2017-2018学年河北省邢台市高二上学期期末数学文试题（解析版）

2017-2018学年河北省邢台市高二上学期期末数学文试题（解析版）

河北省邢台市2017-2018学年高二上学期期末考试 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 设命题：，，则命题的否定为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】特称命题的否定为全称命题，所以命题：，的否定为，,故选A.‎ ‎2. 双曲线的虚轴长为（ ）‎ A. 2 B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，∴虚轴长为.‎ 故选：D ‎3. 圆的圆心到直线的距离为（ ）‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知：圆心坐标为，,‎ 故选：B ‎4. “”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”成立的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，所以，‎ ‎ 所以是方程表示焦点在轴上的椭圆的充分不必要条件，故选A.‎ ‎5. 下列直线中，与函数的图象在处的切线平行的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，,‎ ‎∴‎ ‎∴函数的图象在处的切线方程为 与其平行的直线可以为：‎ 故选：B 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ ‎6. 若以双曲线的左、右焦点和点为顶点的三角形为直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得点为该直角三角形的直角顶点，双曲线的左右焦点分别为 ，则有，解得，所以，因此。选B。‎ ‎7. 函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎8. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图可知，该几何体为三分之一个圆锥，其体积为 . 故选D.‎ 点睛：三视图问题的常见类型及解题策略：‎ ‎(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．‎ ‎(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．‎ ‎(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．‎ ‎9. 设是椭圆：的两个焦点，点是椭圆与圆：的一个交点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，，解得，，，故选C.‎ ‎10. 抛物线：的准线与轴交于点，点为焦点，若抛物线上一点满足，则以为圆心且过点的圆被轴所截得的弦长约为（参考数据：）（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，又，所以点P在以AF为直径的圆上，‎ 设点P的横坐标为m，联立与得.‎ ‎∵，∴，∴‎ 故所求弦长为.‎ 故选：A ‎11. 在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】对棱长相等的三棱锥可以补形为长方体（各个对面的面对角线），设长方体的长、宽、高分别为 则有 则外接球的半径 ，所以表面积为.‎ 点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法：‎ ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，或者对棱长相等的三棱锥一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．‎ ‎12. 设函数，，若，使得直线 的斜率为0，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数f（x）=﹣x2﹣6x+m，‎ 对称轴x=﹣3，开口向下，‎ 当x∈[﹣5，﹣2]的值域M：f（﹣5）≤M≤f（﹣3），即m+5≤M≤9+m．‎ 函数g（x）=2x3+3x2﹣12x﹣m，‎ 则g′（x）=6x2+6x﹣12．‎ 令g′（x）=0，‎ 可得：x=﹣2或1．‎ 当x∈（﹣∞，﹣2）和（1，+∞）时，g′（x）＞0，则g（x）是递增函数．‎ 当x∈（﹣2，1）时，g′（x）＜0，则g（x）是递减函数．‎ ‎∵x∈[﹣1，2]‎ ‎∴g（1）min=﹣7﹣m g（﹣1）=13﹣m，g（2）=4﹣m．‎ ‎∴g（x）值域N：﹣7﹣m≤N≤13﹣m．‎ 由题意，M⊆N 则，‎ 解得：2≥m≥﹣6．‎ ‎∴m的最小值为﹣6．‎ 故选：C．‎ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 直线与直线垂直，且它在轴上的截距为4，则直线的方程为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设直线的方程为，又它在轴上的截距为4，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线的方程为 故答案为：‎ ‎14. 若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题知双曲线的焦点在y轴上，且 解得 ，所以双曲线的方程是.‎ ‎15. 