高中数学讲义微专题49 等差数列性质

高中数学讲义微专题49 等差数列性质

微专题 49 等差数列性质 一、基础知识： 1、定义：数列 若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称 是等差 数列，这个常数称为 的公差，通常用 表示 2、等差数列的通项公式： ，此通项公式存在以下几种变形： （1） ，其中 ：已知数列中的某项 和公差即可求出通项公式 （2） ：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差 （3） ：已知首项，末项，公差即可计算出项数 3、等差中项：如果 成等差数列，则 称为 的等差中项 （1）等差中项的性质：若 为 的等差中项，则有 即 （2）如果 为等差数列，则 ， 均为 的等差中项 （3）如果 为等差数列，则 注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。 比如 ，则 不一定成立 ② 利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。例如： ，可得 ，即可得到 ，这种做法可称为“多项 合一” 4、等差数列通项公式与函数的关系： ，所以该通项公式可看作 关于 的一次函数，从而可通 过函数的角度分析等差数列的性质。例如： ， 递增； ， 递减。 5、等差数列前 项和公式： ，此公式可有以下变形： （1）由 可得： ，作用： 在求等差数列前 项和时，不一定必须已知 ，只需已知序数和为 的两项即可  na  na  na d  1 1na a n d    n ma a n m d   m n ma n ma ad n m   1 1na an d   , ,a b c b ,a c b ,a c c b b a   2b a c   na 2,n n N    na 1 1,n na a   na m n p qa a a a m n p q       m n p q s    m n p q sa a a a a    4 7 8 9 20a a a a    4 7 8 9 7 7 7 7 74 20a a a a a a a a a         7 5a   1 11na a n d d n a d       na n 0d   na 0d   na n 1 2 n n a aS n  m n p qm n p q a a a a        12 p q n a aS n p q n     n 1, na a 1n  （2）由通项公式 可得： 作用：① 这个公式也是计算等差数列前 项和的主流公式 ② ，即 是关于项数 的二次函数 ， 且不含常数项，可记为 的形式。从而可将 的变化规律图像化。 （3）当 时， 因为 而 是 的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系 当 时 ，即偶数项和与中间两项和的联系 6、等差数列前 项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符 号分析，另一个角度是从前 项和公式入手分析 （1）从项的特点看最值产生的条件，以 4 个等差数列为例： 通过观察可得： 为递增数列，且 ，所以所有的项均为正数，前 项和只有最小值， 即 ，同理 中的项均为负数，所以前 项和只有最大值，即 。而 虽然是递减数列， 但因为 ，所以直到 ，从而前 4 项和最大，同理， 的前 5 项和最小。由此可 发现规律：对于等差数列，当首项与公差异号时，前 项和的最值会出现在项的符号分界处。 （2）从 的角度：通过配方可得 ，要注意 ，则 可通过图像判断出 的最值 7、由等差数列生成的新等差数列 （1）在等差数列 中，等间距的抽出一些项所组成的新数列依然为等差数列  1 1na a n d      1 1 1 1 1 2 2n a a n d n nS n a n d       n   2 1 1 1 1 2 2 2n n n dS a n d n a d n         nS n  n N  2 nS An Bn  nS  2 1n k k N     1 2 1 2 1 2 12 k k a aS k     1 2 1 2k ka a a   2 1 2 1k kS k a   ka 2 1kS   2n k k N    1 2 2 122 k k k k a aS k k a a      n n  :1,3,5,7,9,11,na   : 7,5,3,1, 1, 3,nb     : 1, 3, 5, 7, 9,nc        : 9, 7, 5, 3, 1,1nd        na 1 0a  n 1a  nc n 1c  nb 1 0b  5 1b    nd n 2 nS An Bn  2 2 2 4n B BS A n A A       n N  nS  na 例如在 ，以 3 为间隔抽出的项 仍为等差数 列。 