人教A版数学必修三3-2-2（整数值）随机数的产生

人教A版数学必修三3-2-2（整数值）随机数的产生

§3.2.2 （整数值）随机数（random numbers）的产生 一、教材分析 产生随机数的方法有两种: (1)由试验产生的随机数:例如我们要产生 1—25 之间的随机整数,我们把 25 个大小形状等均相同的小球 分别标上 1,2,3,…,24,25,放入一个袋中,把它们充分搅拌.然后从中摸出一个球,这个球上的数就是随机数.一 般当需要的随机数个数不是太多时,可以用这种方法产生随机数.如果需要随机数的量很大,这种方法就不是 很方便,因为速度太慢. (2)用计算器或计算机产生随机数:由于计算机或计算器产生的随机数是根据确定的算法产生的,具有周 期性(周期很长),具有类似随机数的性质,但并不是真正的随机数,称为伪随机数.在随机模拟中,往往需要大 量的随机数,这时会选择用计算机产生随机数. 这部分内容是新增加的内容,是随机模拟中最简单、易操作的部分,所以要求每个学生会操作.具体教学 时,教师可以在课堂上带着学生用计算器操作一遍,然后让学生模拟掷硬币的试验或掷骰子的试验,并统计试 验的结果. 根据试验结果,教师可以设计一些与上一章统计部分相联系的问题,通过知识的相互联系,可以帮助学生 更好地理解概率的意义和一些统计思想.例如: ①每个学生模拟掷一个硬币的试验 20 次,统计出现正面的频数与频率,并可用频率估计概率,在此基础 上进一步提出问题:这个估计的精度如何?误差大吗? ②如果全班有 50 人,每人得到一个频率,那么有 50 个观测数据,计算这 50 个数据的平均数和标准差,并 根据统计中的平均数和标准差的含义和计算的具体数值,解释这个模拟结果,通过这个过程,可以使学生进一 步理解频率是概率的估计值,以及平均数和标准差的含义等. 不同的计算器产生随机数的操作步骤可能不同,教科书中仅是以一种计算器为例给出产生随机数的步 骤.教学中,可以让学生自己看计算器的说明书,按说明书的提示进行操作. 很多软件都能产生随机数,教科书中以 Excel 软件为例,主要考虑到这个软件比较普遍,多数教师对它比 较熟悉.教师在讲授这部分内容之前应该熟悉一下 Excel 软件,特别是产生随机数的函数、画统计图的功能及 对统计数据结果的处理功能. 用随机模拟的方法模拟随机现象称为统计试验.这里必须明确随机模拟方法得到的结果只能是概率的 近似值或估计值,每次试验得到的结果可能是不同的. 二、教学目标 1、知识与技能： （1）了解随机数的概念； （2）利用计算机产生随机数，并能直接统计出频数与频率。 2、过程与方法： （1）通过对现实生活中具体的随机数问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与 现实世界的联系，培养逻辑推理能力； （2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。 3、情感态度与价值观： 通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点. 三、重点难点 教学重点：学会利用随机数实验来求简单事件的概率. 教学难点：学会利用计算器、计算机求随机数的方法. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路 1 复习上一节课的内容： （1）古典概型.我们将具有①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性） ②每 个基本事件 出现的可能性相等.（等可能性）这样两个特点的概率模型称为古典概率概型,简称古典概型. （2）古典概型计算任何事件的概率计算公式: P（A）= 基本事件的总数 数所包含的基本事件的个A .本节课我们学习（整数值）随机数的产生,教师板书课题. 思路 2 在第一节中,同学们做了大量重复试验,有的同学可能觉得这样做试验花费的时间太多了,那么,有没有 其他方法可以代替试验呢？答案是肯定的,这就是我们将要学习的内容（整数值）随机数的产生. （二）推进新课、新知探究、提出问题 （1）在掷一枚均匀的硬币的试验中,如果没有硬币,你会怎么办？ （2）在掷一枚均匀的骰子的试验中,如果没有骰子,你会怎么办？ （3）随机数的产生有几种方法,请予以说明. （4）用计算机或计算器（特别是 TI 图形计算器）如何产生随机数？ 活动：学生思考或讨论,并与同学交流活动感受,讨论可能出现的情况,师生共同最后汇总方法、结果和 感受. 