江苏省2021届高三上学期新高考质量检测模拟数学试题（新高考标准） PDF版含答案
江苏省 2020-2021 学年度第一学期新高考质量检测模拟试题
高三数学试题
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 4 页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相
应位置上．
3．本次考试时间 120 分钟，满分 150 分．
4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1．设全集为 R，集合 A＝ x 2－x
x >0|{ }，B＝{x|x≥1}，则 A∩B 等于( )
A．{x|0
p>n B．p>n>m C．p>m>n D．n>p>m
4．在公比为 q 的正项等比数列{an}中，a4＝1，则当 2a2＋a6 取得最小值时，log2q 等于( )
A.1
4 B．－1
4 C.1
8 D．－1
8
5.如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 AB，CC1 的中点，在平面 ADD1A1
内且与平面 D1EF 平行的直线( )
A．不存在 B．有 1 条 C．有 2 条 D．有无数条
6．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，且 asin 2B＋bsin A＝0，若 a
＋c＝2，则边 b 的最小值为( )
A. 2 B．3 3 C．2 3 D. 3
7．已知双曲线x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 且斜率为24
7 的直线与
双曲线在第一象限的交点为 A，若(F2F1
—→＋F2A→ )·F1A→ ＝0，则此双曲线的标准方程可能为( )
A.x2
4 －
y2
3＝1 B.x2
3－
y2
4＝1
C.x2
16－
y2
9＝1 D.x2
9－
y2
16＝1
8．已知函数 f(x)＝xln x＋a
x＋3，g(x)＝x3－x2，若∀ x1，x2∈ 1
3，2[ ]，f(x1)－g(x2)≥0，则实
数 a 的取值范围为( )
A．[4，＋∞) B．[3，＋∞) C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．全部选对的得 5 分，部分选对的
得 3 分，有选错的得 0 分)
9．将函数 f(x)＝sin 3x 的图象向右平移π
6个单位长度后得到函数 g(x)的图象，则( )
A．g(x)在 0，π
2[ ]上的最小值为 0
B．g(x)在 0，π
2[ ]上的最小值为－1
C．g(x)在 0，π
2[ ]上的最大值为 0
D．g(x)在 0，π
2[ ]上的最大值为 1
10．如图所示的函数图象，对应的函数解析式不可能是( )
A．y＝2x－x2－1 B．y＝2xsin x
C．y＝ x
ln x D．y＝(x2－2x)ex
11．已知函数 f(x)＝ x＋x，g(x)＝ acos x＋2，x≥0，
x2＋2a，x<0{ (a∈R)，若对任意 x1∈[2，＋
∞)，总存在 x2∈R，使 f(x1)＝g(x2)，则实数 a 的值可以是( )
A．－1
2 B.1
2 C．1 D．2
12．在数列{an}中，若 a2
n－a2
n－1＝p(n≥2，n∈N*，p 为常数)，则称{an}为“等方差数列”．下
列对“等方差数列”的判断正确的是( )
A．若{an}是等差数列，则{a2
n}是等方差数列
B．{(－1)n}是等方差数列
C．若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k 为常数)也是等方差数列
D．若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．f(x)＝
1
2x＋1，x≤0，
－x－12，x>0，{ 则使 f(a)＝－1 成立的 a 的值是________．
14．已知 xn＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋an(x＋1)n(n∈N*)对任意 x∈R 恒成立，则 a0＝
________；若 a4＋a5＝0，则 n＝________.(本题第一空 2 分，第二空 3 分)
15．若一个圆柱的轴截面是面积为 4 的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为________．
16．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足：a1＝1，a2＝2，Sn＋1＝an＋2－an＋1(n∈N*)，若
不等式λSn>an 恒成立，则实数λ的取值范围是________．
四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
17．(10 分)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且 a1，a11，a13 成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设 bn＝(－1)nan，求数列{bn}前 2 020 项的和．
18．(12 分)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，bsin B＋csin C＝a
2sin Bsin C
sin A ＋sin A( ).