如何判定等间距：序数成等差数列，则项之间等间距 （2）已知等差数列 ， 设 ， ， 则 相 邻 项 和 成等差数列 （3）已知 为等差数列，则有： ① 为等差数列，其中 为常数 ② 为等差数列，其中 为常数 ③ 为等差数列 ①②③可归纳为 也为等差数列 8、等差数列的判定：设数列 ，其前 项和为 （1）定义（递推公式）： （2）通项公式： （关于 的一次函数或常值函数） （3）前 项和公式： 注：若 ，则 从第二项开始呈现等差关系 （4）对于 ， ，即从第二项开始，每一项都是相邻两项的等差中项 二、典型例题： 例 1：设等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 _________ 思路：由 可得： ，即 。而 ，  :1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,na  1,9,17,25,   1 2 1 2 2 2 1 2 2 3: , , , , , , , , , , , ,n k k k k k k ka a a a a a a a a a       1 2k kS a a a    2 1 2 2 3 2 2 1 2 2 3, ,k k k k k k k k k kS S a a a S S a a a               k 2 3 2, , ,k k k k kS S S S S      ,n na b  na C C  nka k  n na b  n na b m   na n nS 1n na a d   na kn m  n n 2 nS An Bn  2 nS An Bn C    na n N   1 22 n n na a a    na n nS 9 4S S 1 51, 0ka a a   k  9 4S S 9 4 5 6 7 8 9 75 0S S a a a a a a        7 0a  1 1a  所以 不是各项为 0 的常数列，考虑 ，所以 答案： 小炼有话说：关于等差数列钱前 项和还有这样两个结论： （1）若 ，则 （本题也可用此结论： ，从而利用 奇数项和与中间项的关系可得 ） （2）若 ，则有 例 2：已知数列 为等差数列，若 ，则 _______ 思路：条件与所求都是“ ”的形式，由 为等差数列可得 也为等差 数列，所以 为 的等差中项，从而可求出 的值 解： 为等差数列 也为等差数列 答案： 例 3：设 为等差数列 的前 项和， ，则 （ ） A. B. C. D. 思路一：已知等差数列两个条件即可尝试求通项公式，只需将已知等式写成关于 的方程， 解出 后即可确定通项公式或者数列中的项 解： 思路二：本题还可抓住条件间的联系简化运算。已知 ，从而联想到 可用 表示，即 ，所以等式变为： ，所以可得 。 答案：A  na 7 9 52 0a a a   9 5 5 9ka a a a k     9 n  m nS S m n  0m nS   9 4 13 0S S S   13 713 0S a   ,m nS n S m m n    m nS m n       ,n na b 1 1 3 37, 21a b a b    5 5a b  n na b    ,n na b  n na b  3 3a b    1 1 5 5,a b a b  5 5a b    ,n na b  n na b       3 3 1 1 5 52 a b a b a b         5 5 3 3 1 12 35a b a b a b       35 nS  na n 8 3 74 , 2S a a   9a  6 4 2 2 1,a d 1,a d  8 3 1 14 8 28 4 2S a a d a d     7 12 6 2a a d       1 1 1 1 8 28 4 2 10 26 2 a d a d a da d            9 7 2 6a a d     7a 8S 1 7,a a  2 7 8 2 78 42 a aS a a     2 7 3 2 34 4 2a a a a a     2 1 2a a d    9 7 2 6a a d    小炼有话说：思路一为传统手段，通常将已知两个等式变形为 的二元方程，便可求解。 但如果能够观察出条件间的联系，往往能通过巧妙的变形简化计算过程。在平时的练习中建 议大家多尝试思路二的想法，努力找到条件间的联系，灵活利用等差数列性质进行变形。而 思路一可作为“预备队”使用。 例 4：在等差数列 中， ，其前 项和为 ，若 ，则 的值 等于（ ） A. B. C. D. 思路：由 观察到 的特点，所以考虑数列 的性质，由等差数列前 项 和特征 可得 ，从而可判定 为等差数列，且可得公差 ，所以 ，所以 ，即 答案：B 例 5：已知 为等差数列，且前 项和分别为 ，若 ，则 _____ 思路：，所求 可发现分子分母的项序数相同，结合条件所给的是前 项和的比值。考虑利 用中间项与前 项和的关系，有： ，将项的比值转化为数列和的比值， 从而代入 即可求值： 答案： 小炼有话说：等差数列中的项与以该项为中间项的前 项和可搭建桥梁： ， 这个桥梁往往可以完成条件中有关数列和与项之间的相互转化。 