2020高中数学 第三章 导数及其应用 3
3.4 生活中的优化问题举例
学习目标：1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．(重、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．生活中的优化问题
(1)生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
(2)用导数解决优化问题的实质是求函数的最值．
2．用导数解决优化问题的基本思路
思考：生活中的优化问题一定要用导数解决吗？
[提示] 不一定．例如表示数学问题的函数是一次函数或二次函数时，可不用导数求解．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)生活中的优化问题的实质就是函数的最值问题． ( )
(2)生活中的优化问题必须运用导数解决． ( )
(3)广告牌的面积最小问题是生活中的优化问题． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．甲工厂八年来某种产品年产量y与时间t(单位：年)的函数关系如图341所示：
图341
现有下列四种说法：
①前四年该产品产量增长速度越来越快；
②前四年该产品产量增长速度越来越慢；
③第四年后该产品停止生产；
④第四年后该产品年产量保持不变．
其中说法正确的有( )
A．①④ B．②④
8
C．①③ D．②③
B [由图象可知，②④是正确的．]
3．电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系．y＝x3－x2－40x(x>0)．为使耗电量最小．则速度应定为__________．
40 [y′＝x2－39x－40，令y′＝0即x2－39x－40＝0，
解得x＝40或x＝－1(舍)．
当0
40时，y′>0，
所以当x＝40时，函数y＝x3－x2－40x有最小值．]
[合 作 探 究·攻 重 难]
面积、体积的最值问题
用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图342)．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
图342
[思路探究]
―→
[解] 设容器的高为x cm，容器的容积为V(x)cm3，则
V(x)＝x(90－2x)(48－2x)
＝4x3－276x2＋4 320x(0＜x＜24)．
所以V′(x)＝12x2－552x＋4 320
＝12(x2－46x＋360)
＝12(x－10)(x－36)．
令V′(x)＝0，得x＝10或x＝36(舍去)．
当0＜x＜10时，V′(x)＞0，即V(x)单调递增；
当10＜x＜24时，V′(x)＜0，即V(x)单调递减．
因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝19 600(cm3)．
8
因此当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3.
[规律方法] 1.求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值．
2．实际问题中函数定义域确定的方法
(1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零；
(2)根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等．
[跟踪训练]
1．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽.
【导学号：97792167】
[解] 设矩形边长AD
＝2x(00，当0，故x＝5时，为f(x)的最小值点，
对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
[规律方法] 解决优化问题时应注意的问题
(1)列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
[跟踪训练]
2．如图343，要在边长为100 m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2 m的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.
图343
8
(1)求x的取值范围(取1.4)；
(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为ax元/m2，其余区域的造价为元/m2，则当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？
[解] (1)由题意，得
，解得9≤x≤15.
即x的取值范围为[9,15]．
(2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得
y＝a×π×＋ax×πx2＋×104－π×－πx2＝π＋12×104，
令f(x)＝－x4＋x3－12x2，
则f′(x)＝－x3＋4x2－24x＝－4x，
由f′(x)＝0，解得x＝10或15或0(舍去)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[9,10)
10
(10,15)
15
f′(x)
－
0
＋
0
f(x)
↘
极小值
↗
－225
∴当x＝10时，f(x)取得最小值，y取得最小值．
故当x＝10时，可使“环岛”的整体造价最低．
利润最大(成本最低)问题
[探究问题]
求利润的方法有哪些？
提示：(1)利润＝收入－成本
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝(x≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，则
(1)试将年利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数．如果年广告费投入100万元，那么企业是亏损还是盈利？
8
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
[思路探究] (1)利用题中等量关系列出y与x的函数关系式，将x＝100代入所求关系式判断y>0还是y<0；
(2)先求出(1)中函数关系式的导函数，再利用导数求最值．
[解] (1)由题意，每年销售Q万件，成本共计为(32Q＋3)万元．销售收入是(32Q＋3)·150%＋x·50%，
∴年利润y＝年收入－年成本－年广告费
＝(32Q＋3－x)
＝
＝(x≥0)，
∴所求的函数关系式为：y＝(x≥0)．因为当x＝100时，y<0，所以当年广告费投入100万元时，企业亏损．
(2)由y＝f(x)＝(x≥0)，得
f′(x)＝(x≥0)．
令f′(x)＝0，则x2＋2x－63＝0，
∴x＝－9(舍去)或x＝7.
又∵当x∈(0,7)时，f′(x)>0；
当x∈(7，＋∞)时，f′(x)<0，
∴f(x)极大值＝f(7)＝42.
又∵在(0，＋∞)上只有一个极值点，
∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(7)＝42.
故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大．
[规律方法] 1.利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”或“利润＝每件产品利润×销售件数”建立函数关系式，再用导数求最大值．
2．解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误．
[跟踪训练]
3．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为p＝24 200－x2，且生产x吨产品的成本为R＝50 000＋200x(元)．问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)
8
【导学号：97792168】
[解] 每月生产x吨时的利润为
f(x)＝x－(50 000＋200x)
＝－x3＋24 000x－50 000(x≥0)．
由f′(x)＝－x2＋24 000＝0，
解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．
因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，
故它就是最大值点，且最大值为
f(200)＝－×2003＋24 000×200－50 000
＝3 150 000(元)．
所以每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为y＝－t3－t2＋36t－，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是( )
A．6时 B．7时 C．8时 D．9时
C [由题意，知y′＝－t2－t＋36，令y′＝0，得3t2＋12t－36×8＝0，∴t1＝8，t2＝－12(舍去)．当t∈(6,8)时，y′>0，当t∈(8,9)时，y′<0，∴当t＝8时，y取得最大值．∴通过该路段用时最多的时刻是上午8点．]
2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高为( )
A． cm B．100 cm
C．20 cm D． cm
A [设圆锥的高为h cm，
则V＝π(400－h2)×h，
所以V′(h)＝π(400－3h2)．
令V′(h)＝0，得h2＝，
8
所以h＝.故选A.]
3．某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)；生产总成本y2(万元)也是x的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产( )
A．9千台 B．8千台
C．6千台 D．3千台
C [利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x>0)，求导得y′＝36x－6x2，令y′＝0，得x＝6或x＝0(舍去)．
因06时，y＝18x2－2x3递减，
所以x＝6时利润最大，故选C.]
4．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )
A．4 B．6 C．4.5 D．8
A [设底面边长为x，高为h，则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝，
∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·＝x2＋，
∴S′(x)＝2x－.令S′(x)＝0，解得x＝8，∴h＝＝4.]
5．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？
【导学号：97792169】
[解] 设速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元，那么由题设知p＝kv3，因为v＝10时，p＝6，所以k＝＝0.006.于是有p＝0.006v3.
又设船的速度为每小时v千米时，行驶1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v3＋96)元，而行驶1千米所用时间为小时，所以行驶1千米的总费用为
q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋.
q′＝0.012v－＝(v3－8 000)，
令q′＝0，解得v＝20.
当v<20时，q′<0；当v>20时，q′>0，
所以当v＝20时，q取得最小值．
即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需费用总和最少．
8
