黔东南州 2017 年高考模拟考试试卷 数学(文科)
黔东南州 2017 年高考模拟考试试卷
数学(文科)
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.）
1.若复数 i
i
iz ,32
是虚数单位，则 z在复平面内对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合 }1lg{},2,1,1-2-{ xxBA ， ，则 BA
A. }2,1,1-2{- ， B. }1,1-2{- ， C. }1{ D. }2,1{
3. 在各项均为正数的等比数列 }{ na 中，若 5)....(log 875322 aaaaa ，则 91.aa
A. 4 B.5 C. 2 D.25
4.已知三个数 ln,3log,6.0 6.0
3.0 cba ，则 cba ,, 的大小关系是
A. abc B. bac C. acb D. cab
5.若 yx, 满足约束条件
1
1
y
yx
xy
，则 yxz -2 的最大值为
A.5 B.3 C. 1- D.
2
1
6. 已知向量 a,b 满足：|a|=2，|b|=4,
=
3
,则|3a-2b|=
A．52 B． 132 C． 348-100 D． 348-100
7. 在集合 50 xxM 中随机取一个元素，恰使函数 xy
2
1log 大于 1 的概率为
A.
5
4
B.
10
9
C.
5
1
D.
10
1
8.秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州（现四川省安岳县）
人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，
至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶
算法求某多项式值的一个实例，若输入 x的值为3，每次输入 a的
值均为 4，输出 s的值为 484，则输入 n的值为
A.6 B.5 C. 4 D.3
9. 半径为 2 的圆 C 的圆心在第四象限，且与直线 0x 和 22 yx
均相切，则该圆的标准方程为
A. 4)2()1( 22 yx B. 2)2()2( 22 yx
C. 4)2()2( 22 yx D. 4)22()22( 22 yx
10.已知三棱锥 ABCP 中， ABCPA 底面 ， 2, ACPABCAB ，且该三棱锥所有顶点都
在球O的球面上，则球O的表面积为
A. 4 B. 8 C. 16 D. 20
11.已知抛物线 xy 42 与双曲线 )0,0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x
有相同的焦点 F ，点 A是两曲线的一个交
点，且 AF⊥x轴，则双曲线的离心率为
A. 1-22 B． 12 C. 8-28 D. 2-22
12. 设 )()( xgxf 、 分 别 是 函 数 ))(()( Rxxgxf 、 的 导 数 ， 且 满 足 0)( xg ，
0)()()()( xgxfxgxf .若 ABC 中， C 是钝角，则
A. )(sin).(sin)(sin).(sin AgBfBgAf B. )(sin).(sin)(sin).(sin AgBfBgAf
C. )(cos).(sin)(sin).(cos AgBfBgAf D. )(cos).(sin)(sin).(cos AgBfBgAf
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22
题~第 23 题为选考题，考生依据要求作答。
二、填空题（本大题共计 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13. 已知 yx, 取值如下表：
x 0 1 3 5 6
y 1 m 3m 5.6 7.4
3
4
2
3
3
正视图 侧视图
俯视图
3
4
2
3
3
正视图
侧视图
俯视图
3
4
2
3
3
正
视
图
侧
视
图
俯
视
图
3
4
2
3
3
正
视
图
侧
视
图
俯
视
图
3
4
2
3
3
正
视
图
侧
视
图
俯
画散点图分析可知： 与 线性相关，且求得回归方程为 ，则 的值为___________．
14.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于_______
15.已知数列 }{ na 的前 n项和为 nS ，满足： 11 a , 02 11 nnn SSa ，
则该数列的前 2017项和 2017S ______________．
16.若对于任意的实数
2
1,0x ，都有 0log2 2 xa
x
恒成立，则实数 a的取值范围是_____.
三、解答题（本大题共 8 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．已知 ABC 的内角 CBA 、、 所对的边分别为 cba 、、 ，
若 2 cos cos , 3a c B b C AB BC
．
（1）求 ABC 的面积；
（2）求 AC 边的最小值．
18．从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布
直方图：
（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学
考试的平均分；
（2）若用分层抽样的方法从分数在 30,50 和 130,150
的学生中共抽取6人，该6人中成绩在 130,150 的有几
人？
（3）在（2）中抽取的6人中，随机抽取2人，求分数在
30,50 和 130,150 各1人的概率．
19. 如图：三棱柱 1 1 1ABC ABC 的所有棱长均相等，
1AA ABC平面 ， E为 1AA 的中点.
(1)求证：平面 EBC1 ⊥平面 11BBCC ；
(2)求直线 1BC 与平面 AABB 11 所成角的正弦值.
110 1509030 13050 70 分数
频率
组距
0.0025
0.0050
0.0075
0.0125
0.0150
o
C
A
B
A1
B1
C1
E
20. 椭 圆 )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
xC： 的 左 右 焦 点 分 别 为 21 FF， ， 点 P 在 椭 圆 C 上 ， 满 足
5
59
5
50 21211 PFPFFFPF ，， .