例 6：已知等差数列 中， ，则此数列前 项和等于 （ ） A. B. C. D. 1,a d  na 1 2008a   n nS 12 10 212 10 S S  2008S 2007 2008 2007 2008 12 10 212 10 S S  nS n nS n     n 2 nS An Bn  nS An Bn   nS n     1d   1 1 20091 nS S n d nn       2009nS n n  2008 2008S      ,n na b n ,n nA B 7 1 4 27 n n A n B n   11 11 a b  11 11 a b n n 21 11 21 1121 , 21A a B b  21n  11 11 21 11 11 21 21 4 21 3 a a A b b B   4 3 n  2 1 2 1k kS k a    na 1 2 3 28 29 303, 165a a a a a a      30 810 900 870 840 思路：求前 30 项和，联想到公式 ，则只需 。由条 件可得： ，所以 ，所以 答案：D 例 7 ： 已 知 等 差 数 列 中 ， ， 则 的值为___________ 思路：条件为相邻 4 项和，从而考虑作差能解出数列的公差： ，可 得 ： ， 解 得 ， 考 虑 ， 所 以 答案： 小炼有话说：本题在解题过程中突出一个“整体”的思想，将每一个四项和都视为整体，同 时在等差数列中相邻 项和的差与公差相关，从而解出公差并求出表达式的值 例 8：等差数列 有两项 ，满足 ，则该数列前 项之和为 （ ） A. B. C. D. 思路：可根据已知两项求出公差，进而求出 的通项公式，再进行求和即可 解： 答案：C  , 12 p q n a aS n p q n     31p q         1 30 2 29 3 28 1 303 168a a a a a a a a        1 30 56a a  1 30 30 8402n a aS     na 1 2 3 4 13 14 15 1610, 70a a a a a a a a        21 22 23 24a a a a   1 2 3 4 13 14 15 16 10 70 a a a a a a a a                 13 1 14 2 15 3 16 4 48 60a a a a a a a a d         5 4d     21 22 23 24 13 14 15 16 32 40a a a a a a a a d          21 22 23 24 13 14 15 1640 110a a a a a a a a         110 k  na  ,m ka a m k 1 1,m ka ak m  mk 12 mk  2 mk 1 2 mk  12 mk   na 1 1,m ka ak m  1 1 1m ka a k md m k m k mk         1 1 1 n ma a n m d n m nk mk mk           1 1 1 11 2 2 2mk mk mkS mk mkmk mk           例 9：在等差数列 中， ，若其前 项和为 ，且 ，那么当 取最大值时， 的值为（ ） A. B. C. D. 思路一：考虑从 的项出发，由 可得 ，可得 ，因为 ，所以 ，从而 最大 思路二：也可从 的图像出发，由 可得 图像中 是对称轴，再由 与 可判断数列 的公差 ，所以 为开口向下的抛物线，所以在 处 取 得最大值 答案：D 例 10：设首项为 ，公差为 的等差数列 的前 项和为 ，满足 ，则 的取值范围是___________ 思路：将 用 进行表示，从而方程 变形为含 的方程。而 的取值 只需让关于 的方程有解即可，所以通过 求出 的范围 解： 所以关于 的方程 应该有解 解得 或 答案： 或  na 1 0a  n nS 14 8S S nS n 8 9 10 11  na 14 8S S 14 8 9 10 14 0S S a a a      11 12 11 120a a a a     1 0a  11 120, 0a a  11S nS 14 8S S nS 11n  1 0a  14 8S S  na 0d  nS 11n  nS 1a d  na n nS 5 6 15 0S S   d 5 6,S S 1,a d 5 6 15 0S S   1,a d d 1a 0  d 5 1 6 15 10 , 6 15S a d S a d      5 6 1 115 0 5 10 6 15 15S S a d a d        2 2 1 12 9 10 1 0a a d d     1a 2 2 1 12 9 10 1 0a a d d     2 281 8 10 1 0d d     2 2d  2 2d   2 2d  2 2d  