(1)求 A 的大小；
(2)若 a＝ 2，B＝π
3，求△ABC 的面积．
19.(12 分)如图，在五边形 ABSCD 中，四边形 ABCD 为长方形，△SBC 为边长为 2 的正三角
形，将△SBC 沿 BC 折起，使得点 S 在平面 ABCD 上的射影恰好在 AD 上．
(1)当 AB＝ 2时，证明：平面 SAB⊥平面 SCD；
(2)若 AB＝1，求平面 SCD 与平面 SBC 所成二面角的余弦值的绝对值．
20．(12 分)某工厂欲购买软件服务，有如下两种方案：
方案一：软件服务公司每日收取工厂 60 元，对于提供的软件服务每次 10 元；
方案二：软件服务公司每日收取工厂 200 元，若每日软件服务不超过 15 次，不另外收费，
若超过 15 次，超过部分的软件服务每次收费标准为 20 元．
(1)设日收费为 y 元，每天软件服务的次数为 x，试写出两种方案中 y 与 x 的函数关系式；
(2)该工厂对过去 100 天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计
数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？
请说明理由．
21.(12 分)(2020·济南模拟)已知椭圆 C：x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)的离心率为
3
2 ，焦距为 2 3.
(1)求 C 的方程；
(2)若斜率为－1
2的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点(点 P，Q 均在第一象限)，O 为坐标原点．证
明：直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列．
22．(12 分)已知函数 f(x)＝ln x，g(x)＝x－1.
(1)当 k 为何值时，直线 y＝g(x)是曲线 y＝kf(x)的切线；
(2)若不等式 g( x )≥af(x)在[1，e]上恒成立，求 a 的取值范围．
江苏省 2020-2021 学年度第一学期新高考质量检测模拟试题
高三数学试题
答案精析
1．C 2.A 3.B 4.A 5.D 6.D
7．D [由(F2F1
—→＋F2A→ )·F1A→ ＝0，可知 F1F2＝F2A＝2c，
又 AF2 的斜率为24
7 ，所以易得 cos∠AF2F1＝－ 7
25，
在△AF1F2 中，由余弦定理得 AF1＝16
5 c，
由双曲线的定义得16
5 c－2c＝2a，
所以 e＝c
a＝5
3，则 a∶b＝3∶4，
所以此双曲线的标准方程可能为x2
9－
y2
16＝1.]
8．D [由题意知，对于∀ x1，x2∈ 1
3，2[ ]，
f(x1)－g(x2)≥0，可得 f(x)在 1
3，2[ ]上的最小值不小于 g(x)在 1
3，2[ ]上的最大值，
由 g(x)＝x3－x2，则 g′(x)＝3x2－2x＝3x x－2
3( )，
可得当 x∈ 1
3，2
3[ )时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
当 x∈ 2
3，2( ]时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
又由 g 1
3( )＝－ 2
27，g(2)＝4，
即 g(x)在区间 1
3，2[ ]上的最大值为 4，
所以 f(x)＝xln x＋a
x＋3≥4 在 1
3，2[ ]上恒成立，
即 a≥x－x2ln x 在 1
3，2[ ]上恒成立，
令 h(x)＝x－x2ln x，x∈ 1
3，2[ ]，
则 h′(x)＝1－2xln x－x，
令 p(x)＝1－2xln x－x，则 p′(x)＝－3－2ln x，
当 x∈ 1
3，2[ ]时，p′(x)<0，函数 p(x)单调递减，
即 h′(x)在 1
3，2[ ]上单调递减，
又由 h′(1)＝0，所以 h′(x)在 1
3，1[ )上大于 0，在(1,2]上小于 0，
所以 h(x)在 1
3，1[ )上单调递增，在(1,2]上单调递减，
所以 h(x)在 1
3，2[ ]上的最大值为 h(1)＝1，所以 a≥1.]
9．BD [将函数 f(x)＝sin 3x 的图象向右平移π
6个单位长度后得到函数 g(x)＝sin 3x－π
2( )＝－
cos 3x，
∵x∈ 0，π
2[ ]，
∴0≤3x≤3π
2 ，
∴－1≤－cos 3x≤1.]