（1）求椭圆C的方程.
（2）设过点 )20( ，D 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 NM、 ,且 N 在 MD、 之间，设
DMDN ,求的取值范围.
21.已知函数 bexf x )( 在 ))1(,1( f 处的切线为 axy .
（1）求 )(xf 的解析式.
（2）若对任意 Rx ，有 kxxf )( 成立，求实数 k的取值范围.
（3）证明：对任意 xtxft ln)(],2,( 成立.
请考生在第 22、23 二道题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清
题号。
22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，点M 的坐标为 )
2
,3(
，曲线C的方程为 )
4
sin(22 ；以极点为坐标原
点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为 1 的直线 l经过点M .
（1）求直线 l和曲线C的直角坐标方程；
（2）若P为曲线C上任意一点，曲线 l和曲线C相交于 BA、 两点，求 PAB 面积的最大值.
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 txxf )( 的单调递增区间为 ),1[ .
（1）求不等式 121)( xxf 的解集M ；
（2）设 Mba , ，证明： baab 1 .
参考答案（文科）
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D A D A B D C C B B C
二、填空题：
13、
2
3
14、 21 15、
4033
1
16、 )1,
4
1(
解析：
)(cos).(sin)(sin).(cos
)(sin
)(sin
)(cos
)(cos
,0sincos
),0(
)(
)(
0]
)(
)([0,
)]([
)()()()(]
)(
)([12 2
AgBfBgAf
Bg
Bf
Ag
Af
BAC
xg
xf
xg
xfx
xg
xgxfxgxf
xg
xf
为钝角，又
为增函数，在
，时，当、
三、计算题
17．（1） CbBca coscos2 ,由正弦定理可化为：
2sin sin cos sin cosA C B B C
2sin cos sin cos cos sin sin( ) sinA B C B C B B C A ………2分
A0 , 0sin A ,即
2
1cos B , B0 ,
3
B ,………3 分
又 3 BCAB ,得 3cos Bac , 3
3
cos
ac ,即 6ac ，………4 分
ABC 的面积
2
33
2
36
2
1
3
sin
2
1sin
2
1
acBacS ，………6分
（2）由余弦定理 Baccab cos2222 ， ………7分
解得： 6222 cab ………8分
配方，得： 18)(62)( 222 caaccab ………9分
由均值不等式知： 622 acca ………10 分
618)62(18)( 222 cab
6 bAC 即 AC边的最小值为为 6 . ………12 分
18．（1）由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为
0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100
+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92．………4 分
（2）样本中分数在[30，50）和[130，150]的人数分别为 6 人和 3 人
所以抽取的 6 人中分数在[130，150]的人有
63 2
9
（人）………8 分
（3）由（2）知：抽取的 6 人中分数在[30，50）的有 4 人，记为 A1,A2,A3,A4
分数在[130，150]的人有 2 人，记 B1，B2，
从中随机抽取 2 人总的情形有(A1,A2)、（A1, A3）、（A1, A4）、（A1, B1）、（A1, B2）、（A2, A3）、（A2, A4）、
（A2, B1）、（A2, B2）、（A3,A4）、（A3, B1）、（A3, B2）、（A4, B1）、（A4, B2）、（B1, B2）15 种；而分数在[30，
50）和[130，150]各 1 人的情形有（A1, B1）、（A1, B2）、（A2, B1）、
（A2, B2）、（A3, B1）、（A3, B2）、（A4, B1）、（A4, B2）8种
故所求概率
8
15
P ………12 分
19．（1）如图 1 连接 CB1 交 BC1 于点 O，则 O 为 CB1 与 BC1 的中点，连接 EC，EB1 依题意有；
EB=EC1=EC=EB1 ………2 分
∴EO⊥CB1，EO⊥BC1, ∴EO⊥平面 BCC1B1， 1OE BC E平面
∴平面 EBC1⊥平面 BCC1B1，………5 分
(2)如图 2 取 A1B1的中点为 H，连接 C1H、BH，
∵ 1AA ABC平面 ，∴平面 A1B1C1⊥平面 BB1A1A,
平面 A1B1C1平面 BB1A1A= A1B1,
又∵A1C1=B1C1，H 为 A1B1的中点，∴C1H⊥A1B1,∴C1H⊥平面 BB1A1A，
则∠C1BH 为直线 BC1与平面 BB1A1A 所成的角。………8分
令棱长为 2a，则 C1H= 3a，BC1= 2 2a，
∴ 1
3 6sin
42 2
