中考数学专题复习讲座相似三角形学生版

中考数学专题复习讲座相似三角形学生版

相似三角形 第一部分 讲解部分 ‎（一）课标要求 ‎1．理解相似三角形的概念，总结相似三角形的对应角相等、对应边成比例等性质，掌握它们的基本运用。‎ ‎2．经历三角形相似与全等的类比过程，进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想。掌握判定两个三角形相似的基本方法；掌握两个相似三角形的周长比、面积比以及对应的角平分线比、对应的中线比、对应的高的比的性质；知道三角形的重心。会用相似三角形的判定与性质解决简单的几何问题和实际问题。‎ ‎（二）知识要点 ‎1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形。对应边的比叫做相似比。‎ ‎ 三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。‎ ‎2．相似三角形的判定：①平行法②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS”)③两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS”)④两角对应相等(AA)‎ ‎ 直角三角形中斜边、直角边对应比相等（类似于直角三角形全等判定“HL”）。‎ 相似三角形的基本图形：‎ ‎ ‎ ‎ 判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。‎ a b c A B C D E F m n ‎3．相似三角形的性质：①对应角相等②对应边的比相等③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相似比④对应的面积之比等于相似比的平方。‎ ‎4．相似三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。‎ ‎（三）考点精讲 考点一：平行线分线段成比例 例1、（2011广东肇庆）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n 与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝（ ）‎ A． 7 B． ‎7.5 ‎C． 8 D． 8.5‎ 例2（2012•福州） 如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ，cosA的值是 ．（结果保留根号）‎ 练习：‎ ‎1．（2011湖南怀化，6，3）如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的值为（ ）‎ A．9 B．‎6 ‎ C．3 D．4‎ ‎2．（2011山东泰安，15 ，3分）如图，点F是□ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．（2012•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 考点二：相似三角形的判定 例3、（2011湖北荆州）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（ ）‎ A．1对　　B．2对　　　C．3对　　　　D．4对　‎ 例4、（2010江苏泰州）一个铝质三角形框架三条边长分别为‎24cm、‎30cm、‎36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为‎27cm、‎45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ）‎ A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 例5（2012•徐州）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC= BC．图中相似三角形共有（　　）‎ A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 例6（2012•资阳）（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）； （2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB； （3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）． ‎ 练习：‎ ‎1．（2011江苏无锡，7，3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA∶OC = OB∶OD，则下列结论中一定正确的是 ( )‎ A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 A B C D O ‎①‎ ‎②⊙o⊙‎ ‎③⊙o⊙‎ ‎④⊙o⊙‎ ‎（第7题）‎ ‎2．（2011新疆乌鲁木齐，10，4分）如图，等边三角形的边长为3，点为边上一点，且，点为边上一点若，则的长为 A． B． C． D．1‎ ‎3. （2012•攀枝花）如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC、DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四点在同一个圆上，一定成立的有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎4. （2012•义乌市）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1． （1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC‎1A1的度数； （2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积； （3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值． ‎ A B D C 考点三：相似三角形的性质 例7、（2010山东烟台）如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（ ）‎ A．AB2=BC·BD B．AB2=AC·BD C．AB·AD=BD·BC D．AB·AD=AD·CD ‎ ‎（例5）‎ 例8、（2011浙江嘉兴）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（　　）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ 例9（2012•重庆）已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为 9：1‎ ‎．‎ 练习 ‎1．（2011青海西宁，10，3分）如图6，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC=120°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为 A．9 B．‎12 C．16 D．18‎ A B C D E G F O ‎2．（2011四川雅安，9,3分）如图，D、E、F分别为△ABC三边的中点，则下列说法中不正确的为（ ）‎ A．△ADE∽△ABC B． C． D．DF=EF ‎3．（2011四川内江，加试2，6分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O．若△ADE的面积为S，则四边形BOGC的面积= ．‎ ‎4．（2011辽宁丹东，16，3分）已知：如图，DE是△ABC的中位线，点P是DE的中点，CP的延长线交AB于点Q，那么______________．‎ 考点四 位似 例10（2012•玉林）如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC=3，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ 对应训练 ‎（2012•咸宁）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（　　）‎ A．（，0） B．（ C． D． ‎ 考点五：相似三角形的应用 例6、（2010安徽芜湖）如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=‎2m,CD=‎6m,点P到CD的距离是‎2.7m,则_______m．‎ 例7、（2011青海）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=‎120mm，高AD=‎80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是　 　mm．‎ ‎ ‎ 练习：‎ ‎1．（2011湖北黄石，13，3分）有甲乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图（4）.将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为 。‎ ‎（五）真题演练 ‎2、（ 2011重庆江津）已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB、CD交于O点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是( )‎ ‎35°‎ ‎75°‎ ‎75°‎ ‎70°‎ ‎(1)‎ A B C D O ‎4‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎(2)‎ A.都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似 ‎3、（2011黑龙江鸡西）如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=3，ED=4，则AB的长为 （ ） ‎ A .3 B ‎.2 ‎C. D .3‎ ‎（第3题）‎ ‎（第5题）‎ ‎5、（2011山东滨州）如图，直线PM切⊙O于点M,直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM, 连接OM、BC.