【数学】2019届一轮复习北师大版 立体几何 学案

【数学】2019届一轮复习北师大版 立体几何 学案

第八章 立 体 几 何 三视图与几何体的表面积、体积 ‎【背一背重点知识】 ]‎ ‎1．柱、锥、台、球的结构特征 ‎（1）柱 棱柱 一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．‎ 圆柱 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．‎ ‎（2）锥 棱锥 一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．‎ 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面．‎ ‎（3）台 棱台 用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点．‎ 圆台 用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴 ‎（4）球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．‎ ‎ (5)正棱柱 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．‎ ‎(6)正棱锥 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过 ，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． ‎ ‎2．空间几何体的直观图 ‎（1）斜二测画法 ‎①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；‎ ‎②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O’X’，O’Y’，使=450（或1350），它们确定的平面表示水平平面； ！ ‎ ‎③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原 的一半；‎ ‎④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）．‎ 画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些点就可画出多边形 ，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法．‎ ‎（2）平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．‎ ‎3．几种常凸多面体间的关系 ‎4．一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质 名称 棱柱 直棱柱 正棱柱 图形 定义 有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体 侧棱垂直于底面的棱柱 底面是正多边形的直棱柱 侧棱 平行且相等 平行且相等 平行且相等 侧面的形状 平行四边形 矩形 全等的矩形 对角面的形状 平行四边形 矩形 矩形 平行于底面的截面的形状 与底面全等的多边形 与底面全等的多边形 与底面全等的正多边形 名称 棱锥 正棱锥 棱台 正棱台 图形 定义 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体 底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分 由正棱锥截得的棱台 侧棱 相交于一点但不一定相等 相交于一点且相等 延长线交于一点 相等且延长线交于一点 侧面的形状 三角形 全等的等腰三角形 梯形 全等的等腰梯形 对角面的形状 三角形 等腰三角形 梯形 等腰梯形 平行于底的截面形状 与底面相似的多边形 与底面相似的正多边形 与底面相似的多边形 与底面相似的正多边形 其他性质 高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等 两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等 几种特殊四棱柱的特殊性质 名称 特殊性质 平行六面体 底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分 直平行六面体 侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分 长方体 底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分 正方体 棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分 ‎5．多面体的面积和体积公式 名称 侧面积()‎ 全面积()‎ 体 积 ()‎ 棱[‎ 柱[‎ 棱柱 直截面周长× ‎ ‎+2[[ ]‎ ‎·=· ‎ 直棱柱 ‎·‎ 棱 锥 棱锥 各侧面积之和 ‎+‎ ‎·‎ 正棱锥 棱 台 棱台 各侧面面积之和 ‎++‎ ‎(++)‎ 正棱台 ‎ ‎ 表中表示面积，分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长．‎ ‎6．旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 侧 全 ‎ (即)‎ 表中、分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，分别表示圆台 上、下底面半径，表示半径．‎ ‎7．空间几何体的三视图 三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形．‎ 他具体包括 ‎ ‎（1）正视图 物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；‎ ‎（2）侧视图 物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；‎ ‎（3）俯视图 物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度．‎ 三视图画法规则 高平齐 主视图与左视图的高要保持平齐，长对正 主视图与俯视图的长应对正，宽相等 俯视图与左视图的宽度应相等 ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 ‎ ‎（1）解决三视图问题的技巧 空间几何体的数量关系也体现在三视图中，正视图和侧视图的“高平齐”，正视图和俯视图的“长对正”，侧视图和俯视图的“宽相等”．也就是说正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度．在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出 ，即“眼见为实、不见为虚”．在三视图的判断与识别中要特别注意其中的“虚线”．‎ ‎（2） 求体积常见方法 ‎①直接法（公式法）直接根据相关的体积公式计算；②转移法 利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；③分割法求和法 把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法 通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；⑥利用四面体的体积性质 （ⅰ）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅱ）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅲ）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方．