讨论结果： （1）我们可以用 0 表示反面朝上,1 表示正面朝上,用计算器做模拟掷硬币试验. （2）我们可以分别用数字 1、2、3、4、5、6 表示出现“1 点”“2 点”“3 点”“4 点”“5 点”和“6 点”,用计算器做 模拟掷骰子试验. （3）可以由试验产生随机数,也可用计算机或计算器来产生随机数. ①由试验产生的随机数：例如我们要产生 1—10 之间的随机数,可以把大小形状均相同的十张纸片的背后分 别标上：1,2,3,…,8,9,10,然后任意地抽出其中一张,这张纸上的数就是随机数.这种产生随机数的方法比较直 观,不过当随机数的量比较大时,就不方便,因为速度太慢. ②用计算机或计算器（特别是 TI 图形计算器）产生随机数：利用计算机程序算法产生,具有周期性（周 期很长）,具有类似随机数性质,称为伪随机数.在随机模拟时利用计算机产生随机数比较方便. （4）介绍各种随机数的产生. ①计算器产生随机数 下面我们介绍一种如何用计算器产生你指定的两个整数之间的取整数值的随机数.例如,要产生 1—25 之间 的取整数值的随机数,按键过程如下： 以后反复按 键,就可以不断产生你需要的随机数. 同样地,我们可以用 0 表示反面朝上,1 表示正面朝上,利用计算器不断地产生 0,1 两个随机数,以代替掷 硬币的试验.按键过程如下： ②利用 TI 图形计算器产生随机数的方法 只要输入 RAND（N）(其中 N 为任意整数,如图：RAND（20）表示 1 到 20 的随机数.)利用 TI 图形计算器 产生随机数的速度很快而且很方便. ③介绍利用计算机产生随机数（主要利用 Excel 软件） 先让学生熟悉 Excel 软件特别是产生随机数的函数,画统计图的功能,以及了解 Excel 软件对统计数据进 行处理的功能. 我们也可以用计算机产生随机数,而且可以直接统计出频数和频率.下面以掷硬币为例给出计算机产生 随机数的方法. 每个具有统计功能的软件都有随机函数.以 Excel 软件为例,打开 Excel 软件,执行下面的步骤： (1)选定 A1 格,键入“=RANDBETWEEN(0,1)”，按 Enter 键，则在此格中的数是随机产生的 0 或 1. (2)选定 A1 格,按 Ctrl+C 快捷键，然后选定要随机产生 0，1 的格,比如 A2 至 A100,按 Ctrl+V 快捷键,则在 A2 至 A100 的数均为随机产生的 0 或 1,这样我们很快就得到了 100 个随机产生的 0,1,相当于做了 100 次随 机试验. (3)选定 C1 格,键入频数函数“=FREQUENCY(A1∶A100,0.5)”,按 Enter 键,则此格中的数是统计 A1 至 A100 中,比 0.5 小的数的个数,即 0 出现的频数,也就是反面朝上的频数. (4)选定 D1 格,键入“=1-C1/100”,按 Enter 键,在此格中的数是这 100 次试验中出现 1 的频率,即正面朝上的频 率. 同时可以画频率折线图,它更直观地告诉我们:频率在概率附近波动. 上面我们用计算机或计算器模拟了掷硬币的试验,我们称用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模 拟方法或蒙特卡罗(Monte Carlo)方法. （三）应用示例 思路 1 例 1 利用计算器产生 10 个 1—100 之间的取整数值的随机数. 解：具体操作如下： 键入 反复操作 10 次即可得之. 点评：利用计算器产生随机数,可以做随机模拟试验,在日常生活中有着广泛的应用. 变式训练 利用计算器生产 10 个 1 到 20 之间的取整数值的随机数. 解：具体操作如下： 键入 反复按 键 10 次即可得到. 例 2 天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为 40%,这三天中恰有两天下雨的概率是多少? 活动：这里试验出现的可能结果是有限个,但是每个结果的出现不是等可能的,所以不能用古典概型求 概率的公式.用计算器或计算机做模拟试验可以模拟下雨出现的概率是 40%. 解：我们通过设计模拟试验的方法来解决问题.利用计算器或计算机可以产生 0 到 9 之间取整数值的随 机数,我们用 1,2,3,4 表示下雨,用 5,6,7,8,9,0 表示不下雨,这样可以体现下雨的概率是 40%.因为是 3 天,所以每 三个随机数作为一组.例如,产生 20 组随机数 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 就相当于做了 20 次实验.在这组数中,如果恰有两个数在 1,2,3,4 中,则表示恰有两天下雨,它们分别是 191,271,932,812,393,即共有 5 个数.我们得到三天中恰有两天下雨的概率近似为 20 5 =25%. 