10．ABC [由图象可知当 x<0 时，f(x)>0，
而 A 中函数当 x＝－1 时，y＝1
2－2＝－3
2<0，
B 中函数当 x＝－π时，y＝0，故 A 和 B 不可能；
C 中函数的定义域是{x|x>0，x≠1}，与图象不符，故 C 不可能．]
11．ACD [f′(x)＝－ 1
xln 2＋1，
对任意 x∈[2，＋∞)，f′(x)>0，
则 f(x)在[2，＋∞)上单调递增，
所以 f(x)在[2，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．
由题意可得[1，＋∞)是 g(x)的值域的子集，
当 a＝0 时，g(x)的值域是(0，＋∞)，符合题意；
当 a<0 时，g(x)的值域是[a＋2，－a＋2]∪(2a，＋∞)，
符合题意；
当 a>0 时，g(x)的值域是[－a＋2，a＋2]∪(2a，＋∞)，
要符合题意，
则
2a≤a＋2，
－a＋2≤1{ 或 2a<1，
解得 1≤a≤2 或 0an
Sn
＝ 1
2－ 1
2n－1
恒成立，
只需λ>
1
2－ 1
2n－1( )max，
当 n＝1 时， 1
2－ 1
2n－1
取得最大值 1，∴λ>1.
17．解 (1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0)，
则
a1＝25，
a 2
11＝a1·a13，{ 即
a1＝25，
a1＋10d2＝a1a1＋12d，{
解得
a1＝25，
d＝－2，{
∴{an}的通项公式为 an＝27－2n(n∈N*)．
(2){bn}的前 2 020 项的和
S2 020＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2 019＋b2 020＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2 018－a2 017)＋(a2 020
－a2 019)
＝(－2)×2 020
2 ＝－2 020.
18．解 (1)因为 bsin B＋csin C＝a 2sin Bsin C
sin A ＋sin A( )，
由正弦定理可得，b2＋c2＝a 2·bc
a ＋a( )，
即 b2＋c2－a2＝ 2bc，
再由余弦定理可得 2bccos A＝ 2bc，
即 cos A＝
2
2 ，所以 A＝π
4.
(2)因为 B＝π
3，所以 sin C＝sin(A＋B)＝
6＋ 2
4 ，
由正弦定理 a
sin A ＝ b
sin B ，可得 b＝ 3.
所以 S△ABC＝1
2absin C＝
3＋ 3
4 .
19．(1)证明 作 SO⊥AD，垂足为 O，依题意得 SO⊥平面 ABCD，
∴SO⊥AB，SO⊥CD，
又 AB⊥AD，SO∩AD＝O，SO，AD⊂ 平面 SAD，
∴AB⊥平面 SAD，∴AB⊥SA，AB⊥SD.
利用勾股定理得 SA＝ SB2－AB2＝ 4－2＝ 2，
同理可得 SD＝ 2.
在△SAD 中，AD＝2，SA＝SD＝ 2，SA2＋SD2＝AD2，
∴SA⊥SD，
又 SA∩AB＝A，SA，AB⊂ 平面 SAB，∴SD⊥平面 SAB，
又 SD⊂ 平面 SCD，∴平面 SAB⊥平面 SCD.
(2)解 连结 BO，CO，
∵SB＝SC，∴Rt△SOB≌Rt△SOC，
∴BO＝CO，又四边形 ABCD 为长方形，
∴Rt△AOB≌Rt△DOC，∴OA＝OD.