‎ 求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体．补形 三棱锥三棱柱 平行六面体；分割 三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是1 2 3和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等． - ‎ ‎（3）求体积常见技巧 当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．‎ ‎①几何体的“分割” 几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．‎ ‎②几何体的“补形” 与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．‎ ‎③有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．‎ ‎（4）组合体的表面积和体积的计算方法 实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球，而是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体，解决这类组合体的表面积或体积的基本方法就是“分解”，将组合体分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其一个部分，分别计算其体积，然后根据组合体的结构，将整个组合体的表面积或体积转化为这些“部分的表面积或体积”的和或差．‎ ‎【易错提示】空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．对于简单的组合体的表面积，一定要注意其表面积是如何构成的，在计算时不要多算也不要少算，组合体的表面积要根据情况决定其表面积是哪些面积之和．‎ ‎（5）与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图．‎ ‎（6）求解几何体体积的策略及注意问题 ‎(1)与三视图有关的体积问题关键是准确还原几何体及弄清几何体中的数量关系．‎ ‎(2)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高．‎ ‎(3)注意求体积的一些特殊方法 分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．‎ ‎(4)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征．‎ ‎1．典型例题 ‎ 例1．【2018河北石家庄高三教 质量检测（二）】如图， 格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )‎ A． B． C．8 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图可知，该几何体为下图所示的四棱锥，故体积为．‎ ‎【名师点睛】三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．‎ ‎(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．‎ ‎(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．‎ 例2．【2018江西新余高三一模】已知是球的球面上三点，，，，且棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析 在中，由正弦定理，即，所以，，所以，，由得球心到平面的距离为，由于为直角三角形，设斜边中点为，则面，在中，球的半径，所以球的表面积，选D．‎ ‎【思路点晴】本题主要考查了空间思维能力，空间几何体性质等，属于中档题．本题先利用解三角形判断三角形的形状，求出，算出三角形的面积，由棱锥的体积，求出球心到平面的距离．斜边中点也是三角形的外接圆圆心，所以面，再在中，求出球的半径，再算出表面积．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018山东烟台高三上 期期末】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )‎ A． B．18 C．20 D．24‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱截去一个同底等高的三棱锥的组合体，故几何体的体积，故选．‎ ‎2．【2018河南南阳高三上 期期末考试】如图， 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥，图中正方体的棱长为，该多面体如图所示，外接球的半径为为，外接圆的半径，由 可得，故该多面体的外接球的表面积，故选C．‎ 异面直线所成的角 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．异面直线所成的角 ‎（1）定义 设是两条异面直线，经过空间任一点O作直线，把与所成的小于或等于．叫做异面直线与所成的角．‎ ‎（2）范围 ‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1．必备技能 ‎ 异面直线所成的角的范围是．求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题 解决 具体步骤如下 ①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形 求角； ④补形法 将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ．‎ ‎2．典型例题 ‎ 例1．【2018山西晋城市高三上 期第一次模】在如图所示的三棱柱中，已知，点在底面上的射影是线段的中点，则直线与直线所成角的正切值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题知，平面，而平面，，又 ，平面，在中，，则，在中，，则，过点作，且，连接， ，，故平面，，因此为直线与直线所成的角，又，，故选B．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角，属于难题．求异面直线所成的角主要方法有两种 一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解．‎ 例2．【2018浙江嵊州市高三第一 期期末教 质量调测】如图，正四面体，是棱上的动点，设（），分别记与，所成角为，，则（ ）‎ A． B． C．当时， D．当时，‎ ‎【答案】D ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018河北邯郸高三上 期期末考试】在正方体中分别是和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设正方体的棱长为2，取CD中点G，连接，则 所以为异面直线与所成角，且，又在 中，，，由余弦定理．