【数学】2020届一轮复习苏教版第四章第4讲三角函数的图象和性质学案
第4讲 三角函数的图象和性质
考试要求 1.y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象及周期性(A级要求)；2正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最值及与x轴的交点等)(B级要求)；3.正切函数在区间内的单调性(B级要求).
知 识 梳 理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调增区间
[2kπ－π，2kπ]
单调减区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)由sin＝sin 知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期.( )
(2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.( )
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( )
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )
(5)y＝sin|x|是偶函数.( )
解析 (1)函数y＝sin x的周期是2kπ(k∈Z).
(2)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.
(3)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.
(4)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2.(教材改编)函数y＝2tan的定义域为________.
解析 ∵x－≠kπ＋，k∈Z，∴x≠kπ＋，k∈Z，
即函数的定义域为.
答案
3.函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________.
解析 由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.
答案 －
4.若函数f(x)＝sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝________.
解析 由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0，2π]，
所以φ＝.
答案
5.(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是________.
解析 由函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，得sin＝±1，因为－<φ<，所以<＋φ<，则＋φ＝，φ＝－.
答案 －
考点一 三角函数的定义域与值域
【例1】 (1)函数f(x)＝－2tan的定义域是________.
(2)(2019·泰州模拟)函数y＝2sin(0≤x≤
9)的最大值与最小值之和为________.
(3)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________.
解析 (1)由正切函数的定义域，
得2x＋≠kπ＋(k∈Z)，
即x≠＋(k∈Z).
∴函数的定义域为.
(2)因为0≤x≤9，所以－≤x－≤，
所以sin∈.
所以y∈[－，2]，
所以ymax＋ymin＝2－.
(3)设t＝sin x－cos x，
则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，
sin xcos x＝，且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－时，ymin＝－－.
∴函数的值域为.
答案 (1) (2)2－
(3)
规律方法 (1)三角函数定义域的求法，以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域.
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：
①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).
【训练1】 (1)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为________.
(2)(2018·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则f(x)的最小正周期为________，最大值为________.
解析 (1)由f(x)＝cos 2x＋6cos＝1－2sin2x＋6sin x＝－2＋，所以当sin x＝1时函数的最大值为5.
(2)易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3＋1＝cos 2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.
答案 (1)5 (2)π 4
考点二 三角函数的单调性
【例2】 (1)函数f(x)＝sin的单调递减区间为________.
(2)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
(3)若f(x)＝2sin ωx＋1(ω>0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________.
解析 (1)由已知可得函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为(k∈Z).
(2)法一 由于函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，为函数f(x)的周期，故＝，解得ω＝.
法二 由题意，得f(x)max＝f＝sinω＝1.
由已知并结合正弦函数图象可知，ω＝，解得ω＝.
(3)法一 由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，k∈Z，
得f(x)的增区间是(k∈Z).
因为f(x)在上是增函数，
所以⊆.
所以－≥－且≤，所以ω∈.
法二 因为x∈，ω>0.
所以ωx∈，
又f(x)在区间上是增函数，
所以⊆，
则又ω>0，
得0<ω≤.
法三 因为f(x)在区间上是增函数，故原点到－，的距离不超过，即得T≥，即≥，又ω>0，得0<ω≤.
答案 (1)(k∈Z) (2)
(3)
规律方法 (1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解.
【训练2】 (1)已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________.
(2)(2018·全国Ⅱ卷改编)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是________.
解析 (1)由
0，得
＋<ωx＋<ωπ＋，
又y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，
所以
解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.
又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，
得k＝0，所以ω∈.
(2)f(x)＝cos x－sin x＝cos，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以解得a≤，所以00，0<φ<π)为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为，则f的值为________.
(2)设函数f(x)＝sin－cos的图象关于y轴对称，则θ＝________.
解析 (1)由于f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2sin为偶函数，可得φ－＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z，由于0<φ<π，可得φ＝
，又其图象的两条相邻对称轴间的距离为，则最小正周期T＝×2＝π，可得ω＝＝2，则有f(x)＝2sin＝2cos 2x，可得f＝.
(2)f(x)＝sin－cos＝
2sin，由题意可得f(0)＝2sin＝±2，即sin＝±1，∴θ－＝＋kπ(k∈Z)，∴θ＝＋kπ(k∈Z)，∵|θ|<，∴k＝－1时，θ＝－.
答案 (1) (2)－
角度2 轴对称问题
【例3－2】 (1)(2019·苏、锡、常、镇四市调研)若函数f(x)＝2sin(4x＋φ)(φ<0)的图象关于直线x＝对称，则φ的最大值为________.
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为________.
解析 (1)由题可得，4×＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z，∵φ<0，∴φmax＝－.
(2)因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，－＝＋，即＝＝·，解得ω＝2k＋1(k∈N)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，令ω＝11，∵x＝是y＝f(x)的对称轴，∴＋φ＝＋kπ(k∈N).又由|φ|≤，解得φ＝－，此时f(x)＝sin，f(x)在上递增，在上递减，不满足f(x)在上单调；同理令ω＝9，则φ＝，此时f(x)＝sin，满足
f(x)在上单减，综上，ω的最大值为9.
答案 (1)－ (2)9
角度3 中心对称问题
【例3－3】 (1)已知函数y＝2sin的图象关于点P(x0，0)对称，若x0∈，则x0＝________.