过点总可以作两条直线与圆：相切，则的取值范围为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知：点在圆外，则解得：，‎ 圆C表示圆可得，可得 故答案为：‎ 点睛：求过已知点的圆的切线方程的注意点：‎ ‎（1）判断点与圆的位置关系，当点在圆上时，可作一条切线；当点在圆外时，可作两条切线。‎ ‎（2）当点在圆外，利用待定系数法求切线方程时，不要忘了斜率不存在的情形，这种情况比较容易忽视而造成漏解。‎ ‎16. 若函数在上有最小值，则的取值范围为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵在上单调递增，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 故答案为：‎ 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17. 已知命题：若，则，：.‎ ‎（1）写出的逆否命题；‎ ‎（2）判断的真假，并说明理由.‎ ‎【答案】(1)若，则；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）若则的逆否命题是若则.‎ ‎（2）先判断命题p,q的真假，再利用真值表可判断的真假.‎ 试题解析：（1）的逆否命题：若，则.‎ ‎（2）若，则，∴，∴为真，‎ ‎∵方程的判别式，∴方程无解，∴为假.‎ 故为真，为真，为假.‎ ‎18. 已知函数，其中，且在处取得极值.‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）求函数的单调区间.‎ ‎【答案】(1)；(2)增区间为，减区间为.‎ ‎【解析】试题分析：(1)由在处取得极值可得，解得的值；(2)，解关于x的不等式即可得到函数的单调区间.‎ 试题解析：‎ ‎（1）‎ 因为在处取得极值 所以，解得，经检验，符合题意.‎ ‎（2）由（1）知 ‎，‎ 当时，即，在上单调递增；‎ 当时，即，在上单调递减；‎ 所以的增区间为，减区间为.‎ 点睛：利用导数确定单调区间，(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性 ‎19. 如图，已知直三棱柱的侧面是正方形，，，，在棱上，且 ‎.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若平面将该三棱柱分成上、下两部分的体积分别记为和，求的值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）要证平面平面，先证平面，即证线线垂直；（2），柱体，从而得到所求值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：因为是直三棱柱，所以底面，所以，‎ 又，即，且，所以，∴，又，且，所以平面 又平面，所以平面平面.‎ ‎（2）解：因为 柱体，‎ 所以，.‎ ‎20. 已知抛物线：的焦点为，原点为，过作倾斜角为的直线交抛物线于两点.‎ ‎（1）过点作抛物线准线的垂线，垂足为，若直线的斜率为，且，求抛物线的方程；‎ ‎（2）当直线的倾斜角为多大时，的长度最小.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用几何性质可得为等边三角形，得，所以抛物线方程为 ‎.‎ ‎（2）联立得，，可得，‎ 所以焦点弦，当且仅当等号成立，‎ ‎∴.‎ 试题解析：（1）准线与轴的交点为，则由几何性质得，‎ ‎∵且，‎ ‎∴为等边三角形，得，‎ ‎∴抛物线方程为.‎ ‎（2）∵，∴直线的方程可设为，‎ 由得，‎ 设，则，得，‎ 所以，当且仅当等号成立，‎ ‎∴.‎ 点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．‎ ‎21. 已知双曲线的焦点是椭圆：的顶点，为椭圆的左焦点且椭圆经过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）过椭圆的右顶点作斜率为（）的直线交椭圆于另一点，连结并延长交椭圆于点，当的面积取得最大值时，求的面积.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意，求出双曲线的焦点坐标，即可得椭圆的顶点坐标，可得a 的值，将点的坐标代入椭圆的方程可得，解可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；‎ ‎（2）根据题意，设直线AB的方程为，与椭圆的方程联立，可得，分析可以用k表示△AOB的面积，由基本不等式的性质分析可得答案．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知，得，‎ 所以的方程为.‎ ‎（2）由已知结合（1）得，，‎ 所以设直线：，联立：得，‎ 得，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，的面积取得最大值，‎ 所以，此时，‎ 所以直线：，联立，解得，‎ 所以.‎ ‎22. 已知函数.‎ ‎（1）设函数，若曲线在点处的切线方程为，求的值； ‎ ‎（2）是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1)；(2)存在实数，且.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由导数的几何意义可得：，即可求得的值；‎ ‎（2）由对恒成立，得对恒成立，记，求的最大值即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1），则，‎ 又，∴解得.‎ ‎（2）由对恒成立，得对恒成立，‎ 设，设，‎ 因为 所以在上为减函数，，则当时，；当时，.‎ ‎∴，∴存在实数，且.‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;‎ ‎（3）若恒成立，可转化为.‎