异面直线与所成角的余弦值为．故选D．‎ ‎2．【2018山西晋城市高三上 期一模】已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，过作的平行线交的延长线于，连．则 即为异面直线与所成的角（或其补角）．‎ 设，则．在中，由余弦定理得，∴异面直线与所成角的余弦值为，故选A．‎ 直线、平面平行、垂直的判定与性质 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．直线与平面平行 ‎（1）判断定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行线面平行）即 ，且．‎ 其它判断方法 ‎ ‎（2）性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（线面平行线线平行）即 ‎ ‎2．平面与平面平行 ‎（1）判断定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（线面平行面面平行）．即 ．‎ ‎（2）性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行线线平行）．即 ‎ ‎3．直线与平面垂直 ‎ ‎（1）定义 若直线与平面内的任一条直线都垂直，则直线与平面垂直．‎ ‎（2）判断定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（线线垂直线面垂直）．即 ‎ ‎（3）性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行．即 ‎ ‎4．平面与平面垂直 ‎（1）定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．‎ ‎（2）判断定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即 ‎ ‎（3）性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一平面垂直．即 ‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ 必备技能 ‎ ‎1．证明线线平行的方法 （1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行．要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件．‎ ‎2．线面平行的证明方法 （1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法 证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直．‎ 线面平行的证明思考途径 线线平行线面平行面面平行．证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线；利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；‎ ‎3．面面平行的证明方法 ①反证法 假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质 垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．；⑤向量法 证明两个平面的法向量平行．‎ ‎4．证明线线垂直的方法 （1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直．要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件．解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性．‎ ‎5．线面垂直的证明方法 （1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法 证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行．‎ 线面垂直的证明思考途径 线线垂直线面垂直面面垂直． ‎ ‎6．面面垂直的证明方法 ①定义法；②面面垂直的判断定理；③向量法 证明两个平面的法向量垂直．‎ 解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂直之间的转化．‎ ‎7．证面面垂直，关键是考虑证哪条线垂直哪个面．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑；条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理．已知两平面互相垂直，我们就要两平面互相垂直的性质定理；在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式（如勾股定理）证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直．‎ ‎2典型例题 ‎ 例1．【2018北京朝阳高三第一 期期末】如图矩形中，．点在边上，且，沿直线向上折起成．记二面角的平面角为，当 时， ‎ ‎①存在某个位置，使；‎ ‎②存在某个位置，使；‎ ‎③任意两个位置，直线和直线所成的角都不相等．‎ 以上三个结论中正确的序号是 A．① B．①② C．①③ D．②③‎ ‎【答案】C ‎【 方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质、异面直线所成的角以及空间想象能力与抽象思维能力，属于难题．这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同 们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题．‎ 例2．已知棱长为1的正方体中，分别是的中点，又分别在线段上，且，设面面，则下列结论中不成立的是（ ）‎ A．面 B．C．面与面不垂直 D．当变化时，不是定直线 ‎【答案】D ‎【解析】如图作出过 的中截面，∵棱长为 的正方体 中， 分别是 的中点，又 分别在线段 上，且平行中截面，由平面与平面平行的性质定理，可知 面 面，由平面与平面平行的性质定理可知 面 ；∵几何体是正方体，∴，由线面垂直的性质可知 ．过 的平面如图，面 与面 不垂直，当 与 重合时，面 与面 垂直，直线与 平行，是定直线． 错误；故选D．‎ ‎【方法点睛】首先根据题意，作出过 的中截面，∵棱长为 的正方体 中， 分别是 的中点，又 分别在线段 上，且平行中截面，由平面与平面平行的性质定理，可知 面 面；由平面与平面平行的性质定理可知 面 ；再由线面垂直的性质可知 ．过 的平面如图，面 与面 不垂直，当 与 重合时，面 与面 垂直，直线与 平行，是定直线，由此即可判断结果．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018天一大联考高中毕业班阶段性测试（四）】设为空间两条不同的直线，为空间两个不同的平面，给出下列命题 ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】①一根直线同时垂直两个不相同的平面，显然这两个平面平行，故正确；②因为两条平行直线中有一条垂直于一个平面，则另外一条直线也垂直这个平面，故正确；③若，则必存在直线，所以由面面垂直的判定可知，故正确；若，则由线面垂直的判定可知，故正确．