‎ 求证：（1）△ABC∽△POM; (2)2OA2=OP·BC.‎ ‎【聚焦山东中考】‎ ‎1．（2012•潍坊）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎2．（2012•东营）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y 轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的 ，那么点B′的坐标是（　　）‎ A．（-2，3） B．（2，-3） C．（3，-2）或（-2，3） D．（-2，3）或（2，-3）‎ ‎3. （2012•日照）在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则 的值是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.（2012•德州）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（　　）‎ A．1组 B．2组 C．3组 D．4组F ‎5．（2012•威海）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B‎1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC与△A1B‎1C1位似，则△A1B‎1C1的第三个顶点的坐标为 （3，4）或（0，4）‎ ‎．‎ ‎6．（2012•菏泽）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题： （1）试证明三角形△ABC为直角三角形； （2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； （3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）．‎ 聚焦全国 ‎1．（2012•天门）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为（　　）‎ A．2 B．‎3 C． D．‎ ‎2．（2012•宁德）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（2012•柳州）小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（　　） ‎ A．FG B．FH C．EH D．EF ‎4.（2012•铜仁地区）如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（　　）‎ A．∠E=2∠K B．BC=2HI C．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长 D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL ‎5. （2012•荆州）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6. （2012•海南）如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（　　）‎ A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． D．‎ ‎7．（2012•遵义）如图，在△ABC中，EF∥BC， ，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（　　）‎ A．9 B．‎10 ‎C．12 D．13‎ ‎8. （2012•宜宾）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD= AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（2012•钦州）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（　　）‎ A．点M B．点N C．点O D．点P ‎10．（2012•毕节地区）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（　　）‎ A．（2，4） B．（-1，-2） C．（-2，-4） D．（-2，-1）‎ 二、填空题 ‎11．（2012•宿迁）如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1 =‎ S2．（填“＞”“=”或“＜”）‎ ‎12.（2012•自贡）正方形ABCD的边长为‎1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2．‎ ‎13. （2012•资阳）如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y与x的函数关系式为 。‎ ‎14.（2012•镇江）如图，E是▱ABCD的边CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AD=4， ，则CF的长为 2‎ ‎．‎ ‎15.（2012•泰州）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是 2‎ ‎．‎ ‎16．（2012•青海）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高‎1.5m，测得AB=‎2m，BC=‎14cm，则楼高CD为 12‎ m．‎ ‎17. （2012•娄底）如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=‎1.52米，OB=‎4米，OM=‎5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM= 3.42‎ 米．‎ ‎18.（2012•北京）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=‎40cm，EF=‎20cm，测得边DF离地面的高度AC=‎1.5m，CD=‎8m，则树高AB= 5.5‎ m．‎ ‎19.（2012•阜新） 如图，△ABC与△A1B‎1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B‎1C1的面积是 12‎ ‎．‎ 三、解答题 ‎20．（2012•上海）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G． （1）求证：BE=DF； （2）当 时，求证：四边形BEFG是平行四边形．‎ ‎21． （2012•云南）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E． 求证：△ABC∽△MED．‎ ‎22．（2012•株洲）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O． （1）求证：△COM∽△CBA；      （2）求线段OM的长度．‎ ‎23. （2012•株洲）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=‎5米，AC=‎12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为‎1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为‎2米/秒．运动时间为t秒． （1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？ （2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．‎ ‎24. （2012•江西）如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点立于地面，经测量： AB=CD=‎136cm，OA=OC=‎51cm，OE=OF=‎34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=‎32cm． （1）求证：AC∥BD； （2）求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数（精确到0.1°）； （3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到‎122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由． （参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈0.553；可使用科学记算器）‎ ‎25．（2012•陕西）如图，正三角形ABC的边长为3+ ． （1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）； （2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长； （3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由． ‎ ‎26．（2012•河北）如图，点E是线段BC的中点，分别BC以为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形，且在BC同侧． （1）AE和ED的数量关系为 AE=ED ‎；‎ AE和ED的位置关系为 AE⊥ED ‎； （2）在图1中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD．分别得到图2和图3． ①在图2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比1：2，H是EC的中点．求证：GH=HD，GH⊥HD． ②在图3中，点F在的BE延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k：1，若BC=2，请直接写CH的长为多少时，恰好使GH=HD且GH⊥HD（用含k的代数式表示）． ‎ 第二部分 专题