本例题的目的是要让学生体会如何利用模拟的方法估算概率. 解决步骤：（1）建立概率模型：模拟每一天下雨的概率为 40%,有很多方法,例如用计算机产生 0—9 的 随机数,可用 0,1,2,3 表示下雨,其余表示不下雨（当然,也可以用 5,6,7,9 表示下雨,其余表示不下雨）,这样可 以体现下雨的概率为 40%. （2）进行模拟实验,可以用 Excel 软件模拟的结果（模拟 20 个）：可用函数“RANDBETWEEN（1,20）”. （3）验证统计结果（略）. 注意：用随机数模拟的方法得到的仅仅是 20 次的模拟结果,是概率的近似值,而不是概率.随着模拟的数 量不断地增加（相当于增加样本的容量）,模拟的结果就越接近概率. 关于例 2 的实际操作,有条件的可以让学生自己上机动手或利用计数器来演算. 点评：掌握产生随机数的方法,特别是用计算机模拟的方法,还要建立适当的模型. 思路 2 例 1 某篮球爱好者,做投篮练习,假设其每次投篮命中的概率是 40%,那么在连续三次投篮中,恰有两次投中 的概率是多少？ 活动：学生审题,教师提示指导,其投篮的可能结果有有限个,但是每个结果的出现不是等可能的,所以不 能用古典概型的概率公式计算,我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为 40%. 解：我们通过设计模拟试验的方法来解决问题,利用计算机或计算器可以产生 0 到 9 之间的取整数值的 随机数. 我们用 1,2,3,4 表示投中,用 5,6,7,8,9,0 表示未投中,这样可以体现投中的概率是 40%.因为是投篮三次, 所以每三个随机数作为一组. 例如：产生 20 组随机数： 812,932,569,683,271,989,730,537,925, 907,113,966,191,431,257,393,027,556. 这就相当于做了 20 次试验,在这组数中,如果恰有两个数在 1,2,3,4 中,则表示恰有两次投中,它们分别是 812,932,271,191,393,即共有 5 个数,我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为 20 5 =25%. 点评：（1）利用计算机或计算器做随机模拟试验,可以解决非古典概型的概率的求解问题. （2）对于上述试验,如果亲手做大量重复试验的话,花费的时间太多,因此利用计算机或计算器做随机模拟试 验可以大大节省时间. （3）随机函数 RANDBETWEEN（a,b）产生从整数 a 到整数 b 的取整数值的随机数. 例 2 你还知道哪些产生随机数的函数？请列举出来. 解：（1）每次按 SHIFT RNA#键都会产生一个 0—1 之间的随机数,而且出现 0—1 内任何一个数的可 能性是相同的. （2）还可以使用计算机软件来产生随机数,如 Scilab 中产生随机数的方法. Scilab 中用 rand（）函数来产生 0—1 之间的随机数,每使用一次 rand（）函数,就产生一个随机数,如果要产生 a—b 之间的随机数,可以使用 变换 rand（）*（b-a）+a 得到. （四）知能训练 1.本节练习 4. 答案：(1) 6 1 . (2)略. (3)应该相差不大,但会有差异.存在差异的主要原因是随机事件在每次试验中是否发生是随机的,但在 200 次 试验中,该事件发生的次数又是有规律的,所以一般情况下所得的频率与概率相差不大. 2.0 表示反面朝上,1 表示正面朝上,请用计算器做模拟掷硬币试验. 解：具体操作如下： 键入 （五）拓展提升 某班有 45 个人,现要选出 1 人去检查其他班的卫生,若每个人被选到的机会均等,则恰好选中学生甲的机 会有多大？ 解：本题应用计算器产生随机数进行模拟试验,请按照下面的步骤独立完成. （1）用 1—45 的 45 个数来替代 45 个人； （2）用计算器产生 1—45 之间的随机数,并记录； （3）整理数据并填入下表: （4）利用稳定后 1 出现的频率估计恰好选中学生甲的机会. （六）课堂小结 随机数具有广泛的应用,可以帮助我们安排和模拟一些试验,这样可以代替我们自己做大量重复试验,比 如现在很多城市的中考中都采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中. （七）作业 习题 3.2A 组 5、6,B 组 1、2、3. 试验 次数 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 5 0 0 6 0 0 6 5 0 7 0 0 7 5 0 8 0 0 8 5 0 9 0 0 1 00 0 1 05 0 1 出现 的频 数 1 出现 的频 率