故选D．‎ ‎2．【2018华大新高考联盟高三1月联考】如图所示的四个正方体中，正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号为（ ）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①②③‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意结合正方体的性质 如图①，平面ABC∥平面MNP，则平面，①正确；如图②，平面ABC∥平面MNP，则平面，②正确；如图③，平面ABC∥平面MNP，则平面，③正确；如图④，平面AB∩平面MNP=A，则④错误；综上本题选D．‎ 直线与平面所成的角 ‎【背一背重点知识】‎ ‎1．直线与平面所成的角 ‎（1）定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．‎ ‎（2）线面角的范围 ．‎ ‎【讲一讲提高技能】‎ ‎1必备技能 ‎ 直线与平面所成的角的范围是．求线面角方法 ‎ ‎①利用面面垂直性质定理，巧定垂足 由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径．‎ ‎②利用三棱锥的等体积，省去垂足，‎ 在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键．确定垂足，是常规方法．可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法．从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角．因为垂线段的长度实际就是点面距h，利用三棱锥的等体积，只需求出h，然后利用进行求解．‎ ‎③妙用公式，直接得到线面角 课本习题出现过这个公式 ，如图所示 ．其中为直线AB与平面所成的线面角．这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用．但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴．‎ ④万能方法，空间向量求解不用找角 设AB是平面的斜线，BO是平面的垂线，AB与平面所成的角，向量与的夹角，则．‎ 注 斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有；‎ D B A C ‎（3）确定点的射影位置有以下几种方法 ‎ ‎①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；‎ ‎②‎ 如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；‎ ‎③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；‎ ‎④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置 ‎ a．如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；‎ b．如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；‎ c．如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；‎ ‎2典型例题 ‎ 例1．【2018河南林州一中高三上 期期末】已知长方体，，，为线段上一点，且，则与平面所成的角的正弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1为x，y， 轴建立空间直角坐标系，则 ‎ 设平面一个法向量为，则由 ‎ 因为，所以与平面所成的角的正弦值为，选A ‎【方法点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破” 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．‎ 例2．【2018浙江温州八校第一 期期末联考】已知四边形，，，现将沿折起，使二面角的大小在内，则直线与所成角的余弦值取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】取BD中点O，连结AO，CO，∵AB=BD=DA=2．BC=CD=，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO=1，AO=，‎ ‎∴∠AOC是二面角A−BD−C的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为 轴，建立空间直角坐标系，‎ B(0，−1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，设二面角A−BD−C的平面角为，则，连AO、BO，则∠AOC=θ，，∴，设AB、CD的夹角为α，‎ 则，∵，∴，故．‎ 本题选择A选项．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查二面角的余弦值的求法．解题方法有两种，第一种是利用二面角的定义，作出二面角，然后通过解直角三角形 求得二面角的余弦值．第二种方法是建立空间直角坐标系的方法，以为坐标原点为轴建立空间直角坐标系，然后用法向量 求解．‎ ‎【练一练提升能力】‎ ‎1．【2018浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上 期期末】如图，正四棱锥，记异面直线与所成角为，直线与面所成角为，二面角的平面角为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎2．【2018陕西渭南市高三教 质量检测（I）】二面角的棱上有，两点，直线，‎ 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，，则该二面角的大小为（ ） = ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由已知可得 ， ‎ ‎ ‎ ‎=32+22+42+2×3×4cos＜，＞=17，∴cos＜，＞=﹣，即＜，＞=120°，‎ ‎∴二面角的大小为60°，故选B．‎ （一） 选择题（12 5=60分）‎ ‎1．【2018湖北武汉高中毕业生二月调研】某四棱锥的三视图如图所示，其中正视图是斜边为等腰直角三角形，侧视图和俯视图均为两个边长为1的正方形，则该四棱锥的高为（ ）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】几何体是是如图放置的四棱锥，是正方体中切除一个三棱柱，再切除一个三棱锥所得到的几何体，该正方体的棱长为1，高为到平面的距离，此距离为，故选A．‎ ‎2．【2018天津市实验中 高三模拟】某几何体的三视图如图所示（单位 ），则该几何体的体积是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】几何体为一个四棱锥与正方体的组合体，所以体积为，选C．‎ ‎3．【2018晋豫省际大联考（12月）】设，是两条不同的直线，，是两个不同平面，给出下列条件，其中能够推出∥的是 A．∥，⊥，⊥ B．⊥，⊥，∥‎ C．∥，∥，∥ D．∥，∥，⊥‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，，可推出与平行、相交或异面，由可推出∥．故选B．‎ ‎4．