图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有1 4 1 6   (个). 【答案】 6 个 【例 15】 图中共有多少个三角形? 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类,两类中三角形的个数相等.尖向上的三角形又可分为 6 类 (1)最大的三角形 1 个(即△ABC), (2)第二大的三角形有 3 个 (3)第三大的三角形有 6 个 (4)第四大的三角形有 10 个 (5)第五大的三角形有 15 个 (6)最小的三角形有 24 个 所以尖向上的三角形共有 1+3+6+10+15+24=59(个) 图中共有三角形 2×59=118(个). 【答案】118 个 【例 16】 图 3,由边长为 1 的小三角形拼成,其中边长为 4 的三角形有_____个。 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯五年级一试第 16 题,5 分) 【解析】1+2+3=6 【答案】 6 个 【例 17】 右图是半个正方形,它被分成一个一个小的等腰直角三角形,图中,正方形有 个, 三角形有 个。 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯,五年级,一试,第 7 题 【解析】正方形 10 个,角形 18+15+4+4+1=42 【答案】正方形10 个,三角形 42 个 【例 18】 如图,连接一个正六边形的各顶点.问图中共有多少个等腰三角形(包括等边三角形)? ① ② ③ 【考点】复杂的几何计数 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛 【解析】【解析】本题需要分类进行讨论. ⑴先考虑其中的等边三角形. 图①中,六边形的每1个顶点是某个小号等边三角形的顶点,而且,每个小号等边三角形,有且仅有 一个顶点是六边形的一个顶点,既然六边形有6个顶点,所以图中有6个小号三角形; 图②中,六边形的每一条边是某个中号等边三角形的一条边,而且,每个中号等边三角形有且仅有 一条边是六边形的一条边,既然六边形有6条边,所以图中有6个中号等边三角形; 图③中,大号等边三角形有2个; ⑵再考虑其中非等边的等腰三角形. 图中非等边的等腰三角形,按照面积大小分类有3种类型,见图④. ④ ⑤ ⑥ 其中小号的等腰三角形有6个,因为这类三角形均以六边形的一条边为其边长,并且,六边形的每一 条边只唯一对应一个小号等腰三角形,而正六边形有6条边,所以有6个小号等腰三角形; 中号的等腰三角形有12个,因为每个中号等腰三角形的长边都是六边形的一条非直径的弦,并且, 以非直径的弦为长边的三角形有2个,如图⑤,这样的弦共有6条,所以有12个中号等腰三角形; 大号的等腰三角形有6个,因为每个大号等腰三角形的长边都是六边形的一条直径,每条直径上都对 应有2个大号三角形,如图⑥,共有3条直径,所以有6个大号等腰三角形. 那么图中共有 6 6 2 6 12 6 38      个等腰三角形. 【答案】 38 个 【例 19】 图中有 个正方形,有 个三角形。 【考点】复杂的几何计数 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛,初赛,第 14 题 【解析】【解析】边线是水平或垂直方向的正方形共有 2 2 2 2 2 26 5 4 3 2 1 91      (个),形如 的正方形有 4 个, 所以共有正方形 91 4 95  (个). (如何保证没有其它的斜正方形了?如右图,擦去横线和竖线,只 留下斜线,就一目了然了.) 此题也可以计算不同面积的正方形各有多少个,以面积大小数正方形,记最小的正方形面积为 1; 则面积为 1 的正方形的个数为 36;面积为 2 的正方形的个数为 4;面积为 4 的正方形的个数为 25; 面积为 9 的正方形的个数为 16;面积为 16 的正方形的个数为 9;面积为 25 的正方形的个数为 4; 面积为 36 的正方形的个数为 1.所以,共有 36 4 25 16 9 4 1 95       (个)正方形. 第 2 问。方法 1:以图中的最小的直角三角形为计数基本单位数三角形: 只有 1 个基本图形单位的三角形共 72 个; 由 2 个基本图形单位组成的三角形共 37 个; 由 4 个基本图形单位组成的三角形共 30 个; 由 8 个基本图形单位组成的三角形共 4 个; 由 9 个基本图形单位组成的三角形共 10 个; 由 16 个基本图形单位组成的三角形共 2 个; 所以图中共有三角形 72+37+30+4+10+2=155(个)。 方法 2:依三角形的斜边的长度数三角形。 (1)斜边和水平线成 45 度角的三角形,记这类三角形最小的斜边的长度为 1: 长度为 3 的斜边共有:5 条;长度为 4 的斜边共有:1 条。 因为图中这类斜边每条带有 2 个三角形,所以共有 2×(36+15+5+1)=114(个)。 (2)斜边水平的三角形,从上向下: 斜边在第一条线有 2 个;斜边在第二条线有 4 个;斜边在第三条线有 4 个;斜边在第四条线有 5 个; 斜边在第五条线有 2 个;斜边在第六条线有 2 个;斜边在第七条线有 2 个; 所以这种类型的三角形共有 21 个。 (3)斜边为垂直线的三角形,从左向右:斜边在第一条线有 2 个;斜边在第二条线有 2 个;斜边在 第三条线有 5 个;斜边在第四条线有 3 个;斜边在第五条线有 3 个;斜边在第六条线有 4 个;斜边 在第七条线有 1 个,所以这种类型的三角形共有 20 个。共有 114+21+20=155(个)三角形。 【答案】 95 个正方形,155 个三角形 【例 20】 将右图中的 2007(即阴影部分)分成若干个 1×2 的小长方形,共有 种分法. 【考点】复杂的几何计数 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯,五年级,初赛,15 题 【解析】下图中用斜线标出的部分是只存在唯一分法的部分,也就是说,实际上只需要考虑未用斜线连接的 阴影部分,先把这些方框标记上字母,以便分析. 取 A 为出发点,此时有 2 种分法: AB 或者 AD ,应分别进行讨论: ⑴第一次划分 AB ,那么C 只能连 F ,进而可以唯一划分出 GH , DE ,WX ,这个时候,方块 I 和 方块 S 又出现了 2 种划分方法,可以取 I 点继续分析:①首先划分 IJ ,进而可以唯一划分出 LK 、MN 、 OP 、UV ,剩下由 RSQT 组成的正方形没有划分,易知这样一个正方形有 2 种划分方法,所以 “ AB - IJ ”有 2 种划分方法;②然后划分 IV ,进而可以唯一划分出 JK 、LM 、NO ,剩下由 RSQTPU 组成的 3 2 的长方形,易知这样一个长方形有 3 种划分方法,所以“ AB - IV ”有 3 种划分方法; 所以划分 AB 共有 5 种划分方法; ⑵第一次划分 AD ,那么可以唯一确定WX , AD 下面的 EBFC 也出现一个 2 2 的正方形可以有 2 种划分方法,然后,可以唯一确定 GH ,方块 I 又出现 2 种划分方法,与上面的分析类似,可知, 划分 AD 有5 2 10  种划分方法; 所以,一共有 5 10 15  种划分方法. 【答案】15 种 【例 21】 如右图是一个跳棋棋盘,请你算算棋盘上共有多少个棋孔? 【考点】复杂的几何计数 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛,初赛,试题,第 3 题 【解析】把棋盘分割成一个平行四边形和四个小三角形,如下图。平行四边形中棋孔数为 9×9=81,每个小 三角形中有 10 个棋孔。所以棋孔的总数是 81+10×4=121(个) 答:共有 121 个棋孔 【答案】121 个棋孔
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