(2)若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为________.
解析 (1)由题意可知2x0＋＝kπ，k∈Z，
故x0＝－，k∈Z，
又x0∈，∴－≤k≤，k∈Z，
∴k＝0，则x0＝－.
(2)由题意知π＋＝kπ＋(k∈Z)，
∴ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，∴ωmin＝2.
答案 (1)－ (2)2
规律方法 (1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
(2)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求x即可.
(3)对于可化为f(x)＝Acos(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋
φ＝kπ(k∈Z)求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)求x即可.
【训练3】 (1)若函数f(x)＝cos的图象关于点(x0，0)成中心对称，x0∈，则x0＝______.
(2)当x＝时，函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，则下列关于函数y＝f的说法正确的是________(填序号).
①是奇函数且图象关于点对称；
②是偶函数且图象关于点(π，0)对称；
③且奇函数且图象关于直线x＝对称；
④是偶函数且图象关于直线x＝π对称.
解析 (1)因为f(x)＝cos＝cos＝－sin 2x，由2x0＝kπ，k∈Z得x0＝，k∈Z.
由x0∈，故k＝0，1时，x0＝0，.
(2)∵当x＝时，函数f(x)取得最小值，
∴sin＝－1，∴φ＝2kπ－(k∈Z)，
∴f(x)＝sin＝sin，
∴y＝f＝sin(－x)＝－sin x，
∴y＝f是奇函数，且图象关于直线x＝对称.
答案 (1)0或 (2)③
一、必做题
1.(2018·全国Ⅲ卷改编)函数f(x)＝的最小正周期为________.
解析 f(x)＝＝＝＝sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
答案 π
2.(2019·南京模拟)若函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则f的值是________.
解析 由题意得＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin.因此f＝sin＝sin ＝.
答案
3.函数f(x)＝tan的单调递增区间是________.
解析 当kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)时，函数y＝tan单调递增，解得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z).
答案 (k∈Z)
4.(2019·苏、锡、常、镇四市调研)已知函数f(x)＝sin(πx＋φ)(0<φ<2π)在x
＝2时取得最大值，则φ＝________.
解析 f(2)＝sin(2π＋φ)＝sin φ＝1，又0<φ<2π，则φ＝.
答案
5.函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为________.
解析 y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x
＝－sin2x－2sin x＋1，
令t＝sin x，则t∈[－1，1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，
所以ymax＝2，ymin＝－2.
答案 2，－2
6.(2019·苏北四市联考)函数y＝sin x＋cos x的单调递增区间是________.
解析 ∵y＝sin x＋cos x＝sin，
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z).
∴函数的单调递增区间为(k∈Z)，
又x∈，∴单调递增区间为.
答案
7.若函数f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.
解析 因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝.
答案
8.(2018·北京卷)设函数f(x)＝cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________.
解析 由于对任意的实数都有f(x)≤f成立，故当x＝时，函数f(x)有最大值，故f＝1，－＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝8k＋(k∈Z)，又ω>0，∴ωmin＝.
答案
9.(2019·徐州、连云港、宿迁三检)若函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则函数f(x)在[0，π]上的单调减区间是________.
解析 将点(0，)代入得sin φ＝，因为0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin.由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，即函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)，所以f(x)在[0，π]上的单调减区间是.
答案 (或)
10.(2018·北京卷)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值.
解 (1)f(x)＝－cos 2x＋sin 2x
＝sin＋.
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋.
由题意知－≤x≤m，
所以－≤2x－≤2m－.
要使得f(x)在上的最大值为，
即sin在上的最大值为1.
所以2m－≥，即m≥.
所以m的最小值为.
11.已知函数f(x)＝(cos x＋sin x)2－2sin 2x.
(1)求函数f(x)的最小值，并写出f(x)取得最小值时自变量x的取值集合；
(2)若x∈，求函数f(x)的单调递增区间.
解 (1)f(x)＝3cos2x＋2sin xcos x＋sin2x－2sin 2x＝(1＋cos 2x)＋sin 2x＋(1－cos 2x)－2sin 2x＝－sin 2x＋cos 2x＋2＝2sin＋2.
所以函数f(x)的最小值是0，
此时2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x的取值集合为.
(2)当x∈时，2x＋∈，
令－≤2x＋≤或≤2x＋≤，
得－≤x≤－或≤x≤.
所以f(x)的单调递增区间是和.
二、选做题
12.若函数y＝2cos ωx在区间上单调递减，且有最小值1，则ω的值为________.
解析 因为y＝cos x在上单调递增，在上单调递减，所以必有ω>0，且·ω≤π.所以0<ω≤.当x＝时，2cosπ＝1，cosπ＝.
所以ω＝.
答案
13.设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且满足f(－x)＝－f(x).
(1)求函数f(x)的单调增区间；
(2)当x∈时，试求y＝f的最值，并写出取得最值时自变量x的值.
解 (1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2sin的最小正周期为π，且满足f(－x)＝－f(x)，所以ω＝2，φ＝－，所以f(x)＝2sin 2x.令2x∈(k∈Z)，解得函数f(x)的单调增区间为(k∈Z).
(2)当x∈时，2x－∈，
y＝f＝2sin 2＝2sin.
当2x－＝，
即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x－＝－，
即x＝0时，f(x)取得最小值－.