【2018甘肃高三第一次诊断性考试】某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为，则的值为（ ）‎ A． B．2 C．1 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意得到原图是一个圆柱挖去了两个半球，圆柱的直径为a，高为a，则剩余的体积为故答案为 B．‎ ‎5．【2018山东栖霞市一中高三模拟】正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线所成的角等于(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【答案】C ‎6．【2018江西奉新县一中高三模拟】设是两条不同的直线，‎ 是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ( )‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】D ‎【解析】对于选项A，，则两个平面内的直线不一定是垂直，所以选项A错误；对于选项B，，两个平面平行，则这两个平面内的直线不一定平行，所以选项B错误；对于选项C，两个平面内的两条直线垂直，不能得到两个平面垂直，所以选项C错误；对于选项D，可以证明．故选D．‎ ‎7．【2018浙江镇海中 高三上 期期末考试】直线a与平面所成角的为30o，直线b在平面内，且与b异面，若直线a与直线b所成的角为，则( )‎ A．0º<≤30º B．0º<≤90º C．30º≤≤90º D．30º≤≤180º ‎【答案】C ‎【解析】设直线a在平面α的射影为直线c，在平面α内作直线d⊥c，由三垂线定理可得直线d⊥a．因为直线a与平面α所成的角为30°，所以直线a与直线c所成的角为30°，等于平面α内的直线与直线a所成角的最小值．直线b在平面α内，当b与直线d平行或重合时，可得a⊥b，直线a与b所成的角为90°，达到最大值；当b与直线c平行或重合时，可得a、b所成的角为30°，达到最小值．因此，直线a与b所成的角为φ的取值范围为30°≤θ≤90°．故选C ‎8．【2018天津市实验中 高三模拟】如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，正确的个数为（ ）‎ ‎（）；（）截面；（）；（）异面直线与 所成的角为．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】面，因此，同理可得，；（1）正确； 截面；（2）正确； ，(3)不一定正确；异面直线与所成的角为(4)正确，选C．‎ ‎6．【2018广州一模】正方体的棱长为2，点为的中点，点为线段上靠近的三等分点，平面交于点，则的长为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将平移至为靠近的三个等分点处，，为的中点，也为中点，，根据四点共面，，，故选D．‎ ‎7．【2018吉林长春十一中、东北师大附中、吉林一中，重庆一中等五校高三1月联合模拟】设，为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，给出下列命题 ‎ ‎①若，，则；②若，，则；③若，且，，则； ④若，且，则．‎ 其中所有正确命题的序号是（ ）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎【答案】D ‎8．【2018河北衡水中 高三模拟】在四面体中，，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为所以，设的中点为，连接，则三角形的外心为在线段上，且，又三角形的外心为，又，所以平面，过垂直于平面的直线与过垂直于平面的直线交于点，则为四面体外接球的球心，又，所以，所以，设外接圆半径为，则，所以，故选B． ‎ ‎9．【2018河南南阳高三上 期期末考试】如图， 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 方法一 该多面体如图示，外接球的半径为为外接圆的半径，，，‎ 故，．‎ 方法二 只考虑三棱锥的外接球即可，而此三棱锥的侧棱与底面是垂直的，故其外接球的半径 （其中是三角形外接圆的半径）．故选B．‎ ‎10．【2018贵州贵阳高三1月适应性考试】已知球的半径为2，四点均在球的表面上，且，，则点到平面的距离为（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得为中点，所以，因此，取中点，则，即，由，可得，由，故选B．‎ ‎11．【2018福建泉州市高三上 期期末考试】正方体中，动点在线段上，，分别为，的中点．若异面直线与所成的角为，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，易得，设 ‎，则，‎ 即．当时，取到最大值，当时，取到最小值，所以的取值范围为，故选A．‎ ‎12．【2018山东淄博高三2月模拟】已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球，现从该三棱锥顶端向锥内注水，小球慢慢上浮．当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切（小球完全浮在水面上方），则小球的表面积等于 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，‎ ‎∵正四面体的各棱长均为4，∴正四面体体积为，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为，则，∴，设小球的半径为，则，∴，∴球的表面积，故选C．‎ （一） 填空题（4 5=20分）‎ ‎13．【2018广东六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中 ，惠州一中）高三下 期第三次联考】已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三四图可得，该几何体为如图所示的三棱锥．‎ ‎∵正方体的棱长为2，∴，∴，∴该几何体的表面积为．‎ ‎14．【2018山西陵川一中高三模拟】如图， 格中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为__________． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意得，根据给定的三视图，可得该几何体表示底面是边长为的正方形，高为 的四棱锥，其该四棱锥可补成一个正方体，其中正方体的外接球和该四棱锥的外接球是同一个球，其中正方体的对角线长为，即，所以该球的表面积为．‎ ‎15．【2018河南南阳一中高三第九次考试】平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则所成角的大小为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图 α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知 n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．‎ 故答案为 ．‎ ‎16．【2018陕西榆林高考模拟第一次测试】设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是__________．‎ ‎①若，则或．‎ ‎②若，则或．‎ ‎③若，则或与相交．‎ ‎④若，则或．‎ ‎【答案】②‎