取 BC 中点为 E，连结 OE，得 OE∥AB，连结 SE，
∴SE＝ 3，
其中 OE＝1，OA＝OD＝1，OS＝ 3－12＝ 2，
由以上证明可知 OS，OE，AD 互相垂直，不妨以直线 OA，OE，OS 为 x，y，z 轴建立空间
直角坐标系．
∴O(0,0,0)，D(－1,0,0)，C(－1,1,0)，
S(0,0， 2)，B(1,1,0)，
∴DC→ ＝(0,1,0)，SC→ ＝(－1,1，－ 2)，
BC→ ＝(－2,0,0)，
设 m＝(x1，y1，z1)是平面 SCD 的法向量，
则有
m·DC→ ＝0，
m·SC→ ＝0，{ 即
y1＝0，
－x1＋y1－ 2z1＝0，{
令 z1＝1 得 m＝(－ 2，0,1)，
设 n＝(x2，y2，z2)是平面 SBC 的法向量，
则有
n·BC→ ＝0，
n·SC→ ＝0，{ 即
－2x2＝0，
－x2＋y2－ 2z2＝0，{
令 z1＝1 得 n＝(0， 2，1)．
则|cos〈m，n〉|＝
|m·n|
|m||n|＝ 1
3× 3
＝1
3，
所以平面 SCD 与平面 SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为1
3.
20．解 (1)由题意可知，方案一中的日收费 y 与 x 的函数关系式为 y＝10x＋60，x∈N，
方案二中的日收费 y 与 x 的函数关系式为 y＝
200，x≤15，x∈N，
20x－100，x>15，x∈N.{
(2)设方案一中的日收费为 X，由条形图可得 X 的概率分布为
X 190 200 210 220 230
P 0.1 0.4 0.1 0.2 0.2
所以 E(X)＝190×0.1＋200×0.4＋210×0.1＋220×0.2＋230×0.2＝210.
方案二中的日收费为 Y，由条形图可得 Y 的概率分布为
Y 200 220 240
P 0.6 0.2 0.2
E(Y)＝200×0.6＋220×0.2＋240×0.2＝212.
所以从节约成本的角度考虑，选择方案一．
21．(1)解 由题意可得
c
a＝
3
2 ，
2c＝2 3，{ 解得
a＝2，
c＝ 3，{
又 b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆 C 的方程为x2
4＋y2＝1.
(2)证明 设直线 l 的方程为 y＝－1
2x＋m，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由
y＝－1
2x＋m，
x2
4 ＋y2＝1，{ 消去 y，得 x2－2mx＋2(m2－1)＝0，
则Δ＝4m2－8(m2－1)＝4(2－m2)>0，
且 x1＋x2＝2m>0，x1x2＝2(m2－1)>0，
故 y1y2＝ －1
2x1＋m( ) －1
2x2＋m( )
＝1
4x1x2－1
2m(x1＋x2)＋m2＝m2－1
2 ，
kOPkOQ＝
y1y2
x1x2＝
m2－1
2
2m2－1
＝1
4＝k2
PQ ，
即直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列．
22．解 (1)令 n(x)＝kf(x)＝kln x，n′(x)＝k
x，
设切点为(x0，y0)，则k
x0＝1，x0－1＝kln x0，
则 ln k＋1
k ＝1.
令 F(x)＝ln x＋1
x，F′(x)＝1
x－ 1
x2
＝x－1
x2
，
则函数 y＝F(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
且 F(1)＝1，所以 k＝1.
(2)令 h(x)＝af(x)－g( x )＝aln x－ x ＋1，
则 h′(x)＝a
x － 1
2 x
＝
2a－ x
2x ，
①当 a≤0 时，h′(x)<0，
所以函数 h(x)在[1，e]上单调递减，
所以 h(x)≤h(1)＝0，所以 a≤0 满足题意．
②当 a>0 时，令 h′(x)＝0，得 x＝4a2，
所以当 x∈(0,4a2)时，h′(x)>0，
当 x∈(4a2，＋∞)时，h′(x)<0.
所以函数 h(x)在(0,4a2)上单调递增，在(4a2，＋∞)上单调递减．
(ⅰ)当 4a2≥e，即 a≥
e
2 时，h(x)在[1，e]上单调递增，
所以 h(x)≤h(e)＝a－ e＋1≤0，
所以 a≤ e－1，此时无解．
(ⅱ)当 1<4a20，
所以 m(x)在 1
2，
e
2( )上单调递增，
m(x)>m 1
2( )＝0，不满足题意．
(ⅲ)当 0<4a2≤1，即 0
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