aC BH
a
所以直线 BC1与平面 BB1A1A 所成角的正弦值为
6
4
………12 分
20．（1） 1 2 2 5 2 ,PF PF a 得 5,a 由
2 2 2
1 2 1 2F F PF PF 得 2c ，
由 c2 2 2a b 得 1,b 所以椭圆方程为
2
2 1;
5
x y ……………………4 分
（2）由题意可知：
当直线 L 的斜率不存在时，直线 L 为 0x ， 1DN , 3DM ，
1=
3
；………………6分
当直线 L 的斜率存在时，设直线 L 的方程为 2,y kx 代入
2
2 1,
5
x y
得 2 21 5 20 15 0k x kx
2 220 4 15 1 5k k ＞0，得
2k ＞
3
5
，设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y
C
A
B
A1
B1
C1
E
H
图 2
C
A
B
A1
B1
C1
E
图 1
O
1 2 2
1 2 2
20
1 5
15
1 5
kx x
k
x x
k
，…………….8 分
由 =DN DM
得 2 2 1 1( , -2)= ( , -2)x y x y
所以 2 1=x x 代入上式得
2
2
1
22
2
2
1
2
51
15
)51(
400)1(
k
x
k
kx
再消去
2
1x 得
)15(3
80
)51(15
400)1(
2
2
22
k
k
k
,
5
32 k ,
3
510 2
k
,
3
20515 2
k
即
2
80 164
1 33( 5)
k
,
3
16)1(4
2
解得
1 3
3
，…… ……………10 分
又 N 在 D，M 之间， 1
3
1
……… ……………11 分
由上综合可得
1 1
3
………… ……………12 分
21．（1）由 ( ) xf x e 得 (1)k f e a ，所以切线为 y=ex，…………………2 分
由切点为（1，e+b）在切线 y=ex 上， b=0,所以 ( ) xf x e …………………4 分
（2）当 0k 时，对于 Rx ，
xe kx 显然不恒成立…………………5 分
当 0k 时，
xe kx 显然成立…………………6 分
当 0k 时，若要 - 0xe kx 恒成立，必有 0)min kxe x（
设 ( ) - ,xt x e kx 则 ( ) -xt x e k
易知 ( )t x 在 - , ln k 上单调递减，在 (ln ,+ )k 上单调递增,则 )ln1()( min kkxt
若 - 0xe kx 恒成立，即 0)ln1()( min kkxt ，得0 k e
综上得0 k e ………………………………8分
（3）证法 1：由（1）知
xe ex 成立，构造函数 ( ) ln ( 0)h x ex x t x )2( t
1 1( ) exh x e
x x
所以 min
1 1( ) ( ) 1 ln 2 0h x h t t
e e
)2( t
有 ln +tex x 成立（当 2,1 t
e
x 时取等号）。由（1）知
xe ex 成立（当 1x 时取等号），
所以有 xte x ln 成立，即对任意 xtxft ln)(],2,( 成立……………………12 分
证法 2，因为 2t ，所以要证 xte x ln ，只须证 xe x ln2
令
1 1( ) ln 2, ( ) ( 0),
x
x x xeh x e x h x e x
x x
令 ( ) 1, ( ) 0,x x xt x xe t x e xe 所以 ( )t x 在（0，+）递增，
( ) (0)=-1t x t 由于 (0)=-1 0, (1)=e-1 0t t
所以存在 0 (0,1),x 有 0
0 0( ) 1=0xt x x e ，则
0
1
0
x
e x ， 00 ln xx
即 ( ) 0h x 得 0 ; ( ) 0x x h x 得0 0x x
所以 022212ln)()( 0
0
00
0 x
x
xexhxh x
所以 0ln2 xe x 成立，即 xte x ln 成立
即对任意 xtxft ln)(],2,( 成立…………………………………12 分
22.（1）点 M 的直角坐标为（0，3），所以直线方程为 y=-x+3,……….2 分
由 =2 2 sin( )
4
得
2=2 sin +2 cos ，所以曲线 C 的方程为
2 2 2 2 0,x y x y
即 2 21 1 2x y ………………………5 分
（2）圆心（1，1）到直线 y=-x+3 的距离d=
1 1 3 2 ,
22
所以圆上的点到直线 L 的距离最大值为
3 2 ,
2
d R
而弦
2 2 1=2 2 2 6
2
AB R d
所以 PAB 面积的最大值为
1 3 2 3 36 = .
2 2 2
……………10 分
23．（1）由已知得 1t ，…………………….1 分
所以 1 1 2 1x x
当 1x 时， - 1 1 2 1x x 得 1x
当 1 1-
2
x 时， 1 1 2 1x x 得 x
当
1
2
x 时， 1 1 2 1x x 得 1x
综上得 = 1 1M x x x 或 ……………………..5 分
（2）要证 1 ,ab a b 只须证 2 2 22 1 2ab ab a ab b
即证 2 2 2- - +1 0ab a b
因为 2 2 2 2 2 2 2 2- - +1= ( 1) +1 ( 1)( 1)ab a b a b b b a
由于 , 1, 1 ,a b x x x
所以
2 2( 1)( 1)b a 成立
即 1ab a b 成立。……………………..10 分
